–PAGE_BREAK–
Рис.4.1 Структурная схема фильтра восьмого порядка
Построим принципиальную схему полосового фильтра восьмого порядка на операционном усилителе. Полосовой фильтр пропускает составляющие сигнала с частотами, лежащими между левой и правой частотой среза, а остальные задерживает, исходя из этого присутствие разделительных конденсаторов в ветвях схемы необходимо. Чтобы определить в какой именно ветви они должны стоять, сначала во все ветви поставим проводимости.
Рис.4.2 – Функциональная схема структуры Рауха второго порядка.
Найдём передаточную функцию каждого каскада.
(4.1)
Применим законы Кирхгофа:
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
(4.9)
Ток i4 протекает через проводимость Y4 и втекает в ветвь с проводимостью Y5 без потерь. Подставим (4.7), (4.8), (4.6) в (4.2), а затем получившееся выражение подставим в (4.5):
(4.10)
Подставим (4.4) в (4.10) и преобразуем, чтобы получить окончательное выражение для передаточной функции:
(4.11)
(4.12)
Общая же формула передаточной характеристики полосового фильтра имеет вид:
(4.13)
Анализируя выражения передаточной характеристики фильтра, определим типы проводимостей для обеспечения требуемой степени p. Так, сделаем вывод о том, что проводимости Y1, Y2 и Y5 должны заменить резисторы, а проводимости Y3 и Y4 – емкости:
(4.14)
Подставив (4.14) в (4.12) и преобразовав к виду (4.13), получим:
(4.15)
Таким образом, коэффициенты нормированного ФНЧ-прототипа для одного звена второго порядка можно представить следующим образом:
С учётом (4.14) построим принципиальную схему фильтра.
Рис.4.3 – Функциональная схема структуры Рауха второго порядка.
Данное функциональное звено представляет собой активный фильтр второго порядка, построенный на основе операционного усилителя.
5 МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРА НА ФУНКЦИОНАЛЬНОМ УРОВНЕ В СИСТЕМЕ MATHCADВ ЧАСТОТНОЙ И ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТЯХ (РАСЧЕТ АЧХ, ФЧХ, ХРЗ, ХГВЗ, ИХ, ПХ В НОРМИРОВАННОМ И ДЕНОРМИРОВАННОМ ВИДАХ)
Для моделирования на функциональном уровне будем использовать MathCAD.
Операторную передаточную функцию можно записать в следующем виде:
(5.1)
где K(w)-амплитудно-частотная характеристика;
φ(w)-фазо-частотная характеристика.
Амплитудно-частотная характеристика определяется следующим образом:
(5.2)
Фазо-частотная характеристика определяется следующим образом:
(5.3)
Построим АЧХ и ФЧХ в MathCAD:
Исходные данные:
Построим АЧХ фильтра прототипа нижних частот:
Рисунок 5.1 АЧХ фильтра прототипа нижних частот в нормированном виде
Для построения характеристик ПФ, осуществим пересчёт параметров.
Исходя из того, что
Kфнч(p)=А(p~+1/p~)=Kпф(p~) (5.4)
Получим выражения для пересчёта параметров:
В выражениях 5.5-5.13 , где и .
Построим АЧХ ПФ.
Рисунок 5.2 АЧХ ПФ в нормированном виде
Построим ФЧХ ПФ.
Рисунок 5.3 ФЧХ ПФ в нормированном виде
Построим характеристику рабочего затухания.
Рисунок 5.4 ХРЗ ПФ в нормированном виде
Построим характеристику группового времени запаздывания:
Рисунок 5.5 ХГВЗ ПФ в нормированном виде
Построим импульсную и переходную характеристики:
Так как импульсная характеристика – это реакция системы на δ-функцию, выражение для её построения получим следующим образом:
Uвх=δ(t) 1
Uвых=K(p)* Uвх(p)
Рисунок 5.6 ИХ ПФ в нормированном виде
Переходная характеристика – реакция системы на единичный скачок(на функцию Хевисайда), поэтому выражение для её построения получим следующим образом:
1(t) 1/p
h(t)= Uвых(t)=1/2*П*j
Рисунок 5.7 ПХ ПФ в нормированном виде
Чтобы построить данные характеристики фильтра в денормированном виде, необходимо получить параметры ПФ в денормированном виде. Для этого воспользуемся следующими выражениями:
(5.14)
(5.15)
(5.16)
(5.17)
В этих выражениях — денормированная частота, а .
Таким образом деномированные коэффициенты равны:
Сpd=2.925739792537995685239e-17
Построим АЧХ ПФ в денормированном виде:
Рисунок 5.8 АЧХ ПФ в денормированном виде
Построим фЧХ ПФ в денормированном виде:
Рисунок 5.9 ФЧХ ПФ в денормированном виде
Построим ХРЗ ПФ в денормированном виде:
Рисунок 5.10 ХРЗ ПФ в денормированном виде
Построим ХГВЗ ПФ в денормированном виде:
Рисунок 5.11 ХГВЗ ПФ в денормированном виде
Построим ИХ и ПХ ПФ в денормированном виде:
Рисунок 5.12 ИХ ПФ в денормированном виде
Рисунок 5.13 ПХ ПФ в денормированном виде
Анализ результатов вычислений показывает, что операция денормирования произведена верно, так как характеристики фильтра в денормированном виде отличны от характеристик в нормированном виде представляемой областью частот.
6 РАЗРАБОТКА ПРИНЦИПИАЛЬНОЙ СХЕМЫ ФИЛЬТРА, РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ
Для построения принципиальной схемы восьмого порядка необходимо последовательно соединить четыре функциональных звена второго порядка структуры Рауха, изображение которого представлено на рисунке 4.3.
Операторную функцию представим произведением операторных функций каждого звена :
Операторная функция каждого звена запишется следующим образом:
Нормирующий множитель С распределим между каскадами следующим образом:
(6.3)
Чтобы рассчитать элементы принципиальной схемы фильтра, нужно решить четыре системы (4.16) (для четырёх каскадов второго порядка).
Система (4.16) для одного каскада второго порядка представляет собой три уравнения с пятью неизвестными, то есть с двумя степенями свободы. Следовательно, два элемента зададим произвольно. Рациональнее задавать сопротивления резисторов. Однако значения сопротивлений резисторов должны удовлетворять следующему условию:
(6.9)
Значения нормирующего коэффициента для всех каскадов согласно (6.3):
Расчёты будем производить в MatCad.
Решим систему (4.16) для первого каскада второго порядка. Для этого необходимо задать R1, R2 следующим образом:
Для удобства изменим нумерацию элементов согласно схеме.
Решим систему (4.16) для второго каскада второго порядка. Для этого необходимо задать R5, R4 следующим образом:
Решим систему (4.16) для третьего каскада второго порядка. Для этого необходимо задать R7, R8 следующим образом:
Решим систему (4.16) для четвёртого каскада второго порядка. Для этого необходимо задать R10, R11 следующим образом:
Таким образом, определим вид принципиальной схемы (приложение А).
Определив элементы принципиальной схемы фильтра, рассчитаем АЧХ данного фильтра непосредственно через значение элементов.
В выражение передаточной функции для каждого каскада фильтрации подставим коэффициенты с учётом выражений для сопротивлений и ёмкостей.
продолжение
–PAGE_BREAK–