Приложение определенного интеграла к решению задач практического содержания

–PAGE_BREAK–A(b) = A = f(x)dx.

3.2 Интегральное исчисление в геометрии
3.2.1 Вычисление длины дуги плоской кривой
Прямоугольные координаты
Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y = f(x), где a  ≤ x ≤ b. (рис 2)[7]
Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю.
Применим схему I (метод сумм).
1.                Точками X = a, X, …, X = b (X ≤ X≤ … ≤ X) разобьем отрезок [a, b] на n частей. Пусть этим точкам соответствуют точки M = A, M , …, M = B на кривой AB. Проведем хорды MM, MM, …, MM , длины которых обозначим соответственно через ΔL, ΔL, …, ΔL.
 
Получим ломанную MMM … MM, длина которой равна L =  ΔL+ ΔL+ … + ΔL =  ΔL.
2.                Длину хорды (или звена ломанной) ΔL можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами ΔX и ΔY:
ΔL = , где ΔX = X – X, ΔY = f(X) – f(X).
По теореме Лагранжа о конечном приращении функции ΔY = (C) ΔX, где C  (X, X). Поэтому
ΔL =  =  ,
а длина всей ломанной MMM … MM равна
L =  ΔL = .
Длина кривой AB, по определению, равна L = L =  ΔL. Заметим, что при ΔL  0 также и ΔX   0 (ΔL =  и следовательно | ΔX | ). Функция  непрерывна на отрезке [a, b], так как, по условию, непрерывна функция f (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L =  ΔL = , кода  max ΔX   0:
L =  = dx.
Таким образом, L = dx.
Пример: Найти длину окружности радиуса R. (рис 3)[5]
Решение:

Найдем ¼ часть ее длины от точки (0;R) до точки (R;0). Так как y = ,  ¼L =  dx = R arcsin = R .
   

Значит L = 2R.
Полярные координаты
         Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r(),  . Предположим, что r() и r() непрерывны на отрезке [].
         Если в равенствах x = r cos, y = r sin, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол , то кривую AB можно задать параметрически  
Тогда

Поэтому
          =  =
                                                                                    
Применяя формулу L = , получаем
                                               L =
Пример: Найти длину кардиоиды r = a(1 + cos).
[5]    
   

Решение: Кардиоида r = a(1 + cos) симметрична относительно полярной оси. Найдем половину
             (рис 4)                    длины кардиоиды:
½ L =  = a  = a  = 2a cos d = 4a sin = 4a.
3.2.2 Вычисление объема тела
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений
Пусть требуется найти объем Vтела (рис 5), причем известны площади  сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, на­пример оси Ox:S= S(x), a≤  x≤  b [5]
Применим схему II (метод дифференциала).
 
1.                Через произвольную точку x [а; b]проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяю­щейся при изменении x. Через v(x) обозна­чим объем части тела, лежащее левее плос­кости П. Будем считать, что на отрезке [а; x]величина vесть функция от x, т. е. v= у(x) (v(a) = 0, v(b) = V).
2. Находим дифференциал dVфункции v= v(x). Он представляет собой  
“элементарный слой” тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках xи x+ Δx, который при­ближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой      dx. Поэтому дифференциал объема dV= S(х) dх.
2.                Находим искомую величину Vпутем интегрирования dА в пределах от a до b:
V = S(x) dx
Формула объема тела по площади параллельных сечений
Пример: Найти объем эллипсоида  (рис 6)[5]
 
Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости OYZ и на расстоянии х от нее (-a≤  x≤  b.), получим эллипс

Площадь этого эллипса равна S(x) = bc(1 — ). Поэтому, по формуле имеем
V = bc(1 — )dx= abc.
 Объем тела вращения
Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = f(х) ≥ 0, отрезком а ≤ х ≤ bи прямыми х = а и х = b(рис 7). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Oх), есть круг с радиусом у = f(х). Следовательно,
S(x)=y.
Применяя формулу V= S(x) dx объема тела по площади
параллельных сечений, получаем

V = ydx.
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x = (x) ≥ 0 и прямыми x = 0, y = c, y = d (c
d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой V= S(x) dx, равен
V=xdy.
Пример:Найти объем тела, образован­ного вращением фигуры, ограниченной линия­ми у = , x = 0, у = 2 вокруг оси Оу.[5]
Решение: По формуле V=xdy.
 находим:
V = 2ydy = y = 8.
3.2.3Вычисление площади поверхности вращения
Пусть кривая АВ является графиком функции у = f(х) ≥  0, где х  [а;b], а функция у = f(х) и ее производная у’ = f'(х) непрерывны на этом отрезке.
Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох (рис 8).
Применим схему II (метод дифференциала).
1. Через произвольную точку х  [а; b] проведем плос­кость П, перпендикулярную оси Ох. Плоскость П пере­секает поверхность вращения по окружности с радиусом у  –  f(х). Величина S поверхности части фи­гуры вращения, лежащей левее плоскости, является функ­цией от х, т. е. s = s(х) (s(а) = 0 и s(b) = S).
2. Дадим аргументу х приращение Δх = dх. Через точку х + dх  [а; b]также проведем плоскость, перпендику­лярную оси Ох. Функция s = s(х) получит приращение Δs, изображенного на рисунке в виде “пояска”.
Найдем дифференциал площади ds, заменяя образо­ванную между сечениями фигуру усеченным конусом, об­разующая которого равна dl, а радиусы оснований рав­ны у и у + dу. Площадь его боковой поверхности равна ds=  (у + у + dу) • d1 = 2ydl + dydl.Отбрасывая произведение dу d1 как бесконечно малую высшего порядка, чем ds, получаем ds= 2уdl, или, так как d1  = dx.
3.                Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем
S= 2ydx.
Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, то формула для площади поверхности вращения принимает вид
S = 2dt.
Пример: Найти площадь поверхности шара радиуса R.[5]
Решение: Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности y = , -R ≤ x ≤ R, вокруг оси Ox. По формуле S= 2ydx  находим
S = 2 =

3.2.4.1.                 Вычисление площадей плоских фигур
Прямоугольные координаты  
Пусть функция f(х) непрерывна на сегменте [а;b]. Если  f(х )≥0 на [а; b]то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями у =f(х), у = 0, х = а, х = b, равна интегралу

Если же f(x) ≤ 0 на [а; b]то — f(х) ≥ 0 на [а; b]. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции выразится формулой
 или
                           
Если, наконец, кривая y=f(х) пересекает ось Ох, то сегмент [а;b]надо разбить на части, в пределах которых f(х) не меняет знака, и к каждой такой части применить ту из формул, которая ей соот­ветствует.
  Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой y = x2, прямыми х=1, х = 3 и осью Ох (рис 9). [1]
Решение. Пользуясь формулой , нахо­дим искомую площадь
S =
  Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции у = sinх и осью абс­цисс при условии  (рис 10). [1]
Решение. Разбиваем сег­мент [0; ] на два сегмента [0; ] и [; 2]. На первом из них sinx ≥ 0, на втором — sinx ≤ 0. Следовательно, ис­пользуя формулы
 и  , имеем, что искомая площадь

Полярные координаты.
 Пусть требует­ся определить площадь сектора ОАВ, ограниченного лу­чами  = ,  =  и кривой АВ (рис 11), заданной в полярной системе координат уравнением r= r(), где r() — функция, непрерывная на сегменте [; ].
    Разобьем отрезок [; ] на п частей точками  = о1   =  и положим: Δ =  —  k = 1, 2, …, n. Наи­большую из этих разностей обозначим через : = max Δ. Разо­бьем данный сектор на п частей лучами   =  (k=1, 2, …, п — 1). Заменим k-й элементарный сектор круговым сектором радиуса r(), где .
Тогда сумма  – приближенно площадь сектора OAB. Отсюда:

Пример. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кардиоидой г = a(1+соs) (рис 12). [7]
Решение. Учитывая симметричность кривой относительно полярной оси, по формуле  получаем:

3.3 Механические приложение определенного интеграла
3.3.1 Работа переменной силы
Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под дей­ствием переменной силы F= F(х), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b(а bЬ), находится по формуле
A =
Пример.  Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пру-‘—’             жину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?[5]
Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, про­порциональна этому растяжению х, т. е. F= kх, где k— коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F= 100 Н растяги­вает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = k 0,01, откуда k = 10000; следовательно, F=10000х.
Искомая работа на основании формулы A =
 равна
A =
Пример.Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резер­вуара высоты Н м и радиусом основания Rм (рис 13).[5]
Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна р • Н. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова.
Для решения поставленной задачи применим схему II (метод дифференциала). Введем систему координат.
1. Работа, затрачиваемая на выкачивание из резер­вуара слоя жидкости толщиной х (0 ≤ х ≤ Н), есть функция от х, т. е. А = А(х), где  (0 ≤ х ≤ Н)( A(0) = 0, A(H) =  А0).
 2. Находим главную часть приращения ΔA при из­менении х на величину Δх = dx, т. е. находим диффе­ренциал dА функции А(х).
Ввиду малости dх считаем, что “элементарный” слой жидкости находится на одной глубине х (от края резервуара). Тогда dА = dрх, где dр — вес этого слоя; он равен  g АV, где g— ускорение свободногопадения,  — плотность жидкости, dv— объем “элементарного” слоя жидкости (на рисунке он выделен), т. е. dр = g. Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен , где dx— высота цилиндра (слоя),  — площадь его основания, т. е. dv= .
Таким образом, dр =.и
3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н, находим
A
3.3.2 Путь, пройденный телом
Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной ско­ростью v=v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от t до t2.
Решение: Из физического смысла производной известно, что при дви­жении точки в одном направлении “скорость прямолинейного движения
равна производной от пути по времени”, т. е. v(t) = . Отсюда следует, что dS= v(t)dt. Интегрируя полученное равенство в пределах от t до t,
получаем S =
Пример.Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t)= 10t+ 2 (м/с).[5]
Решение: Если v(t) = 10t + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от на­чала движения (t= 0) до конца 4-й секунды, равен
S =
3.3.3 Давление жидкости на вертикальную пластинку
По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а вы­сотой — глубину ее погружения от свободной поверхности жидкости, т. е. Р =g, где g— ускорение свободного падения,  — плотность жидкости, S — площадь пластинки, h— глубина ее погружения.
По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глу­бинах.
Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная ли­ниями х = а, х = b, y и y. Для нахождения давления Р жидкости на эту пластину применим схему II (метод дифференциала).

1. Пусть часть искомой величины Р есть функция от х: р = р(х), т. е. р = р(х) — да­вление на часть пластины, соответствующее от­резку [а; b]значений переменной х, где х  [a; b] (р(a) = 0, р(b) = Р).
  2. Дадим аргументу х приращение Δx = dх. Функция р(х) получит приращение Δр (на рисун­ке — полоска-слой толщины dх). Найдем диффе­ренциал dр этой функции. Ввиду малости dх бу­дем приближенно считать полоску прямоуголь­ником, все точки которого находятся на одной глубине х, т. е. пластинка эта — горизонталь­ная.
Тогда по закону Паскаля dр =.
    продолжение
–PAGE_BREAK–