Расчетные схемы механической части электропривода
Механическая часть электромеханической системы (см. рис.1.2)включает в себя все связанные движущиеся массы: двигателя, передаточногоустройства и исполнительного механизма машины. К ротору двигателя при скорости w приложен электромагнитныймомент М, под действием которого механическая часть приводится в движение и нарабочем органе машины совершается предусмотренная технологией механическаяработа. Непосредственное представление о движущихся массах установки имеханических связях между ними дает кинематическая схема электропривода.
/>
Конкретные кинематические схемы отличаются многообразием, однакообладают и общими свойствами, которые можно установить с помощью кинематическойсхемы электропривода, представленной на рис.1.1, а. Здесь двигатель черезсоединительную муфту СМ1, клиноременную передачу КРП, ряд зубчатых передач ЗП1…ЗПj и соединительную муфту СМ2 приводит во вращение барабан Б,преобразующий вращательное движение в поступательное перемещение ряда связанныхмасс. В данной примерной схеме предполагается, что рабочим органом механизмаявляется грузозахватывающее устройство, перемещающее груз Гр, имеющий массу mгр,движущийся со скоростью Vгр и подверженный воздействию силы тяжестиР.
Рассмотренная схема наглядно отражает то положение, что в общемслучае механическая часть электропривода представляет собой систему связанныхмасс, движущихся с различными скоростями вращательно или поступательно. Принагружении элементы системы (валы, опоры, клиноременные передачи, зубчатыезацепления, канаты и т. п. ) деформируются, так как механические связи неявляются абсолютно жесткими. При изменениях нагрузки массы имеют возможностьвзаимного перемещения, которое при данном приращении нагрузки определяетсяжесткостью связи.
При составлении данной кинематической схемы принято, чтомеханическая часть привода содержит n вращательно движущихся сосредоточенныхмасс и k поступательно, причем механическая инерция элементов, связывающих этимассы, не учитывается. Каждый вращательно движущийся элемент обладает моментоминерции J, и связан с (i + 1)-м элементом механической связью, обладающейжесткостью сi Соответственно каждый поступательно движущийся элементимеет массу тj и связан со следующим механической связью сжесткостью сj. В пределах деформаций упругих механических связей,для которых выполняется закон Гука, их жесткости можно определить с помощьюсоотношений:
/>,
где Мyi и Fyj — нагрузка упругоймеханической связи; Dfi=fi-fi+1 и DSj=Sj-Sj+1 — деформация упругого элемента при вращательном и поступательном движениях; (f и S — перемещения (пути)соответственно вращательно и поступательно движущихся элементов.
Массы элементов и жесткости элементарных связей в кинематическойцепи привода различны. Определяющее влияние на движение системы оказываютнаибольшие массы и наименьшие жесткости связей. Поэтому одной из первых задачпроектирования и исследования электроприводов является составление упрощенныхрасчетных схем механической части, учитывающих возможность пренебреженияупругостью достаточно жестких механических связей и приближенного учета влияниямалых движущихся масс. При этом следует учитывать, что в связи с наличием передачразличные элементы системы движутся с разными скоростями, поэтомунепосредственно сопоставлять их моменты инерции Ji, массы mj,жесткости связей ci и сj, деформации Dfi и DSj,перемещения fi и Sj и т. п. невозможно. Как следствие, длясоставления расчетных схем механической части электропривода необходимоприведение всех параметров элементов кинематической цепи к одной расчетнойскорости. Обычно наибольшее удобство представляет приведение их к скоростидвигателя, поэтому оно используется во всем последующем изложении. Однакоследует иметь в виду возможность приведения к скорости любого элемента. Вчастности, при решении ряда задач оказывается полезным приведение к скорости /> />
механизма, особеннопри поступательном движении его органа.
Условием соответствия приведенной расчетной схемы реальноймеханической системе является выполнение закона сохранения энергии. Приприведении необходимо обеспечить сохранение запаса кинетической и потенциальнойэнергии системы, а также элементарной работы всех действующих в системе сил имоментов на возможных перемещениях. Соответственно при приведении моментаинерции элемента системы, движущегося вращательно со скоростью wi или массы, поступательнодвижущейся со скоростью v к расчетной скорости wi должны выполнятьсяусловия
Откуда получаем формулы приведения
/>
где i1i=w1/wi — передаточное число отвала приведения до i-го вала; p1j=vi/w1 — радиус приведения к валусо скоростью w1.
При приведении вращательных fi и поступательных Sjперемещений необходимо учитывать, что передаточное число и радиус приведенияопределяются соотношением скоростей. Исходя из этого, в общем случаеперемещения в системе связаны так:
/>
При линейных кинематических связях i1i=const и r1j=const. В этом случаеформулы приведения перемещений имеют вид
/>
При приведении жесткостей механических связей должно выполнятьсяусловие равенства запаса потенциальной энергии деформации упругих элементов.Соответственно
/>
Откуда получим формулы приведения
/>
Приведениемоментов и сил нагрузки элементов кинематической цепи должно осуществляться наосновании условия равенства элементарной работы на возможных перемещениях:
/>
Следовательно,
/>
При проектировании и исследованииэлектроприводов моменты инерции, массы, жесткости связей реальных элементовобычно бывают известны, а действующие в системе силы либо заданы, либорассчитываются по исходным данным механизма и условиям его технологии. Послеприведения их значений к расчетной скорости представляется возможным,сопоставив приведенные значения моментов инерции и жесткостей, осуществитьвыбор главных масс и главных упругих связей и на этой основе составитьприближенную расчетную схему механической части. Для большей наглядностисопоставления по результатам приведения можно построить исходную приведеннуюрасчетную схему, представив в ней массы в виде прямоугольников, площадь которыхпропорциональна приведенным моментам инерции, а жесткости связей между ними ввиде соединений, длина которых обратно пропорциональна жесткости (прямопропорциональна податливости связей).
Для кинематической схемы на рис.1.1, априведенная расчетная схема может иметь вид, показанный на рис.1.1, б. Дляпримера в ней выделены три наиболее значительные массы — ротор двигателя смоментом инерции J1 барабан с приведенным моментом инерции Jпр.nи груз Jпр.k. Рассматривая эту схему, можно видеть, что вследствиемалости остальных моментов инерции ее можно существенно упростить. Для этогоследует малые массы добавить к близлежащим большим, а затем определитьэквивалентные жесткости связей между полученными массами по общей формуле:
/>
/>
На исходной расчетной схеме (рис 1.1, б) стрелками показаныприложенные к отдельным массам системы приведенные моменты действующих всистеме внешних сил Мпр.i и Mnp.j. К ротору двигателя J1приложен электромагнитный момент двигателя M и момент механических потерьDM,причем для правильного учета знака действующих моментов указано положительноедля всей приведенной схемы направление скорости w1. При переходе купрощенной расчетной схеме необходимо просуммировать все внешние приложенные кмассам силы, связи между которыми принимаются жесткими.
Исследования динамики электроприводов показывают, чтонеразветвленные расчетные механические схемы в большинстве практических случаевв результате выделения главных масс и жесткостей сводятся к трехмассовой(рис.1.2, а), двухмассовой (рис.1.2, б) расчетным схемам и к жесткомуприведенному механическому звену (рис.1.2, в).
Параметрами обобщенной трехмассовой упругой механической системы(расчетной схемы на рис.1.2, а) являются суммарные приведенные моменты инерциимасс J1, J2 и J3, образованные приведеннымимассами, связи между которыми приняты жесткими, и эквивалентные приведенныежесткости механических упругих связей между J1 и J2-c12и между J2 и J3-c23 первая масса представляетсобой ротор двигателя и жестко с ним связанные элементы; к этой массе приложеныэлектромагнитный момент двигателя М и момент статической нагрузки Мс1,который обычно является суммарным моментом потерь на валу двигателя и в жесткос ним связанных элементах.
К промежуточной массе механизма J2 приложен моментсопротивления MC2, а к третьей J3 — момент внешнейнагрузки этой массы MC3.
Трехмассовая упругая система при исследовании электромеханическихсистем автоматизированного электропривода используется в тех случаях, когдавозникает необходимость более детального анализа условий движения массмеханизма. Для решениязадачи при этом обычно используется математическое моделирование на аналоговыхили цифровых вычислительных машинах.
Дляисследования отдельных физических особенностей трехмассовая расчетная схемасводится к двухмассовой.
Вобобщенной двухмассовой упругой системе (рис.1.2, б) суммарный приведенныймомент инерции элементов, жестко связанных с двигателем, аналогично предыдущемуобозначен J1. Суммарный приведенный момент инерции элементов, жесткосвязанных с рабочим органом механизма, обозначен J2. Безынерционнаяупругая связь между этими массами характеризуется приведенной эквивалентнойжесткостью с12. Суммарные моменты нагрузок на валу двигателя имеханизма обозначены соответственно Mс1 и Mс2.
Электромеханическаясистема с двухмассовой упругой механической частью представляет собойпростейшую модель электропривода, наиболее удобную для изучения влияния упругихмеханических связей, поэтому в данном курсе является основным объектомизучения.
Когдапараметры системы таковы, что влияние упругих связей незначительно, или прирешении задач, в которых с этим влиянием можно не считаться, механическая частьпредставляется простейшей расчетной схемой, не учитывающей влияния упругихсвязей, -жестким приведенным звеном (рис.1.2, в). В этих случаях многомассоваямеханическая часть электропривода заменяется одной эквивалентной массой смоментом инерции JS, на которую воздействуют электромагнитный момент двигателя М и суммарныйприведенный к валу двигателя момент нагрузки Mс. Момент нагрузки Мсвключает в себя все внешние силы, приложенные к механической системе, кромемомента двигателя M.
Приприведении к валу двигателя (w1=wдв) суммарный приведенный моментинерции электропривода JS может быть выражен общей формулой
/>
где п иk — число масс установки, совершающих соответственно вращательное ипоступательное движение.
Суммарныйприведенный к валу двигателя момент статической нагрузки Мс можно вобщем виде записать так:
/>
где q, p- число внешних моментов Mс и сил Fj приложенных ксистеме, кроме электромагнитного момента двигателя.
Взаключение отметим, что на практике встречаются разветвленные кинематическиесхемы, которые приводят к разветвленным расчетным схемам механической частиХарактерным примером являются кинематические схемы многодвигательныхэлектроприводов, в которых двигатели через индивидуальные редукторывоздействуют на общий механизм.
1. Типовыестатические нагрузки электропривода
Электромагнитныймомент двигателя является выходной величиной для электрической части системы(см. рис.В.2) и входной для механической, поэтому при рассмотрении процессов всистеме он выделен из всех действующих на механическую часть внешних моментов.Все остальные силы и моменты определяют статическую нагрузку электропривода Mс.Во всех трех расчетных схемах (рис.1.2) в соответствии с (1.13) эта нагрузка неизменна,так как для двухмассовой системы Mc1 + Мс2=Mс,а для трехмассовой Mс1 + Мс2 + Mс3=Mс.Иными словами, при учете упругости суммарная нагрузка неизменна, но уточняется,к каким массам системы приложены отдельные составляющие нагрузки.
Все силыи моменты нагрузки, приложенные к механической части электропривода, делятся насилы и моменты механических потерь и силы и моменты, представляющие полезныенагрузки исполнительного механизма. Для схемы рис 1.1, б в общем виде можнозаписать
Mc=DMS+Mпол.S (1.14)
где –
/>
суммарныйприведенный момент потерь, с учетом момента механических потерь в двигателе; р,q — число моментов и сил в системе, представляющих механические потери, Мпол.S — суммарный приведенный моментполезной нагрузки.
/>
Полезнаянагрузка является одним из главных факторов, связывающих электропривод стехнологическим процессом приводимого в движение механизма Силы и моментыполезной нагрузки в различных механизмах имеют различный характер Длявозможности обобщенного учета их влияния необходимо их классифицировать,выделив ограниченное число типовых нагрузок.
Так какдля электропривода имеет важное значение, как зависит момент статическойнагрузки от скорости, в дальнейшем используется понятие механическойхарактеристики исполнительного механизма, представляющей собой зависимости Mс=f(w) и w=f(Mс).
Похарактеру взаимодействия с электроприводом все силы и моменты делятся наактивные и реактивные
Активнымисилами и моментами называются силы и моменты, создаваемые внешними по отношениюк двигателю источниками механической энергии независимо от движенияэлектропривода, например потенциальной энергией перемещаемых по вертикалигрузов, энергией ветра и т.п. На рис.1.3,a упрощенно показан подъемныймеханизм, нагрузкой которого является приведенный момент силы тяжести груза G:
/>
где g — ускорение силытяжести; т — масса груза.
Сила тяжести как приподъеме, так и при спуске груза направлена в одну сторону — в сторону спуска инеизменна по значению. Соответственно механическая характеристикаисполнительного механизма w=f(Mс) в этом случае имеет вид прямой Мс=const(рис.1.3, а). Момент Mс в соответствии с (1.15) зависит от массыподнимаемого или опускаемого груза и может изменяться в пределах от Mс=0(G=0) до Mс=Мс ном, соответствующего номинальнойгрузоподъемности (G=Gном).
Более широкие пределыизменения активной нагрузки характерны для уравновешенных подъемных механизмов.На рис.1.3, б показаны упрощенная схема такого механизма и соответствующиезависимости w=f(Mс)В данном случае:
M=(G1-G2)·R=g·(m-m2)·R. (1.16)
Очевидно,что в таком механизме при G2=const знак нагрузки электропривода приданном направлении скорости будет зависеть от массы m1 поднимаемогогруза G1. При m1=m]HOM МС=МСном>0,так как G1>G2. При том же направлении скорости w>0 в случае m1=0 знакнагрузки в соответствии с (1.14) изменяется. Физически это означает, что помере уменьшения массы груза m1 тормозной момент нагрузкиэлектропривода уменьшается, при G1=G2 становится равнымнулю и при дальнейшем уменьшении m1(G1>G2)двигатель должен перейти в тормозной режим, подтормаживая опускающийся груз G2,(рис.1.3, б). При изменении знака скорости w
Реактивнымисилами и моментами называются силы и моменты сопротивления движению,возникающие как реакция на активный движущий момент, развиваемый двигателем,либо любой другой активный движущий момент, например обусловленный силойтяжести или силой инерции. Эти нагрузки всегда действуют в направлении,противоположном движению электропривода, и изменяют свое направление приизменении знака скорости.
Такимобразом, все реактивные силы и моменты зависят от скорости. По характеру этойзависимости различают нагрузки типа сухого трения, типа вязкого трения ивентиляторного типа.
Силы имоменты сухого трения неизменны по модулю, но скачком изменяют свой знак приизменении знака скорости
Мс=|Mc|sign w. (1.17)
Характеристикаw=f(Mс) для нагрузки типасухого трения показана на рис.1.4,a. В реальных механизмах эта характеристикаможет иметь более сложный вид из-за того, что в момент трогания силы трениямогут превышать их значения при движении. Эта особенность реальных сил имоментов сухого трения отмечена на рис.1.4,a штриховыми линиями и значениямимомента трогания ±Мс тр.
Реактивныенагрузки, возникающие при различных технологических процессах обработки, могутиметь одно направление, скачком изменяя свое значение до нуля при изменениизнака скорости. Примером может служить показанная на рис.1.4, б зависимостьмомента резания от скорости при обработке изделия резцом, как схематически этопоказано на рисунке. Значение статического момента при этом пропорциональноусилию резания FZ.
Mc=Fz·Rи
где Rи — радиус изделия.
Силы имоменты вязкого трения линейно зависят от скорости:
Mс=bвт·w, (1.18)
где bвт — коэффициент пропорциональности(рис.1.5,a).
Нагрузкаэлектропривода типа вязкого трения (1.18) на практике встречается редко, чащевсего ее можно наблюдать в виде слабой линейной составляющей в нагрузке типасухого трения. Существенное влияние на динамические процессы в механической системеоказывают силы внутреннего вязкого трения, пропорциональные скорости деформациивалов, канатов, муфт и других элементов. Момент внутреннего вязкого тренияможно записать в виде (см. рис 1.2, б)
Mвт=bвт(w1-w2) (1.19)
где w1 и w2 — скоростина входе и выходе деформируемого элемента; bвт — коэффициент пропорциональности.
Похарактеру влияния на механические колебания в механике все силы и моментыделятся на консервативные и диссипативные.
/> />
Консервативными называются силыи моменты, при воздействии которых на систему не происходит поглощения энергииколебаний. Такими являются силы, не зависящие от скорости, в частности силатяжести, работа которой за период колебаний скорости всегда равна нулю.Диссипативными называются силы и моменты, при воздействии которых на системупроисходит поглощение энергии колебаний. Вязкое трение является примеромдиссипативной силы (момента), так как в соответствии с (1.18) при изменениизнака скорости изменяется и знак момента, а механическая мощность сохраняетположительный знак, что соответствует поглощению энергии колебаний. Реально напрактике распространенными являются нагрузки, зависящие от скорости в болеевысокой степени:
/>
Mс=bмехw” (1.20)
При n=2нагрузка называется вентиляторной (рис.1.5, б). Такой зависимостью нагрузки отскорости обладают центробежные вентиляторы. Для ряда механизмов показательстепени n>2; например такую характеристику имеют центробежные насосы,работающие на противодавление.
Существенноевлияние на динамические процессы оказывают нагрузки, являющиеся периодическойфункцией угла поворота рабочего органа механизма. В приведенной схеме онизависят от утла поворота двигателя, например
Mc=MmaxSin w. (1.21)
Причинойвозникновения таких нагрузок являются особенности технологического процесса. Ихпоявление можно представить себе, если в механической схеме резания,приведенной на рис.1.4, б, предположить, что заготовка имеет в сечении овальнуюформу. Появление периодических нагрузок могут вызывать нелинейныекинематические связи типа кривошипно-шатунных, кулисных и других механизмов, укоторых периодической функцией угла поворота двигателя является радиусприведения r1j.
Во всехслучаях, когда скорость двигателя при работе с такими нагрузками изменяетсямало и приближенно может быть принята постоянной, для упрощения анализапериодические нагрузки рассматривают как функции времени:
/>
где wсp — средняя за период колебанийнагрузки скорость электропривода; k — коэффициент пропорциональности,связывающий частоту колебаний нагрузки с угловой скоростью двигателя.
Нагрузкиреальных электроприводов обычно содержат в качестве составляющих рассмотренныетиповые нагрузки. Так, в нагрузке электропривода реальной подъемной лебедки,кроме показанной на рис.1.3, а, активной составляющей, содержится момент потерьв двигателе и передачах, который имеет вид момента сухого трения со слабойвентиляторной составляющей, обусловленной наличием самовентиляции двигателя.
Привычислении приведенного статического момента Мс формулы (1.13) и(1.14) удобны для использования в тех случаях, когда все действующие вмеханизме силы и моменты определены. Обычно потери на трение в механизменеизвестны, и для их учета используется КПД механизма
hмех=h1·h2·h3….,
где h1, h2, h3 — КПДэлементов кинематической цепи.
Еслиизвестен полезный момент нагрузки механизма Mмех, то для прямогонаправления энергии приведенный к валу двигателя момент статической нагрузкиможет быть определен из равенства
/>
Следовательно,
/>
/>
где DM — момент механических потерь вдвигателе; i0=w1/wмех=i1i2i3…-общее передаточное число от двигателя к рабочему органу механизма. При обратномнаправлении потока энергии, когда нагрузка является активной, движущей идвигатель должен работать в тормозном режиме, уравнение баланса мощностей спомощью КПД передач можно записать так:
/>
В этомслучае
Моментмеханических потерь в двигателе невелик, составляет 1-5% номинального моментадвигателя, причем большие значения его соответствуют двигателям небольшоймощности. Если значение DMопределить трудно, его можно ориентировочно оценить по этим данным. Во многихпрактических случаях в (1.24) и (1.26) полагают DM=0, так как точность определения момента Mмехневелика, и он рассчитывается с некоторым запасом, при этом формулы приведениямомента статической нагрузки к валу двигателя принимают вид:
дляпрямого направления передачи энергии (двигательный режим работы двигателя)
/>
дляобратного (тормозной режим работы двигателя)
/>
Если рабочий органдвижется поступательно, уравнение баланса мощностей при прямом направлениипотока энергии, принимая DМ=0,можно записать так:
/>
Откуда
/>
Соответственнодля обратного направления потока механической энергии
/>
Необходимоиметь в виду, что КПД передач зависит от нагрузки, а для червячного зацепления- и от направления передачи энергии, поэтому при расчетах для правильногоопределения Мс следует использовать соответствующие зависимости hмех от полезной нагрузки передач.
2.Уравнения движения электропривода
Механическая часть электроприводапредставляет собой систему твердых тел, на движение которых наложеныограничения, определяемые механическими связями Уравнения механических связейустанавливают соотношения между перемещениями в системе, а в тех случаях, когдазадаются соотношения между скоростями ее элементов, соответствующие уравнениясвязей обычно интегрируются В механике такие связи называются голономными Всистемах с голономными связями число независимых переменных — обобщенныхкоординат, определяющих положение системы, — равно числу степеней свободысистемы Известно, что наиболее общей формой записи дифференциальных уравнений движениятаких систем являются уравнения движения в обобщенных координатах (уравненияЛагранжа)
/>
где WK — запас кинетической энергии системы, выраженный через обобщенные координаты qiи обобщенные скорости />i; Qi=dAi/dqi — обобщенная сила,определяемая суммой элементарных работ dА1 всех действующих сил на возможном перемещении dqi, или
/>
где L — функция Лагранжа, Q’i — обобщенная сила, определяемая суммойэлементарных работ dA,всех внешних сил на возможном перемещении dqi. Функция Лагранжа представляет собой разностькинетической WK и потенциальной Wп энергий системы,выраженных через обобщенные координаты qi и обобщенные скорости />i, те:
/>
УравненияЛагранжа дают единый и достаточно простой метод математического описаниядинамических процессов в механической части привода; их число определяетсятолько числом степеней свободы системы.
Вкачестве обобщенных координат могут быть приняты как различные угловые, так илинейные перемещения в системе Поэтому при математическом описании динамикимеханической части привода с помощью уравнений Лагранжа предварительногоприведения ее элементов к одной скорости не требуется. Однако, как былоотмечено, до выполнения операции приведения в большинстве случаев невозможноколичественно сопоставлять между собой различные массы системы и жесткостисвязей между ними, следовательно, невозможно выделить главные массы и главныеупругие связи, определяющие минимальное число степеней свободы системы,подлежащее учету при проектировании. Поэтому составление приведенных расчетныхмеханических схем и их возможное упрощение являются первым важным этапомрасчета сложных электромеханических систем электропривода независимо от способаполучения их математического описания.
Получимуравнения движения, соответствующие обобщенным расчетным механическим схемамэлектропривода, представленным на рис.1.2. В трехмассовой упругой системе обобщеннымикоординатами являются угловые перемещения масс f1, f2, f3, им соответствуют обобщенные скорости w1, w2 и w3. Функция Лагранжа имеет вид:
/>
Дляопределения обобщенной силы Q’1 необходимо вычислить элементарнуюработу всех приложенных к первой массе моментов на возможном перемещении
/>
Следовательно,
/>
Аналогичноопределяются две другие обобщенные силы:
Подставляя (1.34) в(1.32) и учитывая (1.35) и (1.36), получаем
/>
следующую системууравнений движения:/> />
В (1.37) пропорциональныедеформациям упругих связей моменты
являютсямоментами упругого взаимодействия между движущимися массами системы:
/>
С учетом(1.38) систему уравнений движения можно представить в виде
/>
Рассматривая(1.39), можно установить, что уравнения движения приведенных массэлектропривода однотипны. Они отражают физический закон (второй закон Ньютона),в соответствии с которым ускорение твердого тела пропорционально сумме всехприложенных к нему моментов (или сил), включая моменты и силы, обусловленныеупругим взаимодействием с другими твердыми телами системы.
Очевидно,повторять вывод уравнений движения вновь, переходя к рассмотрению двухмассовойупругой системы, нет необходимости. Движение двухмассовой системы описываетсясистемой (1.39) при J3=0 и М23=0
/>
/>
/>
Переход от двухмассовойупругой системы к эквивалентному жесткому приведенному механическому звену длябольшей наглядности его физической сути полезно выполнить в два этапа. Вначалеположим механическую связь между первой и второй массами (см. рис.1.2, б)абсолютно жесткой (с12=¥). Получим двухмассовую жесткую систему, расчетная схемакоторой показана на рис.1.9. Отличием ее от схемы на рис.1.2, б являетсяравенство скоростей масс w1=w2=wi, при этомв соответствии со вторым уравнением системы (1.40)
/>
Уравнение(1.41) характеризует нагрузку жесткой механической связи при работеэлектропривода. Подставив это выражение в первое уравнение системы (1.40),получим
/>
Следовательно,с учетом обозначений на рис.1.2, в МС=МС1+Мс2;JS=J1+J2Уравнение движения электропривода имеет вид
/>
Этоуравнение иногда называют основным уравнением движения электропривода.Действительно, значение его для анализа физических процессов в электроприводеисключительно велико. Как будет показано далее, оно правильно описываетдвижение механической части электропривода в среднем. Поэтому с его помощьюможно по известному электромагнитному моменту двигателя и значениям Мси JS оценить среднее значение ускоренияэлектропривода, предсказать время, за которое двигатель достигнет заданнойскорости, и решить многие другие практические вопросы даже в тех случаях, когдавлияние упругих связей в системе существенно.
/>
Как былоотмечено, передачи ряда электроприводов содержат нелинейные кинематическиесвязи, типа кривошипно-шатунных, кулисных и других подобных механизмов. Длятаких механизмов радиус приведения является переменной величиной, зависящей отположения механизма, и при получении математического описания необходимо этообстоятельство учитывать. В частности, для приведенной на рис.1.10 схемыкривошипно-шатунного механизма
/>
где Rk — радиус кривошипа.
Имея ввиду механизмы, аналогичные показанному на рис.1.10, рассмотрим двухмассовуюсистему, первая масса которой вращается со скоростью двигателя w и представляет собой суммарныйприведенный к валу двигателя момент инерции всех жестко и линейно связанныхвращающихся элементов J1 а вторая масса движется с линейнойскоростью v и представляет собой суммарную массу т элементов, жестко и линейносвязанных с рабочим органом механизма. Связь между скоростями w и v нелинейная, причем r = r(f). Для получения уравнения движениятакой системы без учета упругих связей воспользуемся уравнением Лагранжа (1.31),приняв в качестве обобщенной координаты угол ф. Вначале определим обобщеннуюсилу:
/>
где Мс’- суммарный момент сопротивления от сил, воздействующих на линейно связанные сдвигателем массы, приведенный к валу двигателя; Fc — результирующаявсех сил, приложенных к рабочему органу механизма и линейно связанным с нимэлементам; dS — возможноебесконечно малое перемещение массы т. Следовательно,
/>
где r(f)=dS/df — радиус приведения
Приналичии нелинейной механической связи рассматриваемого типа момент статическойнагрузки механизма содержит пульсирующую составляющую нагрузки, изменяющуюся вфункции угла поворота f:
/>
Запаскинетической энергии системы
/>
здесь JS(f)=J1+mr2(f) — суммарный приведенный к валудвигателя момент инерции системы.
/>
Вприменении к данному случаю левая часть уравнения (1.31) записывается так:
Такимобразом, в рассматриваемом случае уравнение движения жесткого приведенногозвена имеет вид
/>
Рассматривая(1.45), нетрудно установить, что при наличии нелинейных механических связейуравнение движения электропривода существенно усложняется, так как становитсянелинейным, содержит переменные коэффициенты, зависящие от углового перемещенияротора двигателя, и момент нагрузки, являющийся периодической функцией углаповорота. Сравнив это уравнение с основным уравнением движения (1.42), можноубедиться, что использовать основные уравнение движения электроприводадопустимо лишь при постоянстве момента инерции JS=const.
/>
Вслучаях, когда момент инерции при работе электропривода изменяется из-завнешних воздействий, вне связи с собственным движением, уравнение движенияэлектропривода принимает несколько иной вид Такие условия возникают при работемашин, в которых перемещение рабочего органа по пространственным траекториямосуществляется несколькими индивидуальными электроприводами, предусмотреннымидля каждой координаты перемещения (экскаваторы, краны, роботы и т.п.).Например, момент инерции электропривода поворота робота зависит от вылетасхвата относительно оси вращения. Изменения вылета схвата не зависят от работыэлектропривода поворота, они определяются движением электропривода изменениявылета. В подобных случаях приведенный момент инерции электропривода поворотаследует полагать независимой функцией времени JS(t). Соответственно, левая частьуравнения (1.31) запишется так:
ауравнение движения электропривода примет вид:
/>
ФункцииJS(t) и Mc(t) при этомследует определить путем анализа движения электропривода, вызывающего изменениямомента инерции и нагрузки, в рассматриваемом примере это электроприводмеханизма изменения вылета схвата.
Полученныематематические описания динамических процессов в механической частиэлектропривода, представляемой обобщенными схемами, позволяют анализироватьвозможные режимы движения электропривода. Условием динамического процесса всистеме, описываемой (1.42), является dw/dt¹0, т.е. наличие изменений скорости электропривода. Для анализастатических режимов работы электропривода необходимо положить dw/dt=0. Соответственно уравнениестатического режима работы электропривода с жесткими и линейными механическимисвязями имеет вид
/>
Если придвижении М¹Мс,dw/dt¹0, то имеет место или динамическийпереходный процесс, или установившийся динамический процесс. Последнеесоответствует случаю, когда приложенные к системе моменты содержат периодическуюсоставляющую, которая после переходного процесса определяет принужденноедвижение системы с периодически изменяющейся скоростью.
Вмеханических системах с нелинейными кинематическими связями (рис.1.10) всоответствии с (1.45) статические режимы работы отсутствуют. Если dw/dt=0 и w=const, в таких системах имеет местоустановившийся динамический процесс движения. Он обусловлен тем, что массы,движущиеся линейно, совершают принужденное возвратно-поступательное движение, иих скорость и ускорение являются переменными величинами.
Сэнергетической точки зрения режимы работы электропривода разделяются надвигательные и тормозные, отличающиеся направлением потока энергии черезмеханические передачи привода (см. §1.2). Двигательный режим соответствуетпрямому направлению передачи механической энергии, вырабатываемой двигателем, крабочему органу механизма. Этот режим обычно является основным дляпроектирования механического оборудования, в частности редукторов. Однако приработе электропривода достаточно часто складываются условия для обратнойпередачи механической энергии от рабочего органа механизма к двигателю, которыйпри этом должен работать в тормозном режиме. В частности, для электроприводов сактивной нагрузкой двигательный и тормозной режимы работы вероятны практическив равной степени. Тормозные режимы работы электропривода возникают также впереходных процессах замедления системы, в которых освобождающаяся кинетическаяэнергия может поступать от соответствующих масс к двигателю.
Изложенныеположения позволяют сформулировать правило знаков момента двигателя, котороеследует иметь в виду при использовании полученных уравнений движения. Припрямом направлении передачи механической мощности Р=Мw ее знак положителен, следовательно,движущие моменты двигателя должны иметь знак, совпадающий со знаком скорости. Втормозном режиме Р
Призаписи уравнений движения были учтены направления моментов, показанные наобобщенных расчетных схемах, в частности на рис.1.2, в. Поэтому правило знаковдля моментов статической нагрузки другое: тормозные моменты нагрузки должныиметь знак, совпадающий со знаком скорости, а движущие активные нагрузки — знак, противоположный знаку скорости.
3.Механическая часть электропривода как объект управления
Полученные уравнениядвижения позволяют проанализировать динамические особенности механической частиэлектропривода как объекта управления, пользуясь методами теорииавтоматического управления. Основой для анализа являются структурные схемы, видкоторых определяется принятой расчетной схемой механической части.
Получим структурныесхемы для расчетных схем, представленных на рис.1.2, с их помощью проведеманализ свойств механической части электропривода и оценим погрешности, вносимыепренебрежением упругими механическими связями.
Дляполучения структурной схемы трехмассовой упругой механической системыпродифференцируем (1.38):
/>
/> />
Далее положим в (1.39) и (1.46)d/dt =p, получим
Системеуравнений (1.47) соответствует структурная схема, приведенная на рис.1.11, а.Она дает представление о механической части электропривода в виде трехмассовойупругой системы как об объекте управления. Управляющим воздействием здесьявляется электромагнитный момент двигателя М, а возмущениями — моменты нагрузкиМс1, Мс2 и Мс3. Регулируемыми переменнымимогут быть скорости w1, w2 и w3,перемещения f1, f2 и f3, а также нагрузки упругих связей М12 и М23.Структурно механическая часть электропривода представляет собой сложный объект,состоящий из цепочки интегрирующих звеньев, замкнутых перекрестными внутреннимиобратными связями.
/>
Напомнимчитателю известный из теории автоматического регулирования простейший способпреобразования структурных схем и получения передаточных функций для замкнутыхобратными связями систем, который при необходимости используется в дальнейшемизложении. На рис.1.11, б представлен узел структурной схемы, в котором выделенапередаточная функция Wпр(р), соответствующая прямой передачесигнала, и передаточная функция Woбp(p) обратной связи. Передаточнаяфункция замкнутого контура
Путемпреобразований структуры (рис.1.11, о) с помощью формулы (1.48), получимпередаточную функцию механической части по управляющему воздействию привыходной переменной w1(р):
/>
Характеристическоеуравнение запишем в виде
/>
Решив биквадратноеуравнение, получим корни характеристического уравнения системы:
/>
где
/>
Анализ корней показывает,что при всех реальных сочетаниях параметров подкоренные выражения представляютсобой действительные положительные числа. Следовательно, р1=0; р23=±jW1;p45=±jW2.
Корнихарактеристического уравнения свидетельствуют о том, что система может бытьпредставлена в виде последовательного соединения интегрирующего звена и двухконсервативных колебательных звеньев с резонансными частотами колебаний W1 и W2. Приизменении момента М(р) скачком в системе могут возникать незатухающие колебанияс частотами W1 и W2, а когда частота возмущающих воздействий совпадает содной из этих частот, в системе развивается недемпфированный резонанс, прикотором амплитуды колебаний теоретически могут возрастать до бесконечности.Реально в системе присутствуют диссипативные силы, которые демпфируютколебания, ограничивая резонансные амплитуды большими, но конечными значениями./> />
Более детальный анализ свойствупругих механических систем можно провести на основе двухмассовой расчетнойсхемы, структура которой представлена на рис.1.12, а. Она составлена на основе(1.47) при М23=0, Mc3=0 и J3=0. Дляисследования свойств этой системы как объекта управления примем возмущения Мс1=Мс2=0и выполним показанные на рис.1.12, б-г преобразования ее структуры. Прежде всегоперенесем внутреннюю связь по упругому моменту на выход системы, как показанона рис.1.12, б. Эта операция позволит с помощью (1.48) определить передаточнуюфункцию, связывающую выходную координату со скоростью w1:
Далеенаходим передаточную функцию двухмассовой системы по управлению при выходной переменнойw1 аналогично рассмотренной выше для трехмассовойсистемы (1.49). В соответствии со схемой рис.1.12, б передаточная функцияпрямого канала
/>
/>
/> />
Следовательно, искомаяпередаточная функция с учетом (1.50) определяется так:
Характеристическоеуравнение системы
Корни характеристическогоуравнения
где W12 — резонансная частота двухмассовойупругой системы.
/>
Сравнение(1.52) с корнями (1.49) показывает, что при переходе от трехмассовой упругойсистемы к двухмассовой выявляется только одна частота W12, на которой возможно проявлениемеханического резонанса. Однако, если при этом значение W12 оказывается достаточно близким кодной из парциальных частот исходной системы W1 или W2, можнополагать, что двухмассовая система правильно отражает главные особенностимеханической части электропривода.
Дляудобства анализа введем следующие обобщенные параметры двухмассовой упругойсистемы: g=(J1+J2)/J1=JS/J1 — соотношение масс;
/> — резонансная частота системы;
/>-резонансная частота второй массы прижесткой заделке первой (J1®¥)
/>
С учетомэтих обозначений (1.50) и (1.51) могут быть представлены в виде: /> />
Полученные соотношения (1.53) и(1.54) позволяют представить механическую часть электропривода как объект управленияв виде трех звеньев, показанных на рис.1.12, в. С помощью этой схемы нетруднозаписать и передаточную функцию системы по управляющему воздействию привыходной переменной w2:
Передаточнойфункции (1.55) соответствует структурная схема объекта, представленная нарис.1.12, г. Для анализа свойств системы воспользуемся частотным методом теорииуправления. Уравнение амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) получим,подставив в (1.54) р=jW:
/>
где Aw1(W) — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ); Yw1(W) — фазо-частотная характеристика (ФЧХ) объекта при выходнойпеременной w1.
Преждечем перейти к построению логарифмических частотных характеристик, необходимообратить внимание на то, что при анализе механической и электрической частейсистемы электропривода здесь и в дальнейшем рассматриваются их передаточныефункции, в которых выходная и входная переменные чаще всего имеют различныеединицы измерения В этих случаях W(jW) представляет собой не комплексный коэффициент усиления, акомплексный коэффициент передачи, имеющий определенную единицу измерения Вчастности, в (1.56) его единица 1/(Н м·с), такую же размерность имеет величинаАw1(W).
Принеобходимости все дифференциальные уравнения и передаточные функции системымогут быть представлены в относительных единицах. Эта возможность используетсяпри расчетах и исследованиях электроприводов.
В данномкурсе, чтобы не осложнять понимание физического смысла явлений и параметров,представление переменных в относительных единицах, как правило, неиспользуется. При этом для выражения АЧХ в логарифмическом масштабе единицыамплитуд опускаются, что соответствует относительным их значениям при базовомзначении, равном единице измерения./> />
Асимптотические логарифмическиеАЧХ (ЛАЧХ) могут быть построены непосредственно по полученным передаточнымфункциям системы. В частности, в соответствии с (1.54) система может бытьпредставлена последовательным соединением интегрирующего звена, форсирующегозвена второго порядка с частотой сопряжения Wc1=W12//>и идеального колебательного звенас резонансной частотой Wc2=W12. При W=WС, имеетместо нуль передаточной функции, и ЛАЧХ при этом терпит разрыв, стремясь к -¥. При W=W12 имеетместо полюс передаточной функции, и амплитуды стремятся к +¥, образуя второй разрыв.Низкочастотная асимптота определяется интегрирующим звеном с коэффициентом,обратно пропорциональным JS и соответственно имеет наклон -20 дБ/дек. Высокочастотнаяасимптота (W>>W12) соответствует также интегрирующемузвену, но при коэффициенте в g раз большем, чем в области низких частот. В этом можно убедиться,устремив к бесконечности частоту W в (1.56).
Соответствующаявсем изложенным положениям ЛАЧХ объекта при выходной переменной w1 представлена на рис.1.13, а. Там же построена его ЛФЧХна основе уравнения АФХ (1.56). В низкочастотной области сдвиг междуколебаниями определяется интегрирующим звеном и составляет -90°. При W=W12//>скачком меняет знак числитель(1.56), что соответствует уменьшению фазового сдвига на 180°. Затем на частоте W=W12 аналогично изменяется знакзнаменателя, и фазовый сдвиг вновь принимает значение -90° в соответствии свысокочастотной асимптотой ЛАЧХ На рис.1.13, б представлены логарифмическиечастотные характеристики механической части электропривода по управлению привыходной переменной w2. Онипостроены по передаточной функции (1.55), которой соответствует АФХ,отличающаяся от (1.56) только равенством числителя единице при всех частотах. Внизкочастотной области ЛАЧХ Lw2 совпадает с Lw1, разрыв имеет место только на резонансной частоте W12 и в высокочастотной областистремится к асимптоте с наклоном -60 дБ/дек. Соответственно фазовый сдвиг междуколебаниями при этом составляет -270°.
Проанализируемосновные свойства механической части, воспользовавшись ее структурой,представленной на рис.1.12, в, и частотными характеристиками, изображенными нарис.1.13 При этом обратим внимание на различия во влиянии упругости на движениепервой и второй масс. Движение первой массы при небольших частотах колебанийуправляющего воздействия М в соответствии с (1.54) и рис.1.13, а определяетсясуммарным моментом инерции электропривода JS, причем механическая часть ведетсебя как интегрирующее звено. В частности, при М=const скорость w1 изменяется по линейному закону, на которыйнакладываются колебания, обусловленные упругой связью. Иными словами,интегрирующее звено в структуре на рис.1.12, б характеризует условия движениямеханической части в среднем.
Приприближении частоты колебаний момента к резонансной W12 амплитуды колебаний скорости w1 возрастают и при W1=W12 стремятся к бесконечности. Однакопроявления резонанса существенно зависят от параметров механической части всвязи с наличием в числителе передаточной функции Ww1 форсирующего звена второго порядка.Можно выявить условия, при выполнении которых влияние упругости на движение /> />
первой массы будетнезначительным.
Рис 1.14 Структурнаясхема механической части с жесткими механическими связями.
Во-первых,из (1.54) непосредственно следует, что если механизм обладает небольшойинерцией (J2>Wc где Wс — частотасреза желаемой ЛАЧХ разомкнутого контура регулирования, механическую частьэлектропривода можно представить жестким механическим звеном, не учитываявлияния упругостей.
Всоответствии с (1.55) и рис.1.13, б колебательность второй массы выше, чемпервой. В низкочастотной области асимптоты ЛАЧХ Lw1 и Lw2 совпадают, так как в среднемдвижение второй массы также определяется интегрирующим звеном Wи=JS/p. Однако при W>W2 наклон высокочастотной асимптоты Lw2 составляет -60 дБ/дек, и нет факторов, которыеослабляли бы развитие резонансных колебаний при любых g.
Следовательно,во всех случаях, когда важно получить требуемое качество движения второй массы,а также при регулировании ее координат, пренебрегать влиянием упругостимеханических связей без необходимой проверки нельзя. Достаточным условием длянеучета упругости является только большая частота резонанса W12, существенно выходящая за пределыполосы пропускания частот электропривода. В реальных системах присутствуютдиссипативные силы, которые оказывают на колебательную систему демпфирующеедействие. Это демпфирование в большинстве случаев невелико. По даннымтехнической литературы естественное затухание колебаний под действиемвнутренних сил вязкого трения можно характеризовать значениями логарифмическогодекремента
/>
где aвт и Wp=W12 — коэффициент затухания и резонансная частота колебаний с учетом влияниявнутренних диссипативных сил.
Учетестественного демпфирования существенно не сказывается на форме ЛАЧХ и ЛФЧХсистемы, однако, ограничивает резонансный пик конечными значениями, какпоказано штриховой кривой 1 на рис.1.13, а, и несколько сглаживает фазочастотнуюхарактеристику (штриховая кривая 2 на том же рисунке). Аналогичные изменения,вносимые естественным демпфированием в частотные характеристики на рис.1 13, б,показаны штриховыми кривыми, обозначенными соответственно 1′ и 2′.
Сочетанияпараметров, при которых J2
4. Механическиепереходные процессы электропривода
/>
Измененияуправляющего или возмущающего воздействия вызывают в механической частиэлектропривода переходные процессы, в течение которых скорости движениясвязанных масс изменяются от начальных значений, определяемых начальнымиусловиями, к установившимся значениям, заданным новыми воздействиями на системуВ качестве простейших примеров рассмотрим ряд переходных процессов вмеханической части электропривода, представленной жестким механическим звеном(см. рис.1.2, в).
Допустим,начальная скорость равна нулю: wнач=0, а кротору двигателя в момент времени t=0 прикладывается электромагнитный моментдвигателя, изменяющийся по экспоненциальному закону с постоянной времени Т(рис.1.18):
/>
Решим уравнение движенияэлектропривода (1.42) относительно дифференциала скорости:
dw=e·dt, (1.58)
гдее=(М-Mc)/JS — ускорение масс механической части.
Проинтегрируемобе части полученного равенства при заданном законе изменения движущего момента:/> />
В результате получим
где eнач=(dw/dt)нач=(Мнач-Mc)/JS=DM/JS — начальное ускорение; Мнач =DМ + Мс — начальный моментдвигателя.
Нарис.1.18 в соответствии с (1.57) и (1.59) построены характеристики M=f(t) и w=f(t).
Скоростьнарастает по экспоненциальному закону от нуля до установившегося значения wуст=еначT с ускорением,уменьшающимся по мере возрастания скорости, в связи с уменьшением момента М-Мс,которому ускорение пропорционально, -это переходный процесс пускаэлектропривода до скорости w=wуст. Время переходного процессатеоретически равно бесконечности, а практически процесс можно считатьзакончившимся в соответствии со свойством экспоненты через время tпп=(3¸4)T.
Рассмотримусловия движения электропривода при постоянных моментах двигателя исопротивления, т. е. М=const и Мс==const. В результатеинтегрирования (1.58)
/>
получимизвестную формулу равномерно ускоренного движения:
/>
Спомощью (1.60) при необходимости можно определить время переходного процесса tnn изменения скорости от wнач до wкон:
/>
При М=Мс,e=0 электропривод сохраняет состояниепокоя (wнач=0) или равномерного движения (w=wнач=const) до тех пор, пока равенство М=Мс не будет нарушено. Нарис.1.19,a показан случай, когда при t=0, М=Мс имеет место состояниепокоя (wнач=0). В момент t=0 момент двигателяскачком увеличивается до значения М=М1>Мс иэлектропривод сразу переходит в режим равномерно ускоренного движения сускорением е1=(М1-Мс)/JS Если оставить момент двигателянеизменным (М=М1=const), этот режим будет длиться сколь угоднодолго, а скорость неограниченно возрастать. На практике при достиженииэлектроприводом требуемой скорости обеспечивается снижение момента двигателя доМ=Mc, ускорение скачком уменьшается до нуля и наступает статическийустановившийся режим при w=wкон, как показано на рис.1.19, а.Следовательно, в данном случае имеет место переходный процесс измененияскорости от wнач до wкон, который обеспечивается соответствующимиизменениями момента двигателя.
Припрочих равных условиях на изменения скорости электропривода существенноевлияние оказывает характер момента сопротивления. Допустим, система нагруженаактивным моментом Мс, обусловленным, например, весом поднимаемогогруза, и работает в установившемся режиме подъема груза с постоянной скоростьюпри М=Мс. Если в момент времени t=0 уменьшить момент двигателя донуля, под действием момента Мс привод станет замедляться, при этом
e=-Mc/JS. Скорость в данном случае всоответствии с (1.60) изменяется по закону (рис.1.19, б)
/>
Через время торможения tT=JS·wнач/Мс скорость двигателя становится равной нулю, но активныймомент сохраняет свое значение, и в соответствии с (1.62) двигатель начинаетускоряться в противоположном направлении, двигаясь под действием опускающегосягруза с возрастающей по абсолютному значению скоростью. Если изменений непроизойдет, скорость может возрасти до недопустимых значений, опасных длядвигателя и механизма. Поэтому отключение двигателя от сети для механизмов сактивной нагрузкой представляет опасность и такие механизмы обязательноснабжаются механическим тормозом, который автоматически затормаживает приводпосле отключения двигателя от сети.
На рис.1.19, бпоказан переходный процесс реверса электропривода от wнач до wкон=-wнач под действием активного момента Мс. В момент времени tпп,когда достигается требуемое значение скорости wкон, момент двигателя скачкомувеличивается от нуля до М=Мс и наступает статический режим работы сwkoh=const.
Нарис.1.19, в представлен процесс реверса электропривода при реактивном моменте Мсот начальной скорости wнач одногонаправления до конечной скорости wкон противоположного знака. В момент времени t=0 момент двигателя скачкомизменяется от М=Мс до М=-M1 и происходит замедлениесистемы по закону
/>
Времяторможения электропривода определяется (1.61):
/>
Приt>tт скорость двигателя под действием момента М=-М1 меняетсвой знак, а это вызывает изменение направления реактивной нагрузки Мсна противоположное (-Мс). Как следствие, скачком уменьшается поабсолютному значению ускорение от
Соответственнопри пуске в обратном направлении скорость изменяется следующим образом:
/>
Времяпуска до скорости w=-wкон.
/>
Дляперехода к статическому режиму при скорости w=-wкон момент двигателядолжен скачком уменьшиться до значения М=-Mc. Характеристики M(t) и w(t), соответствующие такомупереходному процессу, представлены на рис.1.19, в.
/>
Рассмотренныевыше простейшие примеры позволяют сделать вывод о том, что при постоянствестатического момента сопротивления закон изменения скорости привода впереходных процессах определяется характером изменения во времени моментадвигателя. Так, для получения экспоненциальной кривой скорости w(t) при пуске необходимо обеспечитьэкспоненциальную зависимость момента от времени (рис.1.18); для полученияравномерно ускоренного процесса пуска необходимо формировать прямоугольныйзакон изменения момента двигателя от времени (рис.1.19,a) и т. п.
Следовательно,формирование требуемых законов движения электропривода обеспечиваетсяформированием соответствующих законов изменения от времени электромагнитногомомента двигателя.
Уравнениедвижения жесткого приведенного механического звена электропривода позволяет внаиболее простой и наглядной форме анализировать условия движения привода. Еслиизвестен характер изменения момента двигателя и приведенного момента нагрузки,с помощью (1.42) можно установить качественный характер кривой w(t), не прибегая к решению этогоуравнения. На рис.1.20,a в виде примера показаны вентиляторная нагрузка Мс(w) и постоянный момент двигателя М-Мc.ном=const.В соответствии с (1.42) привод будет двигаться с ускорением
/>
где DMS — суммарный момент потерь на трение вагрегате; Мс.ном — номинальный момент статической нагрузки,соответствующий номинальной скорости вентилятора wвном.
Так как e=dw/dt, то (1.63) при каждом значении скорости определяеттангенс угла наклона касательной к кривой w(t) в данной точке. В соответствии с (1.63) ускорениемонотонно убывает от начального значения
/>
доконечного eкон=0. Такой закономерности качественносоответствует кривая w(t),приведенная на рис.1.20, б. Количественной оценкой может служить ориентировочноезначение времени пуска электропривода. Его можно вычислить, заменив кривую Мс(w) постоянным моментом нагрузки,равным среднему значению Мс(w)=Мсср, как показано на рис.1.20,a. При этомудается оценить среднее ускорение
/>
и далееопределить ориентировочное время пуска:
/>
Если,напротив, имеется экспериментальная осциллограмма w=f(t) для пуска двигателя вентилятора(рис.1.20, б) и известен момент двигателя М=Мс.ном=const, то поосциллограмме при разных значениях w можно определить соответствующие значения ускорения e и с помощью (1.63) вычислитьмеханическую характеристику вентилятора Мс(w), показанную на рис.1.20, а.
Всовременных условиях, когда инженер может решать задачи любой сложности спомощью вычислительной техники, умение производить подобные оценочные расчетыприобретает особо важное значение. Такие оценки помогают в условиях наладки иэксплуатации оперативно анализировать работу электропривода, а припроектировании и исследовании электроприводов контролировать и правильнопонимать физическую суть математических результатов, выдаваемых ЭВМ.
5.Динамические нагрузки электропривода
Правыечасти уравнений движения электропривода представляют собой моменты действующихв системе сил инерции. В отличие от рассмотренных выше моментов статическойнагрузки электропривода, которые являются внешними воздействиями и не зависятот ускорений масс системы, силы и моменты сил инерции пропорциональны ускоренияммасс:
/>
Такиесилы и моменты в теории электропривода принято называть динамическими силами имоментами. Уравнение движения приведенного жесткого механического звенаопределяет суммарную динамическую нагрузку электропривода
/> />
которая при принятом правилезнаков численно равна результирующему моменту М-Мс, приложенному кдвижущимся массам.
Динамическиймомент является важной составляющей полной нагрузки электропривода. Онпредставляет собой алгебраическую величину, знак которой при ускорении системысовпадает со знаком скорости, а при замедлении противоположен знаку скорости.При ускорении системы динамический момент является тормозным, и двигатель,преодолевая этот момент, совершает работу, затрачиваемую на увеличение запасакинетической энергии системы. При замедлении системы, напротив, динамическиймомент является движущим Освобождающаяся при снижении скорости кинетическаяэнергия расходуется на совершение работы по преодолению результирующего моментаМ-Mс, который в этом случае является тормозным.
Какправило, для конкретных производственных механизмов бывает задано требуемоевремя пуска или расчетное ускорение eгр. Наибольший возможный статический и наибольший требуемый динамическиймоменты определяют максимум полной нагрузки и соответственно наибольшеезначение электромагнитного момента двигателя, которое он должен создавать впроцессе работы электропривода:
/>
ЗначенияМmax определяют кратковременные перегрузки двигателя, которые недолжны превышать допустимой перегрузочной способности двигателя.
Результирующиймомент М-Мс (1.68) при пуске частично затрачивается на ускорениеротора двигателя и связанных с его валом элементов, а в остальной части черезпередачи воздействует на массы механизма, вызывая их ускорение и совершаяработу по увеличению запасенной в них кинетической энергии. Следовательно,динамическая нагрузка при пуске увеличивает полную нагрузку передач на значениединамического момента механизма J2·eср (см. рис.1.9):
/>
При J2>>J1это увеличение может быть значительным, а при J2
Правильноеопределение нагрузок передач и других элементов кинематической цепи механизмаимеет важное практическое значение. Нагрузки механического оборудованияопределяют его износ, причем наиболее неблагоприятно влияние нагрузок,содержащих знакопеременную составляющую. Поэтому ограничение максимальныхнагрузок и уменьшение динамических колебательных нагрузок, обусловленныхупругими связями, обеспечивают повышение надежности и долговечностимеханической части привода и механизма.
Динамическиенагрузки механического оборудования в реальных установках в значительной меревозрастают из-за ударов, возникающих при выборе зазоров в передачах исочленениях рабочего оборудования машин. С учетом кинематических зазороврасчетная двухмассовая схема механической части принимает вид, показанный нарис.1.28, а. В связи с наличием зазора Df3 зависимость М12=f(f1-f2) становится нелинейной и имеет вид, показанный нарис.1.28, б. Уравнения движения для этой системы на основании (1.40) запишутсяпри р=d/dt так:
/>
Структурнаясхема механической части, соответствующая (1.71), представлена на рис.1.28, в.Рассматривая (1.71) и рис.1.28, в, можно установить, что при разомкнутом зазоремассы системы движутся независимо. Так как при этом М12=0, (1.71)при М=М1=const принимает вид:
/>
Какследствие, к моменту соударения масс скорости w1 и w2 могут оказаться существенно разными. Так, приреактивном Мс2 на первом этапе пуска (М12=0) скорость w2 остается равной нулю, а скорость w1 быстро увеличивается, так как М1>Мс1.К моменту окончания выбора зазоров она успевает нарасти до значения
/>
где e1в.з=(М1-Мс1)J1 — ускорение при выборе зазоров.
Уравнение(1.74) записано для наиболее тяжелого случая выбора полного зазора, когданачальное значение Dfна рис.1.28, б соответствует точке 1, а заканчивается выбор зазора в точке 2.
Приреактивном характере момента Mc2 после выбора зазора скорость w2 будет оставаться равной нулю до тех пор, пока моментМ12, возрастая, не превысит значения Мс2. За времянарастания момента М12 до Мс2 скорость w1 дополнительно увеличивается до значения w1нач, которое в конечном счете иопределит динамическую нагрузку передач после трогания второй массы.
Изфизических соображений можно заключить, что накопленная за время выбора зазорапервой массой кинетическая энергия J1w12нач/2 должна при ударе реализоваться вдополнительных динамических нагрузках передач. Для количественного анализаполучим зависимость М12=f(t) для третьего этапа процесса, когда |ф1 — ф2|>Dф3/2+ Mc2/c12.
Натретьем этапе уравнения (1.71) можно представить в виде
/>
Дляполучения дифференциального уравнения системы, решенного относительно М12,умножим первое уравнение на с12/J2 а второе на с12/J2и произведем вычитание второго из первого. При этом с учетом третьего уравненияправая часть становится равной d2M12/dt2, ипосле преобразований полученное уравнение можно записать так:
/>
где
/>
С учетомпроведенного анализа предыдущих этапов выбора зазоров решение (1.76) следуетискать при следующих начальных условиях:
/>
Общеерешение уравнения с учетом определяемого правой частью частного решения икорней p1,2=±jW12 запишем ввиде
/>
Дляопределения коэффициентов А и В’ используем начальные условия:
/>
Следовательно,
/>
где
/>
Послепреобразований получим
/>
где
/>
Всоответствии с (1.79) максимум нагрузки передач в рассматриваемом переходномпроцессе определяется соотношением
/>
Анализируя(1.80), можно установить, что динамические нагрузки, обусловленные упругимиколебаниями, существенно увеличивают нагрузки передач. При отсутствииколебательной составляющей в (1.79) момент нагрузки передач в процессе пускаравен М12ср=J2eср+Мс2. За счет упругих колебаний в соответствии с (1.8(5)нагрузка возрастает, и ее превышение над средней нагрузкой называетсядинамическим коэффициентом:
/>
/>
/> />
При пуске с предварительновыбранными зазорами и Мс2=0 (Dw1нач=0) динамический коэффициент kдин=2, т. е. упругие колебаниявдвое увеличивают рабочие нагрузки передач (рис.1.29). При наличии зазоров (Dw1нач¹0) максимум нагрузок возрастает иможет достигать опасных для механической прочности передачзначений. Еслиподставить в (1.81) выражение eср, W12 и обозначить, как выше принято, JS/J1=g, коэффициент динамичности можнозаписать так:
Нетрудновидеть, что динамические коэффициенты, обусловленные упругими ударами, привыборе зазоров тем больше, чем больше момент инерции ротора двигателя и жесткос ним связанных элементов J1 и чем больше жесткость механическойсвязи.
При Dw1нач¹0 упругость передач являетсяфактором, снижающим динамические ударные нагрузки. В этом можно убедиться,подставив в (1.82) значение с12=¥, — ему соответствуют бесконечно большие динамическиекоэффициенты, т. е. разрушающие нагрузки передач. Однако и при реальныхконечных значениях с12 удары при выборе зазоров могут создаватьнедопустимые нагрузки или существенно увеличивать износ механическогооборудования. В этих случаях при проектировании электроприводапредусматриваются законы управления, обеспечивающие повышение плавности выборазазоров и снижение ударных нагрузок до допустимых значений путем ограничениядостигаемой при выборе зазоров скорости Dw1нач.
Динамическиеколебательные процессы в среднем не влияют на длительность переходных процессовпуска, реверса и торможения электропривода. Однако они во многих случаяхотрицательно сказываются на условиях выполнения технологических операций,особенно на точности работы установки. Практически всегда возникающие упругиеколебания увеличивают динамические нагрузки механического оборудования иускоряют его износ, т. е. являются одним из факторов, определяющих надежность,долговечность и производительность машин.
Динамическийкоэффициент является важной характеристикой условий работы механическогооборудования, а его значения определяются, главным образом, динамическимисвойствами электропривода. При проектировании и наладке электроприводов задачауменьшения динамического коэффициента до значений, близких единице, в связи сизложенным имеет важное практическое значение. Для многих механизмов онаопределяет выбор структуры, настроек и параметров электропривода и при успешномрешении обеспечивает увеличение срока службы механического оборудования.