/>/>/>Кыргызский ГосударственныйНациональный Университет
/>
Курсовая работа
по предмету:“Моделирование”
Тема: Применениеновейших экономико-математических методов для решения задач.
Группа: КИС-2-97
Выполнил: РогачёвМаксим
Проверил: проф.БабакВ.Ф.
Бишкек – 2000
Содержание
Предисловие… 3
Глава№1. Подбор параметра… 4
1.1 Нелинейные алгебраические уравнения… 4
Задание #1… 4
1.2 Системы двух нелинейных алгебраическихуравнений… 6
Задание #2… 6
Глава №2 Матричная алгебра… 7
2.1 Сложение матриц… 7
Задание #3… 7
2.2 Транспонирование матрицы… 8
2.4 Вычисление обратной матрицы… 9
Задание #4… 9
2.4 Умножение матриц… 10
2.5 Умножение матрицы на число… 11
2.6 Сложение матриц… 11
2.7 Вычисление определителя матрицы… 12
2.8 Системы линейных алгебраических уравнений… 13
Задание #5… 13
Глава №3 Поиск решения…… 14
3.1 Оптимизация… 14
3.2 Условный экстремум… 15
Задание №6… 15
3.3 Математическое программирование… 16
3.3.1 Линейное программирование… 17
Задание #7… 17
Задание #8… 18
Задание #9… 19
3.5 Системы нелинейных алгебраическихуравнений… 20
Задание #12… 20
Список литературы… 23Предисловие
В данной курсовойработе, целью которой является изучить и научиться пользоваться важнойсоставной частью MS Excel, такой как Вставка формул,Подбор параметра, Поиск решения, все эти функции MS Excelоблегчают задачу математикам, бухгалтерам и специалистам в различных областях.Так же мы более глубже знакомимся со стандартными функциями MSExcel. Курсовая работа написана и структурирована таким образом, чтобыеё можно было использовать в качестве методического пособия для изучениянекоторых функций MS Excel. В работе показан каждый шагпо выполнению каждой из функций, который так же иллюстрируется примером,который наглядно показывает решение определенных задач.
Специалист длякоторого MS Excel является именно тем средством котороепозволяет облегчить и ускорить его работу, должен знать и уметь использовать вповседневной работе новейшие экономико-математические методы и модели,предлагаемые новыми прикладными программами.
Традиционный способизучения экономико-математических методов заключается не только в определенииих назначения и сути, но и в освоении техники реализации, причем, чтобы сделатьдоступной «ручную» реализацию, объем обрабатываемых данных приходитсямаксимально сокращать, что, с одной стороны, часто удаляет построенную модельот реальной жизни, а с другой – снижает эффективность применения изучаемыхметодов.
Использованиекомпьютерных технологий освобождает от рутинной вычислительной работы пореализации математических методов и позволяет сконцентрировать внимание не наалгоритме вычисления, а непосредственно на анализе результатов моделирования,что заметно повышает «коэффициент полезного действия» затраченного времени.Совершенно очевидно, что эффективность изучения предмета становится существенновыше, если есть возможность быстро «проиграть» варианты моделей, изменить ихпараметры, сравнить в числовой и графической форме результаты исследований.
Итак мы вступаем в этап, когда стоящие перед нами проблемы невозможно решить без
применения компьютера. Я не испытываю страха перед компьютером.Меня страшит их отсутствие./>/>/> Глава№1. Подбор параметра…/>1.1 Нелинейные алгебраические уравненияЗадание#1
При моделированииэкономических ситуаций часто приходится решать уравнения вида:
f(x,p1,p2,…,pn)=0 (1)
где f – заданная функция, x — неизвестная переменная, p1,p2,…,pn – параметры модели.
Решение таких уравнений может быть каксамостоятельной задачей, так и частью более сложных задач. Как правило,исследователя интересует поведение решения в зависимости от параметров pk, k=1,n.
Решениями или корнями уравнения (1) называюттакие значения переменной x, которые приподстановке в уравнение обращают его в тождество.
Только для линейных или простейших нелинейныхуравнений удается найти решение в аналитической форме, т.е. записать формулу,выражающую искомую величину x в явном виде черезпараметры.
В большинстве же случаев приходится решатьуравнение (1) численными методами, в которых процедура решения задается в видемногократного применения некоторого алгоритма. Полученное решение всегдаявляется приближенным, хотя может быть сколь угодно близко к точному.
Рассмотрим последовательность действий дляполучения решения нелинейного уравнения в среде электронной таблицы.
Пусть надо решить уравнение вида:
/> (2)
Сформируем лист электронной таблицы, как показано на рис.1.
/>
рис.1.
Уравнение (2) запишем в клетку С5, начиная со знакаравенства, а вместо переменной x укажем адресклетки В5, которая содержит значение начального приближения решения.
Метод, применяемый в EXCELдля решения таких уравнений – модифицированный конечными разностями методНьютона, который позволяет не сильно заботиться о начальном приближении, какэтого требуют другие численные методы решения уравнений. Единственно, чтоследует учесть – это то, что будет найдено решение ближайшее к выбранномуначальному приближению.
Для получения решения уравнения (2) надовыполнить следующую последовательность действий:
1. Выполнитькоманду Сервис/Подбор параметра… (получим лист электронной таблицы, какпоказано на рис.2)
2. Заполнитьдиалоговое окно Подбор параметра…:
2.1 Кликнуть левойклавишей мыши в поле Установить в ячейке, после появления в нем курсора,переместить указатель мыши и кликнуть на клетке с формулой, в нашем случае этоклетка С5, абсолютный адрес которой $C$5 появится вполе;
2.2 /> />
В поле Значение: ввести значение правой части уравнения (2), в нашемслучае это значение равно1.
рис.2.
2.3 В поле Изменяязначение ячейки: ввести адрес клетки где задано начальное приближениерешения, в нашем случае это клетка В5./> />
После выполнения пунктов 1-2 страница электронной таблицы будет выглядеть так,как показано на рис.3.
рис.3./> />
После нажатия на кнопке ОК появится окно Результат ПодбораПараметра, в котором дается информация о том, найдено ли решение, чемуравно и какова точность полученного решения. Для нашего примера РезультатПодбора Параметра показан на рис.4. При значении аргумента 126,8856472функция, стоящая в левой части уравнения (2) равна 0,999007196. Достигнутаяточность удовлетворяет.
рис.4.
Если полученные значенияследует отразить на листе электронной таблицы, то надо кликнуть на кнопке ОК,если же нет – то на кнопку Отмена. В первом случае найденные значениязафиксируются в клетках В5 и С5./> />
Численные методы решения хороши тем, что можно получить приближенноерешение с заданной точностью. EXCEL имеет возможностьуправлять выбором точности. Для этого надо выполнить команду Сервис/Параметры/Вычисленияи в соответствующих полях установить значения относительной погрешности иколичества итераций(рис.5.).
рис.5./>1.2 Системы двухнелинейных алгебраических уравнений.Задание#2
Вышеизложенный способполучения решения уравнения может быть легко распространен для случая решениясистемы двух уравнений с двумя неизвестными, если система имеет следующий вид:
/> Y=Ф(x)
Y=Ψ(x) (3)
Преобразуем систему (3) в одноуравнение вида (4):
Ф(x)-Ψ(x)=0 (4)
Полученное уравнение уже можнорешить с помощью Подбор параметра… так как это было описано выше.
Рассмотрим нахождениеравновесной цены и объема продаж для рынка некоторого товара.
Пусть функция спросана товар имеет вид Qd=80e-0.05p-20,0≤p≤30, а функцияпредложения Qs=12p-3e0.02p, 0≤p≤30.
Найти равновесные цену и объем, построитьграфики спроса и предложения. Имеющуюся систему уравнений
/>Qd=80e-0.05p-20
Qs=12p-3e0.02p
преобразуем в одно уравнение вида 80e-0.05p-20- 12p+3e0.02p=0.
Подбор параметра… описаннымвыше, находим равновесную цену, она равна 4,049213, подставив это значение в одно из уравнений системы.Получим и значение равновесного объема — 45,33749. Для построения графика, иллюстрирующего ситуациюравновесия спроса и предложения на рынке, воспользуемся знанием равновеснойцены и возьмем значения в некоторой окрестности от нее. Получим следующуюиллюстрацию решения задачи о равновесии на рынке (рис.6.).
/>
рис.6./>/>/>/>Глава№2 Матричная алгебра
Матричная алгебра тесно связана с линейнымифункциями и с линейными ограничениями, в связи, с чем находит себе применение вразличных экономических задачах:
· в эконометрике, для оценки параметров множественных линейныхрегрессий;
· при решении задач линейного программирования;
· при макроэкономическом программировании и т.д.
Особое отношение к матричной алгебре в экономике появилосьпосле создания моделей типа «Затраты-Выпуск», где с помощью матрицтехнологических коэффициентов объясняется уровень производства в каждой отрасличерез связь с соответствующими уровнями во всех прочих отраслях.
Электронная таблица EXCELимеет ряд встроенных функций для работы с матрицами:
ТРАНСП – транспонирование исходной матрицы;
МОПРЕД – вычисление определителя квадратнойматрицы;
МОБР – вычисление матрицы обратной к данной;
МУМНОЖ – нахождение матрицы, являющейсяпроизведением двух матриц.
Кроме того, возможно выполнение операцийпоэлементного сложения (вычитания) двух матриц и умножения (деления) матрицы начисло.
На примере проиллюстрируем некоторые из этихфункций. Найдем сумму двух матриц А(5*4) и В(5*4) и транспонируемматрицу-результат./>2.1 Сложение матрицЗадание#3
Для сложения двух матриц одинаковой размерностиследует выполнить следующую последовательность действий:
1. Задатьдве исходных матрицы.
2. Отметитьместо для матрицы-результата.
3. />
В выделенном месте под результат поставить знак равенства и записать сумму так,как показано на рис.7.
рис.7.
4. Завершить выполнение работы нажатием клавиш Shift/Ctrl/Enter (рис.8.)
/>
рис.8./>2.2 Транспонированиематрицы
Работу с матричной функцией ТРАНСП следует выполнятьв следующем порядке:
1. Задатьисходную матрицу.
2. Отметитьместо для матрицы-результата.
3. Обратитьсяк мастеру функций, найти функцию ТРАНСП и выполнить постановку задачи(рис.9.).
/>
рис.9.
4. Завершить выполнение работы нажатием клавиш Shift/Ctrl/Enter (рис.10.) .
/>
рис.10.
/>2.4Вычисление обратной матрицыЗадание#4
Теперь найдем матричное выражение: Y=(FH-1)/29+K.Посчитаем определитель полученной матрицы. Поиск решения разобьем на ряд шагов:
1.Найдем матрицу обратную к матрице Н.
2.Умножим матрицы F и H-1.
3.Результат поделим на 29.
4.Сложим полученную матрицу с матрицей К.
5.Найдем определитель полученнойматрицы.
Работу с матричной функцией МОПРЕДследует выполнять в следующем порядке:
1.Задать исходную матрицу.
2.Отметить место для матрицы-результата./> />
3.Обратиться к мастеру функций, найти функцию МОПРЕД и выполнитьпостановку задачи (рис.11.).
рис.11.
5. Завершить выполнение работы нажатием клавиш Shift/Ctrl/Enter (рис.12.) .
/>
рис.12. 2.4 Умножение матриц
Надо умножить матрицыН-1 и F. Это умножениевозможно, так как число столбцов матрицы Н-1 совпадает счислом строк матрицы F.
Выполним следующуюпоследовательность действий:
1. Зададим матрицу F.
2. Отметим место под матрицу-результат.
3. Обратимся к мастеру функций, найдем функцию МУМНОЖ и выполнимпостановку задачи так, как показано на рис.13. H-1
/>
рис.13.
В качествемассива 1 указываем диапазон адресов матрицы Н-1, а вкачестве массива 2 – диапазон адресов матрицы F.Для получения результата нажмем одновременно клавиши Shift/Ctrl/Enter(рис.14.).
/>
рис.14./>2.5 Умножение матрицына число
Для умножения матрицына число следует выполнить следующие действия:
1. Задать исходную матрицу.
2. Отметить место для матрицы-результата.
3. /> />
В выделенном под результат месте электронной таблицы записать произведение так,как показано на рис.15.
рис.15.
4. /> />
Завершить выполнение работы нажатием клавиш Shift/Ctrl/Enter(рис.16.).
рис.16./>2.6 Сложение матриц
Для сложения двух матриц одинаковой размерностиследует выполнить следующую последовательность действий:
1.Задать две исходные матрицы.
2.Отметить место для матрицы-результата./> />
3.В выделенном под результат месте электронной таблицы записать сумму так, какпоказано на рис.17.
рис.17./> />
4.Завершить выполнение работы нажатием клавиш Shift/Ctrl/Enter(рис.18.).
рис.18./>2.7 Вычислениеопределителя матрицы
Для вычисления определителя матрицы сформируемлист электронной таблицы:
1.Определим исходную матрицу.
2.Определим место под результат.
3.Обратимся к мастеру функций, найдем функцию МОПРЕД, выполним постановку задачи (рис.19.).
/>
рис.19./> />
4.Щелкнув по кнопке ОК, получим значение определителя (рис.20.).
рис.20. 2.8 Системы линейныхалгебраических уравненийЗадание#5
Решение системлинейных алгебраических уравнений всегда занимало математиков и для их решениябыло разработано немало численных методов, подразделяющихся на прямые иитерационные.
В EXCELзадача получения решения СЛАУ решается с помощью вышеописанных матричныхфункций, для чего исходную систему надо представить в виде матричногоуравнения.
Рассмотримпоследовательность действий для получения решения СЛАУ на конкретном примере.
/> -12X1+12X2+23X3+6X4=120
-3X1+0.3X2-3X3+X4=-25
-67X1-3X2-51X3-73X4=536 (5)
-91X1-6X2+4X3-13X4=-316
Для того, чтобысистема (5) имела единственное решение необходимо и достаточно, чтобыопределитель системы, составленный из коэффициентов при переменных Х1,Х2, Х3, Х4, не был равен нулю.
Рассчитаемопределитель системы, пользуясь функцией МОПРЕД (рис.21.). Рассчитанноезначение определителя системы равно –12. Оно не равно нулю и, следовательно,можно продолжать процесс поиска решения.
Из линейной алгебрыизвестна матричная запись системы уравнений и матричное представление решения.Перепишем систему (5) в виде
АХ=В, где/>/>
-12 12 23 6
— матрица коэффициентов при неизвестных -3 0,3 -3 1
-67 -3 -51 -73
-91 -6 4 -13
/>/>
Х1
— вектор столбец неизвестных
Х= Х2
Х3
Х4/> /> /> /> /> /> /> /> />
В= 120
/>-25
536
-316
А= тогда матричное решение уравнения выглядит так:
Х=А-1В,где А-1 – матрица обратная к исходной.
/>
рис.21.
Результат, указанныйна рис.21 можно получить, выполнив следующие действия:
1.Вычислить определитель ивыяснить, имеет ли система единственное решение.
2.Вычислить матрицу обратную кисходной.
3.Найти произведение обратнойматрицы и вектор столбца свободных членов./>/>/>/>Глава№3 Поиск решения…/>3.1 Оптимизация
Почти любую ситуацию,встречающуюся в личной, деловой или общественной жизни можно охарактеризоватькак ситуацию принятия решения. Для задач принятия существенными являютсяследующие общие элементы:
1. Множества переменных и параметров. В их число входят:
· множество разрешающих или эндогенных переменных, значениякоторых рассчитываются лицом, принимающим решение
· множество внешних или экзогенных переменных, значениякоторых не контролируются лицом, принимающим решение
· множество параметров, которые так же не контролируются исчитаются в условиях задачи вполне определенными.
2. Модель – множество соотношений, связывающих все переменные ипараметры.
3. Целевая функция – функция, значение которой зависит от значенийэндогенных переменных. Эта функция позволяет лицу, принимающему решенияоценивать варианты.
4. Численные методы – методы, с помощью которых можно систематическиоценивать результаты различных решений.
Получениерешения на модели, в конечном итоге, сводится к математической задаченахождения некоторых вещественных значений эндогенных переменных, которыеоптимизируют целевую функцию.
Если донедавнего времени все четыре перечисленные выше элемента ложились на лицопринимающее решение, то теперь умение пользоваться встроенными функциями EXCEL снимает наиболее утомительный пункт, а именно,применения численных методов, и делает исследование задач принятия решенийболее эффективными, так как теперь для решения одной и той же задачи можнобыстро просмотреть различного вида постановки, в том числе и отличающиеся другот друга по структуре./>3.2 Условный экстремумЗадание№6
EXCELобладает мощным встроенным средством для нахождения экстремальных значенийфункции одной или нескольких переменных. Для одно-экстремальных функций можнонайти безусловный глобальный экстремум. Для многоэкстремальных функций можнонайти условный локальный экстремум.
Для функций однойпеременной поиск экстремума возможен как на всей числовой оси, так и нанекотором интервале. Поиск на интервале уже можно считать поиском условногоэкстремума функции, т.к. появляются ограничения на изменение значенийаргумента.
Рассмотрим приметпоиска условного экстремума функции.
Найти минимум и максимум функции Y=X5 (6)
на интервале[-1,1] и построить график.
График функции показан нарис.2.2.
Для поиска условногоэкстремума функции сформируем лист электронной таблицы, как показано на рис.2.3. Функцию (6) запишем в клетку А2, где вместо переменной Х следует указатьадрес ячейки А1, которая содержит начальное приближение экстремума.
/>
рис.22.
Для поиска минимумаследует выполнить следующую последовательность действий:
1. /> />
Выполнить команду Сервис/Подбор параметра… (получимлист электронной таблицы, как показано на рис.23).
рис. 2.3
2. /> />
Заполнить диалоговое окно (рис.2.4).
рис. 2.4
2.1 Кликнутьлевой клавишей мыши в поле, переместить указатель мыши и кликнуть на ячейке сформулой.
2.2 Выбратьполе Min.
2.3 Вполе ввести адреса ячеек, значения которых будут варьироваться в процессепоиска решения. В нашем случае это клетка А1.
2.4 Кликнутьлевой клавишей мыши в поле и затем на кнопке Добавить, откроемдиалоговое окно (рис.2.2), которое заполняем, так как показано на рисунке. Также добавляем второе ограничение.
После щелчкана кнопке ОК получим решение поставленной задачи. В клетке А1 находитсязначение переменной Х равное, при котором функция (6) достигает минимальногозначения на интервале [-1,1].
Для поискамаксимума следует выполнить ту же последовательность действий, выбрав при этомполе Max. Функция (6) достигает максимальногозначения на интервале при значении переменной, равном (рис.26)./>3.3 Математическоепрограммирование
Анализируявозможности, можно заметить, что он применим для решения достаточно широкогокласса задач математического программирования.
Если задачу принятиярешений в области управления можно сформулировать в виде оптимизациивещественной функции n неотрицательных вещественныхпеременных подчиненных m произвольным ограничениям:
max f(x1,x2,…,xn)
при
g1 (x1,x2,…,xn)≤0
g2 (x1,x2,…,xn)≤0
…….
g3 (x1,x2,…,xn)≤0
то позволяет найти решение такойзадачи, которая в формальной подстановке может быть задачей:
1.линейного программирования(когда целевая функция и все ограничения — линейны)
2.нелинейного программирования(когда, либо целевая функция, либо хотя бы одно из ограничений — нелинейны)
3.целочисленного программирования(когда ограничение целочисленности налагается на все переменные)
4.частично целочисленногопрограммирования (когда ограничение целочисленности налагается на частьпеременных)/>3.3.1Линейное программированиеЗадание #7
Решить задачу линейногопрограммирования с помощью Поиска решения…, показать графически областьдопустимых решений и целевую функцию. Найдем максимум функции F= -2×1+ 2×2→maxпри ограничениях:
x1+ x2≥1
-5×1+ x2≥0,3
x1– x2≤1
x1+ x2≤6
x1≥0
x2≥0./> />
Сформируем страницу электронной таблицы и постановку задачи линейногопрограммирования в диалоговом окне Поиск решения…
рис3.3/> />
После выполнения поставленной задачи получаем следующие значенияпеременных.
рис 3.4
Как видим, при найденныхзначениях х1, х2 целевая функция принимает минимальноезначение равное 2 и этому удовлетворяют все ограничения поставленной задачи./> />
Графическое решение поставленной задачи выглядит так (рис. 3.5):
рис. 3.5/>Задание #8
Авиакомпания МОГОЛ позаказу армии должна перевезти на некотором участке 700 человек. В распоряжениикомпании имеется два типа самолетов, которые можно использовать для перевозки.Самолет первого типа перевозит 30 пассажиров и имеет экипаж 3 человека, второготипа – 65 и 5 соответственно.
Эксплуатация 1 самолета первоготипа обойдется 5000$ , а второго 9000$. Сколько надо использоватьсамолетов каждого типа, если для формирования экипажей имеется не более 60человек.
Для начала, обозначимпеременные: пусть X1 – это оптимальноеколичество самолетов первого типа, X2 –оптимальное количества самолетов второго типа. Очевидно, что стоимостьэксплуатации самолетов должна быть минимальной. Следовательно,
5000X1+ 9000X2→min
Теперь определим ограничения.Для формирования экипажей имеется не более 60 человек, следовательно:
3X1+5X2
Пассажиров надо перевезти не менее 700 человек,следовательно:
30X1+65X2>=700
/>
Сформируем страницу электронной таблицы и постановку задачилинейного программирования в диалоговом окне:/> />
После выполнения поставленной задачи получаем следующие значенияпеременных. Как показано на рис 3.6
Рис 3.6
Т.е. нам необходимо примерно (X1=8) 8 самолётовпервого класса и (X2=6) 6 самолётов второго класса, для перевозкипассажиров. Задание #9
Решим еще одну задачу с помощью Подборпараметра…. Найдем максимум функции
F=2×1-x2+x3®max
При ограничениях:
-x1-3×2+x3≥-5
x1+2×2+x3≤7
x1+x2+2×3≤3
x1≥0
x2,≥0
x3≥0/> />
Сформируем страницу электронной таблицы и постановку задачилинейного программирования в диалоговом окне Подбор параметра …
Рис 4.4
/>
рис 4.5
После выполнения поставленной задачи получаемследующие значения переменных:
/>
рис 4.6
Как видим, принайденных значениях целевая x1, x2, x3 функцияпринимает максимальное значение равное 6 и при этом удовлетворяются всеограничения поставленной задачи./>3.5 Системы нелинейных алгебраических уравненийЗадание #12
В начале рассматривался способ решения системдвух нелинейных алгебраических уравнений, имеющих специальный вид, которыйпозволяет привести их к одному уравнению и решать это уравнение с помощьюкоманды Подбор параметра…. Такой способ сильносужает область систем нелинейных уравнений, подлежащих решению, так как невсегда явно можно выразить одну переменную через другую. Кроме того, с егопомощью нельзя решать системы, состоящие из более чем двух уравнений.
Команда Сервис/Подборпараметра… обладает широким спектром функций, одна из которыхпозволяет сконструировать постановку задачи для решения систем нелинейныхалгебраических уравнений. В качестве примера рассмотрим решение системы уравнений:
/> 2А3+АВС+5А2=124
12В+2А=8
3С+4АС= -6
Сформируем лист электронной таблицы какпоказано на рис 5.5.
/>
рис 5.5
Систему уравнений разместим в клетках А6, А7, А8, а вместопеременных А, В, С укажем адреса клеток А3, В3 и С3 соответственно, которыесодержат приближенные значения переменных./> />
Для решения системы уравнений следует выполнить команду и заполнить диалоговыеокна, как показано на рис 5.6.
рис 5.6
В такой постановке одно из уравнений системы(любое) выступает как целевая функция, а два других как ограничения. Послещелчка на кнопке ОК в клетках А3, В3 и С3 получим решение системыуравнений (рис 5.7).
/>
рис 5.7
Таким образом получаем, что решениями системыуравнений являются следующие значения: А=3,28 В=0,12 иС=-0,37.
Здесь, как и в ранееприведенных примерах, большое значение имеет выбор начального приближения,который может обусловить не только нахождение разных решений, но и необеспечить нахождения ни одного. Это еще раз говорит о необходимоститщательного выбора начального приближения решения. Что можно сделать исходя изкосвенных знаний об области расположения интересующего нас решения или владеяметодами отделения корней.Список литературы
1. “ Microsoft Office 97“, Эд Ботт,БИНОМ, Москва, 1998 год.
2. “ Microsoft Excel 2000 в подлиннике“, БХВ — Санкт-Петербург,
1999 год.