Если k – подполе поля K, то говорят также, что K – расширение поля k. Отметим, что при расширении сохраняется характеристика поля. В самом деле, поле k характеристики 0 содержит подполе изоморфное Q – полю рациональных чисел, а поле k характеристики p>0 – подполе изоморфное полю GF(p) – вычетов по модулю p. По определению расширения большее поле K содержит те же подполя и, следовательно, имеет ту же характеристику.
Напомним, что векторным пространством над полем k называется такое множество X (векторов), для которого определены операции сложения векторов и умножения вектора на элемент поля (скаляр) со следующими свойствами:
1. Относительно сложения векторы образуют абелеву группу.
2. a(U+V) = aU+aV
3. (a+b)U = aU+bU
4. a(bU) = (ab)U
5. 1U =U.
Очевидно, что поле K можно рассматривать как векторное пространство над k: сложение векторов интепретируется как сложение элементов поля K, а умножение на скаляр как умножение в том же поле (ведь каждый скаляр из k в то же время является элементом K). Свойства 1 – 5 вытекают из определения поля. Таким образом, все известные нам результаты, относящиеся к векторным пространствам, применимы к случаю расширения полей. В частности, можно говорить о размерности K над k. Это число называется степенью расширения и обозначается [K:k] . Если степень расширения конечна, то и само расширение называется конечным.
Примеры.
1. Поле С комплексных чисел является расширением поля R вещественных чисел. Так как каждое комплексное число однозначно записывается в виде a+bi, то числа 1 и i образуют базис С над R и значит [C:R] = 2.
2. Рассмотрим поле R как расширение поля рациональных чисел Q. Покажем, что степень расширения бесконечна. Для этого достаточно для всякого n указать линейно независимую над Q систему вещественных чисел. Положим , , , ., . Пусть для некоторых рациональных выполнено равенство: =0. Тогда многочлен с рациональными коэффициентами q = имеет корень x= .Однако тот же корень имеет неприводимый многочлен , который, следовательно, делит многочлен q. Это возможно только в том случае, когда многочлен q нулевой, чем и доказано наше утверждение.
Теорема о степени составного расширения.
Пусть поле F является расширением поля k, а K – расширение F. Тогда степень расширения [K:k] находится по формуле: [K:k] = [K:F] [F:k].
Доказательство.
Пусть – базис K над F, а – базис F над k. Для всякого U K имеем: U = , где . Но, , где . Значит, всякий элемент поля K записывается в виде линейной комбинации над k элементов в количестве nm штук. Остается проверить их линейную независимость. Если
=0, то поскольку линейно независимы над F, для всякого
i= 1, .,n имеем= 0. Но линейно независимы над k и потому все.
Расширение посредством присоединения элементов.
Пусть дано поле k и элементы, принадлежащие некоторому большему полю K. Наименьшее (по включению) подполе поля K, содержащее поле k и все элементы обозначается k() и называется расширением k посредством присоединения элементов. Если n=1, то расширение называется простым , а соответствующий элемент U называется порождающим элементом простого расширения.
Примеры.
1. Если все, то k()=k.
2. Если k=R, U=a+biC, причем b0, то простое расширение R(U) совпадает с С. В самом деле, R(U) содержит U и все вещественные числа. Но тогда
i = 1/b(U-a) R(U), а значит и любое комплексное число p+qiR(U).
3. Поле Q() содержит множество X всех вещественных чисел, которые можно записать в виде a+b, где a,bQ.
Проверим, что X – поле и тем самым установим, что Q() =X. Напомним, что подмножество T поля k будет полем тогда и только тогда, когда
a) T содержит 0 и 1.
b) Вместе с любыми двумя элементами t и s T содержит их разность t-s.
c) Вместе с любыми двумя элементами t и s 0 T содержит их частное t/s.
Условия a) и b) для X очевидно выполнены. Чтобы проверить c) надо”уничтожить иррациональность” в знаменателе дроби (a+b)/(c+d). Из элементарной алгебры известно, что для этого достаточно числитель и знаменатель умножить на c-d. Итак, [Q():Q]=2 и базис составляют элементы 1 и.
4. Поле Q() содержит. Но тогда оно должно содержать также и, а значит и все числа вида a+b+c, где a,b,cQ. Отметим, что запись числа в такой форме однозначна поскольку мы уже убедились в линейной независимости чисел 1, , над Q. Чтобы доказать, что все элементы поля уже построены, надо как и в предыдущем примере уничтожить иррациональность в знаменателе дроби (a+b+c)/( d+e+f). Это можно проделать, используя тождество: -3xyz= (x+y+z)( -xy-xz-yz)=(x+y+z)S. Достаточно вэять x=d, y=e, z=f и домножить числитель и знаменатель на S. Следовательно, [Q() :Q]=3 и базис составляют элементы1, , .
Анализируя приведенные примеры, мы видим, что строение простого расширения существенно зависит от алгебраической природы порождающего элемента.
В связи с этим дадим следующее определение. Пусть kK и UK. Элемент U называется алгебраическим над k, если он является корнем полинома pk[x] положительной степени. В противном случае U называется трансцендентным элементом. Если p(U)=0 и p=qr, то либо q(U)=0, либо r(U)=0, поэтому найдется такой неприводимый многочлен sk[x], что s(U)=0. Если еще потребовать, чтобы s был унитарным, то он будет определен однозначно. Это будет многочлен наимеьшей степени, имеющий U своим корнем (минимальный многочлен алгебраического элемента U ). Степень минимального многочлена называется степенью числа U над полем k.
Примеры.
1. Любое комплексное число z является корнем квадратного уравнения над R: =0. Таким образом все комплексные числа алгебраичны над R и степень их не превосходит 2.
2. , – алгебраические элементы над Q. Они являются корнями неприводимых уравнений -3=0 и -2=0 соответственно, так что их степени – 2 и 3.
3. Можно доказать(весьма непросто!), что числа и е трансцендентны над полем Q.
Строение простых алгебраических расширений.
Теорема.
Если U алгебраический над k элемент степени n, то [k(U):k]=n и в качестве базиса можно выбрать элементы 1, U, .
Доказательство.
Ясно, что U и все его степени входят в k(U). Пусть pk[x] – минимальный многочлен элемента U. Тогда =. Умножая обе части этого равенства на, получаем, что при mn выражается над k в виде линейной комбинации меньших степеней U. В то же время элементы 1, U, ., линейно независимы над k, так как в противном случае U было бы корнем уравнения степени меньше n, что невозможно. Остается проверить что множество X={ } является полем, для чего достаточно установить, что элемент x=1/ Положим: q=. Так как степень этого многочлена меньше n, ОНД(p,q)=1. По основной теореме теории делимости для многочленов можно подобрать такие многочлены s и t над полем k, что sq+tp=1. Но тогда s(U)q(U)=1 и следовательно x= s(U) k.
Пример.
Пусть k=Q, U=. Тогда, откуда =24. Значит U алгебраическое число, являющееся корнем уравнения p= +1=0. Решая это биквадратное уравнение определим все его корни: x=. Если бы многочлен p был приводим, он имел бы над Q делитель вида (x-a) или (x-a)(x-b) , где a,b некоторые из указанных выше корней. Однако непосредственная проверка показывает, что ни один из этих многочленов не имеет рациональных коэффициентов. Поэтому степень числа U равна 4 и базис в расширении составляют числа : 1, U=, , . Вместо них в базис можно включить 1, ,, . Отсюда вытекает, что Q()=Q() и таким образом присоединение двух элементов и равносильно присоединению единственного элементa. Можно доказать, что всякое конечное расширение поля характеристики 0 является простым алгебраическим расширением и таким образом для его построения достаточно к исходному полю присоединить один единственный элемент.