ФЕДЕРАЛЬНОЕАГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЛИАЛ В Г. ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОМ
Специальность«Финансы и кредит»
Контрольнаяработа по эконометрике
Вариант № 14
Железнодорожный2009
Задание 1.2
Задача 1.
Найти среднее числогосударственных вузов, если статистические данные таковы:Годы 1994 1995 1996 1997 1998 Кол-во ВУЗов 548 553 569 573 578
Найти: х — ?
Решение:
1. Определим кол-вонаблюдений: n = 5
2. Запишем формулу:
х = 1 / n Σ ni= 1 * x i
3. x = (1*( 548 + 553 + 569 + 573 + 578))/ 5 = 2821 / 5 = 564,2
Ответ: 564,2
Задача 2.
Рассчитать ковариациюмежду 2-мя рядами:Поголовье КРС (млн.т) 57 54,7 52,2 48,9 43,3 39,7 35,1 Пр-во молока (тыс.т) 1,49 1,38 1,29 1,1 0,99 0,9 0,88
Найти: Cov — ?
Решение:
1. Определим кол-вонаблюдений: n = 7
2. Определимвыборочное среднее для скота:
х = (1 * (57 + 54,7 +52,2 + 48,9 + 43,3 + 39,7 + 35,1)) / 7 = 330,9 / 7 = 47,271
3. Определимвыборочное среднее для молока:
y = (1 *(1,49 +1,38 + 1,29 + 1,1 + 0,99 + 0,9 + 0,88 ))/ 7 = 8,03 / 7 = 1,147
4. Запишем формулудля определения ковариации:
Cov (x;y) = 1/nΣ ni = 1 (xi — x)(yi — y)
5. Вычислимковариацию:
Cov (x;y) = [1*((57-47,271)*(1,49-1,147)+(54,7-47,271)*(1,38-1,147)+(52,2-47,271)*(1,29-1,147)+(48,9-47,271)*(1,1-1,147)+(43,3-47,271)*(0,99-1,147)+ (39,7-47,271)*(0,9-1,147)+(35,1-47,271)*(0,88-1,147)) ]/7 = 11,439/7 = 1,634
Ответ: 1,634
Задача 3.
Определить выборочнуюдисперсию для ряда данных о потребление мяса (в кг на душу населения в год).69 60 69 57 55 51 50
Найти: Var — ?
Решение:
1. Определим кол-вонаблюдений: n = 7
2. Определимвыборочное среднее:
х = (1*(69+60+69+57+55+51+50))/7= 411/7 = 58,714
3. Запишем формулудля определения вариации:
Var (x) = 1/nΣ ni = 1 (xi — x)2
4. Определимвариацию:
Var = (1*(69-58,714)^2+(60-58,714)^2+(69-58,714)^2+(57-58,714)^2+(55-58,714)^2+(51-58,714)^2+(50-58,714)^2)/7 = 365,429/7 = 52,204
Ответ: 52,204
Задача 4.
Оценить параметрыпредполагаемой линейной зависимости объемов производства мяса по поголовьюскота, если:
х (производство мяса) =6,8
y (поголовье скота) = 47,3
Cov = 11,2
Var = 56,9
Оценить параметры
Решение:
1. b =Cov (x;y)/Var (x)
b = 11,2/56,9
b = 0,196
2. a = y– bx
a = 47,3 –0,196 * 6,8
a = 45,968
3. y =45,968 + 0,196x
Задание 5.
Определить остаток в 1-омнаблюдение, если уравнение регрессии имеет вид:
y = 0,20x – 2,2457 54,7 52,2 48,9 43,3 39,7 35,1 8,37 8,26 7,51 6,8 5,79 5,33 4,85
Найти: g1 = ?
Решение:
1. Выбор №наблюдений: i= 1
2. хi= 57
3. yi = 8,37
4. Вычислим :
y*= 0,20x –2,24
y*= 0,20x 1– 2,24
y*= 0,20*57 –2,24
y*= 9,16
5. Определим остатокв 1-ом наблюдение:
g i =yi — xi
g1 =8,37 – 9,16
g 1= — 0,79
Ответ: — 0,79
Задача 6.
Для рядов 1,2 уравнениярегрессии y = 0,20 – 2,24 (задача 5), найтинеобъясненную сумму квадратов отклонений.57 54,7 52,2 48,9 43,3 39,7 35,1 8,37 8,26 7,51 6,8 5,79 5,33 4,85
Найти: RSS = ?
Решение:
1. Определим числонаблюдений: n= 7
2. Вычислим: yi = a + bxi, получим
y1*=0,20*57 – 2,24, y1*=9,16
y2*=0,20*54,7 – 2,24, y2*=8,7
3. Определимостатки:
g1 =8,37 – 9,16, g1 = — 0,79
g2= 8,26 – 8,7,g2 = — 0,44
4. Определим RSS для 1 и 2 ряда:
RSS = Σni =1 g i2
RSS = (- 0,79)2 + (-0,44)2
RSS = 775, 2592
Ответ: 0,8177
Задача 7.
Определить объясненнуюсумму квадратов отклонений для рядов и уравнения регрессии y = 0,20 – 2,24 (задача 5).57 54,7 52,2 48,9 43,3 39,7 35,1 8,37 8,26 7,51 6,8 5,79 5,33 4,85
Найти: ESS = ?
Решение:
1. Определим числонаблюдений: n= 7
2. Вычислим: yi = a + bxi, получим
y1=0,20*57 – 2,24, y1= 9,16
y2= 0,20*54,7 – 2,24, y2= 8,7
y3= 0,20*52,2 – 2,24,y3= 8,2
y4= 0,20*48,9 – 2,24,y4= 7,54
y5= 0,20*43,3 – 2,24,y5= 6,42
y6= 0,20*39,7 – 2,24,y6= 5,7
y7= 0,20*35,1 – 2,24,y7= 4,78
3. Определимвыборочное среднее y = 1 / n Σ ni= 1 * y i получим:
y = (1*(9,16+8,7+8,2+7,54+6,42+5,7+4,78))/ 7
y = 7,214
4. Вычислим ESS:
ESS = Σi= 1n ( yi* — yi)2
ESS = (9,16 –7,214)2+(8,7 – 7,214)2+(8,2 – 7,214)2+(7,54 –7,214)2+(6,42 – 7,214)2+(5,7 – 7,214)2+(4,78 –7,214)2
ESS = 15,921
Ответ: 15,921
Задача 8.
В задачах 6 и 7рассчитаны RSS и ESS. Определить TSS и проверить выполнение соотношения между этими 3-мя характеристиками.
RSS = 0,8177
ESS = 15,921
Решение:
1. Рассчитаем общуюсумму квадратов отклонений:
TSS = Σi= 1n ( yi — y)2
TSS = 12,016
уi 8,37 8,26 7,51 6,8 5,79 5,33 4,85 Σ = 46,91 Σ/n = 6,701
( yi — y)2 2,784 2,429 0,654 0,010 0,831 1,881 3,428 Σ = 12,016
2. Проверим:
TSS = ESS + RSS
TSS = 15,921 + 0,8177
TSS = 16,7387
16,7387 ≠12,016 – несовпадение значений.
Задача 9.
Для рассчитанногоуравнения регрессии определена ESS =15,37/ Найти коэффициент детерминации, если TSS = 16,21.
Найти: R2 = ?
Решение:
1. Определимкоэффициент детерминации:
R2= ESS/TSS
R2= 15,37/16,21
R2= 0,948
Ответ: 0,948
Задача 10
Определить выборочнуюкорреляцию между 2-мя величинами, если ковариация составляет 11,17, вариацияпервого ряда составляет 59,86, а второго 2,32.
Cov (x,y) =11,17
Var (x) =59,86
Var (y) = 2,32
Найти: Zxy — ?
Решение:
1. Запишем формулудля определения выборочной корреляции:
Zxy= Cov2(x,y)/ √ Var(x) * Var(y)
2. Вычислимвыборочную корреляцию:
Zxy = (11,17)2/ √59,86*2,32
Zxy= 124,769/11,785
Zxy = 10,588
Ответ: 10,588
Задание 2.2
Задача 1.Производство х1 30,8 34,3 38,3 37,7 33,8 39,9 38,7 37,0 31,4 Импорт х2 1,1 1,2 0,4 0,2 0,1 0,1 0,1 0,2 0,33 Потребление у 15,7 16,7 17,5 18,8 18,0 18,3 18,5 19,1 18,0
Найти: Var =? и парную Cov = ?
Решение:
1. Определим числонаблюдений: n= 9
2. Найдем выборочноесреднее для рядов: х = 1 / n Σ ni= 1 * x i
х1 = (1*(30,8 + 34,3 + 38,3 +37,7 + 33,8 + 39,9 +38,7 + 37,0 + 31,4))/ 9
х1 = 35,767
х2 = (1*(1,1 + 1,2 + 0,4 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,2 + 0,33)) / 9
х2 = 0,414
у = (1*(15,7 + 16,7 + 17,5 +18,8 + 18,0 + 18,3 +18,5 + 19,1 + 18,0))/ 9
у= 17,844
3. Рассчитаем Var для рядов: Var = 1 / n Σ ni= 1 * ( x i – xi )2
(x1 – x1) -4,967 -1,467 2,533 1,933 -1,967 4,133 2,933 1,233 -4,367
Σ = 87,120
Σ/n = 9,680
(x1– x1)2 24,668 2,151 6,418 3,738 3,868 17,084 8,604 1,521 19,068
(x2 – x2) 0,686 0,786 -0,014 -0,214 -0,314 -0,314 -0,314 -0,214 -0,084
Σ = 1,483
Σ/n = 0,165
(x2– x2)2 0,470 0,617 0,000196 0,046 0,099 0,099 0,099 0,046 0,007 (y – y) -2,144 -1,144 -0,344 0,956 0,156 0,456 0,656 1,256 0,156
Σ = 9,202
Σ/n = 1,022
(y– y)2 4,599 1,310 0,119 0,913 0,024 0,208 0,430 1,576 0,024
4. Вычислим Cov: Cov (x,y) = 1 / nΣ ni = 1 * (xi – x)*(yi – y)
(x1-x1)(y-y) 10,651 1,679 -0,873 1,847 1,923 1,549 -0,679 Σ = 17,673 Σ/n = 1,964
(x2 –x2)(y-y) -1,470 -0,899 0,005 -0,205 -0,206 -0,269 -0,013 Σ = -3,250 Σ/n = -0,361
(x1-x1)(x2 –x2) -3,405 -1,152 -0,037 -0,415 -0,922 -0,264 0,369 Σ = -6,508 Σ/n = -0,723
Ответ: Var1 = 9,680 Cov1= 1,964
Var2= 0,165 Cov2 = -0,361
Var3= 1,022 Cov3 = -0,723
Задача 2.
Определить коэффициентыпри объясняющих переменных, для линейной регрессии, отражающих зависимостьпотребления картофеля от его производства и импорта, используя данные из задачи1.
Найти: b1,2 = ?
Решение:
1. Определим Var рядов объясняющих переменных:
Var(х1) = 9,680
Var(х2) = 0,165
2. Определим Cov:
Cov(x1; у) = 1,964
Cov(х2; у) = -0,361
Cov(х1; х2) = -0,723
3. Вычислим b1 и b2 по формулам:
b1 = Cov(x1; у)* Var(х2)- Cov(х2; у)* Cov(х1; х2)/ Var(х1)* Var(х2) – (Cov(х1; х2))2
b2 = Cov(х2; у)*Var(х1) — Cov(x1; у)* Cov(х1; х2)/Var(х1)* Var(х2) — (Cov(х1; х2))2
b1= (1,964*0,165) – (-0,361*-0,723)/ (9,680*0,165) — (-0,723)2
b1= 0,059
b2= (-0,361*9,680) – (1,964*-0,723)/ (9,680*0,165) — (-0,723)2
b2= — 1,931
Ответ: 0,059; — 1,931
Задача 3.
Рассчитать коэффициент А длярегрессии, отражающий зависимость потребления картофеля от его производства иимпорта (исп. Данные из задачи 1 и 2)
Найти: а = ?
Решение:
1. определим средниезначения:
х1 = 35,767 х2= 0,414 у = 17,844
2. Определимкоэффициенты b1 и b2:
b1= 0,059 b2 = -1,931
3. Вычислим значениекоэффициента а: а = у – b1x1 – b2x2
a = 17,844 — 0,059*35,767 – (-1,931*0,414)
a = 16,533
Ответ: 16,533
Задача 4.
Рассчитать значениеличного потребления картофеля, используя полученные в задаче 2 и 3 коэффициентырегрессии.
Решение:
1. Определимкоэффициенты b1 и b2:
b1= 0,059 b2 = -1,931
2. Определимкоэффициент а:
а = 16,533
3. Определим векторрегрессионного значения по формуле:
[Х*]= а + b1[x1]+ b2[x2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [Х*] 16,226 16,240 18,020 18,371 18,334 18,694 18,623 18,33 17,748
Задача 5.
Рассчитать общую,объясненную и не объясненную сумму квадратов отклонений для рассчитанной ранеерегрессии по потреблению картофеля.
Найти: RSS, TSS, ESS — ?
Решение:
1. Определимсредненаблюдаемое у и средне расчетное у* независимых переменных:Потребление у 15,7 16,7 17,5 18,8 18 19,1 18 Σ = 160,6 Σ/n = 17,84 у* 16,226 16,240 18,020 18,371 18,334 18,330 17,748 Σ= 160,6 Σ/n = 17,84
у = y*
2. Определим общуюсумму квадратов отклонений по формуле:
TSS = Σi= 1n ( yi — y)2
TSS = 9,202
( yi — y)2 4,60 1,31 0,12 0,91 0,21 0,43 1,58 0,02 Σ= 9,202
3. Определимобъясненную сумму квадратов отклонений по формуле:
ESS = Σi= 1n ( yi – y*)2
ESS = 7,316
( yi – y*)2 2,614 2,571 0,031 0,279 0,241 0,724 0,609 0,237 0,009 Σ= 7,316
4. Определим необъясненную сумму квадратов отклонений по формуле:
RSS = Σi= 1n ( yi – y*)2
RSS = 1,882
( yi – y*)2 0,277 0,212 0,271 0,184 0,112 0,155 0,015 0,593 0,063 Σ= 1,882
Ответ: 9,202 ;7,316;1,882
Задача 6.
Вычислить коэффициентдетерминации, используя данные из задачи 5
Найти: R-?
Решение:
1. Вычислим TSS и ESS:
TSS = 9,202
ESS = 7,316
2. Найдем R2 по формуле:
R2 = ESS/TSS
R2 = 7,316/9,202
R2 = 0,795
Ответ: 0,795
Задача 7.
Для оценки возможноймультиколлиниарности, рассчитать коэффиц. корреляции между рядами данных (задача1).
Решение:
1. Найдем Var:
Var(х1) = 9,680
Var(х2) = 0,165
2. Найдем Cov:
Cov(х1; х2) = -0,723
3. Рассчитаемкоэффициент корреляции:
r(x1; х2) = Cov(х1; х2)/√ Var(х1)- Var(х2)
r(x1; х2) = -0,723/3,085
r(x1; х2) = — 0,234
Ответ: — 0,234
Задача 8.
Определить несмещеннуюоценку дисперсии случайного члена регрессии для потребления картофеля.
Найти: Su2(u)- ?
Решение:
1. Найдем RSS:
RSS = 1,882
2. Найдем числостепеней выборки
k = n-m-1
k = 9-2-1
k = 6
3. Найдемнесмещенную оценку случайного члена:
Su2(u)= RSS/ n-m-1
Su2(u)= 1,882/9-2-1
Su2(u) =0,3136
Ответ: 0,3136
Задача 9.
Рассчитать стандартныеошибки оценок коэффициента при объясняющ. переменных для модели множеств.регрессии по потреблению картофеля.
Найти: С.О.(b1), C.O.(b2) — ?
Решение:
1. Найдем дисперсиюслучайного члена:
Su2(u) =0,3136
2. Найдем Var:
Var(х1) = 9,680
Var(х2) = 0,165
3. Найдем коэффиц.корреляции:
r(x1; х2) = — 0,234
4. Вычислимстандартные ошибки С.О.(b1), C.O.(b2):
С.О.(b1) = (√(Su2(u)/n * Var(х1))* (1/1- r2 (x1; х2))
С.О.(b1) = (√(0,3136/9*9,680))* (1/1-(- 0,234))
C.O.(b2)= (√(Su2(u)/n * Var(х2)) * (1/1- r2 (x1; х2))
C.O.(b2)= (√(0,3136/9*0,165))* (1/1-(- 0,234))
С.О.(b1) = 0,0486
C.O.(b2) = 0,3724
Ответ: 0,0486; 0,3724.
Задача 10.
Рассчитать статистикуДарбина-Уотсона.
Найти: DW — ?
Решение:
1. Определим остаткив наблюдениях:
ek= yk – y*k; k = (1:n)y(k) 15,7 16,7 17,5 18,8 18 18,3 18,5 19,1 y(k)* 16,226 16,240 18,020 18,371 18,334 18,694 18,623 18,330 e(k) -0,526 0,461 -0,520 0,429 -0,334 -0,394 -0,123 0,770 ek-e(k-1) -0,987 0,981 -0,949 0,763 0,060 -0,271 -0,893 0,519 ek-e(k-1)^2 0,973 0,962 0,901 0,582 0,004 0,073 0,798 0,269 e(k)^2 0,277 0,212 0,271 0,184 0,112 0,155 0,015 0,593
(e k-e k – 1) 2= 4,562
e k2 = 1,882
2. Вычислимстатистику Дарбина-Уотсона:
DW = Σ (ek-e k – 1)2/ Σ e k2
DW = 2,424
DW > 2
Ответ: т.к. DW > 2, то автокорреляцияотрицательная.
Задание 3.2
Задача 1.
Рассчитать выборочноесреднее для ряда данных по личным потребительским расходам на косметику (млрд. руб.):
6.3 6.6 6.8 7.0 7.1 7.4 7.9 7.8 7.4
Найти: а
Решение:
1. Запишем формулу: a=1/N*Σ Nt=1*x (t)
2. Вычислим:
а = 1*(5.9 + 6.3 + 6.6 +6.8 + 7.0 + 7.1 + 7.4 + 7.9 + 7.8 + 7.4)/10
а = 7,02 (млрд. руб.)
Ответ: 7,02 (млрд. руб.)
Задача 2.
Рассчитать выборочнуюдисперсию по данным задачи 1.
Найти: σ = ?
Решение:
1. а = 7,02
2. Запишем формулудля вычисления дисперсии: σ2 = 1/N*ΣNt=1 x(t)-a
3. Вычислим:х(t) 5,9 6,3 6,6 6,8 7 7,1 7,4 7,9 7,8 х(t)-a -1,120 -0,720 -0,420 -0,220 -0,020 0,080 0,380 0,880 0,780
(х(t)-a)2 1,254 0,518 0,176 0,048 0,0004 0,006 0,144 0,774 0,608
σ = 3,676
Ответ: 3,676
Задача 3.
Найти оценку ковариациидля τ = 0,1,2 (используя данные из задачи 1)х(t)-a -1,120 -0,720 -0,420 -0,220 -0,020 0,080 0,380 0,880 (х(t)-a)^2 1,254 0,518 0,176 0,048 0,000 0,006 0,144 0,774 (х(t)-a)* (х(t+1)-a) 0,8064 0,3024 0,0924 0,0044 -0,0016 0,0304 0,3344 0,6864 (х(t)-a)* (х(t+2)-a) 0,4704 0,1584 0,0084 -0,0176 -0,0076 0,0704 0,2964 0,3344
∑ τ (0) = 3,676
∑ τ (1) = 2,552
∑ τ (2) = 1,313
ρ(τ) = 1/(N- τ)∑t=1N-τ (x(t)-â)* (x(t+1)-â)
ρ (0) = 0,367
ρ (1) = 0,283
ρ (2) = 0,164
Ответ: 0,367; 0,283;0,164.
Задача 4.
Рассчитать выборочнуюавтокорреляцию для τ = 1,2, используя данные из задачи 1
Найти: r=? для τ = 1,2
Решение:
1. Найдем τ =0,1,2
ρ(0) = 0,367
ρ(1) = 0,283
ρ(2) = 0,164
2. Рассчитаемвыборочную автокорреляцию для τ = 1,2, по формуле:
r(τ) = ρ (τ)/ τ(0)
r(1) = 0,283/0,367
r(1) = 0,771
r(2) = 0,164/0,367
r(2) = 0,446
Ответ: 0,771; 0,446
Задача 5.
Рассчитать выборочнуючастную автокорреляцию 1-го порядка, используя данные из задачи 1.
Найти: rчастная (2) = ?
Решение:
1. Найдем выборочнуюавтокорреляцию
r(1) = 0,771
r(2) = 0,446
2. Рассчитаемвыборочную частную автокорреляцию 1-го порядка:
rчастная (2) = r(2) – r2 (1)/ 1 — r2 (1)
rчастная (2) = 0,446 – (0,771)2 / 1- (0,771)2
rчастная (2) = — 0,365
Ответ: — 0,365
Задача 6.
С помощью критерияоснованного на медиане, проверить гипотезу о неизменности среднего значениявременного ряда:1 6200 – 2 6300 – 3 6400 – 4 6600 + 5 6400 – 6 6500 не рассматриваем 7 6600 + 8 6700 + 9 6500 не рассматриваем 10 6700 + 11 6600 + 12 6600 + 13 6300 – 14 6400 – 15 6000 –
Решение:
1. Определим числонаблюдений: n=15
2. Отранжеруемвременные ряды в порядке возрастания:
6000 6200 6300 6300 64006400 6400 6500 6500 6600 6600 6600 6600 6700 6700
3. Вычислим медиану:
n = 15;
хмед = n+1/2 = 15+1/2
xмед = 8
xмед = 6500
4. Создаем ряд из +и -, в соответствие с правилом:
если х(i) хмед, то -.
5. Определим общеечисло серий:
v(15) = 6
6. Протяженностьсамой длинной серии:
τ(20) = 3
7. Проверимнеравенства:
v(n) >(1/2*(n+2)-1,96*√n-1)
v(n) =(1/2*(15+2) – 1,96*√15-1)
v(n) = 1,166
6 > 1 – выполняется
τ(n)
τ(n)
τ(n) = 3,96
3
Так как выполняются обанеравенства, гипотеза о неизменности среднего значения временного ряда принимается.
Ответ: гипотезапринимается.