МИНИСТЕРСТВООБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
САМАРСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С. П. Королева
Кафедравысшей математики
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯЗАПИСКА
к курсовойработе по уравнениям математической физики
/>САМАРА 2009г.
Реферат
Курсовая работа: пояснительнаязаписка, 30 страниц, 8 рисунков, 3 источника, 6 таблиц.
Ключевыеслова: МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ, МЕТОД ЦЕНТРАЛЬНЫХ РАЗНОСТЕЙ, МЕТОД ПРОГОНКИ,МЕТОД ГАЛЕРКИНА, МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ, МЕТОД РИТЦА, МЕТОД ЛИБМАНА, ПРИБЛИЖЕННОЕРЕШЕНИЕ, МЕТОД СЕТОК, ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ,ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ.
/>В данной работе требуется с помощью методовконечно-разностных, центрально-разностных отношений и метода прогонки найтиприближенное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка.Сравнить результаты и сделать выводы.
Необходимо найтиприближенное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка спомощью методов Галеркина, Ритца и коллокации. Сравнить результаты, построивграфики.
Нужно с помощью методаЛибмана отыскать приближенное решение задачи Дирихле в квадрате.
Требуется методом сетокнайти приближенное решение первой смешанной задачи для уравнениятеплопроводности и для волнового уравнения. Сравнить результаты с аналитическимрешением.
Нужно найти приближенноерешение интегрального уравнения.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
I. РЕШЕНИЕКРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
II. МЕТОДЫГАЛЕРКИНА, РИТЦА И КОЛЛОКАЦИЙ
III.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ1
IV. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙСМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ОТРЕЗКЕ
V. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙСМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ НА ОТРЕЗКЕ
VI. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
ВВЕДЕНИЕ
В данной работе требуетсяс помощью методов конечно-разностных, центрально-разностных отношений и методапрогонки найти приближенное решение линейного дифференциального уравнениявторого порядка. Сравнить результаты и сделать выводы.
Необходимо найтиприближенное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка спомощью методов Галеркина, Ритца и коллокации. Сравнить результаты, построивграфики.
Нужно с помощью методаЛибмана отыскать приближенное решение задачи Дирихле в квадрате.
Требуется методом сетокнайти приближенное решение первой смешанной задачи для уравнениятеплопроводности и для волнового уравнения. Сравнить результаты с аналитическимрешением.
Нужно найти приближенноерешение интегрального уравнения.
I. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Пусть дано дифференциальноеуравнение второго порядка
/>, (1)
где функция /> заданатабличноi
fi(x) 8,1548 1 6,8925 2 5,8327 3 4,9907 4 4,3818 5 4,0188 6 3,9098 7 4,0581 8 4,4615 9 5,1129 10 6
Будем искать решениеуравнения (1), удовлетворяющее следующим краевым условиям
/> (2)
Запишем таблицу значенийфункций />i
/>
/>
/> 1 0,1 -0,2 0,03 2 0,2 -0,4 0,12 3 0,3 -0,6 0,27 4 0,4 -0,8 0,48 5 0,5 -1 0,75 6 0,6 -1,2 1,08 7 0,7 -1,4 1,47 8 0,8 -1,6 1,92 9 0,9 -1,8 2,43 10 1 -2 3
1. Метод конечныхразностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
1. Пусть /> и значения /> и /> в каждом узлеможно записать конечно-разностными отношениями
/> (3)
тогда, используя (3),заменим уравнения (1), (2) системой
/> (4)
Решая систему (4),получим
/>
2. Пусть /> тогда, используя (3),заменим уравнения (1), (2) системой:
/> (5)
Решая систему (5),получим
/>
2. Метод центральных разностей для линейных дифференциальныхуравнений второго порядка.
1. Пусть /> и значения /> и /> в каждом узлеможно записать центрально-разностными отношениями
/> (6)
тогда, используя (6),заменим уравнения (1), (2) системой:
/> (7)
Решая систему (7),получим:
/>
2. Пусть />, тогда, используя (6),заменим уравнения (1), (2) системой:
/> (8)
Решая систему (8),получим
/>
/>
Рис.1-/> — решение, полученное спомощью метода конечных разностей (h=0,1), /> — решение, полученное с помощьюметода центральных разностей (h=0,1),/> — точноерешение
/>
Рис.2-/> — решение, полученное спомощью метода конечных разностей (h=0,2), /> — решение, полученное с помощьюметода центральных разностей (h=0,2)/>-точноерешение
/>
Рис.3- Общий графикрешений
3. Метод прогонки длялинейных дифференциальных уравнений второго порядка.
Конечно-разностныеотношения в методе прогонки.
1. Пусть /> и значения /> и /> в каждом узлеможно записать конечно-разностными отношениями:
/> (9)
тогда, используя (20),заменим уравнения (1), (2), (3) системой:
/> (10)
Запишем первые n-1 уравнений в виде:
/>, где /> (11)
Из системы (21) следует,что /> (12)
/>, /> вычисляются последовательно, нопри i=0:
/> (13)
Остальные />, /> вычисляются по формуле:
/> (14)
Прямой ход вычислений.
По формулам (11) вычисляем/>. Далеевычисляем /> поформулам (13) и по рекуррентным формулам (14) находим />.
Обратный ход.
Из уравнения (12) при i=n-2 и из последнего уравнения системы (10) получаем:
/>
Решив эту системуотносительно />, получим
/> (15)
При i=n-2,…,1 используем формулу (12)
/>
/> вычисляем из второго уравнениясистемы (10)
/> (16)
В результате вычисленийполучим таблицу:
Таблица №1Прямой ход Обратный ход i
xi
pi
qi
fi
mi
ki
ci
di
yi 8.1548 -2 1 -1.125 0.081548 3.049606 1 0.1 -0.2 0.03 6.9025 -2.02 1.0203 -1.14658 0.162629 2.744645 2 0.2 -0.4 0.12 5.8327 -2.04 1.0412 -1.18177 0.252476 2.521233 3 0.3 -0.6 0.27 4.9907 -2.06 1.0627 -1.24358 0.366984 2.361553 4 0.4 -0.8 0.48 4.3818 -2.08 1.0848 -1.36806 0.538893 2.250789 5 0.5 -1 0.75 4.0188 -2.1 1.1075 -1.70977 0.856677 2.176909 6 0.6 -1.2 1.08 3.9098 -2.12 1.1308 -5.35913 1.695401 2.130132 7 0.7 -1.4 1.47 4.0581 -2.14 1.1547 0.247024 10.53205 2.10254 8 0.8 -1.6 1.92 4.4615 -2.16 1.1792 -0.40795 -3.02327 2.087729 9 0.9 -1.8 2.43 5.1129 -2.18 1.2043 -0.59217 -1.43418 2.080518 10 1 -2 3 6 -2.2 1.23 -0.67952 -0.98461 2.076684
2. Пусть />
В результате вычисленийпо формулам (9)-(16) получим таблицу:
Таблица №2Прямой ход Обратный ход i
xi
pi
qi
fi
mi
ki
ci
di
yi 8.1548 -2 1 -1.125 0.081548 2.048941 1 0.2 -0.4 0.12 5.8327 -2.04 1.0412 -1.15121 0.156074 1.844047 2 0.4 -0.8 0.48 4.3818 -2.08 1.0848 -1.20313 0.247519 1.720701 3 0.6 -1.2 1.08 3.9098 -2.12 1.1308 -1.31665 0.407622 1.650761 4 0.8 -1.6 1.92 4.4615 -2.16 1.1792 -1.64636 0.835965 1.619574 5 1 -2 3 6 -2.2 1.23 -5.71492 5.936293 1.63769
/>
Рис.3-/> — решение, полученное спомощью метода прогонки с использованием конечно-разностных отношений (h=0,1),/> — решение, полученное с помощьюметода прогонки с использованием конечно разностных отношений (h=0,2), /> — точноерешение
II. Методы Галеркина, Ритца и коллокаций
Пусть данодифференциальное уравнение второго порядка и его граничные условия
/> (17)
1. Метод Галеркина
Введем операторы
/>
На отрезке [a, b] выберем систему базисных функций
/>
Проверим систему наортогональность
/>
Выбранная системабазисных функций является ортогональной и удовлетворяет условию выбора конечнойсистемы базисных функций />
/>
Решение краевой задачи (17)ищется в виде
/>
1. Рассмотрим решениезадачи (17) с двумя базисными функциями:
/>
Тогда решение
/>
Рассмотрим выражение
/> (18)
Выражение (18) называетсяневязкой. Для задачи (1) с двумя базисными функциями
/>
сi выбирается таким образом, чтобы
/>
Так как /> ортогональна ко всембазисным функциям, то
/>
Тогда решение задачи (17)
/>
2. Рассмотрим решениезадачи (17) с тремя базисными функциями
/>
Тогда решение
/>
Невязка примет вид
/>
Коэффициенты с1и с2 будем искать из системы
/>
/>
/>
Тогда решение задачи (17)
/>
2. Метод коллокации
Введем операторы
/>
На отрезке [a, b] выберем систему базисных функций
/>
Будем искать решениезадачи (17) в виде
/>
1. Рассмотрим решениезадачи (17) с двумя базисными функциями
/>
Тогда решение
/>
Составим невязку
/>
На отрезке [-π, π]выберем за точку коллокации 0.
/>
Таким образом, решениезадачи (17)
/>.
2. Рассмотрим решениезадачи (17) с тремя базисными функциями
/>
Тогда решение
/>
Составим невязку
/>
На отрезке [-π, π]выберем две точки коллокации: 0 и />. Составим систему уравнений
/>
/>
Таким образом, решениезадачи (17)
/>
3. Метод Ритца
Составим функционал поформуле
/>
/> (19)
На отрезке [a, b] выберем систему базисных функций
/>
Будем искать решениезадачи (17) в виде
/>
Подставим /> в (19)
/>
/>
Составим системууравнений относительно с1, с2
/>
Таким образом, решениезадачи (17)
/>
/>
Рис.4- у1(х)-решение,полученное с помощью метода Галеркина (две базисные функции), у2(х)-решение,полученное с помощью метода коллокации (две базисные функции)
/>
Рис.4-у2(х)- решение,полученное с помощью метода Галеркина (три базисные функции), у4(х)- решение,полученное с помощью метода коллокации (три базисные функции), у5(х)- решение,полученное с помощью метода Ритца (три базисные функции)
Замечание: найти решениеметодом Ритца для двух базисных функций не удалось, т.к. функция Ф(с1)не квадратична относительно переменной с1 и не удовлетворяет условиюсуществования экстремума
/>
III. Решение задачи Дирихле
Применяя метод сеток сшагом />,найти решение задачи Дирихле в квадрате с вершинами А(0,0), В(0,1), С(1,1), D(1,0).
/> (20)
1. Метод Либмана
/>
Найдем значения функции />в каждом узле:
На АВ
/>
На ВС
/>
На СD
/>
На АD
/>
/> /> />
Запишем формулу методапоследовательных приближений
/>
Пусть />, тогда получим
/> /> />
/>
Таблица №3i
u1,1
u1,2
u2,1
u2,2 1 2,5 11,4952 7,5 6,4952 2 7,2488 13,744 9,7488 8,744 3 8,3732 15,4934 11,4982 10,4934 4 9,2479 16,21185 12,21665 11,21185 5 9,607125 16,61014 12,61494 11,61014 6 9,806269 16,79952 12,80432 11,79952 7 9,900958 16,89665 12,90145 11,89665
/> />
/> /> />
/> />
/> />
2. Метод Гаусса
Для нахождения точногорешения задачи (20) используем метод Гаусса. Для этого решим систему
линейныйдифференциальный уравнение
/> (20*)
Введем замену
/>
Тогда (20*) перепишем в виде
/>
Решая систему, получим
/>
Таким образом, получим точноерешение задачи (20)
/>
IV. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙСМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ОТРЕЗКЕ
Пусть дано уравнениетеплопроводности и его граничные условия
/> (21)
Решим задачу (21),применяя метод сеток для уравнений параболического типа.
1. Пусть />, тогда l=0,02- шаг по оси t, а h=0,2- шаг по оси x. Решение будем искать в виде
/> (22)
где /> (23)
Получим таблицу:
Таблица №4j
tj/xi 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0,04 0,16 0,36 0,64 1 1 0,02 0,08 0,2 0,4 0,68 0,72 2 0,04 0,1 0,24 0,44 0,56 0,74 3 0,06 0,12 0,27 0,4 0,59 0,61 4 0,08 0,135 0,26 0,43 0,505 0,63 5 0,1 0,13 0,2825 0,3825 0,53 0,5375 j
tj/xi 1,2 1,4 1,6 1,8 2
0,8 0,6 0,4 0,2
1 0,02 0,8 0,6 0,4 0,2
2 0,04 0,66 0,6 0,4 0,2
3 0,06 0,67 0,53 0,4 0,2
4 0,08 0,57 0,535 0,365 0,2
5 0,1 0,5825 0,4675 0,3675 0,1825
2. Пусть />, тогда l=0,015- шаг по оси t, а h=0,3- шаг по оси x. Решение в виде (22) будем искать по формуле
/> (24)
В результате получимтаблицу
Таблица №5j
tj/xi 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2 0,09 0,36 0,81 0,8 0,5 0,2 1 0,015 0,12 0,39 0,733333 0,751667 0,5 0,216667 2 0,03 0,145 0,402222 0,679167 0,706667 0,494722 0,227778 3 0,045 0,163704 0,405509 0,637593 0,666759 0,485556 0,234306 4 0,06 0,176721 0,403889 0,603773 0,631698 0,473881 0,23713 5 0,075 0,185129 0,399342 0,575113 0,600741 0,460725 0,237067
/>
Рис.5- Решение,полученное с помощью метода сеток при
/>
/>
Рис.6- Решение, полученноес помощью метода сеток при
/>
/>
Рис.7- График точногорешения, полученного аналитически
V. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙСМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ НА ОТРЕЗКЕ
Пусть дано волновое уравнениеи его граничные условия
/> (25)
Решим задачу (25), применяяметод сеток для уравнений гиперболического типа.
Заменим производные в(25)
/>
При /> (26)
Пусть />, тогда по формуле (26)получим
Таблица №6j
tj/xi 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 -0,14 -0,26 -0,36 -0,44 -0,5 -0,54 -0,56 1 0,1 -0,14 -0,26 -0,36 -0,44 -0,5 -0,54 -0,56 2 0,2 -0,12 -0,24 -0,34 -0,42 -0,48 -0,52 -0,54 3 0,3 -0,1 -0,2 -0,3 -0,38 -0,44 -0,48 -0,5 4 0,4 -0,08 -0,16 -0,24 -0,32 -0,38 -0,42 -0,44 5 0,5 -0,06 -0,12 -0,18 -0,24 -0,3 -0,34 -0,36 j
tj/xi 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 -0,56 -0,54 -0,5 -0,44 -0,36 -0,26 -0,14 1 0,1 -0,56 -0,54 -0,5 -0,44 -0,36 -0,26 -0,14 2 0,2 -0,54 -0,52 -0,48 -0,42 -0,34 -0,24 -0,12 3 0,3 -0,5 -0,48 -0,44 -0,38 -0,3 -0,2 -0,1 4 0,4 -0,44 -0,42 -0,38 -0,32 -0,24 -0,16 -0,08 5 0,5 -0,36 -0,34 -0,3 -0,24 -0,18 -0,12 -0,06
/>
Рис.7- Решение волновогоуравнения методом сеток при />
/>
Рис.8- График точногорешения, полученного аналитически
VI. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГОУРАВНЕНИЯ
Пусть дано интегральноеуравнение
/> (27)
Будем искать решениеуравнения (27) с помощью метода вырожденных ядер.
Представим ядро/>в виде ряда
/>
Отбросим члены старшепятого порядка
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Пусть />, тогда
/>
Таким образом, решениезадачи (27)
/>
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
/>В данной работе с помощью методов конечно-разностных,центрально разностных отношений и метода прогонки найдено приближенное решениелинейного дифференциального уравнения второго порядка. Сравнение результатовприведено в виде таблиц и графиков.
Найдено приближенноерешение линейного дифференциального уравнения второго порядка с помощью методовГалеркина, Ритца и коллокации. Сравнение результатов приведено в виде таблиц играфиков.
С помощью метода Либмана полученоприближенное решение задачи Дирихле в квадрате. Результаты приведены в видетаблиц.
Методом сеток полученыприближенные решения первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности идля волнового уравнения. Сравнение результатов с аналитическим решением дано ввиде графиков.
Найдено приближенноерешение интегрального уравнения.
Список использованных источников
1. В.Ф. Чудесенко Сборник заданий поспециальным курсам высшей математики. Типовые расчеты: Учебное пособие. 4-еизд., стер.-СПб.: Издательство «Лань», 2007.- 192с.: ил.- (Учебники для вузов.Специальная литература)
2.Вычислительная математика впримерах и задачах. Н. В. Копченова, И. А. Марон. Главная редакцияфизико-математической литературы изд-ва: Наука, М., 1972.
3. Тихонов, Самарский «Уравненияматематической физики», М.: Наука, 1967.