Содержание
1. Задание
2. Схема нагруженного стержня
3. Исходные данные
4. Построение системы линейных алгебраических
5. Вывод формул проверки, достоверности вычисления опорныхреакций
6. Вывод рабочих формулопределение внутренних усилий стержня
7. Численный метод решения СЛАУ — метод Гаусса
8. Обоснование применения метода Гаусса
9. Блок — схема алгоритма
10. Программа
12. Анализ результатов
Литература
/>1. Задание
Построить математическую модель расчета опорных реакцийжесткого стержня с тремя опорными узлами и определение внутренних усилий,поперечной силы Q и изгибающего момента М, возникающихво внутренних сечениях стержня под действием нагрузки. Разработать алгоритм исоставить программу вычисления опорных реакций и распределения вдоль осистержня внутренних усилий.
Вариант — 82-4г. Схема — 2.
Численный метод решения СЛАУ — метод Гаусса./>2. Схема нагруженного стержня
/> P1, P2-сосредоточеннаясила, Н
q4 — интенсивность распределеннойнагрузки, H/м
C1, C2 — отрезок балки, м
L1, L2 — пролет балки, м
М1, M2 — круговой момент, H/>м
/>3. Исходные данные
P1=15kH P2=30kH L1=6м L2=12м
M1=10kHм M2=35kHм С1=3м C2=2м
L1=6м L2=12м q4=10kH
Y
/>4. Построение системылинейных алгебраических
уравнений для определения опорных реакций.
Преобразуем исходную систему:
отбросим опорные стержни и заменим их опорными
реакциями (R1; R2; R3)
интенсивность распределённой нагрузки заменим эквивалентной
силой (F4 = q4/>c2)
зададим систему координат.
X />
Для вывода формул вычисления опорных реакций запишемуравнение равновесия стержня: сумма моментов относительно опорной точки стержняравна нулю.
/>:
/>
/> />
/>
/>
Представил уравнения равновесия балки в форме системылинейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
/>
Матричная форма записи СЛАУ вычисление опорных реакций балки
A/>R=B
А — матрица коэффициентов при неизвестных
R — матрицанеизвестных
В — матрица свободных членов
/> />
/>/>5. Вывод формулпроверки, достоверности вычисления опорных реакций
Для проверки правильности вычисления опорных реакцийиспользовал уравнения равновесия балки, сумма проекций всех сил действующих набалку равна нулю.
Y=R1-P1+R2=0
X=R3-P2-F4=0/>6. Вывод рабочих формулопределение внутренних усилий стержня
На рассматриваемом стержне выделим четыре участка длиной S (длина отрезка от начала до точки сечения стержня), длякоторых составим формулы для вычисления внутренних усилий: поперечной силы Q и изгибающего момента М.
s — отрезок от начала до точкисечения балки
I cечение />
/>
II cечение />
/>
/>
III cечение />
/>
/>
IV cечение />
/>
/>/>
В точках границ />, />,/>организуем вычисленияпоперечной силы Q слева (и QQсправа), изгибающего момента М слева (и MМ справа) отрассматриваемых точек.
1 точка границ: />
/>
/>
/>
2 точка границ: />
/>
/>
/>
3 точка границ: />
/>
/>
/>/>7. Численный методрешения СЛАУ — метод Гаусса
Численный метод Гаусса относится к точным методам решениясистемы линейных алгебраических уравнений. Он основан на приведении матрицыкоэффициентов />к треугольномувиду. Процесс поиска решения системы линейных алгебраических уравненийвыполняется в два хода: прямой ход и обратный ход.
Прямой ход исключения переменных выполняется путёмпреобразования коэффициентов СЛАУ, коэффициенты при неизвестных обращаются внуль, начиная со второго по формулам:
/>; />; />, где
/>; />; />
Процесс преобразования уравнений заканчивается последнимуравнением. Результатом прямого хода является получение матрицы коэффициентов ктреугольному виду.
Обратный ход (последовательное нахождение неизвестных
/>) выполняется поформулам:
/>; />; />; />, где
/>; />
В результате формируется матрица неизвестных: /> Метод Гаусса для решенияСЛАУ применим при условии, что все диагональные элементы матрицы /> отличны от нуля, т.е. />, где />./>8. Обоснованиеприменения метода Гаусса
Исходная СЛАУ имеет на главной диагонали элементы равныенулю:
/> /> />
следовательно, метод Гаусса применять нельзя.
Для того чтобы использовать численный метод Гаусса для решенияданной СЛАУ необходимо её преобразовать. Для этого необходимо применить кисходной СЛАУ схему выбора главных элементов. В исходной СЛАУ переставимуравнения местами: первое уравнение поставим на второе место, второе уравнениепоставим на третье место, третье уравнение поставим на первое место.
В результате на главной диагонали матрицы А отсутствуютчлены равные нулю.
/>
Для повышения точности получаемого решения СЛАУ матрица Адолжна быть диагонально преобладающей:
/>, /> />
Преобразованная СЛАУ имеет вид:
/>
/>
/>
Условия применения метода Гаусса выполняются, следовательно,метод Гаусса можно использовать для решения преобразованной СЛАУ./>9. Блок — схемаалгоритма
/>
/>
/>10. Программа
CLS
SCREEN 12
WINDOW (20, 20) — (-20, — 20)
N = 3
PRINT «Программу составил студент гр.320851 Клычников А.В.»
50 PRINT ” Расчет жесткого стержня”
PRINT ” Исходные данные”
INPUT «Интенсивностьраспределения нагрузки q4 (кH/м)=»; q4
INPUT «Отрезок балки С1 (м) =»;C1
INPUT «Пролет балки L1 (м) =»; L1
INPUT «Отрезок балки C2 (м) =»; c2
INPUT «Пролет балки L2 (м) =»; L2
INPUT «Круговой момент M1 (кH*м) =»; M1
INPUT «Круговой момент M2 (кH*м) =»; M2
INPUT «Сосредоточенная сила P1 (кH) =»; P1
INPUT «Сосредоточенная сила P2 (кH) =»; P2
PRINT ” ”
IF C1 > 0 THEN GOTO 10 ELSE GOTO 40
10 IF c2 > 0 THEN GOTO 20 ELSE GOTO 40
20 IF L1 > C1 THEN GOTO 30 ELSE GOTO 40
30 IF L2 > c2 THEN GOTO 60 ELSE GOTO 40
40 PRINT «Ошибка ввода»: GOTO 50
60 F = q4 * c2
DIM A (N, N), R (N), B (N)
A (1,1) = — (L1 — C1): A (1,2) = 0: A (1,3)= 0
A (2,1) = 0: A (2,2) = L1 — C1: A (2,3) =L2
A (3,1) = — (L1 — C1): A (3,2) = 0: A (3,3)= L2
B (1) = P1 * (L1 — C1) — M1 — F * (C1/2) — M2- P2 * c2
B (2) = F * (L2 — c2/2) — M1 + P2 * (L2 — c2)- M2
B (3) = — P1 * (L1 — C1) — M1 + F * (L2 — c2/2)- M2 + P2 * (L2 — c2)
FOR I = 1 TO N — 1
FOR J = I + 1 TO N
A (J, I) = — A (J, I) / A (I, I)
FOR K = I + 1 TO N
A (J, K) = A (J, K) + A (J, I) * A (I, K): NEXTK
B (J) = B (J) + A (J, I) * B (I): NEXT J
NEXT I
R (N) = B (N) / A (N, N)
FOR I = N — 1 TO 1 STEP — 1: H = B (I)
FOR J = I + 1 TO N: H = H — R (J) * A (I, J):NEXT J
R (I) = H / A (I, I)
NEXT I
R1 = R (1): R2 = R (2): R3 = R (3)
X = R1 — P1 + R2
Y = R3 — P2 — F
PRINT ” Результаты ”
PRINT «Опорная реакция в точке 1 R1=»; R (1);«kН»
PRINT «Опорная реакция в точке 2 R2=»; R (2);«kН»
PRINT «Опорная реакция в точке 3 R3=»; R (3);«kН»
PRINT «Y=»; Y; ” X=”; X
PRINT
PRINT ” Таблица ординат эпюр Q и M ”
PRINT ” S Q M QQ MM”
FOR s = 0 TO L1 + L2
IF s >= 0 AND s
Q = 0
M = 0
GOTO 70
END IF
IF s > C1 AND s
Q = R1 — P1
M = P1 * (s — C1) — R1 * (s — C1) + M1
GOTO 70
END IF
IF s > L1 AND s
Q = 0
M = P1 * (L1 — C1) — R1 * (L1 — C1) + M1
GOTO 70
END IF
IF s > L1 + L2 — c2 AND s
Q = — P2 — q4 * (s — L1 — L2 + c2)
M = P1 * (L1 — C1) — R1 * (L1 — C1) + M1 +M2 + P2 * (s — L1 — L2 + c2) + q4 * (s — L1 — L2 + c2) * (s — L1 — L2 + c2) / 2
GOTO 70
END IF
IF s = C1 THEN
Q = R1 — P1
M = M1
QQ = R2 — P1 + R1
MM = — M1 — R2 * (L1 — s) + P2 * (L2 — c2)- M2 — R3 * L2 + F * (L2 — c2/2)
GOTO 80
END IF
IF s = L1 THEN
Q = R1 — P1 + R2
M = P1 * (s — C1) — R1 * (s — C1) + M1
QQ = R2
MM = P2 * (L2 — c2) — M2 — R3 * L2 + F * (L2- c2/2)
GOTO 80
END IF
IF s = L1 + L2 — c2 THEN
Q = — P2
M = M2 + P1 * (L1 — C1) — R1 * (L1 — C1) +M1 + F * (L1 — C1) / 2 — 30
QQ = R3 — P2 — F
MM = — M2 — R3 * c2 + F
GOTO 80
END IF
70 PRINT USING “##. ## ####. #### ####.####”; s; Q; M: GOTO 90
80 PRINT USING “##. ## ####. #### ####.#### ####. #### ####. ####”; s; Q; M; QQ; MM
90 NEXT s
A$ = INPUT$ (1)
LINE (10,8) — (18,8), 8
LINE (10,3) — (10, 20), 8
FOR Z = 10 TO 18 STEP.5
LINE (Z, 7.9) — (Z, 8.1), 8
FOR W = 3 TO 20 STEP.5
LINE (9.9, W) — (10.1, W), 8
NEXT W
NEXT Z
LINE (10, — 3) — (18, — 3), 8
LINE (10, 0) — (10, — 18), 8
FOR Z = 10 TO 18 STEP.5
LINE (Z, — 2.9) — (Z, — 3.1), 8
FOR W = — 18 TO 0 STEP.5
LINE (9.9, W) — (10.1, W), 8
NEXT W
NEXT ZFOR T = 0 TO L1 + L2 STEP.001
IF T >= 0 AND T
Q = 0
M = 0
V1 = Q
U1 = M
GOTO 100
END IF
IF T > C1 AND T
Q = R1 — P1
M = P1 * (T — C1) — R1 * (T — C1) + M1
V2 = Q
U2 = M
GOTO 100
END IF
IF T > L1 AND T
Q = 0
M = P1 * (L1 — C1) — R1 * (L1 — C1) + M1
V3 = Q
U3 = M
GOTO 100
END IF
IF T > L1 + L2 — c2 AND T
Q = — P2 — q4 * (T — L1 — L2 + c2)
M = P1 * (L1 — C1) — R1 * (L1 — C1) + M1 +M2 + P2 * (T — L1 — L2 + c2) + q4* * (T — L1 — L2 + c2) * (T — L1 — L2 + c2) /2
GOTO 100
END IF
100 PSET (T / 3 + 10, Q / 3 + 8), 4
PSET (T / 3 + 10, M / 3 — 3), 5
NEXT T
T = C1: GOTO 110
110 Q = R1 — P1
M = M1
PSET (T / 3 + 10, Q / 3 + 8), 4
PSET (T / 3 + 10, M / 3 — 3), 5
LINE (T / 3 + 10, V1/3 + 8) — (T / 3 + 10,Q / 3 + 8), 4
LINE (T / 3 + 10, U1/3 — 3) — (T / 3 + 10,M / 3 — 3), 5
T = L1: GOTO 120
120 Q = R1 — P1 + R2
M = P1 * (T — C1) — R1 * (T — C1) + M1
PSET (T / 3 + 10, Q / 3 + 8), 4
PSET (T / 3 + 10, M / 3 — 3), 5
LINE (T / 3 + 10, V2/3 + 8) — (T / 3 + 10,Q / 3 + 8), 4
LINE (T / 3 + 10, U2/3 — 3) — (T / 3 + 10,M / 3 — 3), 5
T = L1 + L2 — c2: GOTO 130
130 Q = — P2
M = M2 + P1 * (L1 — C1) — R1 * (L1 — C1) +M1 + F * (L1 — C1) / 2
PSET (T / 3 + 10, Q / 3 + 8), 4
PSET (T / 3 + 10, M / 3 — 3), 5
LINE (T / 3 + 10, V3/3 + 8) — (T / 3 + 10,Q / 3 + 8), 4
LINE (T / 3 + 10, U3/3 — 3) — (T / 3 + 10,M / 3 — 3), 5
END11. Форма ввода — вывода информации
Программу составил студент гр.320851 Клычников А.В.”
Расчет жесткого стержня
Исходные данные
Интенсивность распределения нагрузки q4(кH/м) = 10
Отрезок балки c1 (м) = 3
Пролет балки L1 (м) = 6
Отрезок балки c2 (м) = 2
Пролет балки L2 (м) = 12
Круговой момент M1 (кH*м) = 10
Круговой момент M2 (кH*м) = 35
Сосредоточенная сила P1 (кH) = 15
Сосредоточенная сила P2 (кH) = 30
Результаты
Опорная реакция в точке 1 R1=56.6668kН
Опорная реакция в точке 2 R2=-41.6667kН
Опорная реакция в точке 3 R3=50kН
Y=0 X=/>
PRINT ” Таблица ординат эпюр Q и M ”
x Q M QQ MM
0.0000 0.0000 0.0000
1.0000 0.0000 0.0000
2.0000 0.0000 0.0000
3.0000 41.6667 10.0000 0.0000 0.0000
4.0000 41.6667 -31.6667
5.0000 41.6667 -73.3334
6.0000 0.0000 -115.0000 -41.6667 -115.0000
7.0000 0.0000 -115.0000
8.0000 0.0000 -115.0000
9.0000 0.0000 -115.0000
10.0000 0.0000 -115.0000
12.0000 0.0000 -115.0000
13.0000 0.0000 -115.0000
14.0000 0.0000 -115.0000
15.0000 0.0000 -115.0000
16.0000 -30.0000 -80.0000 0.0000 -115.0000
17.0000 -40.0000 -45.0000
18.0000 -50.000 0.0000
Проверка по оси X =0
/>/>
Программу составил студент Лазарев В.А. гр.320851/>12. Анализ результатов
Эпюры поперечной силы Q иизгибающего момента М.
Q (kH) M (kHм)
/>
Анализ результатов показал, что наиболее напряженное сечениестержня находится в точке с координатой S=14м, Q=-40 kH, M=-80kHм.
/>Литература
1. Данилина Н.И. Численные методы. — М.: Выш. шк. 1976г. — 368 с.
2. Дъяков В.П. Справочник поалгоритмам и программам на языке Бейсик для ПЭВМ. — М.: Наука, 1987г. — 240с.