–PAGE_BREAK–Из этой формулы видно, что φус(ωг)=π, значит для выполнения условия баланса фаз необходимо, чтобы цепь обратной связи вносила сдвиг фаз, равный π. Это будет выполняться при равенстве нулю мнимой частизнаменателя выражения Нос(jω):
Получаем выражение для частоты генерации:
и коэффициента передачи цепи обратной связи на частоте генерации:
.
Найдём значения сопротивлений R
ни R, входящих в формулы для расчёта w
г и Нос(w
г
)
.
Входное сопротивление R
н составного транзистора:
R
н
=
b
R
бэ2
где b— коэффициент усиления транзистора по току (для VT1);
R
бэ2– входное сопротивление транзистора VT2.
Для определения b и R
бэ2 нужно выбрать рабочую точку транзистора. Для этого строим проходную характеристику транзистора I
к
=
F
(
U
бэ
) – зависимость действующего значения тока в выходной цепи от входного напряжения U
бэ
.В свою очередь, исходными для построения проходной характеристики являются:
· входная характеристика транзистора I
б
=
F
(
U
бэ
) (рисунок 3);
· выходная характеристика транзистора I
k
=
F
(
U
кэ
) (рисунок 4).
Рисунок 3 – Входная характеристика транзистора КТ301
Рисунок 4 – Выходная характеристика транзистора КТ301 (ΔIБ=25 мкА)
На семействе выходных характеристик используемого транзистора проводится нагрузочная прямая через точки с координатами: (0,18) и (6,0), (рисунок 4).
По точкам пересечения нагрузочной прямой с выходными характеристиками строим промежуточную характеристику I
k
=
F
(
I
б
).Для этого составляем таблицу:
Iб, мА
0,025
0,05
0,075
0,1
0,125
Iк, мА
1,1
2,1
3,2
4,2
5,0
Рисунок 5 –Промежуточная характеристика Ik=F(Iб)
Затем, используя полученную зависимость (рисунок 5) и входную характеристику I
б
=
F
(
U
бэ
)(рисунок 3), определяем требуемую зависимость: IK
=
F
(
U
бэ
) (рисунок 6).
Все данные, необходимые для построения характеристики, сведены в таблицу:
Uбэ, В
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Iб, мА
0,025
0,5
0,1
0,18
0,30
0,5
Iк, мА
1,2
2,2
4,2
5,8
6,0
6,1
Рисунок 6 –Проходная характеристикаIK=F(UБЭ)
По проходной характеристике определяют положение рабочей точки. Задаем значение U
бэ0
= 0,55 В– это середина линейного участка проходной ВАХ.
Тогда по входной ВАХ транзистора определяют в рабочей точке:
Коэффициент усиления транзистора по току:
Зная R
бэ2и b, можно рассчитать сопротивление R
нсоставного транзистора:
R
н
=
b
·
R
бэ2= 44,1*1,5 = 66,2 кОм
Определим амплитуду стационарного колебания на выходе генератора. Для этого построим колебательную характеристику S
ср
=
F
(
U
бэ
)(рисунок 7).
Значение средней крутизны для разных значений U
бэможно определить по методу 3-х ординат по формуле:
Представим расчеты в виде таблицы:
U1(бэ), В
0,1
0,15
0,2
0,3
0,4
Ik max, мА
5
5,8
5,8
6,0
6,2
Ik min, мА
1,5
1
0,5
Scp, мА/В
17,5
16
13,2
8,5
7,1
Рисунок 7 – Колебательная характеристикаS
ср
=
F
(
U
бэ
)
Для того чтобы по колебательной характеристике определить стационарное действующее значение U
бэнеобходимо предварительно рассчитать значение средней крутизны в стационарном режиме S*ср. Известно, что Нус(w
Г
)= S*срR
к. С другой стороны из баланса амплитуд Нус(w
Г
) = 1/Нос(
w
Г
). Отсюда
.
Определим значение Нос(w
Г
) для рассчитанных значений R
н и R.
Для этого расчетного значения Нос(ωг) средняя стационарная крутизна S*ср=16,2 мА/В (обозначена на рисунке 7).
Используя колебательную характеристику и зная значение средней крутизны в стационарном режиме S*ср=16,2 мА/В, легко найти стационарное действующее значение U
бэ. Оно равно: U
бэ=U
вх= 0,14 В. Тогда напряжение на выходе генератора в стационарном режиме можно найти из соотношения: U
вых
=
U
вх
∙
Нус(
w
Г
) = 0,14 ∙43,5 = 6,2 В
Определим значение емкости в цепи обратной связи. Из выражения для частоты w
Г найдем:
;
Емкость СР разделительного конденсатора выбирается из условия СР>>С. Возьмем СР = 0,5 мкФ.
Определяем значение сопротивления R
Б, задающего рабочую точку U
бэ0
,
I
бэ0. Рассчитаем его по формуле:
Выбираем резистор с номиналом Rб=12 кОм.
Расчет RC– генератора на этом можно считать законченным, ниже приведена схема RC– генератора с найденными значениями элементов (Рисунок 8).
Рисунок 8 –Схема RC– генератора с найденными значениями элементов
2 Расчет спектра сигнала на выходе нелинейного преобразователя
Чтобы получить гармоники колебания, вырабатываемого RC-генератором, это колебание следует подать на нелинейный преобразователь. Таким образом, каскадно с генератором включается нелинейный преобразователь. Его цель- исказить гармонический сигнал так, чтобы в составе его спектра появились гармоники с достаточно большими амплитудами. Для этого нужно выбрать соответствующее напряжение смещения U
,подаваемое на нелинейный элемент.
Анализ работы нелинейного преобразователя обычно проводится во временной и частотной областях. При анализе во временной области графически строится зависимость тока I
вых
(
t
) напряжения U
вых
(
t
)на выходе нелинейной цепи от напряжения U
вх
(
t
)на входе, используя проходную ВАХ нелинейного элемента. При анализе в частотной области рассчитывается спектр тока и напряжения на выходе нелинейной цепи. Для этого выполняется аппроксимация характеристики нелинейного элемента, определяются амплитуды спектральных составляющих тока и напряжения, строится спектр амплитуд тока |I
вых
| = F1(
w
) и напряжения |I
вых
| = F2(
w
).
В качестве резистивных нелинейных элементов используются биполярные, полевые транзисторы и диоды. В схемах транзисторных нелинейных преобразователей конденсаторы C
р1и C
р2(емкостью в несколько десятков микрофарад) служат для разделения по постоянному току автогенератора, нелинейного преобразователя и фильтров.
В нелинейном преобразователе с полевым транзистором напряжение смещения подается на затвор транзистора от отдельного источника напряжения U
через сопротивлениеR1.
При подключении нелинейного преобразователя к автогенератору необходимо обеспечить развязку этих устройств. Это означает, что входное сопротивление нелинейного преобразователя должно быть намного больше
выходного сопротивления генератора. Однако может случиться так, что амплитуда напряжения на выходе, генератора не совпадает с заданной амплитудой напряжения на входе нелинейного преобразователя. Тогда между ним и генератором следует включить масштабный усилитель, усиление которого выбирается из условия согласования указанных напряжений. При расчете нелинейного преобразователя необходимо провести аппроксимацию ВАХ нелинейного элемента и рассчитать спектр сигнала на его выходе до третьей гармоники включительно.
Исходные данные для расчета нелинейного преобразователя: транзистор КП305Е; Uп нел = 5В – напряжение питания нелинейного элемента; U= 0В – напряжение смещения нелинейного элемента; Uм=0,8В – амплитуда напряжения на входе нелинейного преобразователя.
Требуется рассчитать спектр тока и напряжения на выходе нелинейного преобразователя.
Рисунок 9 – Схема нелинейного преобразователя
Амплитуда напряжения на выходе автогенератора больше амплитуды напряжения, которое следует подать на вход нелинейного преобразователя, поэтому сигнал генератора нужно ослабить.
Для этого используем схему усилителя (рисунок 10), которую включают между генератором и нелинейным преобразователем.
Рисунок 10 –Схема усилителя
Передаточная функция такой схемы: Н(j
ω) =
U
вых
(
j
ω)/
U
вх
(
j
ω) = –
R
2
/
R
1
Поскольку Uм = 0,8 В, Uм вых ген= 6,2 В, то R2/R1= 0,8/6,2=0,13
Задавая R1= 10 кОм, получаем R2= 0,13*10=1,3 кОм.
Напряжение, подаваемое на вход нелинейного преобразователя, имеет вид: u
вх
(
t
) =
U
+
Umcos
ω
t
= 0,8
cos
2π*3*103*t
, В.
Используя проходную ВАХ транзистора, графически определим вид тока на выходе нелинейного преобразователя (рисунок 11).
Рисунок 11 –Вид тока на выходе нелинейного преобразователя
Для расчета спектра тока и напряжения на выходе нелинейного преобразователя необходимо сделать аппроксимацию ВАХ. Амплитуда входного сигнала достаточно велика, поэтому выбираем кусочно-линейную аппроксимацию.
По ВАХ определяем Uотс= 0,25 В.
Для расчета крутизны Sвыбираем точку на прямой, аппроксимирующей ВАХ, Uзи= 0,8 В, Ic= 5 мА, тогда
Рассчитываем угол отсечки:
θ= arccos (Uотс– U0)/Um = arccos (0,25/0,8) = 0,3525 рад.
Затем вычисляем функции Берга:
Постоянная составляющая и амплитуды гармоник спектра тока iвыхрассчитывается по формуле: Imk= SUmγk(θ), k= 1, 2, 3…
Ограничившись третьей гармоникой имеем:
I0= 9*0,8*0,003 = 0,02 мА;
Im1 = 9*0,8*0,010 = 0,07мА;
Im2 = 9*0,8*0,007 = 0,05 мА;
Im3= 9*0,8*0,006 = 0,04 мА.
Напряжение на выходе нелинейного преобразователя при наличии разделительного конденсатора не пропускающего постоянную составляющую u
вых
=
i
вых
*
R
к
Um1= 0,07*3=0,19В
Um2= 0,05 *3=0,15В
Um3= 0,04 *3=0,12В
Спектры амплитуд тока и напряжения приведены на рисунке 11
Рисунок 11 – Спектр амплитуд тока и напряжения
3 Расчёт электрических фильтров
Для выделения колебаний заданных частот необходимо рассчитать полосовые фильтры, у частотных характеристик которых центры эффективного пропускания совпадали бы с этими частотами.
В качестве полосовых фильтров используются полиномиальные фильтры Чебышева. Каждый фильтр выделяет свою гармонику. Поскольку гармоники сигнала на выходе нелинейного преобразователя достаточно далеко разнесены по частоте, порядок фильтра получается невысоким. Частоты соседних гармоник должны попадать в полосу непропускания фильтра. Характеристика ослабления фильтра должна обладать геометрической симметрией относительно выделяемой гармоники.
Расчет полосового фильтра обычно сводят к расчету НЧ-прототипа.
Технические требования к фильтру: N=3 – номер выделяемой гармоники, Umвых=12В – выходное напряжения фильтра, ΔА=0,2дБ – неравномерность ослабления в полосе пропускания (ослабление полезных гармоник), Аmin=15дБ – ослабление в полосе непропускания (степень подавления мешающих гармоник), Uпит.ф=15В – напряжение питания операционного усилителя. Частота третьей гармоники при частоте генерируемых колебаний 3 кГц равна 9 кГц, следовательно, f=9 кГц.
Для определения нормированной частоты НЧ – прототипа — Ω3, соответствующей границе полосы эффективного непропускания (в дальнейшем ПЭН), необходимо воспользоваться зависимостями D=F(Аmin). При этом вначале по заданным значениям ΔА и Аminопределяем вспомогательную функцию D=20, а затем, задаваясь приемлемым значением порядка фильтра-прототипа n=3, для полученного значения Dопределяем Ω3=1,5.
Рассчитаем граничные частоты полосы эффективного пропускания (в дальнейшем ПЭП) и ПЭН.
Зная соотношение для ω0:
продолжение
–PAGE_BREAK–
То, задавшись одной из неизвестных частот, например, f3=12 кГц, то есть ω3=2πf3=75360 рад/с, найдем ω′3:
Учитывая соотношение:
Найдем ширину полосы эффективного пропускания – Δω:
Получаем систему уравнений:
Решая данную систему, получаем:
ω2=68568,5 рад/с
ω′2=46588,5 рад/с
Таким образом, граничные частоты ПЭП и ПЭН принимают значения:
f
2= 10,92 кГц (ω2 = 68568,5 рад/с);
f
‘2= 7,42 кГц (ω’2 = 46588,5 рад/с);
f
3=12 кГц (ω3 = 75360 рад/с);
f
‘3=6,05 кГц (ω’3 = 42390 рад/с).
Находим полосы передаточной функции НЧ – прототипа:
S1,2= -0,814634; S3,4 = -0,407317±j1,11701
Денормирование и конструирование передаточной функции искомого ПФ осуществляется в два этапа. На первом этапе находим полюсы передаточной функции полосового фильтра по известным полюсам НЧ-прототипа. Для этого воспользуемся соотношением:
где Δω/2=10990 рад/с;
ω02=3,19∙109(рад/с)2;
σi+jΩi– i-ый полюс передаточной функции НЧ-прототипа.
Учитывая, что одной паре комплексно-сопряженных полюсов передаточной функции НЧ-прототипа соответствует две пары комплексно-сопряженных полюсов передаточной функции полосового фильтра, рассчитаем полюса передаточной функции.
Результаты расчетов полюсов передаточной функции сведем в таблицу:
Номер полюса
Полюсы Н(р) полосового фильтра
-α∙104
±jω∙104
1,2
0,8952
5,5766
3,5
0,5476
4,5349
4,6
0,3476
6,4947
На втором этапе передаточная функция полосового фильтра может быть представлена в виде произведения трёх сомножителей второго порядка:
где
Коэффициенты при р в знаменателях сомножителей аi= 2αi, а свободные члены а0i= αi2+ ωi2. Их значения сведем в таблицу:
Номер сомножителя
Значения коэффициентов
bi
ai
ai
1
2,3136*104
1,7904 *104
3,1899*109
2
2,3136*104
1,0952 *104
2,0865*109
3
2,3136*104
0,6952 *104
4,2302*109
Тогда передаточная функция искомого ПФ запишется:
Для реализации полученной передаточной функции необходимо выбрать тип звеньев, для чего найдем вначале добротности полюсов соответствующих сомножителей, используя соотношение:
В результате расчётов получим Q1= 3,15; Q2= 4,17 Q3= 9,35
По значениям Q выбираем схему, передаточная функция которой выглядит следующим образом:
Рисунок 12 – Схема для реализации сомножителей
Для расчета элементов звена, соответствующего первому сомножителю Н(р), составим систему уравнений:
Зададимся C6=C7=C=5*10-9, тогда R1=R2=1/ωпС, где ωп – частота полюса, которая определяется по формуле:
рад/c
Итак,
Решая систему относительно элементов R3, R4, R5получаем
R5=11,2 кОм, R3=12 кОм, R4=1,1 кОм.
Поступая аналогичным образом, находим элементы второго и третьего звена фильтра. Результаты вычислений сводим в таблицу:
Элементы 1 – го звена
R1, кОм
R2, кОм
R3, кОм
R4, кОм
R5, кОм
С6, нФ
С7, нФ
3,5
3,5
11,8
1,1
11,2
5
5
Элементы 2 – го звена
R8, кОм
R9, кОм
R10, кОм
R11, кОм
R12, кОм
С13, нФ
С14, нФ
4,4
4,4
3,1
5,7
18,3
5
5
Элементы 3 – го звена
R15, кОм
R16, кОм
R17, кОм
R18, кОм
R19, кОм
С20, нФ
С21, нФ
3,1
3,1
1,5
6,1
28,8
5
5
продолжение
–PAGE_BREAK–