«Расчёт параметров изгиба однопролётной балки со свободно опёртым и упруго защемленным концами»
Дано:
L= 7,9 м = 790 см.
q= 33,3 кгс/см
E= 210000 МПа
J= 7800 см4
æ= 0.94
1. Дифференциальное уравнение изгиба призматической балки имеет следующий вид:
EJWIV (x) = q (x) (1)
После четырёхкратного интегрирования дифференциального уравнения изгиба балки (1) общий интеграл этого уравнения представляется выражением:
/>, (2)
в котором величины А, В, С, D являются постоянными интегрирования, определяемые исходя из граничных условий по концам рассматриваемой балки.
2. Граничные условия для параметров изгиба балки на её левом конце при значении х = 0 имеют вид:
W(0) = 0 (3)
WII(0) = 0 (4)
На правом конце балки при значении х = L граничные условия для параметров изгиба имеют вид:
W(L) = 0 (5)
/>(6)
3. В связи с тем, что в конкретном рассматриваемом примере на заданную однопролётную балку действует равномерно распределённая внешняя нагрузка интенсивностью q(x)= q= const, дифференциальное уравнение (1) изгиба призматической балки будет иметь вид:
EJWIV (x) = q 0, (7)
а выражение (2) для общего интеграла дифференциального уравнения (7) будет:
/>( 8)
Для подчинения общего интеграла (8) дифференциального уравнения (7) граничным условиям (3), (4), (5). (6) необходимо предварительно получить выражения для первой и второй производных от общего интеграла (8), которые будут иметь соответственно вид:
/>(9)
/>(10)
Если подчинить выражение общего интеграла (8) граничному условию (3), то в результате получим, что
W(0) = D,
откуда следует, что величина D будет равна: D = 0 (11)
Если воспользоваться граничным условием (4), то подставляя в выражение (10) значение х = 0, в результате получим, что WII(0)=В, откуда следует, что величина В будет равна: В = 0 (12)
Подчиняя выражение общего интеграла (8) граничному условию (5), получим, что
/>(13)
Воспользовавшись выражениями (9) и (10), из граничного условия (6) получим следующую зависимость:
/>(14)
или />,
откуда после преобразований и приведения подобных членов, получается выражение вида
/>(15)
Выражения (14) и (15) в окончательном виде преобразуются к уравнениям относительно двух неизвестных величин А и С, которые образуют систему двух алгебраических уравнений:
/>(16)
Для решения системы уравнений (16) можно воспользоваться методом миноров.
/>/>(17)
значения неизвестных величин А и С будут определяться следующими формулами:
/>; (18)
/>, (19)
где: Δ– определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов при неизвестных величинах А и С:
/>
ΔА — определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов правой части С1 и С2 и коэффициентов при неизвестной величине С:
/>
ΔС — определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов при неизвестной величине А и из коэффициентов правой части С1 и С2:
/>
Учитывая вышеприведенные формулы, получим следующие выражения:
/>,
которые после несложных преобразований примут вид:
/>
Тогда, учитывая выражения (18) и (19), значения величин А и С будут определяться формулами:
/>(20)
/>(21)
в которых введены обозначения:
/>(22)
/>(23)
4. Общий интеграл (8) дифференциального уравнения (7), являющийся выражением, описывающим характер изменения прогибаW(x) по длине рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки, после подстановки значений величин А и С, запишется:
/>
5. Общий интеграл приведенный к виду с безразмерными значениями переменного аргумента:
/>(24)
6. Значения изгибающих моментовM(x), действующих на балку в любом сечении по её длине, определяются второй производной по прогибу балки, которая учитывая полученную формулу (24) преобразуется к виду:–PAGE_BREAK–
/>
или к выражению, содержащему «безразмерную» переменную величину, равную отношению «х/L»:
/>(25)
На основании формулы (25) может быть построена эпюра значений изгибающих моментовM(x).
Для определения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр необходимо в первую очередь определить значение координаты (xпр) расположения этого изгибающего момента Mпр. Для определения значения координаты (xпр) необходимо получить выражение для первой производной от выражения (25):
/>(26)
Тогда значение координаты (xпр), где изгибающий момент будет иметь экстремальное значениеMпр, определится из условия: />
или, учитывая выражение (26), из следующего уравнения:
/>,
Откуда (xпр)/> (27)
Тогда экстремальное значениеMпр будет равно:
/>(28)
Наибольшее значение изгибающий момент M(x), исходя из характера его распределения по длине балки, может иметь или в районе упругой заделки при х = L(значениеMоп) или при x = xпр (значениеMпр).
Значение Mопопределим из выражения (25), подставляя в последнее значение координаты х = L:
/>(29)
7. Коэффициент опорной пары æ определяется отношением значения изгибающего момента, действующего в районе упругой заделки Mоп, к значению изгибающего момента в этом районе при условии абсолютно жёсткого защемления Mжз:
æ /> (30)
Значение изгибающего момента Mжз в районе упругой заделки в предположении его абсолютно жёсткого защемления определится из формулы (29), если в последней предположить, что коэффициент податливости заделкиor равен нулю:
/>, (31)
тогда на основании формул (29), (30), (31) получим выражение, определяющее значение коэффициента опорной пары æ упруго защемлённого конца рассматриваемой статически неопределимой однопролётной балки:
æ/> (32)
Из формулы (32) может быть установлена зависимость коэффициента податливости упругой заделки orчерез значения коэффициента опорной пары æ:
/>(33)
Использование формулы (33) позволяет выразить значения коэффициентов АI и СI при постоянных интегрирования А и С, определяемых формулами (22) и (23), выражениями, содержащими только значения коэффициентов опорной пары æ:
/>(34)
/>(35)
Тогда экстремальное значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр и значения опорного изгибающего момента в районе упругого защемления Mопбудут определяться соответственно следующими выражениями через значения коэффициентов опорной пары æ:
/>(36)
/>(37)
А значение координаты (xпр) расположения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр в соответствии с формулой (27) определится выражением:
/>(38)
8. Значения перерезывающих сил N(x), действующих на балку в любом сечении по её длине, определяются известной зависимостью Журавского:
/>,
которая, учитывая формулу (25), для рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки преобразуется к виду:
/>(39)
Из формулы (39) следует, что перерезывающие силы распределяются по длине балки по линейному закону, то есть по прямой линии, поэтому для построения эпюры перерезывающих сил достаточно определить значения перерезывающей силы в двух крайних точках, а именно в начале координат:
/>(40)
и в районе упругой заделки (при x = L ):
/>(41)
Откуда видно, что выполняется следующее очевидное соотношение
/>
9. Расчет значений параметров изгиба однопролетной балки со свободно опертым и упруго защемленным концами.
В этом случае, исходя из формул (34) и (35)
/>;
/>,
а координата (xпр) расположения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр в соответствии с формулой (27) будет равна:
/>
или в безразмерном относительном виде:
/>0.3825
Экстремальное значение изгибающего момента в пролёте балки Mпр и значение опорного изгибающего момента в районе упругого защемления Mопв соответствии с формулами (25) и (29) будут равны:
Mпр =M(302,175) /> -3040614,03 кг*с*см
/>2441947,28кг*с*см
Определим значение перерезывающей силы в начале координат (на левой опоре) на основании формулы (40):
N(0) = — 10062,43 H.
На основании формулы (41) определим значение перерезывающей силы в районе упругого защемления балки (на правой опоре):
N(L) = 16244,57 H.
Отметим, что перерезывающая сила N в районе действия экстремального значения изгибающего момента Mпр в пролёте балки имеет нулевое значение: продолжение
–PAGE_BREAK–
/>,00 Н.
Приведенные в таблице 1 числовые значения позволяют построить эпюры, показывающие характер распределения по длине рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки таких параметров, как прогиб балки w(х) и действующие на балку изгибающие моменты М(х) и перерезывающие силы N(x).
L
wx)
M(x)
N(x)
-5680
0,05
0,4842
-207206
-4807,39
0,1
0,9418
-379930
-3934
0,15
1,3503
-518172
-3062
0,2
1,6917
-621933
-2189
0,25
1,9525
-691213
-1316
0,3
2,1238
-726011
-443
0,35
2,2009
-726327
430
0,4
2,1840
-692162
1303
0,45
2,0775
-623515
2176
0,5
1,8904
-520387
3049
0,55
1,6362
-382777
3922
0,6
1,3328
-210686
4795
0,65
1,0028
-4114
5668
0,7
0,6730
236941
6541
0,75
0,3750
512476
7414
0,8
0,1448
822494
8286
0,85
0,0228
1166992
9159
0,9
0,0539
1545973
10032
0,95
0,2876
1959435
10905
1
0,7779
2407378
11778