ВСЕРОССИЙСКИЙЗАОЧНЫЙ ФИНАСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Филиалв г. Брянске
Контрольная РАБОТА
подисциплине
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕМЕТОДЫ И ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ
Вариант№2
Брянск– 2009
ЗАДАЧА 1
Задача о раскрое
1. В обработку поступилидве партии досок для изготовления комплектов из трех деталей (треугольныекаркасы настилов на стройплощадку), причем первая партия содержит 52 доскидлиной по 6,5 м каждая, вторая содержит 200 досок длиной по 4 м каждая. Каждыйкомплект состоит из двух деталей по 2 м каждая и одной детали в 1,25 м.
Ставится задача поискарационального варианта раскроя поступившегов обработку материала.
Решение:
Безусловно, в этой задаче о раскроекритерий оптимальности – «максимум выпуска (реализации) комплектной продукции».Построим возможные способы раскроя исходного материала, с этой целью составимтаблицу: Доска 6,5 м Доска 4 м 2,0 м 1,25 м Отходы 2,0 м 1,25 м Отходы
х11(у1) 2 2
х21(у5) 2
х12(у2) 1 3 0,75
х22(у6) 1 1 0,75
х13(у3) 5 0,25
х23(у7) 3 0,25
х14(у4) 3 0,5
Введем необходимые обозначения: хij – число досок из i-йпартии (i=1,2), которое следует раскроить j-м способом.
Рассмотрим соотношения:
/>
/>.
Обозначим через Z-минимальноеиз этих соотношений (это и будет количество комплектной продукции).Следовательно, экономико-математическая модель примет вид:
/>,
/>,
/>,
/>,
xij,Z – целые неотрицательные.
Для удобства записи заменимдвухиндексные переменные xij, и Z на одноиндексные переменные yjтак как это показано в таблице раскроя (Z=y8). ЭММ задачи будет иметь вид:
/>
при ограничениях:
/>
/>
/>
/>
yj,j=1,8 – целые неотрицательные.
В табл.1 приведеныуказания на ячейки-формулы.
Таблица 1 — Формулы рабочей таблицыЯчейка Формула
I7 =СУММПРОИЗВ(B4:I4;B5:I5)
J9 =СУММПРОИЗВ(B$4:I$4;B9:I9)
J10 =СУММПРОИЗВ(B$4:I$4;B10:I10)
J11 =СУММПРОИЗВ(B$4:I$4;B11:I11)
J12 =СУММПРОИЗВ(B$4:I$4;B12:I12)
Реализуя приведенную модель, получимрешение:
/>
(оптимальные значения остальныхпеременных равны нулю).
Следовательно, в данной хозяйственнойситуации максимальное количество наборов, равное 215 шт. можно изготовить иреализовать, если:
— раскроить каждую из 15 досок длиной6,5 м на 2 детали по 2 м и 2 детали по 1,25 м;
— раскроить каждую из 37 досок длиной 6,5м на 5 деталей по 1,25 м;
— раскроить каждую из 200 досок длиной4 м на 2 детали по 2 м.
В этом случае мы получим максимальнуювыручку.
ЗАДАЧА 2
Транспортная задача
Компания, занимающаясяремонтом автомобильных дорог, в следующем месяце будет проводить ремонтныеработы на пяти участках автодорог. Песок на участки ремонтных работ можетдоставляться из трех карьеров, месячные объемы предложений по карьерамизвестны. Из планов производства ремонтных работ известны месячные объемыпотребностей по участкам работ. Имеются экономические оценки транспортных затрат(в у.е.) на перевозку 1 тонны песка с карьеров на ремонтные участки.
Числовые данные для решения содержатся ниже в матрице планирования.
Требуется:
1. Предложить план перевозок песка на участки ремонта автодорог, которыйобеспечивает минимальные совокупные транспортные издержки.
2. Определить, что произойдет с оптимальным планом, если изменятся условияперевозок: а) появится запрет на перевозки от первого карьера до второгоучастка работ; б) по этой коммуникации будет ограничен объем перевозок 3тоннами.
Матрица планирования:
Участок работ
Карьер
В1
В2
В3
В4
В5
Предложение
А1 3 3 5 3 1 500
А2 4 3 2 4 5 300
А3 3 7 5 4 1 100 Потребности 150 350 200 100 100
Решение:
1. Данная задача являетсятранспортной задачей линейного программирования, закрытой моделью.
1) Создадим формудля решения задачи, т.е. создадим матрицу перевозок. Для этого необходимовыполнить резервирование изменяемых ячеек: в блок ячеек В3:F5 вводится «1». Таким образом, резервируется место, гдепосле решения задачи будет находиться распределение перевозок песка на участкиремонта автодорог, обеспечивающее минимальные совокупные транспортные издержки.
2) Введем граничныеусловия.
Введение условия реализации предложения:
/>,
где />-предложение i-ого карьера;
/>-объем перевозки песка от i-ого карьера к j-ому участку работ;
n –количество участков работ.
Для этого просуммируем ячейки B3:F3; B4:F4; B5:F5, поместив результатв ячейки А3; А4; А5 соответственно.
Введение условия потребностей участковработ:
/>,
где b — потребности j-ого участка работ;
m — количество карьеров.
Для этого просуммируем ячейки В3: В5;С3: С5; D3:D5;E3:E5; F3:F5, поместив результатыв ячейки B6; C6; D6; E6; F6 соответственно.
3) Введем исходныеданные.
В ячейки А11: А13 введемпредложение по карьерам, в B10:F10 потребности по участкам работ, а также удельныезатраты по перевозке песка из карьера на участок работ (ячейки B11:F13) (см. рис.1)./>
/>
Рис. 1 — Ввод исходных данных играничных условий
4) Назначим целевую функцию.
Для вычисления значения целевойфункции, соответствующей минимальным суммарным затратам на перевозку,необходимо зарезервировать ячейку и ввести формулу для ее вычисления:
/>,
где />-стоимость доставки 1т песка от i-ого карьера кj-ому участку работ;
/>-объем поставки песка от i-ого карьера к j-ому участку работ.
Для этого в ячейку В15 вставимфункцию: СУММ ПРОИЗВ (B11:F13;B3:F5).
5) Введем зависимости из математическоймодели. Для этого в окне Поиск решения установим целевую ячейку $B$15, установим направление изменения целевой функции, равное«минимальному значению», введем адреса изменяемых ячеек $B$3:$F$5, добавим ограничения: $A$3:$A$5=$A$11:$A$13;$B$6:$F$6=$B$10:$F$10 (см. рис.2)./>
/>
Рис. 2 — Ввод зависимостей изматематической модели
6) Введем ограничения. Для этого в окнеПараметры поиска решения установим Линейная модельи Неотрицательные значения. Затем выполним поиск решения, нажав Выполнить(см. рис.3). />
/>
Рис. 3 — Установление параметровзадачи
7) Просмотрим результаты и выведем отчет.
Таким образом, план перевозок приметвид:
— с 1-го карьера на 1-ый участокремонта в объеме 150 ед., на 2-ой в объеме 250 ед. и на 4-ый в объеме 100 ед. (условных);
— с 2-го карьера на 2-ой участокремонта в объеме 100 ед. и на 3-ий в объеме 200 ед. (условных);
— с 3-его карьера на 5-ый участок ремонтав объеме 100 ед. (условных).
Совокупные минимальные транспортныеиздержки составят 2300 у.е.
а) Если появится запрет на перевозки от первого карьера довторого участка работ, то зависимости модели и решение задачи будут выглядетьследующим образом (см. рис.4,5):
/>
Рис. 4 — Ввод зависимостей изматематической модели
/>
Рис. 5 — Результаты решения
Таким образом, план перевозок приметвид:
— с 1-го карьера на 1-ый участокремонта в объеме 150 ед., на 3-ий в объеме 150 ед., на 4-ый в объеме 100 ед. ина 5-ый участок 100 ед. (условных);
— с 2-го карьера на 2-ой участокремонта в объеме 300 ед. (условных);
— с 3-его карьера на 2-ой участокремонта в объеме 50 ед. и на 3-ий участок ремонта 50 ед. (условных).
Совокупные минимальные транспортныеиздержки составят 3100 у.е.
Отчет по результатам транспортной задачи имеет вид (см. рис.6):
/>
Рис. 6 — Отчет по результатамтранспортной задачи
б) Если по коммуникации от первого карьера до второгоучастка работ будет ограничен объем перевозок 3 тоннами, то зависимости моделии решение задачи примет вид (см. рис.7):
/>
Рис. 7 — Вводзависимостей из математической модели
Таким образом,план перевозок примет вид:
— с 1-го карьера на 1-ый участокремонта в объеме 150 ед., на 2-ой в объеме 3 ед., на 3-ий участок 147 ед., на4-ый в объеме 100 ед. и на 5-ый участок 100 ед. (условных);
— с 2-го карьера на 2-ой участокремонта в объеме 300 ед. (условных);
— с 3-его карьера на 2-ой участокремонта в объеме 47 ед. и на 3-ий участок ремонта 53 ед. (условных).
Совокупные минимальные транспортныеиздержки составят 3088 у.е.