§1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
1п. Общий вид нелинейного уравнения
F(x)=0
Нелинейные уравнения могут быть двух видов:
Алгебраические
anxn + an-1xn-1 +… + a0 = 0
Трансцендентные- это уравнения в которых х является аргументом
тригонометрической, логарифмической или показательной функции.
Значение х0 при котором существует равенство f(x0)=0 называется корнем
уравнения.
В общем случае для произвольной F(x) не существует аналитических формул
определения корней уравнения. Поэтому большое значение имеют методы,
которые позволяют определить значение корня с заданной точностью. Процесс
отыскания корней делиться на два этапа:
Отделение корней, т.е. определение отрезка содержащего один корень.
Уточнение корня с заданной точностью.
Для первого этапа нет формальных методов, отрезки определяются или
табуляцией или исходя из физического смысла или аналитическими методами.
Второй этап, уточнение корня выполняется различными итерационными методами,
суть которых в том, что строится числовая последовательность xi сходящихся
к корню x0
Выходом из итерационного процесса являются условия:
|f(xn)|??
|xn-xn-1|??
рассмотрим наиболее употребляемые на практике методы: дихотомии, итерации и
касательных.
2 п. Метод половинного деления.
Дана монотонная, непрерывная функция f(x), которая содержит корень на
отрезке [a,b], где b>a. Определить корень с точностью ?, если известно, что
f(a)*f(b)a. Определить корень с точностью ?.
Суть метода
Дано f(x)=0 (1)
Заменим уравнение (1) равносильным уравнением x=?(x) (2). Выберем грубое,
приближенное значение x0 , принадлежащее[a,b], подставим его в правую часть
уравнения (2), получим:
x1= ?(x0) (3) , далее подставим х1 в правую часть уравнения (3) получим:
x2= ?(x1) (4)
x3= ?(x2) (5)
Проделаем данный процесс n раз получим xn=?(xn-1)
Если эта последовательность является сходящейся т.е. существует предел
x* =lim xn , то данный алгоритм позволяет определить искомый корень.
Выражение (5) запишем как x*= ?(x*) (6)
Выражение (6) является решением выражения (2), теперь необходимо
рассмотреть в каких случаях последовательность х1…хn является сходящейся.
Условием сходимости является если во всех токах x принадлежит [a,b]
выполняется условие:
Приведем ГСА для метода итерации:
4 п. Метод касательных (Ньютона).
Дана непрерывная функция f(x), которая содержит единственный корень на
отрезке [a,b], где b>a при чем определены непрерывны и сохраняют знак f`(x)
f“(x). Определить корень с точностью ?.
Суть метода
Выбираем грубое приближение корня х0 (либо точку a, либо b)
Наити значение функции точке х0 и провести касательную до пересечения с
осью абсцисс, получим значение х1
Определить значение функции в точке х1, через эту точку провести
касательную получим точку х2
Повторим процесс n раз
Если процесс сходящийся то xn можно принять за искомое значение корня
Условиями сходимости являются:
|f(xn)|??
|xn-xn-1|??
Приведем ГСА метода касательных:
5п. Задание для РГР
Вычислить корень уравнения
На отрезке [2,3] с точностью ?=10-4 методами половинного деления, итерации,
касательных.
6 п. Сравнение методов
Эффективность численных методов определяется их универсальностью, простотой
вычислительного процесса, скоростью сходимости.
Наиболее универсальным является метод половинного деления, он гарантирует
определение корня с заданной точностью для любой функции f(x), которая
меняет знак на [a,b]. Метод итерации и метод Ньютона предъявляют к
функциям более жесткие требования, но они обладают высокой скоростью
сходимости.
Метод итерации имеет очень простой алгоритм вычисления, он применим для
пологих функций.
Метод касательных применим для функций с большой крутизной, а его
недостатком является определение производной на каждом шаге.
ГСА головной программы, методы оформлены подпрограммами.
Программа по методам половинного деления, итерации и метода Ньютона.
CLS –
a = 2: b = 3: E = .0001
DEF FNZ (l) = 3 * SIN(SQR(l)) + .35 * l – 3.8
F1 = FNZ(a): F2 = FNZ(b)
IF F1 * F2 > 0 THEN PRINT “УТОЧНИТЬ КОРНИ”: END
GOSUB 1
x0 = a
IF ABS((-3 * COS(SQR(x))) / (.7 * SQR(x))) > 1 THEN PRINT “НЕ СХОДИТСЯ”
DEF FNF (K) = -(3 * SIN(SQR(x)) – 3.8) / .35
GOSUB 2
x0 = b
F = FNZ(x0)
DEF FND (N) = (3 * COS(SQR(N)) / (2 * SQR(N))) + .35 _
IF F * (-4.285 * (-SQR(x0) * SIN(SQR(x)) – COS(SQR(x))) / (2 * x * SQR(x)))
GOSUB 3
END
‘=========Метод половинного деления========
1 x = (a + b) / 2: T = T + 1
F3 = FNZ(x)
IF ABS(F3)
IF F1 * F3
IF ABS(b – a) > E THEN 1 –
5 PRINT “X=”; x, “T=”; T
RETURN
‘=========Метод итерации==========
2 x0 = a
12 X2 = FNF(x0): S = S + 1
IF ABS(X2 – x0) > E THEN x0 = X2: GOTO 12
PRINT “X=”; X2, “S=”; S
RETURN
‘========Метод касательных=======
3 x0 = b
23 D = D + 1
F = FNZ(x0): F1 = FND(x0)
X3 = x0 – F / F1
IF ABS(X3 – x0)
IF ABS(F) > E THEN x0 = X3: GOTO 23
100 PRINT “X=”; X3, “D=”; D
RETURN
Ответ
x= 2,29834 T=11
x=2,29566 S=2
x=2,29754 D=2
где T,S,D-число итерации для метода половинного деления, итерации,
касательных соответственно.
———————–
Конец
Вывод x,F3
|b-a|>?
a=x1
b=x1
нет
да
F1* F30
F1=f(a); F2=f(b)
Ввод а,b,?
Начало
Уточнить a,b
[pic]
Конец
Вывод x1
да
нет
|x1|-|x0|>?
x1=?(x0)
Ввод x0,?
Начало
x0=x1
[pic]
[pic]
нет
да
|f(x)|>?
x0=x1
Конец
Вывод x1
да
нет
|x1-x0|