НАЦИОНАЛЬНИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УКРАИНЫ
“КИЕВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ”
ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Кафедра физико–технических средств защиты информации
Лабораторная работа
по предмету Обработка широкополосных сигналов
Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций
Выполнил студент гр. ФЕ-21
Коваленко А.С.
Киев2008
Введение
Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций. Обобщенный ряд Фурье. Функции Радемахера. Представление сигнала с конечной энергией в базисе функций Хаара.
Цель работы: Изучение особенностей кусочно-постоянных ортогональных функций Радемахера и Хаара. Получение практических навыков расчета спектров сложных сигналов, используя преобразование Хаара.
Теоретические сведения
Обобщенный ряд Фурье
Обобщенный ряд Фурье сигнала />в выбранном базисе />для сигнала с конечной энергией
/>
может быть представлен в виде ряда
/>,
где />– коэффициент разложения, определяющий спектр сигнала; />– система ортонормированных вещественных функций (базис), причем для произвольных функций, ортонормированных на интервале />, можно записать
/>
Коэффициенты разложения />определяются следующим образом
/>.
Для минимизации времени вычислений необходимо выбирать систему базисных функций по возможности более согласованную по форме с исследуемым сигналом. Причем необходимо также учитывать возможность более простой аппаратной или программной реализации базиса. Для импульсных сигналов представляет интерес разложение />в базисах функций Хаара, Уолша и др.
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
Спектральная плотность />дискретного сигнала />определяется выражением
/>, (1.1)
где n – номер дискретного отсчета непрерывной функции; /> — период дискретизации непрерывной функции x(t).
Согласно выражению (1.1) спектр дискретного сигнала сплошной. Но таковым он бывает только лишь при условии, что объем выборки дискретного сигнала бесконечен. В приложениях выборка отсчетов сигнала всегда конечномерна. Кроме того, по многим причинам желательно вычислять преобразование Фурье на ЭВМ. Это означает, что конечномерной является не только выборка дискретных отсчетов сигнала, но и соответствующее этой выборке число гармоник спектра дискретного сигнала.
Каждая спектральная линия состоит из амплитудной и фазовой составляющих. Следовательно, из N данных отсчетов можно получить амплитуды и фазы для N/2 дискретных частот, которые находятся в интервале от />до />, где /> — частота дискретизации равная />.
Соответствующие спектральные линии повторяются в интервале от />до />. В области от />до />можно построить N линий для частот
/>,
где k = 0, 1, …, N –1. Если в уравнении (1.1) заменить />на/>, то получим уравнение полностью дискретное как по времени, так и по частоте и поэтому удобное для вычислений на ЭВМ.
/>;
/>,
где k = 0, 1, …, N –1.
Выражение для обратного ДПФ следующее:
/>,
где n = 0, 1, …, N –1.
Быстрое преобразование Фурье (БПФ)
Классические формы прямого и обратного ДПФ просты и легко реализуемы на ЭВМ. Однако их практическое применение ограничивается большими объемами вычислений, которые растут в квадратичной зависимости от объема выборки />. Так, если число отсчетов временной функции />составляет N, то полный спектр/>-мерной последовательности дискретных сигналов определяется посредством приблизительно />комплексных операций умножения и сложения. При достаточно больших />может оказаться, что ресурса даже высокопроизводительных ЭВМ недостаточно для вычисления спектра в реальном времени (т.е. в темпе поступления входных данных). Существуют различные способы сокращения объема вычисления при определении дискретно спектра, которые приводят к алгоритмам быстрого преобразования Фурье. Алгоритмы БПФ основаны на устранении избыточности вычислений. Покажем на примере.
Допустим, что нужно рассчитать число А
А = ac + ad + bc + bd
В записанном виде расчет содержит четыре операции умножения и три сложения. Если число А нужно считать много раз для разных множеств данных, то его представляют в эквивалентной форме:
А = (a+b) (c+d)
которая требует выполнения лишь одной операции умножения и двух операций сложения.
Основная идея БПФ заключается в разделении исходной /> — точечной последовательности входных сигналов на две более короткие последовательности, ДПФ которых можно скомбинировать таким образом, чтобы получилось ДПФ исходной /> — точечной последовательности. Так, например, если />– четное, а исходная /> — точечная последовательность разбита на две /> — точечные последовательности, то для вычисления искомого /> — точечного ДПФ потребуется />комплексных операций умножения, т.е. вдвое меньше по сравнению с прямым вычислением ДПФ. Здесь множитель />равен числу умножений, необходимых для определения /> — точечного ДПФ, а множитель 2 соответствует двум ДПФ, которые должны быть вычислены. Эту операцию можно повторить, вычисляя вместо /> — точечного ДПФ две />точечные ДПФ (предполагая, что />– четное) и сокращая тем самым объем вычислений еще в два раза. Выигрыш в два раза является приблизительным, поскольку не учитывается, каким образом из ДПФ меньшего размера образуется искомое /> — точечное ДПФ. –PAGE_BREAK–
Функции Радемахера и их представление
Функции Радемахера составляют неполную систему ортонормированных функций, что ограничивает их применение. Но их широкое использование обусловлено тем, что на их основе можно получить полные функций, например, Хаара и Уолша. Непрерывная Функция Радемахера с индексом m, которая обозначается как rad(m,x), имеет вид последовательности прямоугольных импульсов, содержит />периодов на полуоткрытом интервале [0;1) и принимает значения +1 или –1. Исключением является rad (0,x), которая имеет вид единичного импульса. Функции Радемахера периодические с периодом 1, т.е. rad(m,x) = rad(m,x+1). Кроме того, они периодические и на более коротких интервалах: />, />, />Их можно получить с помощью рекуррентного соотношения: />,
/>
Получить функции Радемахера можно также с помощью следующего соотношения:
/>
Первые четыре функции Радемахера представлены на рис.1.1 а, б
/>
/>
а) б)
Рис. 1.1. Первые четыре непрерывные функции Радемахера:
a) на интервале [0; 1); б) на интервале [-0.5; 0.5);
Пример разложения функции f(x) в базисе функций Радемахера, используя общую формулу (1.2) представлен на рис 1.2.
/>, (1.2)
где />
/>
/>
Рис.1.2. Пример разложения в базисе функций Радемахера.
Дискретные функции Радемахера
Дискретные функции Радемахера являются отсчетами непрерывных функций Радемахера. Каждый отсчет расположен в середине связанного с ним элемента непрерывной функции. Обозначаются дискретные функции Радемахера как Rad(m,x). Для дискретных функций Радемахера удобно использовать матрицу, каждая строка которой является дискретной функцией Радемахера. Например, для третьей диады (m=3) имеем: (для удобства обозначим “+1” как “+”, а “–1” как “–” )
/>/>
/>
Функции Хаара и их представление
Множество непрерывных функций Хаара />составляет периодическую, ортонормированную и полную систему функций. Широкое распространение функции Хаара получили в вэйвлет-анализа и сжатии изображений. Рекуррентное соотношение, которое дает возможность сформировать непрерывную функцию />, имеет вид:
/>
/>
где />и />, N – общее количество функций.
Первые восемь функций Хаара представлены на рис. 1.3.
/>
Рис.1.3. Первые восемь непрерывных функции Хаара.
Дискретные функции Хаара
По аналогии с дискретными функциями Радемахера дискретные функции Хаара являются отсчетами непрерывных функций Хаара. Каждый отсчет расположен в середине связанного с ним элемента непрерывной функции. Обозначаются дискретные функции Хаара как />.
Построим матрицу дискретных значений функций Хаара для />, в которой каждая строка отвечает соответствующей функции.
/>/>
При цифровой обработке сигналов, вэйвлет-анализе, сжатии изображений, анализе и синтезе логических функций, часто применяются ненормированные функции Хаара, которые на отдельных участках принимают одно из трех значений +1; 0; –1.
Преобразование Хаара
Любую интегрируемую на интервале />функцию />можно представить рядом Фурье по системе функций Хаара:
/>, где />(1.3)
с коэффициентами
/>. (1.4)
Домашнее задание
Выражения для непрерывных функций Радемахера
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Матрица для системы дискретных функций Радемахера при N = 5.
Rad(0,t)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Rad(1,t)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
Rad(2,t)
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
Rad(3,t)
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
Rad(4,t)
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
Rad(5,t)
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1 продолжение
–PAGE_BREAK–
Графики функций от />до />.
/>
Выражение для нормированных функций Хаара.
/>
/>
/>
Графики нормированных функций от />до />.
Графики ненормированных функций от />до />.
/>
Выполнение работы
Используя преобразование Хаара рассчитаем амплитудный и фазовый спектр заданного сигнала
А. Используем нормированные функции Хаара.
/>
/>
/>
Б. Используем ненормированные функции Хаара
/>
Синтезируем заданный сигнал и построим графики для обоих случаев
А. Используем нормированные функции Хаара
/> />
Б. Используем ненормированные функции Хаара
/>
/>
Выводы по работе
В данной лабораторной работе мы изучили особенности кусочно-линейных ортогональных функций Радемахера и Харра. Получили выражения для непрерывных функций Харра и Радемахера, построили графики этих функций. Построили матрицу для системы дискретных функций Радемахера при N = 5. Для функций Харра задали и построили графики нормированных и ненормированных функций. Получили практические навыки расчета спектров сложных сигналов, используя преобразование Хаара, найдя амплитудный и фазовый спектры заданного сигнала. После синтезирования сигналов, в случае нормированных функций Харра, получили исходный сигнал только после перехода на нормированное время. Это объясняется погрешностью программных расчетов. В случае же нормированных функций, заданный сигнал получить не удалось из-за, опять же, программных погрешностей вычисления.