КУРСОВАЯРАБОТА
На тему:
«Рассеяниеволн в задаче о маскировке объектов методом волнового обтекания»
Минск, 2010 г.
Введение
У людей сдавних времён есть желание замаскироваться, а то и вовсе стать невидимым дляокружающих. И с недавних пор это может стать возможным с помощью методаволнового обтекания. Основной целью курсовой работы является изучение методарассеяния волн в задаче о маскировке объектов методом волнового обтекания,рассмотрение основных характеристик и свойств маскирующих покрытий, изучение ихклассификации. А также, как дополнение, рассмотрение быстрого преобразованияФурье и его применения в задаче о рассеянии. Задача курсовой работы заключаетсяв овладении методом решения задачи о рассеянии и изучении маскирующих оболочек.
Подмаскировкой или скрытием методом волнового обтекания следует понимать такоепреобразование фронта волны маскирующей оболочкой, что он огибает скрываемыйобъект. В реальных условиях невозможно добиться идеальной маскировки, нопринципиально возможно сведение потерь и рассеяния к пренебрежимо малым дляпоставленной задачи значением. А в задаче маскировки таких сравнительнонебольших объектов, как тело человека, ракет, самолётов, и прочей военнойтехники, учитывая маловероятность отклика радаров на большое для идеальныхмоделей, но значительно меньшее, чем у объектов без маскирующих оболочек,рассеяние, при желании распределённое во всех направлениях, делает их скрытиеочень перспективной и востребованной задачей. Учитывая характер явления, егопреимущественной областью применения является военно-стратегическая.
1. Решениезадачи о рассеянии
1.1 Решениезадачи о рассеянии в общем случае
В общемслучае задача о рассеянии ставится следующим образом. На некоторый объектпроизвольной формы с диэлектрической проницаемостью /> и объемом V падает электромагнитная волна внаправлении распространения /> и с колебаниями электрическоговектора в направлении /> (рис. 1.1). Волна движется впространстве с диэлектрической проницаемостью />. После рассеивания и поглощениярезультирующая волна имеет направление распространения /> и колебания электрическоговектора в направлении />.
Длявычисления рассеянных электромагнитных полей и сечения рассеяния необходимосначала записать общее решение для поля внутри рассеивающего тела, полярассеянных волн и падающего поля, а затем вычислить неизвестные постоянныекоэффициенты (спектральные амплитуды) с помощью граничных условий.
1.2 Решениезадачи о рассеянии в общем случае
Решениезадачи о рассеянии в общем случае заключается в нахождении сечения рассеяния.
Запишемэлектрическое поле падающей волны следующим образом:
/>, (1.2.1)
где />=/>– вектор описывающиеместоположение относительно базиса (/>/> – волновое число. Рассеянное полевдали от рассеивателя может быть описано сферической волной:
/>, (1.2.2)
где r – расстояние от рассматриваемой точкидо точки рассеяния,
/> – амплитуда рассеяния,зависящая от направления рассеянной /> и падающей /> волн.
Магнитноеполе падающей волны вычисляется из уравнений Максвелла и имеет следующий вид:
/>, (1.2.3)
где η=/>есть волновоесопротивление (импеданс).
ВекторУмова-Пойтинга, который определяет поток мощности поля через единицуповерхности, записывается следующим образом:
/>. (1.2.4)
Рассуждаемтак же и для рассеянной волны. Магнитное поле рассеянной волны по определениюследующее
/>, (1.2.5)
а векторУмова-Пойтинга рассеянной волны
/>, 1.2.6.
Подставляявыражение (1.2.2) в (1.2.6), получаем
/>. (1.2.7)
Всферической системе координат возьмём дифференциал телесного угла в направлениирассеяния (рис 1.2)
/>. (1.2.8)
Нарасстоянии r, от рассеивающей точки, площадь поверхности ограниченнойдифференциалом телесного угла /> записывается следующим образом:
/>. (1.2.9)
Тогдадифференциал рассеянной мощности через площадку /> принимает следующий вид:
/>. (1.2.10)
/>
Дифференциалтелесного угла в сферических координатах r, θs, φs
Теперь,подставляя (1.2.7) в (1.2.10) получим следующее выражение для мощности, рассеяннойв элемент телесного угла:
/>. (1.2.11)
Разделивлевую и правую части выражения (1.2.11) на вектор Умова-Пойтинга для падающейволны (1.2.4), получим
/>. (1.2.12)
Размерностьпоследнего соотношения является размерностью площади. />называется дифференциальнымсечением рассеяния и обозначается как />.
Аинтегрирование 1.2.12, в свою очередь, даёт
/>. (1.2.13)
/>, (1.2.14)
где /> – рассеяннаямощность, а /> –сечение рассеяния.
/>. (1.2.15)
1.2 Решениезадачи о рассеянии на цилиндре
Решаетсязадача о нахождении полей на таком удалении от точек рассеяния, что фронтраспространения волн этих полей можно считать плоскостью. Найдём для этогосперва общее решение, характеризующее бесконечно длинный цилиндр, а затемподставим в решение граничные условия, обобщив его тем самым на цилиндр длинны L.
Пусть полепадающих волн задаётся выражением:
/>, (1.2.1)
где /> (см. рис. 2.1),падающая волна раскладывается в суперпозицию двух поляризаций – горизонтальнойлинейной и вертикальной линейной, а /> и /> горизонтальный и вертикальныйвектора поляризации.
Падающаяволна также может быть представлена в виде векторных цилиндрических волн, т.е.следующим образом:
/>. (1.2.2)
/>
Цилиндрвысоты L, радиуса aи проницаемости />
Общеерешение будет состоять из выражений для рассеянного поля и поля внутри цилиндраобъединённых граничными условиями. Запишем теперь выражения, определяющиерассеянное и внутренне поля с точностью до неизвестных коэффициентов />, />, />,/>на оговоренном ранеерасстоянии от точки рассеяния
/>, (1.2.3)
/>, (1.2.4)
где />, /> – символ, спомощью которого обозначается конфигурация функций Бесселя и Ханкеля длявеличин, перед которыми он стоит, а /> – коэффициенты, получаемые с использованиемпреобразования Фурье от выражения (1.2.1)
/>,
известныдля такого приближения.
Граничныеусловия задаются равенствами:
/>, (1.2.5)
/>, (1.2.6)
из которыхможно путём преобразований получить следующие выражения
/>, (1.2.7)
/>
/>, (1.2.8)
которыезадают зависимость неизвестных коэффициентов /> из выражения для внутреннего поля(1.2.4) от направлений распространения />, полей />, />, координаты /> и /> – радиуса цилиндра.Таким образом, поле />определено, т. к. коэффициенты/> могутбыть легко получены из (1.2.7), (1.2.8).
Поле,образовавшееся после рассеяния падающего поля на цилиндре высоты L, в точках находящихся на достаточномдля нашего приближения удалении определим путём интегрирования по конечнойповерхности цилиндра, исключая граничные точки, используя формулу
/>. (1.2.9)
Послеподстановки (1.2.4) в (1.2.9) и выполнения интегрирования по dz в интервале (/>и по dφ в интервале (0; 2π)получим следующее выражение для поля рассеянных волн:
/>
{/>[/>
/>]/>
/> [/>
/>]}. (1.2.10)
Итак, намибыли найдены поля /> и />. Однако есть несколькоограничений для полученных решений. Во-первых, следует иметь в виду, что такоерешение непригодно вблизи точек рассеяния. Во-вторых, амплитудные коэффициенты,которые использовались в уравнениях (2.3), (2.4), были взяты готовыми, какизвестные для плоских волн. В общем случае их нужно рассчитывать отдельно длякаждой конкретной задачи, используя преобразование Фурье, как это делается вработе [9].
1.3 Быстроепреобразование Фурье
ПреобразованиеФурье используется при решении задачи о рассеянии с целью нахожденияамплитудных коэффициентов необходимых для описания волны. Характер последних,как уже упоминалось, зависит от того в каком приближении мы рассматриваемпоставленную задачу. Суть применения преобразования Фурье заключается в разбиениипроизвольной волны на элементарные плоские волны. Таким образом, получаемамплитудные коэффициенты, стоящие как множители перед рядом, в виде которогопредставляется волна. Затем можно подставить граничные условия в полученноевыражение, что позволяет выразить неизвестные />, />, />,/>, как, например, в (1.2.3), (1.2.4).Затем, проведя обратное преобразование Фурье, получим представление искомойволны, удовлетворяющее задаче.
Быстроепреобразование Фурье (БПФ) – это реализация обычного (дискретного)преобразования Фурье (ДПФ), но с намного меньшим количеством операций n=Nlog2N, где N – размер строки данных, в отличие от n=N2 в ДПФ. В БПФ используются исключительно N, являющиеся степенями двойки. Если N не является степенью двойки, то егодополняют нолями до ближайшей из степеней.
Дляосуществления БПФ можно использовать лемму Даниельсона-Ланкзоса, котораяразбивает ряд ДПФ
/>, (1.3.1)
где /> – исходнаяфункция, на две суммы – по чётным и нечётным индексам j:
/>. (1.3.2)
/>=/>, (1.3.3)
где />. Это и есть леммаДаниельсона-Ланкзоса [2]. Она подходит для осуществления как прямого БПФ, так иобратного.
В массиведанных /> сперваследует произвести нумерацию элементов в двоичном виде, а затем пересортироватьмассив, заменяя каждый элемент элементом с обратным двоичным индексом.Полученная в результате таких перестановок последовательность послепреобразования по формуле (1.3.3) задаёт искомую функцию.
Существуюттакже и другие алгоритмы БПФ, как, например в [10], но они в отличие от леммыДаниельсона-Ланкзоса не выполняют как прямое, так и обратное преобразованиеФурье.
2. Скрытиематериальных объектов методом волнового обтекания
2.1 Основополагающиеидеи
Историческипервенство в идее и моделировании скрытия (английский термин cloaking) методом волновогообтекания принадлежит Дж. Пендри и его коллегам [3]. Они предложилипринципиально новый метод маскировки, суть которого заключается в преломленииволн в маскирующей оболочке так, что они огибают скрытый в оболочке объект и навыходе из неё остаются такими же, какими в неё попадали. В результате поле выглядиттак, как если бы на пути его распространения оно не встречало никакихпрепятствий.
/>
Траекториилучей в маскирующей оболочке
Чтобынаблюдатель не заметил никаких неоднородностей необходимо выполнение и следующегоусловия – оптическая длинна пути каждого луча в оболочке должна быть такой же,как если бы он распространялся прямолинейно в свободном пространстве. Длядостижения такого эффекта для оболочки рассчитывают определённую конфигурациюпараметров – диэлектрической и магнитной проницаемостей /> и />.
Для расчетапараметров маскирующего покрытия Пендри и его коллеги предложили использоватьследующий приём: внутри некоторой области пространства (вакуума) создатьвключённую подобласть искривлённой метрики (в которой непосредственно ипредполагается спрятать объект) при помощи преобразования координат.
Например, такогокак в их работе [3].
/>, />, />. (2.1.1)
Преобразование(2.1.1) переводит шар радиуса /> в шаровой слой />.
Исходя изтого, что уравнения Максвелла инвариантны преобразованиям координат [4], полепадающих волн ведёт себя в искривлённом пространстве таким же образом как и висходном. Тензоры /> и /> диэлектрической и магнитнойпроницаемостей также могут быть найдены. В [3] получены следующие диагональныеэлементы тензоров /> и />:
/>, (2.1.2)
/>, (2.1.3)
Распределениепараметров (2.1.2), (2.1.3) будут искривлять прямой луч также как ипреобразования (2.1.1) искривляют прямую линию, пересекающую шар с радиусом r . Параметры /> и /> также могут бытьвыражены через метрический тензор искривлённого пространства gik.
Самирассеянные поля находят решая задачу о рассеянии на маскирующей оболочке, где,как уже упоминалось, используется БПФ. Графики распределения нормированнойамплитуды электрического поля (2.2.1, 2.3.1) строят по решению, полученному взадаче о рассеянии.
В связи стем, что преобразования метрики не затрагивают временной составляющей, фазыкаждого луча в оригинальной и преобразованной системах будут равны между собой.
Такимобразом, для маскировки обтеканием нужно использовать анизотропные градиентныематериалы с компонентами проницаемостей меньшими единицы, или – в некоторыхслучаях – отрицательными. Тот факт, что в анизотропной среде отсутствуютдвулучепреломление и не изменяется поляризация попадающего в неё излученияобъясняется равенством /> и />. Действительно, если речь идёт опреобразовании вакуума, то в нём />=/>=1.
Можнозаметить, что к скрытию путём волнового обтекания могла бы приводить иантигравитация. Антигравитация, исходящая от какого либо тела, вызывает такиепреобразования метрики пространства, что геодезические линии как бы раздвигаются.
Тот жепринцип движения луча по искривлённой траектории объясняет и такое явление какмираж. Существенное отличие в температурах воздуха у поверхности земли и вболее высоких слоях вызывает различие показателей преломления, вследствие чегосвет распространяется не прямолинейно, а по кривой, и мы можем видеть объекты,расположенные за линией горизонта.
2.2 Свойствамаскирующих покрытий и требования, предъявляемые к ним
Первоемоделирование обтекания было проведено Каммером С.А. [5] в бесконечнодлинной цилиндрической оболочке кругового сечения. Картина взаимодействиялинейно поляризованной волны, вектор /> которой параллелен оси цилиндра,с пространственно неоднородными компонентами проницаемостей покрытием показанана рисунке 2.2.1а. В этой модели были рассмотрены различные приближения.
Реальныепокрытия имеют слоистую структуру, т.е. являются дискретными, что вызываетрассеяние, из-за которого траектории лучей вне оболочки перестают быть прямолинейными(рис. 2.2.1 б).
Идеальныепараметры, использованные при построении графика 2.2.1а можно упростить. Есливектор /> падающейволны параллелен оси цилиндра z, то задача становится двумерной и z – компоненты проницаемостей можноположить постоянными. Результат использования таких параметров отражен вграфике 2.2.1в.
Вмаскирующем покрытии также присутствует частотная дисперсия />, вследствие чего ономожет быть полностью эффективным только на одной частоте, для которойкомпоненты проницаемостей имеют нужный вид. Ясно что чем меньше составляющиеспектра поглощения оболочки в её рабочем диапазоне, тем лучше. Но поглощение всвою очередь зависит и от дисперсии. Так следствием из соотношенийКрамерса-Кронига является большое поглощение в диапазоне частот, в котором этасреда проявляет сильные изменения дисперсии. Таким образом, чем более плавныйвид имеют зависимости /> и />, тем меньше поглощение и темближе к идеалу эффект маскировки.
/>
Распределение нормированной амплитуды электрического поля вблизицилиндрической маскирующей оболочки
2.3 Разнообразие форм маскирующих покрытий
Сейчас скрытие уже теоретически осуществимо на оболочкахпроизвольной двумерной формы, а именно в сечении трёхмерной модели. Рассмотримих классификацию. Изначально рассматриваемый метод, как уже упоминалось,базировался на сферической оболочке (см. гл. 2 § 1). Дальнейшееразвитие метода, как и следовало ожидать, привело к появлению многих другихформ.
Одно из простейших покрытий с формой эллиптического цилиндрарассмотрено в работе [6].
/>
Распределениенормированной амплитуды электрического поля для различных углов паденияизлучения на эллиптическую оболочку: (а) 0°, (б) 90°, (в) 30°, (г) 45°
Для расчетаего параметров используется линейное преобразование координат эллиптическогоцилиндра /> />, сжимающеесплошной эллиптический цилиндр в цилиндр с полостью:
/>, />, />. (2.3.1)
Направлениепадающего излучения для такой оболочки не безразлично из-за меньшей степенисимметрии чем, например, у сферы. Из рисунка 2.3.1 видно, что поле послепрохождения препятствия имеет наиболее близкую исходному структуру при нулевомугле падения излучения.
Произвольныйцилиндр – оболочка-цилиндр с произвольным сечением. В общем случае несуществует преобразования, переводящего произвольную односвязную область вподобную ей двусвязную. В таком случае /> и /> задают отдельно для каждойподобласти и используют отдельное преобразование для каждой из них. Например,цилиндрическая оболочка квадратного сечения (рис. 2.3.2), параметрыкоторого рассчитаны в [7].
Для разбиениягладких оболочек на сектора их аппроксимируют кривыми Безье второго порядка.Эти кривые могут представлять собой любые канонические сечения (эллипсы,параболы, гиперболы), в зависимости от параметров. Для того чтобы достаточноточно аппроксимировать гладкую кривую, потребуется ломанная, состоящая изнескольких сотен отрезков, а кривых может понадобиться и две, как, например,для аппроксимации формы сердца. Параметрические уравнения кривой второгопорядка по трём точкам /> и трем параметрам (весам) /> имеют вид [4]:
/>, (2.3.2)
/>. (2.3.3)
Кроме ужеисследованной сферической формы оболочки из трёхмерных моделей появилась ещё имодель эллипсоида вращения [8]. Пока решения задачи о рассеянии на оболочкахпроизвольной формы не найдено, что связано с трудностями моделирования такихзадач.
/>
Координатноепреобразование для цилиндрической оболочки квадратного сечения: для каждогосектора, выделенного на рисунке а, делается своё преобразование координат
Заключение
Итак,определившись с преобразованием координат для маскирующей оболочки, находимраспределение её параметров /> и />. Затем, разложив при помощи БПФпадающую волну на элементарные плоские волны, определяем амплитудныекоэффициенты. Далее, используя граничные условия, вычисляем поля распределениярассеянных волн и волн внутри рассеивателя. Найденные поля и есть решениепоставленной задачи, которое в дальнейшем может быть также представленографически. Варьируя изначальные параметры оболочки /> и /> можно тем самым приближать модельк реальным условиям и рассчитывать сечение рассеяния с учетом потерь идисперсии материала.
Вдальнейшем хотелось бы смоделировать решение для определённой оболочки,рассчитав её параметры, построить графики решений для этих оболочек. В дальнейперспективе – написать программу, рассчитывающую сами поля, имея в качествевходящих значений параметры оболочки. Включить в неё функцию построенияграфиков решений. Подбирать оболочки и варьировать их параметры в поискахнаиболее удачных.
Списоклитературы
1. Leung Tsang, Jin Au Kong, Kung-Hau Ding «Scattering ofelectromagnetic waves: theories and applications», «A Wiley-lnterscience» (2000);
2. W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling,Cambridge university press, New York (2002);
3. Pendry J B, Schurig D, Smith D R Science 312 1780 (2006);
4. А.Е. Дубинов, Л.А. Мытарева «Маскировки материальныхобъектов методом волнового обтекания», УФН (май 2010);
5. Cummer S A et al. Phys. Rev. E 74 036621(2006);
6. Ma H et al. Phys. Rev. A 77 013825 (2008);
7. Rahm Met al. Photon. Nanostruct. Fund. Appl. 6 87 (2008);
8. Luo Y et al. Phys. Rev. B 78125108 (2008);
9. A VNovitsky, «Matrix approach for light scattering bybianisotropic cylindrical particles», J. Phys.: Condens. Matter 19(2007);
10. Г. Нуссбаумер, «Быстрое преобразование Фурье и алгоритмывычисления свёрток», Москва, «Радио связь» (1985);