Развитие математических способностей учащихся в процессе внеклассной работы по математике в начальной школе

Министерство образованияРоссийской Федерации
Ярославскийгосударственный педагогический университет
имени К.Д. Ушинского
Педагогический факультет
Выпускнаяквалификационная работа
на тему:
Развитие математическихспособностей учащихся в процессе внеклассной работы по математике в начальнойшколе
Исполнитель: студентка
652 группы Е.А. Бурмистрова
Научные руководители:
И.В. Налимова, доцент,
кандидат пед. наук
В.А. Мазилов, профессор,
доктор псих. наук
Ярославль
2003

Введение
Одна изосновных задач современной школы состоит в том, чтобы помочь учащимся в полноймере проявить свои способности, развить инициативу, самостоятельность,творческий потенциал.
Изучениематематических способностей школьников и условий их формирования и развитиявесьма важно для практики школьного обучения, так как математика ¾ один из наиболее важныхпредметов школьного курса. Математические способности наиболее детально былиизучены В. А. Крутецким еще в середине прошлого века. В своих исследованиях онуказал, что компоненты математических способностей в младшем школьном возрастепредставлены лишь в своем зачаточном состоянии.
Поэтомувопрос их развития наиболее остро встает именно в этот период. В настоящеевремя, время повсеместного внедрения различных систем развивающего обучения, развитиематематических способностей обеспечивается самим процессом школьного курсаматематики. Но не следует пренебрегать и внеучебными средствами, содействующимиукреплению и расширению математической активности. Одним из них являетсяпроведение внеклассной работы по математике.
Внекласснаяработа по математике составляет неразрывную часть учебно-воспитательногопроцесса обучения математике, сложного процесса воздействия на сознание иповедение школьников, углубление и расширение их знаний и навыков таких факторов,как содержание самого учебного предмета ¾ математики, всейдеятельности учителя в сочетании с разносторонней деятельностью учащихся.Желательно начать проводить такую работу как можно раньше, поэтому особоевнимание необходимо уделять внеклассной работе в младших классах.
Учащиесяначальных классов наиболее нуждаются в том, чтобы их первоначальное ипоследующее знакомство с математическими истинами носило не сухой характер, апорождало бы интерес и любовь к предмету, развивало бы в учащихся способность кправильному мышлению, острый ум и смекалку и тем самым вносило бы оживление впреподавания предмета.
Однако, насегодняшний день проблема развития математических способностей младшихшкольников в процессе внеклассной работы ¾ одна из наименееразработанных методических проблем. Этим, в первую очередь, и определилась ееактуальность, необходимость исследования.
Поэтому,задачи нашего исследования заключаются в следующем:
Изучитьпсихолого-педагогическую литературу с целью выяснения содержания понятияспособностей вообще, математических способностей в частности.
Изучитьучебно-методическую литературу, касающуюся внеклассной работы по математике вначальной школе, с целью выявления ее основных форм.
Изучитьсостояние проблемы на практике.
Разработатьрекомендации к проведению внеклассных занятий по математике, а также методикуработы над выпуском стенной математической газеты.
Проверитьэффективность предложенных рекомендаций на практике.
Задачиисследования определили его цель: разработать методику развития математическихспособностей в процессе различных форм внеклассной работы по математике вначальной школе.
Для решенияпоставленных выше задач потребовалось применение различных методов исследования:
анализпсихолого-педагогической и учебно-методической литературы, материаловпериодической печати, посвященных проблеме исследования в ее историческомразвитии и в ее современном состоянии;
разработкаучебного материала на базе теоретических положений и их последующаяэкспериментальная проверка;
социально-психологическиеисследования: анкетирование, интервьюирование, опрос.
Решениепоставленных задач осуществлялось с 2001 по 2003 год. Базой исследованияпослужили школы № 81, № 20, № 42 города Ярославля, педагогический факультетЯГПУ имени К.Д. Ушинского. Собственно экспериментальное обучение проводилось набазе школ № 81 и № 20.
В целом висследование было вовлечено 20 учителей начальных классов, 28студентов-выпускников педагогического факультета, 78 учащихся 2-ого класса,обучающихся по системе “Школа 2100”.
Результатыисследования нашли свое отражение в выпускной квалификационной работе,состоящей из введения, 3-ех глав, заключения и приложений.
Во введенииобосновывается актуальность проблемы, отражается цель и задачи, указываютсяметоды работы.
В первойглаве раскрывается понятие способностей, указываются компоненты математическихспособностей, степень их проявления в младшем школьном возрасте, а такжерассматриваются природные предпосылки и условия формирования математическихспособностей. Главу заканчивает формулировка основных выводов и рекомендаций.
Вторая главасодержит описание основных форм проведения внеклассной работы по математике вначальной школе, а также указание на отличительные особенности и большуюзначимость подобной работы. Сделаны основные выводы по главе, данырекомендации.
Третья главаявляется результатом проводимой нами опытно-экспериментальной работы, в нейотражены результаты анкетирования учителей начальных классов, студентов-выпускниковпедагогического факультета и младших школьников, касающиеся проблемы развитияматематических способностей и применения для достижения этой цели внекласснойработы по математике. В этой главе представлено описание формирующегоэксперимента и проверки его эффективности, также сделаны основные выводы и даныпрактические рекомендации.  
В заключениисформулированы основные выводы по всей работе, даны практические рекомендациипо использованию теоретического и практического материала выпускной квалификационнойработы и разработанных нами методик.
В приложениипредставлены конспекты проводимых занятий, наглядный материал, работы учеников,бланки опросников.

Глава 1.Математические способности и их развитие в младшем школьном возрасте
1.1 Понятие оспособностях и их природе
Большоезначение в психологии придается проблеме способностей вообще и проблемеспособностей школьников в частности. Целый ряд исследований психологовнаправлен на выявление структуры способностей школьников к различным видам деятельности.Здесь можно упомянуть таких, как Л.С. Выготский (17), С.Л. Рубинштейн (75, 76),Б.Г. Ананьев (4), П.Я. Гальперин (18), В.Д. Шадриков (102, 103), Н.С. Лейтес(54, 55, 56, 57) и других, а также авторов фундаментальных исследованиймузыкальных способностей Б.М. Теплова (90, 91, 92), способностей к изобразительнойдеятельности В.И. Киреенко (35) и математических способностей В.А. Крутецкого(45, 46, 47, 48, 49). Однако среди психологов нет единого подхода к проблемеспособностей. В науке, в частности, в психологической, продолжается дискуссия осамой сущности способностей, их структуре, происхождении и развитии. Невдаваясь в детали традиционных и новых подходов к проблеме способностей, укажемна некоторые основные спорные пункты различных точек зрения отечественныхпсихологов на способности.
Различие впонимании сущности способностей обнаруживается прежде всего в том,рассматриваются ли они как социально приобретенные свойства (Б.М. Теплов [90,91]) или же признаются и природные способности (С.Л. Рубинштейн [75, 76]; В.Д.Шадриков [102, 103] и другие). Одни авторы под способностями понимают комплексиндивидуально-психологических особенностей человека, отвечающих требованиямданной деятельности и являющихся условием успешного ее выполнения, которые несводятся к подготовленности, к имеющимся знаниям, умениям и навыкам (Б.М.Теплов [92]; В.А. Крутецкий [45, 46, 47, 48, 49], Н.С. Лейтес [54, 55, 56,57]). Здесь следует обратить внимание на несколько фактов. Во-первых,способности ¾ это индивидуальные особенности, то есть то, что отличаетодного человека от другого. Во-вторых, это не просто особенности, апсихологические особенности. И, наконец, способности ¾ это не всякиеиндивидуально-психологические особенности, а лишь те, которые соответствуюттребованиям определенной деятельности.
При другомподходе, наиболее ярко выраженном у К.К. Платонова, способностью считаетсялюбое качество “динамической функциональной структуры личности” (11, с.19), еслионо обеспечивает успешное освоение и выполнение деятельности.
Однако, какотмечал В.Д. Шадриков, “при таком подходе к способностям онтологический аспектпроблемы переносится на задатки, под которыми понимаютсяанатомо-физиологические особенности человека, составляющие основу развитияспособностей. Решение психофизиологической проблемы заводилось в тупик вконтексте способностей как таковых, поскольку способности ¾ психологическаякатегория ¾ не рассматривались как свойство мозга. Не более продуктивени признак успешности, ибо успешность деятельности определяется и целью, имотивацией, и многими другими факторами”.(102, с.176) Согласно его теорииспособностей, продуктивно определить способности как особенности можно толькопо отношению их к единичному и всеобщему. Всеобщим (общим) для каждойспособности В.Д. Шадриков называет свойство, на основе которого реализуетсяконкретная психическая функция. Каждое свойство представляет собой сущностнуюхарактеристику функциональной системы. Именно для того чтобы реализовать этосвойство, формировалась конкретная функциональная система в процессеэволюционного развития человека, например свойство адекватно отражатьобъективный мир (восприятие) или свойство запечатлевать внешние воздействия(память) и так далее. Свойство проявляется в процессе деятельности. Такимобразом, теперь можно определить способности с позиции всеобщего как свойствофункциональной системы, реализующее отдельные психические функции.
Различают двавида свойств: те, которые не обладают интенсивностью и поэтому не могут ееменять, и те, которые обладают интенсивностью, то есть могут быть больше илименьше. Гуманитарные науки имеют дело главным образом со свойствами первоговида, естественные ¾ со свойствами второго вида. Психические функциихарактеризуются свойствами, которые обладают интенсивностью, меройвыраженности. Это позволяет определить способности с позиции единичного(отдельного, индивидуального). Единичное будет представлено мерой выраженностисвойства; мера ¾ следствие диалектического единства качественногои количественного проявлений свойства.
Такимобразом, согласно представленной выше теории, способности можно определить каксвойства функциональных систем, реализующих отдельные психические функции,которые имеют индивидуальную меру выраженности, проявляющуюся в успешности икачественном своеобразии освоения и реализации деятельности. При оценкеиндивидуальной меры выраженности способностей целесообразно использовать те жепараметры, что и при характеристики любой деятельности: производительность,качество и надежность (в плане рассматриваемой психической функции).
Из различногопонимания сущности способностей вытекает различный подход к раскрытию ихструктуры, которая у разных авторов предстает в виде набора разных качеств,классифицируемых по разным основаниям и находящихся в разном соотношении.
Нетоднозначного ответа и на вопрос о генезисе и развитии способностей, их связи сдеятельностью. Наряду с утверждением, что способности в своей родовой формесуществуют у человека до деятельности как предпосылка ее реализации (С.Л.Рубинштейн [75, 76]; В.Д. Шадриков [102, 103] и другие), высказывалась идругая, противоречивая точка зрения: способности не существуют до деятельности(Б.М. Теплов [90, 92]). Последнее положение заводит в тупик, так как непонятно,каким образом начинает совершаться деятельность без способностей к ней. Вдействительности способности на определенном уровне их развития существуют додеятельности, а с началом ее проявляются и затем развиваются в деятельности,если она предъявляет все более высокие требования к человеку.
Для успешногоовладения любой деятельностью необходимо определенное сочетание отдельныхчастных способностей, образующих единство, качественно своеобразное целое. Вэтом синтезе отдельные способности (компоненты) обычно объединяются вокругопределенного стержневого личностного образования, своего рода центральнойспособности. Таким образом, способности ¾ сложное, интегральное,психическое образование, своеобразный синтез свойств, или компонентов.
Общий законобразования способностей состоит в том, что они формируются в процессеовладения и выполнения тех видов деятельности, для которых они необходимы.Способности не есть нечто раз и навсегда предопределенное (как считалибольшинство зарубежных психологов первой половины 20 века), они формируются иразвиваются в процессе обучения, в процессе упражнения, овладения соответствующейдеятельностью. В обычной жизни способности выступают для нас прежде всего какхарактеристики конкретного человека. Обращаясь к конкретной личности, особеннов образовательном процессе, мы видим, что способности развиваются, имеютиндивидуально своеобразное выражение. Способности есть проявление личности. Онивсегда выражаются в уровне мастерства, в искусстве, искусности человека. Мыоцениваем, как правило, уже реализацию способностей, а не сами способности кактаковые. И эта реализация способностей может существенно искажаться взависимости от того, свободен ли человек в самореализации, так же как свободенли он в творчестве. Эта реализация детерминирована внешним миром. Носпособности раскрываются прежде всего тогда, когда есть свобода деятельности,свобода в выборе самой деятельности, свобода в формах ее реализации, ввозможности творчества. Природная сила человека, природные способностипроявляются в большей мере в детском возрасте, когда они во многом еще свободныот “воздействия сознания, до сознания, до добра и истины, до оценки и выбора”.(103,, с.5) Поэтому нужно формировать, развивать, воспитывать, совершенствоватьспособности детей по возможности в творчестве, и нельзя заранее точнопредвидеть, как далеко может пойти это развитие.
Однако, вотличие от сторонников личностно-деятельностного подхода, рассматривающихспособность как совокупность особенностей человека, влияющих на эффективностьопределенной деятельности, некоторые психологи рассматривают способности какхарактеристику функции (объема или быстроты восприятия, концентрации илипереключения внимания, силы или быстроты движения и так далее), а различиялюдей по тем или иным способностям считают результатом не столько развитияспособностей, сколько генетически обусловленными особенностями (врожденнымизадатками) (32). При функционально-генетическом подходе человек являетсяносителем способностей уже при рождении; при личностно-деятельностном подходеспособности к той или иной деятельности появляются только тогда, когда человекначнет осуществлять эту деятельность, они формируются по ходу деятельности.Сторонники первого подхода утверждают, что никакого “формирования” способностейне происходит: их не надо формировать, так как они уже заданы от рождения, надосоздавать условия для их проявления и развития.
Тем не менее,несмотря на принципиальные расхождения сторонников личностно-деятельностного ифункционально-генетического подхода к способностям, между ними имеется исходство ¾ понимание того, что различия между людьми по способностямсвязаны с врожденными особенностями-задатками. Их мы более подробно рассмотримв четвертом параграфе нашей работы. А пока более подробно остановимся напроблеме соотнесения способностей со знаниями, умениями и навыками.
Следуетподчеркнуть тесную и неразрывную связь способностей со знаниями, умениями,навыками. С одной стороны, способности зависят от знаний, умений и навыков ¾ в процессе приобретенияих развиваются способности. С другой стороны, знания, умения и навыки зависятот способностей: способности позволяют быстрее, легче, прочнее и глубжеовладеть соответствующими знаниями, умениями, навыками. То есть способности ¾ это такие индивидуальныеособенности, которые не сводятся к наличным навыкам, умениям и знаниям, нокоторые могут объяснить легкость и быстроту приобретения этих знаний и навыков.
Ноотождествление способностей и знаний, умений и навыков было бы грубой ошибкой.Недостаточное знание или неумение нельзя принимать за отсутствие способностей. “Способностьне сводится к тем знаниям, умениям, навыкам, которые уже выработаны у данногочеловека,” ¾ говорит Б. М. Теплов уже в самом определении способностей(92, с.130). Однако это не раскрывает соотношения навыков и способностей.Решение этой проблемы предложил В.Д. Шадриков. Он считает, что сутьонтологических различий способностей и навыков заключается в следующем:способность описывается функциональной системой, одним из ее обязательныхэлементов является природный компонент, в качестве которого выступаютфункциональные механизмы способностей, а навыки описываются изоморфнойсистемой, одним из ее главных компонентов являются способности, выполняющие вэтой системе те функции, которые в системе способностей реализуютфункциональные механизмы. Таким образом, функциональная система навыков как быпроизрастает из системы способностей. Это система вторичного уровня интеграции(если принять систему способностей за первичную) (102, 103).
Говоря оспособностях вообще, следует указать, что способности бывают разного уровня ¾ учебные и творческие.Учебные способности связаны с усвоением уже известных способов выполнениядеятельности, приобретением знаний, умений и навыков. Творческие способностисвязаны с созданием нового, оригинального продукта, с нахождением новыхспособов выполнения деятельности. С этой точки зрения различают, например,способности к усвоению, изучению математики и творческие математические способности.Но, как писал Ж. Адамар, “между работой ученика, решающего задачу …, итворческой работой разница лишь в уровне, так как обе работы аналогичногохарактера” (2, с. 27).
Но прежде чемперейти к вопросу о математических способностях и их структуре, важно указать,что в психологии различают общие умственные способности и специальныеспособности. Общие умственные способности ¾ это способности, которыенеобходимы для выполнения ни какой-то одной, а многих видов деятельности. Кобщим умственным способностям относят, например, такие качества ума, какумственная активность, критичность, систематичность, сосредоточенное внимание.Человек от природы наделен общими способностями. Любая деятельность осваиваетсяна фундаменте общих способностей, которые развиваются в этой деятельности. Какотмечает В.Д. Шадриков, “специальные способности есть общие способности,приобретшие черты оперативности под влиянием требований деятельности” (102,с.239). Специальные способности ¾ это способности, которыенеобходимы для успешного овладения какой-нибудь одной определеннойдеятельностью. Эти способности также представляют собой единство отдельных частныхспособностей. Например, в составе математических способностей большую рольиграет математическая память; способность к логическому мышлению в областиколичественных и пространственных отношений; быстрое и широкое обобщениематематического материала; легкое и свободное переключение от одной умственнойоперации к другой; стремление к ясности, экономичности, рациональностирассуждений и так далее. Все частные способности объединяются стержневойспособностью ¾ математической направленностью ума (под которой понимаюттенденцию вычленять при восприятии пространственные и количественные отношения,функциональные зависимости), связанной с потребностью в математическойдеятельности.
1.2 Математическиеспособности и их структура
Так в чем жезаключаются математические способности? Или они есть ни что иное, каккачественная специализация общих психических процессов и свойств личности, тоесть общие интеллектуальные способности, развитые применительно кматематической деятельности? Является ли математическая способность унитарнымили интегральным свойством? В последнем случае можно говорить о структурематематических способностей, о компонентах этого сложного образования. Ответына эти вопросы искали психологи и педагоги еще начала века, но до сих пор нетединого взгляда на проблему математических способностей. Попробуем разобратьсяв этих вопросах, проанализировав работы некоторых ведущих специалистов,работавших над этой проблемой.
Пытаясьразобраться в психологии математического мышления, Д. Мордухай-Болтовскойвыделяет в нем два процесса: постановку проблемы и ее решение, и указываетсвойства ума, необходимые для успешного осуществления этих процессов. Дляуспешной постановки проблемы главным необходимым условием он считает творческоевоображение: “При самом выборе проблемы иногда необходимо делать гипотезу,необходима не точная цепь силлогизмов, а воображение” (65, с.495). Второйсоставляющей называет память на схемы рассуждений и бессознательныемыслительные процессы.”Мышление математика … глубоко внедряется вбессознательную сферу, то всплывая на ее поверхность, то погружаясь в глубину”(65, с.496). Так же Д. Мордухай-Болтовской выделяет остроумие, как одно изхарактерных свойств математической способности ¾ “способность обниматьумом зараз два совершенно разнородных предмета” (65, с.496) (то есть остроумие ¾ это способностьобъединять в одном суждении понятия из двух малосвязанных областей) ¾ и, наконец, быстротуматематического мышления. При этом он особо отмечает, что при анализематематической способности следует резко отличать склонность к известному родузанятий от способностей (65, 66).
А. Пуанкарепришел к выводу, что важнейшее место в математических способностях занимаетумение логически выстроить цепь операций, которые приведут к решению задачи.Кроме того, для математика недостаточно иметь хорошую память и внимание. Помнению Пуанкаре, людей, способных к математике, отличает умение уловитьпорядок, в котором должны быть расположены элементы, необходимые дляматематического доказательства. Наличие интуиции такого рода ¾ есть основной элементматематического творчества (74).
Л.А. Венгеротносит к математическим способностям такие особенности умственнойдеятельности, как обобщение математических объектов, отношений и действий, тоесть способность видеть общее в разных конкретных выражениях и задачах;способность мыслить “свернутыми”, крупными единицами и “экономно”, без лишнейдетализации; способность переключения с прямого на обратный ход мысли (13).
Б.А. Кордемскийне говорит о математических способностях, а выделяет элементы математическогомышления. К ним он относит инициативность (желание самому постигнуть проблему,стремление к самостоятельному поиску способов и средств решения задачи),гибкость и критичность ума (придумывание и применение нешаблонных,оригинальных, остроумных приемов решения задач и методов рассуждений спостоянной проверкой их правильности, строгости и практической ценности) (42,43). Кроме этого, он выделяет и такой элемент, как волевые усилия, под которымипонимает “упорство и настойчивость, которые проявляются в преодолениитрудностей, возникающих в процессе овладения математическими методами прирешении задач”(42, с.34).
Для тогочтобы понять, какие еще качества требуются для достижения успехов в математике,исследователями анализировалась математическая деятельность: процесс решениязадач, способы доказательств, логических рассуждений, особенностиматематической памяти. Этот анализ привел к созданию различных вариантовструктур математических способностей, сложных по своему компонентному составу.При этом мнения большинства исследователей сходились в одном: что нет, и неможет быть единственной ярко выраженной математической способности ¾ это совокупнаяхарактеристика, в которой отражаются особенности разных психических процессов:восприятия, мышления, памяти, воображения.
Срединаиболее важных компонентов математических способностей выделяютсяспецифическая способность к обобщению математического материала, способность кпространственным представлениям, способность к отвлеченному мышлению. Некоторыеисследователи выделяют также в качестве самостоятельного компонентаматематическую память на схемы рассуждений и доказательств, методы решениязадач и способы подхода к ним. Одним из них является В.А. Крутецкий. Он такопределяет математические способности: ”Под способностями к изучению математикимы понимаем индивидуально-психологические особенности(прежде всего особенностиумственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математическойдеятельности и обуславливающие на прочих равных условиях успешность творческогоовладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое,легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики”948, с.41). В своей работе мы, главным образом, будем опираться на исследованияименно этого психолога, так как его исследования этой проблемы и на сегодняшнийдень являются самыми глобальными, а выводы наиболее экспериментальнообоснованными. Итак, В.А. Крутецкий различает девять способностей (компонентовматематических способностей):
Способность кформализации математического материала, к отделению формы от содержания,абстрагированию от конкретных количественных отношений и пространственных форми оперированию формальными структурами, структурами отношений и связей;
Способностьобобщать математический материал, вычленять главное, отвлекаясь отнесущественного, видеть общее во внешне различном;
Способность коперированию числовой и знаковой символикой;
Способность к“последовательному, правильно расчлененному логическому рассуждению”,связанному с потребностью в доказательствах, обосновании, выводах;
Способностьсокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами;
Способность кобратимости мыслительного процесса (к переходу с прямого на обратный ходмысли);
Гибкостьмышления, способность к переключению от одной умственной операции к другой,свобода от сковывающего влияния шаблонов и трафаретов;
Математическаяпамять. Можно предположить, что ее характерные особенности также вытекают изособенностей математической науки, что это память на обобщения, формализованныеструктуры, логические схемы;
Способность кпространственным представлениям, которая прямым образом связана с наличиемтакой отрасли математики, как геометрия.
Большинствопсихологов и педагогов, говоря о математических способностях, опираются именнона эту структуру математических способностей В.А. Крутецкого. Однако в процессеразличных исследований математической деятельности учеников, проявляющихспособности к этому школьному предмету, некоторыми психологами были выделены идругие компоненты математических способностей. В частности, нас заинтересовалирезультаты исследовательской работы З.П. Горельченко (20). Он отметил успособных к математике учеников следующие особенности. Во-первых, он уточнил ирасширил компонент структуры математических способностей, называемый всовременной психологической литературе “обобщение математических понятий” ивысказал мысль о единстве двух противоположных тенденций мышления учащегося кобобщению и “сужению” математических понятий. В указанном компоненте возможновидеть отражение единства индуктивного и дедуктивного методов познанияучащимися нового в математике. Во-вторых, диалектические зачатки в мышленииучащихся при усвоении новых математических знаний. Это проявляется в том, чтопочти в любом отдельном математическом факте наиболее способные учащиесястремятся усмотреть, понять факт, ему противоположный, или, по крайне мере,рассмотреть предельный случай исследуемого явления. В-третьих, он отметилособое повышенное внимание к возникающим новым математическим закономерностям,противоположным ранее установленным. Мышление увлеченных математикой школьниковотличается особой восприимчивостью к математическим контрастам, не связанными спредыдущими рассматриваемыми явлениями, не вытекающими из них, а иногда ивступающими в противоречие с ними. Указанная особенность математическогоповедения наиболее способных учащихся тесно связана с возникновением у нихэлементов диалектического мышления и вместе с ними служит большим стимулом,побуждающим учащихся к новым математическим раздумьям, усиливает и укрепляет ихвеликий интерес к математике. Он так же отметил и особое увлечение способныхучеников сложными математическими проблемами. З.П. Горельченко отмечает, что“подлинное увлечение серьезными математическими задачами характерно только дляучеников, влюбленных в математику и проявляющих повышенные способности к успешнымзанятиям ею. Этим учащимся свойственно стремление попробовать свои силы преждевсего на содержательных задачах, которые решали многие математики и решениекоторых до сих пор не найдено“ (20, с.11). Таким образом, естественное влечениеотдельных учащихся к наиболее трудным математическим задачам свидетельствует осклонности их к серьезной математической работе, о наличии у них способностей куспешным занятиям математикой. Отмечается и такая характерная особенностьспособных к математике учащихся, как переувлечение математической работой сневозможностью быстро выключиться из процесса математических размышлений. Какправило, для переключения на новую, не математическую работу увлеченнымматематикой учащимся требуется времени гораздо больше, чем ученикам, неотличающимся особой склонностью к такого рода занятиям. Одним из характерныхпризнаков повышенных математических способностей учащихся и переходу их кзрелому математическому мышлению может считаться и относительно раннеепонимание надобности аксиом как исходных истин при доказательствах. Доступноеизучение аксиом и аксиоматического метода в значительной мере способствуетускорению развития дедуктивного мышления учащихся. Замечено также, чтоэстетическое чувство в математической работе у разных учащихся проявляетсяпо-разному. По-разному различные ученики отвечают и на попытку воспитать иразвить у них эстетическое чувство, соответствующее их математическомумышлению. Наиболее способных к математике учащихся отличает особый эстетическийсклад математического мышления. Он позволяет им сравнительно легко пониматьнекоторые теоретические тонкости в математике, улавливать безупречную логику икрасоту математических рассуждений, фиксировать малейшую шероховатость,неточность в логическом строе математических концепций. Самостоятельноеустойчивое стремление к оригинальному, нешаблонному, изящному решениюматематической задачи, к гармоническому единству формальных и семантическихкомпонентов решения задачи, блестящие догадки, иногда опережающие логическиеалгоритмы, порою трудно переложимые на язык символов, свидетельствуют о наличиив мышлении чувства хорошо развитого математического предвидения, являющегосяодной из сторон эстетического мышления в математике. Повышенные эстетическиеэмоции при математическом размышлении присущи в первую очередь учащимся свысоко развитыми математическими способностями и совместно с эстетическимскладом математического мышления могут служить существенным признаком наличияматематических способностей у школьников. Следует отметить и сравнительнобольшую скорость продвижения способных учащихся в овладении математическимизнаниями и повышенную быстроту решения математических задач. Как правило, унаиболее способных к математической работе учащихся скорость восприятия иусвоения новых знаний повышенная. Считая это качество с большой вероятностьюодним из необходимых, хотя и далеко не достаточным условием наличияматематических способностей, следует рассматривать это условие, как компонентих структуры, причем такой, по которому наиболее легка первоначальнаяориентация в обнаружении наиболее способных к математике учеников. И, наконец,выделяется такой компонент структуры математических способностей, какхарактерные особенности памяти учащихся способных к математике. Наиболееспособные к математике в процессе математической работы ориентируют своемышление прежде всего на хорошее понимание познаваемого и только затем назапоминание его. При этом они стремятся как можно глубже осознать, понять нетолько отдельные математические факты, но и основные идеи, связывающие их другс другом и остальным усвоенным ранее математическим материалом, четкоопределить логическое место новых познаваемых фактов в общей системеопределенных математических знаний.
Помимоуказанных компонентов математических способностей, которые можно и должноразвивать, необходимо учитывать еще и то, что успешность осуществленияматематической деятельности является производным определенного сочетаниякачеств:
Активногоположительного отношения к математике, интереса к ней, стремления заниматьсяею, переходящими на высоком уровне развития в страстную увлеченность.
Рядахарактерологических черт; прежде всего трудолюбия, организованности,самостоятельности, целеустремленности, настойчивости, а также устойчивыхинтеллектуальных качеств, чувства удовлетворения от напряженной умственнойработы, радость творчества, открытия и так далее.
Наличия вовремени осуществления деятельности благоприятных для ее выполнения психическихсостояний, например, состояние заинтересованности, сосредоточенности, хорошего“психического” самочувствия и так далее.
Определенногофонда знаний, умений и навыков в соответствующей области.
Определенныхиндивидуально-психологических особенностей в сенсорной и умственной сферах,отвечающих требованиям данной деятельности.
Такимобразом, под способностями к изучению математики мы будем пониматьиндивидуально-психологические особенности, отвечающие требованиям учебнойматематической деятельности и обуславливающие при прочих равных условияхуспешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частностиотносительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыкамив области математики.
1.3Выраженность компонентов математических способностей в младшем школьномвозрасте
Способностичеловека не бывают даны от рождения в готовом виде. Не подлежит сомнению, чтовсе способности, в том числе и математические, развиваются в процессевзаимодействия ребенка с окружающим миром, под влиянием обучения и воспитания всамом широком значении этих слов. Не менее несомненно и то, что даже вотносительно одинаковых условиях жизни и деятельности психические свойствадетей неодинаковы и развиваются в разной степени. Известно, что способностидетей развиваются по многим направлениям. Ребенок овладевает бытовыми навыками,речью, в дальнейшем ¾ знаниями основ наук, трудовыми умениями, то естьвсем необходимым для жизни в обществе. При этом школьники, осваивая самыеразличные учебные предметы, обнаруживают не только те или иные специальныеданные, но и широту своих возможностей.
Математическиеспособности детей, как и другие стороны их личности, находятся в процессестановления и связаны с ходом возрастного развития. Возрастные особенностиимеют самое непосредственное отношение к формированию способностей ииндивидуальных различий по способностям. Очень важно ¾ именно в связи свопросом о способностях ¾ не упускать из виду, что каждый детский возрастимеет свои особые, неповторимые достоинства. Именно в детские годы у каждогонормального ребенка наблюдается необыкновенная любознательность (так называемыйвозраст “почемучки”), свежесть и острота восприятия ¾ способность удивляться,яркость воображения (выступающая, в частности, в творческих играх), некоторыечерты ясности, конкретности мышления и так далее. В этом плане младший школьныйвозраст, начальные годы собственно учения ¾ это период накопления,усвоения по преимуществу. Остановимся чуть подробнее на возрастных особенностяхмладших школьников и их развитии для развития способностей.
С точкизрения педагогов, младший школьный возраст ¾ это самый послушныйвозраст в жизни человека. Такие психологические особенности, как вера вистинность всего, чему учат, доверчивая исполнительность, являются важнойпредпосылкой начального обучения в школе, представляют собой как бы залогобучаемости и воспитуемости. С этими особенностями связан процесс быстрогоприобщения детей к культуре, к ее исходным элементам. Известны также свежесть,яркость детского восприятия и чрезвычайная отзывчивость детей на окружающее.Ученики начальных классов всем существом откликаются на отдельные моментывысказываний учительницы; они очень живо реагируют на то, что являетсясколько-нибудь новым для них, на каждую шутку, на какой-нибудь пример из жизни.По самому незначительному, казалось бы, поводу у них возникает состояние полнойзаинтересованности и умственной активности. Ни один эпизод урока не оставляетих безразличными. Импульсивность детей, их склонность сразу реагировать придаютзанятиям стремительность и напряжение, обусловливают их насыщенность. Чтобыученики не скучали, необходимы частые переходы от одних занятий к другим; чтобывнимание их было напряжено, не следует затягивать паузы.
Младшиешкольники особо активно реагируют на непосредственные впечатления, доставляемыеорганами чувств. Наглядные пособия, применяемые на занятиях, всегда вызываютжадное любопытство. Готовность к приему все новых впечатлений сочетается удетей данного возраста с быстрым привыканием к новому. У них иногда можнонаблюдать удивительно быстрые переходы от изумленного и любопытствующеговосприятия к спокойно-деловому отношению. Наглядные пособия, вызывающие общийинтерес, занимают учащихся в основном только один урок или одну перемену ¾ за это времяознакомление с ними уже закончено. По-видимому, такое быстрое привыкание(адаптация) и делает возможной чрезвычайную широту восприимчивости. Дети этоговозраста необычайно легко осваиваются с непривычной обстановкой и новымиобстоятельствами.
Такимобразом, острота, подвижность восприятия, наличие необходимых предпосылоксловесного мышления, направленность умственной активности на то, чтобыповторить, внутренне принять, быстрота привыкания создают благоприятнейшиеусловия для обогащения и развития психики детей.
Детям этоговозраста не свойственно задумываться о каких-либо сложностях и трудностях. Ониособенно легко, беззаботно относятся ко всему, что не связано с ихнепосредственными делами. Приобщаясь к сфере познания, они продолжают играть.Усвоение многих понятий, заимствуемых у взрослых, в значительной степенивнешнее, формальное, и пока не может быть иным. Показательно, что младшиешкольники чаще всего не проявляют интереса к выяснению причин или смысла сообщаемыхим правил. Как говорил Н.С. Лейтес, “они как бы чувствуют, что находятся усамого края бесконечной громады знания и не могут на все посягать” (55, с.37).Сама любознательность их в тех случаях, когда она касается объектов, выходящихза пределы их опыта, оказывается весьма относительной. Дети этого возрасталюбят задавать на уроках вопросы, но, как уже отмечалось, касающиеся главнымобразом того, что и как им полагается делать. В умственной пытливости учениковнет уверенности и настойчивости. Из сравнительно небольшого числа вопросовмладших школьников, касающихся сущности явлений, далеко не все выражаютдейственную потребность в чем-то разобраться. Нередко вопросы, в особенностизатрагивающие сложные понятия, произносятся для того, чтобы “себя показать”,или представляют собой случайный, на мгновение возникающий ход мысли. Чащевсего ”глубокомысленное вопрошание” лишь своеобразная умственная игра, к томуже не очень распространенная среди детей этого возраста. Дети овладеваютвнешней стороной, формой многого из того, сто остается им чуждым, не освоеннымпо существу. Доступное им наивно-формальное знание жизненно важных понятийоказывается включенным как бы в детский контекст, получает у них, прежде всего,игровое оформление. Очень существенно то, что наивно-игровой характер познания,органически свойственный детям рассматриваемого возраста, обнаруживает вместе стем огромные формальные возможности детского интеллекта. При недостаточностижизненного опыта и лишь зачаточности теоретико-познавательных интересовособенно очевидно выступают умственная сила детей, их особая расположенность кусвоению.
В младшемшкольном возрасте дети удивительно легко осваивают очень сложные умственныенавыки и формы поведения. Дети этого возраста на короткое время могут бытьзамечательными собеседниками взрослого, активными и отзывчивыми. Ихрассудительность, способность к умозаключениям бывает поразительна. Но ихвозрастная наивность проявляется в том, что они не расположены задумываться осложностях, находящихся за пределами их мирка, и не осознают ограниченностисвоих высказываний. Им чужда рефлексия. В их отношении к окружающему еще многоеидет от веселой, беззаботной, в меру затрудняющей игры, как будто разыгрываемойкем-то составленным правилам. Неверно было бы думать, что детская наивность можетбыть преодолена более рациональным и быстрым обучением, элементы игровогоотношения к познанию все же остается определяющими.
Совмещение вумственных способностях младших школьников правильности, формальнойотчетливости суждений и одновременно, в некоторых отношениях, крайнейодносторонности и нереальности суждений, то есть наличие того, что выше былообозначено как наивно-игровое отношение к окружающему, представляет собой какбы форму существования детского ума в бесконечно сложном мире взрослых. Этонеизбежный, необходимый этап возрастного развития, который позволяетбезболезненно и даже весело овладевать все новым опытом и приобщаться к жизнивзрослых, не боясь, не замечая трудностей. Рассматриваемая возрастнаяособенность ¾ драгоценное качество детскости ¾ дает неограниченныйпростор для тренировки формальной стороны мышления, во многом обуславливаетестественность, легкость усвоения всевозможных впечатлений.
Такимобразом, младший школьный возраст ¾ период впитывания,накопления знаний, период усвоения по преимуществу. Успешному выполнению этойважной жизненной функции благоприятствуют характерные особенности детей этоговозраста: доверчивое подчинение авторитету, повышенная восприимчивость,впечатлительность, наивно-игровое отношение ко многому из того, с чем онисталкиваются. У младших школьников каждая из отмеченных особенностей выступаетглавным образом своей положительной стороной, и в этом неповторимое своеобразиеданного возраста. Некоторые из особенностей младших школьников в последующиегоды сходят на нет, другие во многом изменяют свое значение.
Следуетучитывать при этом разную степень выраженности у отдельных детей той или инойвозрастной черты. Но, несомненно, что рассмотренные особенности существенносказываются на познавательных возможностях детей и обусловливают дальнейший ходобщего развития. Высокая восприимчивость к окружающим воздействиям,расположенность к усвоению очень важная сторона интеллекта, характеризующаяумственные достоинства и в дальнейшем.
Возрастныеособенности во многом представляют собой предпосылки способностей ¾ они существеннейшимобразом влияют на развитие, и сохранение таких особенностей в дальнейшем можетбыть очень ценным для личности (40).
Перейдемтеперь к рассмотрению собственно выраженности компонентов математическихспособностей в младшем школьном возрасте. Это невозможно сделать без опоры наструктуру математических способностей в школьном возрасте. Схему таковой мыможем найти у В.А. Крутецкого (47). Он выводит такую общую схему структурыматематических способностей в школьном возрасте:
Получениематематической информации
А)Способность к формализированному восприятию математического материала,схватыванию формальной структуры задачи.
Переработкаматематической информации
А)Способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственныхотношений, числовой и знаковой символики. Способность мыслить математическимисимволами.
Б)Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношенийи действий.
В)Способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системысоответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами.
Г) Гибкостьмыслительных процессов в математической деятельности.
Д) Стремлениек ясности, простоте, экономности и рациональности решений.
Е) Способностьк быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса,переключению с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительногопроцесса при математическом рассуждении).
Хранениематематической информации
А)Математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовыехарактеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач ипринципы подхода к ним).
Общийсинтетический компонент
А)Математическая направленность ума.
Выделенныекомпоненты тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей совокупностиединую систему, целостную структуру, математический склад ума.
Кромеперечисленных, есть и такие компоненты, наличие которых в структурематематических способностей, хотя и полезно, не обязательно. Учителю, преждечем относить ученика к числу способных или неспособных к математике, необходимоэто учитывать. Не являются обязательными в структуре математической одаренностиследующие компоненты:
Быстротамыслительных процессов как временная характеристика. Индивидуальный темп работыне имеет решающего значения. Ученик может размышлять неторопливо, медленно, нообстоятельно и глубоко.
Способности кбыстрым и точным вычислениям (в частности в уме). На самом деле вычислительныеспособности далеко не всегда связаны с формированием подлинно математических(творческих) способностей.
Память нацифры, числа, формулы. Как указывал академик А.Н. Колмогоров, многие выдающиесяматематики не обладали сколько-нибудь выдающейся памятью такого рода (40).
Способность кпространственным представлениям.
Способностьнаглядно представить абстрактные математические отношения и зависимости.
Разумеется,конкретное содержание структуры способностей в немалой степени зависит отметодов обучения, так как она складывается в процессе обучения. Но указанныевыше компоненты обязательно должны входить в эту структуру, независимо отсистемы обучения.
Анализируясхему структуры математической деятельности школьника вообще и возрастныеособенности младшего школьника, можем выявить выраженность компонентовматематических способностей в младшем школьном возрасте.
Безусловно, кначалу школьного обучения мы вряд ли можем говорить о сколько-нибудь выраженныхматематических способностях, исключая случаи особой одаренности. И это понятно,что по отношению к ребенку правильнее говорить не о самих способностях (большихили выдающихся), а об их предпосылках: далеко не у всех детей, привлекавших ксебе внимание теми или иными признаками математической одаренности,сформируется подлинный талант, разовьются выдающиеся математическиеспособности. Однако заметное развитие отдельных компонентов математическихспособностей в процессе школьного обучения и под влиянием его наблюдается от 2к 4 классу.
Формализированноевосприятие математического материала.
Наблюдается в“зародышевой ” форме во 2-3 классе. В это время у детей появляется стремлениеразобраться в условии задачи, сопоставить ее данные. Их начинают интересовать взадаче не просто отдельные величины, а отношения. Тенденция к “свернутости”восприятия усиливается от 2 к 4 классу. При этом мало способные к математикеученики видят в задаче лишь конкретный смысл, не отступают от данных.
Обобщениематематического материала.
Егопроявления можно наблюдать уже в 1 классе, но это лишь общая способность кобобщению. В младшем школьном возрасте наблюдается относительно более простойвид обобщения ¾ движение от частного к известному общему ¾ умение увидеть в частномуже известное общее, подвести частный случай под общее правило.
Свернутостьмышления.
Свернутость,сокращенность рассуждений и системы соответствующих действий в процессематематической деятельности является специфичной для способных к математикеучащихся в основном старшего школьного возраста. В младшем школьном возрастеэтот компонент математических способностей проявляется лишь в самойэлементарной форме.
Гибкость.
В зачаточнойформе этот компонент был обнаружен лишь у способных к математике младшихшкольников. Детям в этом возрасте неприемлема сама мысль о том, что задачаможет иметь несколько решений. Лишь к 4 классу способные ученики демонстрируютгибкость, но лишь после наводящих вопросов.
Стремление кэкономии умственных сил.
Тенденция коценке ряда возможных способов решения и выбору из них наиболее ясного,простого и экономного, наиболее рационального решения в младшем школьномвозрасте еще четко не выражена.
Математическаяпамять.
Проявленийсобственно математической памяти в ее развитых формах (когда помнились бытолько обобщения и мыслительные схемы) в младшем школьном возрасте ненаблюдается. В их памяти хранятся с одинаковой прочностью общее и частное,существенное и несущественное, нужное и ненужное. Но постепенно основным дляних все-таки становятся отношения данных задачи.
Рассматриваявозрастную динамику развития структуры математических способностей, В.А. Крутецкийтак охарактеризовал этот возраст: ”Понятие “математических способностей ” визвестной степени условно в применении к младшим школьникам, и при исследованиикомпонентов математических способностей в этом возрасте речь обычно может идтилишь об элементарных формах этих компонентов. Но отдельные компонентыматематических способностей формируются уже и в начальных классах” (48, с.115).Однако это формирование не должно быть пущено на самотек. Математическиеспособности в младшем школьном возрасте должны формироваться в результатецеленаправленной деятельности учителя.
Хотелось быотметить в этой главе и такие возрастные характеристики младших школьников,которые не имеют прямого отношения к математическим способностям, но которыенепременно надо помнить учителю в работе по развитию математическихспособностей, чтобы это развитие было максимально возможным. В 6¾7летнем возрасте дети ужеготовы к восприятию и переработке значительного потока информации, они могутподчинять свои действия речевым словесным инструкциям. Однако, по объему иуровню внимания и способности к его распределению младший школьник не намногоотличается от старшего дошкольника.
В 9-10 летпроисходит резкое изменение; дети могут работать длительно, сосредоточенно, безотвлечения и ошибок. Но произвольное внимание непрочно, и если появляетсячто-то интересное, то внимание тут же переключается. Для детей 6-7 летхарактерны высокая эмоциональность и большая значимость эмоциональной реакции.Невозможность длительно сохранять и удерживать внимание в процесседеятельности, которая лишена непосредственного интереса, высокая отвлекаемостьвлекут за собой трудности обучения. Дети 6-7 лет очень любят слушать речьвзрослых, но порог слышимости и острота слуха достигнут своей наибольшейвеличины, лишь в подростковом возрасте, а сейчас тоны и звуки ребеноквоспринимает хуже, чем слова. Память в 6-7 лет непроизвольная: ребенок хорошозапоминает происходящие с ним события, сведения, факты. При этом пересказатьбуквально ему гораздо проще, чем “своими словами”. Кроме того, хорошозапоминается то, что мотивированно, значимо. Эффективность непроизвольногозапоминания резко возрастает и увеличивается от первого к четвертому классу.Характер мышления в 6-7 лет наглядно-образный, или чувственный, то есть прианализе событий, ситуаций, явлений, дети опираются на реальные события, авыводы делают, как правило, схватывая какой-то единичный внешний признак. Ониеще не могут оценивать, хотя уже умеют сравнивать, не умеют классифицировать,но умеют выделять общее и различное, правда, по одному наиболее яркомупризнаку. В их рассуждениях есть своя логика, они даже пытаются делать выводы,но им мешает ограниченность знаний и опыта.
Кроме того,индивидуальные особенности личности ученика также имеют большое значение приовладении математикой. Дети с сильным типом нервной системы могут достаточнодолго и напряженно работать, у них, как правило, высокий эмоциональный тонус,устойчивое (в пределах возрастной нормы) внимание, хорошая способностьориентироваться в непривычных ситуациях. Они достаточно быстро переключаются нановый вид деятельности, у них высокий темп и интенсивность работы. Безусловно,таким детям математика в школе дается значительно легче, чем ученикам со слабымтипом нервной системы. Такие дети вялы, замедлены во всех действиях, медленновключаются в работу, долго переключаются и восстанавливаются. Они быстроотвлекаются, не могут долго и интенсивно работать. Вообще же, темперамент,наряду со способностями и характером, образуют как бы цепь взаимосвязанныхподструктур в структуре личности и индивидуальности, имеющих единую природнуюоснову.
Всоответствии с этими особенностями и теми, что были указаны в начале параграфа,учителям можно дать следующие рекомендации, которые необходимо учитывать приразработке занятий по развитию математических способностей:
уделятьбольше внимания не словесному объяснению, а показу;
использоватьнаглядные пособия, которые учителю необходимо как можно чаще обновлять;
чередоватьвиды деятельности людей, не предлагать долго и интенсивно работать;
не “глотать”окончания, четко произносить все звуки быть точным в эмоциональной окраски, аглавное ¾ темп речи должен быть доступен и понятен детям;
не следуетзатягивать паузы, чтобы внимание детей было постоянно напряжено;
вовлекатьдетей в активную деятельность, особенно при объяснении нового материала;
любуюдеятельность ребенка мотивировать;
развиватькругозор детей, обогащать их запас знаний.
1.4 Природныепредпосылки развития математических способностей
Исследованиематематических способностей включает в себя и решение одной из важнейшихпроблем ¾ поиска природных предпосылок, или задатков, данного видаспособностей. К задаткам относятся врожденные анатомо-физиологическиеособенности индивида, которые рассматриваются как благоприятные условия дляразвития способностей. Долгое время задатки рассматривались как фактор, фатальнопредопределяющий уровень и направление развития способностей. Классикиотечественной психологии Б.М. Теплов (91, 92) и С.Л. Рубинштейн (76) научнодоказали неправомерность такого понимания задатков и показали, что источникомразвития способностей является тесное взаимодействие внешних и внутреннихусловий. Выраженность того или иного физиологического качества ни в коей мерене свидетельствует об обязательном развитии конкретного вида способностей. Ономожет являться лишь благоприятным условием для этого развития.
Типологическиесвойства, входящие в состав задатков и являющиеся важной их составляющей,отражают такие индивидуальные особенности функционирования организма, какпредел работоспособности, скоростные характеристики нервного реагирования, способностьперестройки реакции в ответ на изменения внешних воздействий. Б.Г. Ананьев,развивая представления об общей природной основе развития характера испособностей, указывал на формирование в процессе деятельности связейспособностей и характера, приводящих к новым психическим образованием,обозначаемым терминами ”талант” и “призвание” (4). Таким образом, темперамент,способности и характер образуют как бы цепь взаимосвязанных подструктур вструктуре личности и индивидуальности, имеющих единую природную основу.
Какие жесвойства нервной системы (которые рассматриваются в качестве задатковматематических способностей), личностные особенности и особенности интеллектаприсущи математически одаренным учащимся? Прежде всего, это высокий уровеньобщего интеллекта, преобладание вербального интеллекта над невербальным.Необходимым условием для математических способностей является высокая степеньразвития словесно-логических функций. В.А. Крутецкий, изучая математическуюдеятельность способных к математике учеников, обращал внимание на иххарактерную особенность ¾ способность к длительному поддержаниюнапряжения, когда ученик может долго и сосредоточенно заниматься, необнаруживая усталости. Эти наблюдения позволили ему предположить, что такоесвойство, как сила нервной системы, может являться одной из природныхпредпосылок, благоприятствующих развитию математических способностей (45, 46,47, 48, 49). Кроме того, учащимся, способным к математике, присущи такиеличностные особенности, как разумность, рассудительность, упорство, а такженезависимость, самостоятельность.
Математическиеспособности очень сложны и многогранны по своей структуре, тем не менее,выделяются как бы два основных типа людей с их проявлением ¾ это “геометры” и “аналитики”.В истории математики яркими примерами этого могут являться такие имена, какПифагор и Евклид (крупнейшие геометры), Ковалевская и Клейн (аналитики,создатели теории функций). В основе такого деления лежат, прежде всего,индивидуальные особенности восприятия действительности, в том числе иматематического материала. Оно определяется не предметом, над которым работаетматематик: аналитики и в геометрии остаются аналитиками, тогда как геометрылюбую математическую реальность предпочитают воспринимать образно.
В школьнойпрактике эти различия проявляются не только в разной успешности овладенияразными разделами математики, но и в предпочтительном отношении к принципамрешения задач. Причем эти различия являются весьма устойчивыми. Это такженеобходимо учитывать при работе, направленной на развитие математическихспособностей.
Из всеговышесказанного можем сделать вывод, что при наличии благоприятных задатков ипри оптимальных условиях жизни и деятельности математические способности уребенка могут формироваться очень рано и развиваться весьма быстро. Однакоследует заметить, что отсутствие ранних достижений не свидетельствует оботсутствии способностей.
Учителюследует помнить, что математика является одним из тех предметов, гдеиндивидуальные особенности психики (внимание, восприятие, память, воображение,мышление) ребенка имеют решающее значение для его усвоения. За важнымихарактеристиками поведения, за успешностью (или неспешностью) учебнойдеятельности часто скрываются те природные динамические особенности, о которыхговорилось выше. Нередко они порождают и различия в знаниях ¾ их глубине, прочности,обобщенности. По этим качествам знаний, относящимся (наряду с ценностнымиориентациями, убеждениями, навыками) к содержательной стороне психической жизничеловека, обычно судят об одаренности детей.
Такимобразом, индивидуальные типологические особенности личности ученика вотдельности, под коими понимается и темперамент, и характер, и задатки и соматическаяорганизация личности в целом, оказывают существенное влияние на формирование иразвитие математического стиля мышления ребенка, который, безусловно, являетсянеобходимым условием сохранения природного потенциала (задатков) ребенка вматематике и его дальнейшего развития в ярко выраженные математическиеспособности.
1.5 Условияформирования математических способностей
С чем жесвязана различная скорость овладения математическими знаниями? Встречаютсяразные типы возрастного умственного развития.
“Раннийподъем” (в дошкольном или младшем школьном возрасте). Он обусловлен наличиемярких природных способностей и задатков соответствующего типа. В дальнейшемможет произойти закрепление и обогащение умственных достоинств, что послужитстартом для становления выдающихся умственных способностей. Но может произойтии “выравнивание” со сверстниками. Мы полагаем, что оно во многом обусловленоотсутствием грамотного и методически активного индивидуального подхода кребенку в ранний период.
“Замедленныйи растянутый подъем”, то есть постепенное накопление интеллекта. Отсутствиеранних достижений в этом случае не означает, что предпосылки больших иливыдающихся способностей не выявятся в дальнейшем. Таким возможным подъемомявляется возраст 16-17 лет, когда фактором “интеллектуального взрыва” служитсоциальная переориентация личности, направляющая ее активность в это русло.Однако это может произойти и позже.
Для учителяначальных классов наиболее актуальной является проблема “раннего подъема”,приходящаяся на возраст 6-9 лет. Один такой ярко способный ребенок в классе,обладающий к тому же сильным типом нервной системы, способен, в буквальномсмысле слова, никому из детей и рта раскрыть не дать. В результате учительдолжен его “притормаживать”. Такое “притормаживание”, если оно идетсистематически, и может привести к тому, что за 3-4 года ребенок“выравнивается” со сверстниками. А поскольку математические способностиотносятся к группе “ранних способностей”, то, возможно, именно математическиспособных детей мы теряем в процессе этого “притормаживания” и “выравнивания”.
Способныйребенок в наибольшей степени нуждается в инструктивном стиле отношений сучителем, требующем большей информативности и обоснованности выдвигаемыхтребований со стороны учителя. Инструктивный стиль в противоположностьимперативному стилю, господствующему в начальной школе, предполагаетапеллирование к личности ученика, учет его индивидуальных особенностей иориентацию на них. Такой стиль отношений способствует развитию независимости,инициативности и творческой потенции, что является благотворной почвой дляразвития собственно математических способностей.
Так как цельюнашей работы является не просто список рекомендаций, необходимых для успешногоовладения детьми математическими знаниями, а разработка рекомендаций кзанятиям, целью которых является развитие математических способностей, тоостановимся подробней на условиях формирования собственно математическихспособностей. Как уже отмечалось, способности формируются и развиваются тольков деятельности. Однако, для того, чтобы деятельность положительно влияла наспособности, она должна удовлетворять некоторым условиям.
Во-первых,деятельность должна вызывать у ребенка сильные и устойчивые положительныеэмоции, удовольствие. Ребенок должен испытывать чувство радостногоудовлетворения от деятельности, тогда у него возникает стремление пособственной инициативе, без принуждений заниматься ею. Живаязаинтересованность, желание выполнить работу возможно лучше, а не формальное,равнодушное, безразличное отношение к ней ¾ необходимые условиятого, чтобы деятельность положительно влияла на развитие способностей.
Если ребенокпредполагает, что ему не справиться с задачей, он стремится ее обойти,формируется негативное отношение к заданию и к предмету вообще. Чтобы этогоизбежать, учитель должен создавать для ребенка “ситуацию успеха”, должензамечать и одобрять любые достижения ученика, повышать его самооценку. Этоособенно касается математики, так как этот предмет большинству детей даетсянелегко.
Посколькуспособности могут принести плоды лишь в том случае, когда они сочетаются сглубоким интересом и устойчивой склонностью к соответствующей деятельности,учителю надо активно развивать интересы детей, стремясь к тому, чтобы этиинтересы не носили поверхностного характера, а были серьезными, глубокими,устойчивыми и действенными.
Во-вторых,деятельность ребенка должна быть по возможности творческой. Творчество детейпри занятиях математикой может проявляться в необычном, нестандартном решениизадачи, в раскрытии детьми способов и приемов вычислений. Для этого учительдолжен ставить перед детьми посильные проблемы и добиваться того, чтобы дети спомощью наводящих вопросов самостоятельно решали их.
В-третьих,важно организовать деятельность ребенка так, чтобы он преследовал цели, всегданемного превосходящие его наличные возможности, уже достигнутый им уровеньвыполнения деятельности. Здесь мы можем говорить об ориентировании на “зонуближайшего развития” учащегося. Но чтобы соблюсти это условие, необходиминдивидуальный подход к каждому ученику.
Такимобразом, исследуя структуру способностей вообще и математических способностей вчастности, а также возрастные и индивидуально характерологические особенностидетей младшего школьного возраста, можем сделать следующие выводы:
Впсихологической науке еще не выработано единого взгляда на проблемуспособностей, их структуры, происхождения и развития.
Если подматематическими способностями подразумевать все индивидуально-психологическиеособенности человека, способствующие успешному овладению математическойдеятельностью, то нужно вычленить такие группы способностей:
самые общиеспособности (условия), необходимые для успешного осуществления любойдеятельности:
¾ трудолюбие;
¾ настойчивость;
¾ работоспособность;
кроме того,хорошо развитые произвольная память и произвольное внимание, интерес исклонность заниматься данной деятельностью;
общиеэлементы математических способностей ¾ те общие
особенностимыслительной деятельности, которые необходимы для очень широкого кругадеятельности;
специфическиеэлементы математических способностей ¾ особенности умственнойдеятельности, которые свойственны только математику, специфичные именно дляматематической деятельности в отличие от всех других.
Последние иесть собственно математические способности.
Математическиеспособности ¾ это сложное, интегрированное образование, основнымикомпонентами которого являются:
¾ способность к формализации математического материала;
¾ способность к обобщению математического материала;
¾ способность к логическому рассуждению;
¾ способность к обратимости мыслительного процесса;
¾ гибкость мышления;
¾ математическая память;
¾ стремление к экономии умственных сил.
Компонентыматематических способностей в младшем школьном возрасте представлены лишь всвоем “зародышевом” состоянии. Однако в процессе школьного обучения происходитзаметное их развитие, младший же школьный возраст является наиболееплодотворным для этого развития.
Существуюттак же и природные предпосылки развития математических способностей, к коимнадо отнести
¾ высокий уровень общего интеллекта;
преобладаниевербального интеллекта над невербальным;
высокаястепень развития словесно-логических функций;
сильный типнервной системы;
некоторыеличностные особенности, такие как разумность, рассудительность, упорство,независимость, самостоятельность.
При разработкезанятий по развитию математических способностей следует учитывать не тольковозрастные и индивидуально типологические особенности детей, но и соблюдатьопределенные условия, чтобы это развитие было максимально возможным:
¾ деятельность должна вызывать у ребенка сильные и устойчивыеположительные эмоции;
¾      деятельность должна быть по возможности творческой;
¾ деятельность должна быть ориентирована на “зону ближайшего развития”ученика.

Глава 2.Содержание различных форм внеклассной работы по математике в начальной школе
2.1 Значениевнеклассной работы
Внекласснаяработа по математике составляет неразрывную часть учебно-воспитательногопроцесса обучения математике, сложного процесса воздействия на сознание иповедение младших школьников, углубления и расширения их знаний и навыков.
По мнениюавторов методического пособия по внеклассной работе по математике в 4-5классах, ”в младших и средних классах преждевременное проведение факультативныхзанятий или дополнительное, углубленное изучение каких-либо учебных дисциплинбыло бы совершенно неоправданным” (26, с.5). Они указывают, что наиболееестественной и проверенной формой дофакультативной подготовки в этот период,соответствующей возрастным особенностям и возможностям детей, являетсявнеклассная работа.
Действительно,проводить внеклассные занятия с детьми по математике надо начинать как можнораньше, чтобы у одних пробудить, а у других укрепить интерес к математике ижелание заниматься ею. Поэтому основными целями внеклассной работы должны статьразвитие у учащихся интереса к предмету, накопление определенного запасаматематических фактов и сведений, умений и навыков, дополняющих и углубляющихзнания, приобретаемые в основном курсе. К сожалению, пока еще нет достаточнообобщенного опыта организации внеклассной работы по математике с младшимишкольниками; почти нет современных пособий, адресованных учителям начальнойшколы, которые учитывали бы изменения в учебном плане, а имеющиеся невнедряются в школьные программы.
Развитие ивоспитание математической инициативы способствует возникновению у человекаинтереса к математике, поднимает на более высокую ступень общее качество ума иволи. Обучение математики — это основное, но не единственное средстворазвития математической инициативы. Активно содействует математическомуразвитию и в не учебные средства (сюда можно отнести массовые популярныематематические журналы, сборники математических развлечений, игр изанимательных задач, математические олимпиады школьного, городского и болеевысоких уровней, пропаганда математических знаний по телевидению), основным изкоторых является внеклассная работа по математике в школе.
Такимобразом, внеклассная работа по математике имеют следующее значение:
Различныевиды этой работы в их совокупности содействуют развитию познавательнойдеятельности учащихся: восприятия, представлений, внимания, памяти, мышления,речи, воображения.
Она помогаетформированию творческих способностей учащихся, элементы которых проявляются впроцессе выбора наиболее рациональных способов решения задач, в математическойили логической смекалке, при проведении на внеклассных занятиях групповых игр.
Некоторыевиды внеклассной работы позволяют детям глубже понять роль математики в жизни.
Внекласснаяработа содействует воспитанию товарищества и взаимопомощи.
В результатетакой работы происходит воспитание культуры чувств, а так же развитие и такихинтеллектуальных чувств, как справедливости, чести, долга, ответственности.
Главное жезначение внеклассной работы по математике в том, что она содействует развитиюматематических способностей школьников.

2.2Особенности внеклассной работы в 1-4 классах
Внекласснаяработа потому так и называется, что, имея непосредственное отношение к работеклассной, все же существенно отличается от нее. Основные особенностивнеклассной работы заключаются в следующем:
Некоторая произвольностьвыбора тематики занятий, они не регламентированы по содержанию, но материал,предъявляемый детям, должен соответствовать наличным у них знаниям, умениям инавыкам.
Разнообразиеформ и видов работы с учащимися.
Особыйзанимательный материал, широкое использование игровых форм и элементовсоревнования.
Занятия нерегламентированы по времени, на одну и ту же тему отводится сравнительнонебольшое учебное время.
Занятияпроводятся в группах, количество человек в которых не регламентировано, так жекак и их возраст.
Припроведении внеклассных занятий по математике, также как и при классно-урочнойработе, необходимо соблюдать основные дидактические принципы: научности,сознательности и активности учащихся, наглядности, должен осуществляться ииндивидуальный подход.
Внекласснаяработа в начальных классах имеет свои дополнительные особенности. Одна из них ¾ недостаточно развитый,не сформировавшийся и еще неустойчивый интерес к предмету у большинстваучащихся, принимающих участие в этой работе. Вместе с тем именно на этом этапеу учащихся такой интерес может и должен начать формироваться. Конечно,результаты успешных занятий математикой часто не зависят от срока началавнеклассной работы. Математическая одаренность или способности конкретногочеловека развиваются в любом возрасте, лишь бы были благоприятны для этогоусловия. При этом необходимо учитывать, что многообразие математических теорийи их приложений требуют способностей разного характера. Чтобы обнаружить, какиеименно способности могут развиваться у данного учащегося, ему полезно принятьучастие в самой разнообразной математической деятельности. Конечно, дляпроверки способностей детей на разном материале нужно много учебного времени.Невозможно не учитывать такие особенности младших школьников, какобязательность, исполнительность, которые позволяют учителю еще до “озорного”возраста 5-7 классов заинтересовать учащихся предметом. Без внимания учителя корганизации внеклассной работы в начальном звене многие подростки никогда непридут в математику.
Этиобстоятельства подсказывают еще одну особенность проведения внеклассных занятийпо математике в самом юном возрасте ¾ на занятия надоприглашать учащихся, не дожидаясь пробуждения у них собственной инициативы.Внеклассная работа по математике в 1- 4 должна быть массовой.
Одной изособенностей проведения внеклассной работы в начальной школе является особоевнимание учителя к поощрению учащихся. В младших классах особенно важно непропустить незамеченным ни один успех школьников в их дополнительнойматематической деятельности. В доброжелательности учителя, умении удивляться,казалось бы, самым незначительным сдвигам в работе своих воспитанниковпроявляется педагогическое мастерство, степень влияния учителя на формированиеи развитие интереса к предмету у учащихся.
Также учительдолжен внимательно следить за настроением учащихся во время занятий, долженстремиться к наибольшему эффекту ¾ развитию у учащихся верыв свои силы. Это свойство характера важно воспитывать на ранних ступенях обучения,так как это первый росток творческой, исследовательской работы, который ведет кразвитию интереса к предмету. В связи с возрастными особенностями младшихшкольников, упражнения лучше предлагать в форме игры.
При работенеобходимо учитывать и другие особенности учеников этого возраста ¾ дети, как правило, оченьлюбят посильные индивидуальные поручения, учеников интересует также исоревновательный мотив. Кроме того, в проведении внеклассной работы необходимотакже опираться на любовь учащихся этого возраста к сказкам и различныминтересным, веселым историям.
2.3 Основныеорганизационные формы
Внекласснаяработа по математике зарождается, в сущности, на занятиях в классе. Задачиповышенной трудности, логические задачи и занимательный материал, предлагаемыйв учебниках (особенно много таких заданий в учебниках по развивающим системам),¾ это собственноупражнения для внеклассных занятий. Однако часть этих упражнений может быть идолжна быть решена в классе при всех учащихся. Именно эти упражнения (или имподобные) связывают содержание и формы классных и внеклассных занятий.
Внекласснаяработа с учащимися самим своим названием предполагает, что ее проводят внеуроков, обязательных для всех. Ее основные формы:
¾ групповые занятия после уроков;
¾ кружковые занятия;
¾ вечера и сборы;
¾ математические олимпиады;
¾ добровольные зачеты;
¾ часы и минуты занимательной арифметики;
¾ математические игры;
¾ написание математических сказок и сочинений;
¾ математические уголки;
¾ математические стенгазеты;
¾ математические выставки и прочее.
Невозможно неуказать на то, что внеклассная работа по математике в начальных классах ¾ сильнодействующеепедагогическое средство. Оно может принести пользу, но в руках невнимательноотносящегося к делу педагога эта работа может обратиться против учащихся,отпугивая их от занятий математикой, оказывая вредное влияние на здоровьедетей. Поэтому, вовсе нет надобности заставлять каждого ученика решать всезапланированные учителем упражнения. Пусть дети решают столько задач, сколькомогут. Этого будет достаточно для постепенного математического развития каждогоучащегося в отдельности и всего класса в целом.
2.4Методические рекомендации
Внекласснаяработа зависит от индивидуальных интересов учителя. Математическая иобщепедагогическая квалификация организатора внеклассной работы также не можетне оказывать влияния на ее качество и научно-методический уровень. Большоезначение имеют и личные вкусы учителя. Кроме того, материал для внеклассныхзанятий должен подбираться с учетом особенностей учеников каждого конкретногокласса. Поэтому-то и трудно давать конкретные методические указания повнеклассной работе, обязательные для всех. Вероятно, с этим и связаноотсутствие методических пособий по внеклассной работе по математике в начальнойшколе. Однако все же могут быть высказаны некоторые общие соображения,относящиеся к методике ведения кружковых занятий, организации игр, вечеров,викторин и прочее.
2.4.1 Групповыезанятия после уроков
Групповыезанятия после уроков чаще называют внеклассными занятиями по математике. Ихотличительная особенность в том, что они имеют наибольшее сходство с обычнымшкольным уроком. По существу они и являются школьными уроками, в основе которыхлежат интересные истории, путешествия, соревнования, то есть это уроки, которыепроходят в игровой атмосфере. Внеклассные занятия близки к урокам тем, что используемыйна занятиях математический материал ¾ материал школьнойпрограммы, может быть немного усложненный и расширенный.
Целью такихзанятий может являться закрепление пройденного школьного материала, проверказнаний, умений и навыков учащихся, расширение и обогащение пройденногоматериала.
Созданиеигровой атмосферы на занятиях развивает познавательный интерес и активностьучащихся, снимает усталость, позволяет удерживать внимание.
Приразработке занятий надо следить за тем, чтобы задания предлагались такимобразом, чтобы дети воспринимали их именно как задания, но при выполнении ихвсе-таки играли. В игру задания превращает метод их проведения ¾ эмоциональность,непринужденность, занимательность.
Назанятиях-путешествиях ненавязчиво обогащается словарный запас детей,развивается речь, активизируется внимание, расширяется кругозор, прививаетсяинтерес к предмету, развивается творческая фантазия, воспитываются нравственныекачества. И главное ¾ детям интересно заниматься, они не отвлекаются,стремятся поскорей выполнить задание, чтобы продолжить так понравившеесяпутешествие. Дети играют, а играя, непроизвольно закрепляют, совершенствуют идоводят до уровня автоматизированного навыка математические знания.
В качествепримера приведем собственную разработку игры-путешествия, цель которой ¾ закрепление знаниятабличных случаев сложения и вычитания в пределах 20 с переходом через разряд.
Мы сегодня свами, ребята, совершим необычное путешествие. Давайте все представим, что мы свами оказались на необитаемом острове, где нас подстерегает много опасностей инеожиданностей, много удивительных приключений. Но прежде чем отправлятьсяизучать наш дивный остров, нам надо немного подкрепиться. Чем мы полакомимся?(бананами) Но для этого нам надо влезть на пальму, решив примеры.
6 + 5
8 + 4
5 + 8
8 + 7
Молодцы! Атеперь вперед, на поиски, на поиски приключений! А вот, смотрите, на горе ¾ мудрая Черепаха. Онахочет нам что-то очень важное сказать. Но что же? Ничего не слышно. Как жевзобраться на такую крутую гору? Мы с вами пойдем по серпантину: так называютдорогу к вершине крутой горы. Кто догадается, почему дорога в горах такназывается?
Ой, ребята,неприятные новости принесла нам Черепаха. Ее друзья попали в беду, онипрятались от дождя в пещере и их завалило камнями. Им никак не выбраться. Надоим помочь. Поможем, ребята? Тогда отправляемся спасать наших бедных друзей. Вотона, эта пещера. Но чтобы добраться до нее, надо перейти по мостику черезогромную пропасть. Чтобы не провалиться, давайте проверим, все ли мостки целы.
Молодцы,ребята! Ловко перебрались через пропасть. Вот мы у входа в пещеру. Как жесдвинуть эти тяжеленные камни? Чтобы камни исчезли, надо решить волшебныепримеры и записать на камнях недостающие в этих примерах числа.
12 — = 8       6= 9                     15 – 8 =      5 = 7                     9 + = 12
Посмотрите,кого мы спасли! Это чудные зверюшки Свиночка и Курочка. Они нам очень благодарны,радуются своему спасению. Они ребята, в качестве благодарности хотят задать ваминтересные задачки. Они уверены, что вы с легкостью их решите. Итак, перваязадача от Свиночки:
Определите,сколько мне лет. А мне столько, сколько изображено на рисунке (учительпоказывает иллюстрацию с изображением сороки), только без последнего знака.
Молодцы! Авот справитесь ли вы с задачкой от Курочки?
Когда я стоюна одной лапке, то вешу 2 кг. Сколько же я буду весить, если встану на обелапки?
Вот молодцы!Вы, ребята, очень хорошо научились считать, думать, соображать, с честьювыдержали все испытания, а, самое главное, приобрели надежных и верных друзей.Так давайте все вместе играть и веселиться.
Учительпроводит игру «Повторяй за мной».
Можно, какуже отмечалось, провести внеклассное математическое занятие с целью проверкизнаний, умений и навыков учащихся, степени усвоения ими нового материала. Такоезанятие целесообразней проводить в форме соревнования, индивидуального илигруппового. Не следует при этом забывать и о непринужденной форме проведениятакой проверки, о необходимости использовать на занятии игровые моменты.Предлагаем следующую, разработанную нами, сюжетную окантовку для внеклассногозанятия, с целью проверки умения решать задачи. Она может быть использована длялюбого класса, учителю лишь необходимо подобрать нужный математическийматериал. Это групповая игра, которая в то же время предполагает ииндивидуальный контроль над каждым учеником. Детям выдаются листочки сзаданиями или без (на усмотрение учителя). Если листы заполнены, то все этодублируется и на доске.
Мы сегоднявсе пилоты. Небо нас к себе зовет.
На волшебнойна ракете отправляемся в полет.
Кто тут самыйумный? Кто здесь самый смелый?
Кто из вассумеет покорить космос целый?
Наш сегодняшнийполет
С вами Петяпроведет.
Космонавт онсамый лучший,
Так что тыего послушай.
Он заданийвам задаст.
Ктосправиться ¾ экзамен космонавтский сдаст!
Итак, мыотправляемся в полет.
Каждый ряд ¾ одна команда, славныйэкипаж.
За самыйбыстрый ответ ¾ корабль ваш!
(Ряд, быстрееостальных справившийся с заданием, получает очко ¾ космический корабль.Учителю необходимо не только учитывать скорость выполнения задания, но и егоправильность. Для этого после выполнения каждого задания нужно осуществлятьпроверку.)
Вот задачкавам простая. Ты ее скорей реши,
Только вотпо-новой схему ты, приятель, запиши.
(Здесь детям даетсязадача и схема к ней. Ученикам необходимо придумать новую схему, более удобнуюдля решения именно этой задачи.)
Ну и ну!Никак не думал, что под силу это вам.
Я сейчас ещесложнее вам задание задам!
Вот задача,вот вам схема. Только вот одна проблема:
Где на схемеразместится то, о чем в задаче говорится?
(Дети на слухвоспринимают задачу и ее данные заносят в схему, которая заранее нарисована навыданных им в начале занятия листочках.)
Вот еще одназадача. Ну, никто еще не плачет?
Вам несправиться с заданьем, очень сложное оно:
И придумать,и решить, и внимательными быть.
(Это заданиезаключается в том, что детям дана схема задачи с подписанными данными. Ученикидолжны придумать задачу по схеме и решить ее)
Ну и молодцы,ребята! Разве думал я когда-то,
Что мудреныезадачки вы решите так легко?
И за это вамв подарок поиграем в «Молоко».
Вот икончился полет. Вам теперь на звездолет
Всемсадиться, и вперед!
Вы, ребята,молодцы, умные и ловкие,
Вы экзамен счестью сдали, с толком и сноровкою.
Всем полетыразрешаю! И от всей души желаю
Всем ребятамбез сомненья праздничного настроенья,
Радость,смех, улыбок море, чтобы вы не знали горя,
Чтоб оценкитолько «5» попадали вам в тетрадь!
Всем учитьсяна «отлично», никогда не унывать!
Подводятсяитоги соревнования, награждается победившая команда. «Лучший пилот», победительв индивидуальном зачете выявляется после проверки учителем работ. На следующемзанятии или на одном из уроков он объявляется и награждается тоже.
Внеклассныезанятия по математике могут проводиться и вне учебного материала, то есть независеть от имеющихся у детей на данный момент учебных умений и навыков.Интересными внеклассные занятия может сделать исторический материал, положенныйв их основу. Известный французский математик, философ, физик, Ж. А. Пуанкареотмечал, что при выборе методов преподавания история науки должна быть главнымпроводником, ибо всякое обучение становится ярче, богаче от каждогосоприкосновения с историей изучаемого предмета (74). Чтобы учащиеся проявлялиповышенный познавательный интерес к математике, чтобы она не казалась имскучной, сухой, труднопреодолимой наукой, целесообразно в систему внеклассныхзанятий включать элементы истории математики. Осуществление принципаисторического подхода дает возможность уяснить, что процесс познания естьисторический процесс, понять связь теории с практикой, увидеть, что математикаразвивалась на основе практики и что критерием достоверности теории являетсяпрактика.
Ознакомлениеучащихся с историей математики как раз и надо проводить на внеклассныхзанятиях, которые будут способствовать развитию познавательных интересов кматематике; углублению понимания изучаемого фактического материала; расширениюкругозора учащихся, повышению их общей культуры.
Необходимоначинать такую работу с 2 класса и проводить ее систематически. Содержание,объем и стиль изложения вопросов из истории математики должны соответствоватьвозрастным возможностям учащихся. Форма сообщения сведений может бытьразличной: это и краткая беседа, и лаконичная справка, это решение задачи иэкскурс, доклад одного из учеников или театральная миниатюра, показ фрагментадиафильма или разъяснение рисунка.
Опираясь напсихологические исследования проблемы обучения и механизмы умственного развитиямладших школьников, Л. С. Выготский отмечает, что не следует боятьсяпреподнести ученикам что-то более сложное, взятое из будущего материала. Имбыло установлено, что умственное развитие осуществляется успешнее, еслиобучение строится не только на достигнутом уровне развития учеников, но и на механизмахпознания, которые еще не созрели, но могут функционировать. «Только то обучениеявляется хорошим, которое забегает вперед развитию» (17, с. 449), оно придаетуроку развивающий характер и вызывает активную умственную деятельностьучащихся.
Тематика такихвнеклассных занятий должна соответствовать порядку ознакомления школьников сразличными математическими фактами и понятиями в школьном курсе. Так, послепрохождения темы «Меры длины», на внеклассных занятиях происходит углублениезнаний по теме в процессе проведения бесед и практических упражнений поизмерению длины отрезков старинными способами. В доступной форме осуществляетсязнакомство детей с происхождением различных единиц измерения.
Аналогичнаяработа возможна при изучении темы «Меры времени». Краткие сведения опроисхождении часов, некоторых единиц измерения времени, о зарождении календаряи путях его совершенствования, можно на занятии и раскрыть взаимосвязь мервремени с природными явлениями.
Не менееинтересные сведения могут получить школьники и в ходе изучения темы«Многозначные числа». Беседы о том, как люди научились вести счет, записыватьчисла, выполнять с ними операции обязательно вызовут интерес у детей.
Такимобразом, создается возможность систематически сочетать изучаемый раздел программыпо математике с внеклассной работой, углублять знания учащихся, развивать и ихматематические способности.
При этом неследует требовать от детей запоминания исторических сведений. Важно, чтобы онипоняли, что математика связана с жизнью, а понятия, которыми мы оперируем,являются отражением предметов и явлений реального мира.
Приведемконспект одного из таких занятий, главная роль в котором принадлежит неучителю, а ученикам-актерам. К подобному занятию следует заранее подготовиться,несколько раз прорепетировать, продумать наглядность. Это не так-то просто,зато эффект от такого занятия будет гораздо больший, чем если бы учитель простоизлагал исторические факты. На занятие даже можно пригласить родителей, этопридаст ему элемент торжественности и большей значимости.
Уже в 1классе при изучении математики вы по-разному записываете одни и те же числа.Так, выполняя действия, сравнивая выражения, числа один, два, три обозначаетезнаками: 1, 2, 3. Но записывая кратко задачу, перечисляя пункты плана, вы этиже числа записываете иначе:,,. Почему одно и то же число мы записываемпо-разному?
Этопроисходит потому, что до сегодняшних дней, наряду с индийской системой записичисел, люди пользуются римской нумерацией. На этом занятии мы узнаем о том,какие римские цифры существуют и как ими пользоваться для обозначения чисел. Арасскажут нам об этом герои книги В.А. Левшина «Три дня в Карликании».
Итак, Сева,Таня и Олег путешествуют по Карликании. Побывав в стране Арабелла, где живутНулик и другие цифры, они отправились в Рим. Сопровождает их по этой странепереводчик.
Выходятдети-актеры. На груди у каждого кружок из бумаги, на котором написана перваябуква имени его героя.
После многихцеремоний, сопровождающих знакомство, Сева, наконец, задал самый главный вопрос:
Сева:           Нет ли у вас Нулика?
Переводчик:        Повторите, пожалуйста, еще раз. Я не расслышал.
Сева:           Яспрашиваю, нет ли у вас Нулика?
Переводчик:        КакогоНулика? Вы, наверное говорите о том маленьком кружочке, который неизвестно длячего живет в Арабелле и ровно ничего из себя не представляет? Нет, нет, у наснет нуликов! Они совершенно бесполезны. Кроме того, никогда не разберешь, где уних начало, а где конец. Мы, римляне, признаем только прямые линии. Это оченьудобно. Сразу видно, где ноги, а где голова.
Таня: Как жевы составляете числа, например, десять, сто, если у вас нет нуликов?
Переводчик:        Всеэто можно изобразить одними палочками.
Олег: Дажебольшое число?
Переводчик:        Дажебольшое. Смотрите.
(Выходятученики, на груди которых нарисованы палочки. Переводчик хлопает в ладоши, детивстали по стойке «Смирно» на равном расстоянии друг от друга, учитель в этовремя читает авторский текст:
Переводчикхлопнул в ладоши и стоявшие на площади спичечные воины мгновенно образовалинесколько правильных рядов.)
Сева:                    Какфизкультурники на стадионе.
Переводчик:        Каждыйиз этих воинов единица. Ничего более. Но из этих единиц я могу составить все,что угодно. Сейчас я заставлю их превратиться в двойки. Раз, два!
(Детиперестраиваются парами. Учитель: На площади произошла перегруппировка. Всеспички расположились парами)
Переводчик:        Теперьвы видите перед собой число два. Прошу дальше. Раз, два, три!
Олег: Неуспели мы глазом моргнуть, как в каждом ряду стало по три спички.
(Детиперестраиваются по трое)
Переводчик:        Вотвам и число три!
Таня:                    Ачетыре?
Переводчик:        Сначалапознакомьтесь с нашей пятеркой.
(Дети встаютпо двое. Через некоторое время из-за них выходят дети, на груди у которых ¾ римская. Учитель: Спичкиопять перегруппировались по двое, вплотную придвинулись друг к другу иоткинулись в разные стороны.)
Олег: Мыувидели фигуру, которую у нас обычно называют галочкой.
Переводчик:        Теперьнетрудно получить и четверку, и шестерку. Поставим палочку слева от пятерки,получим четыре, поставим ее справа ¾ получим шесть.
(детипоказывают называемые числа и записывают их на доске)
Таня: Значит,все дело в том, чтобы из пятерки либо вычесть единицу, либо прибавить. Еслиединица слева, значит, ее надо вычесть, если справа ¾ надо прибавить.
Олег: Понимаю!Если приставить к пятерке справа две палочки, будет семь, а три палочки ¾ восемь.
Переводчик:        Мытак и поступаем. Видите, как просто.
Сева:                    Тогдая знаю, как получить девятку.
Переводчик:        Ужне собираетесь ли вы для этого прибавить четыре палочки? Эту ошибку делаютмногие. Между тем девятку у нас изображают по-другому. Ведь она стоит ближе кдесятке, чем к пятерке. Значит, проще поставить единицу слева от десятки… Вотвам и девятка!
Сева:                    Нокак у вас изображают десятку?
(Учитель:Переводчик подал знак, и птички-спички превратились в ловких акробатов. Однипятерки перекинулись и стали кверху ногами, другие ловко вскочили на них.Выходят дети, на груди которых нарисованы десятки.)
Олег:                    Здорово!
Переводчик:        Красивои просто! А дальше наше обычное правило: единица слева ¾ девять, единица справа ¾ одиннадцать. Потомдвенадцать, тринадцать, четырнадцать и так далее.
(всеназванные числа учитель записывает на доске)
Затем дведесятки ¾ двадцать, три десятки ¾ тридцать…
Таня:                    Четыредесятки ¾ сорок.
Переводчик:        Стоп!Я забыл вам сообщить, что, кроме палочек, у нас имеются четыре латинские буквы:M, D, С и L. М ¾ это тысяча и, как самая большая цифра, нашпредводитель. Его помощники: D ¾ пятьсот, С ¾ сто и L ¾ пятьдесят. Итак, сорок ¾ это пятьдесят минусдесять. Значит изображается это так…
(записываетна доске)
А теперь,ребята, давайте вместе с Севой, Таней и Олегом поупражняемся в записи такихчисел.
2.4.2 Кружковыезанятия
Проведениекружковых занятий в значительной степени близко к урокам. Сходство классных ивнеклассных занятий определяется организационной формой коллективной учебнойработы, когда учитель ведет занятие с группой учащихся, проводит необходимыепояснения, спрашивает учащихся и тому подобное. При этом желательно учащимсяпредоставлять больше инициативы, давать им больше возможностей высказыватьсобственные суждения по обсуждаемому вопросу. Надо учесть, что иногда ошибочныерассуждения и их опровержения, тренировка в “разговоре” на математические темыдает учащимся больше пользы, чем изложение учителем готовых решений. Ребятануждаются в развитии собственной инициативы, своего личного подхода к решениюданной задачи. Важно поощрять различные способы решения задач, не стремитьсянавязывать свое решение. Вместе с тем, учителю необходимо следить за тем, чтобытематика занятий и методы работы в кружке были разнообразной. Ценностьсодержания внеклассной работы и определяется разнообразием тематики и методоврешения задач, новизной по отношению к содержанию урока математики в классе. Ноосновной отличительной особенностью кружковой работы является принципдобровольности вовлечения в работу.
На кружковыхзанятиях школьников обязательно надо учить ориентироваться в незнакомыхситуациях и областях, решать задачи на незнакомую фабулу, с непривычным для нихматематическим содержанием. Темп проведения кружковых занятий должен постепенновозрастать. Нецелесообразно на занятиях кружка проводить систематическоеповторение ранее пройденных вопросов, так как основная задача кружковой работы — развитие творческогоподхода, повышение уровня математической подготовки, но не сообщение учащимсяопределенных математических фактов, подлежащих обязательному усвоению. Учительна занятиях не должен стеснять инициативы и находчивости учащихся в поискахрешения задачи, облегчения вычислений. Кроме того, для занятий необходимоподбирать такие задания, которые представляют собой развитие типовых задач,предусмотренных или непредусмотренных программой.
К занятиюучителю необходимо готовиться. Следует обдумывать план каждого занятия кружка,учитывая разнообразие методов работы с учащимися. Включать в этот планотдельные фрагменты бесед учителя, рассказов, выступлений учащихся с короткимисообщениями по истории математической теории, биографии ученых, интереснымирешениями задач, сообщениями о самостоятельных “исследованиях” и так далее. Этопоможет обобщению опыта внеклассной работы, систематическому улучшению ееорганизации и методики.
Учителю,решившему создать на базе своего класса математический кружок, не обязательнопродумывать методику работы самому. В этом могут помочь методические пособия,разработанные различными авторами. Однако, как правило, в них описана системаработы лишь на один учебный год. Учителю в таком случае трудно обеспечитьпреемственность кружковых занятий. Одним из немногих авторов, решивших этупроблему, является В. П. Труднев (95). Мы представляем примерное тематическоепланирование кружковых занятий с 1 по 3 класс.
1класс
Занятие 1. 1.Занимательная задача на сложение. 2. Упражнение на проверку знания нумерации.3. Загадки. 4. Игра «Веселый счет» (в пределах 20).
Занятие 2. 1.Упражнения в измерении на глаз. 2. Задача в стихах. 3. Задача-смекалка. 4.Задача-шутка. 5. Загадки. 6. Игра «Задумай число» (в основе ¾ а + х = в, х + а = в).
Занятие 3. 1.Упражнение на сравнение фигур. 2. Ребусы. 3. Задача в стихах. 4.Задача-смекалка. 5. Загадка. 6. Игра «на 5 больше и на 5 меньше».
Занятие 4. 1.Игра «Задумай число» (в основе вычитание числа из суммы вида: (х + а) – х =а).2. Задача в стихах на разностное сравнение. 3. Задача-смекалка. 4.Занимательный квадрат. 5. Задача-шутка. 6. Загадка. 7. Игра «Узнай, на какойпарте флажок» (на нахождение уменьшаемого).
Занятие 5. 1.Выпуск математической газеты. 2. Логическая игра «Какая математическая фигураисчезла?».
Занятие 6. Итогиработы кружка. 2. Выставка лучших работ учеников.
3.Математические игры.
2 класс
Занятие 1. 1.Ребусы. 2. Занимательные задачи на сложение. 3. Упражнения на знание нумерации.4. Задача-смекалка. 5. Задача-шутка. 6. Загадки. 7. Игра «Веселый счет» (впределах 24).
Занятие 2. 1.Ребусы. 2. Задачи в стихах на сложение. 3. Анализ геометрических фигур. 4.Задача-смекалка. 5. Задача-шутка. 6. Загадки. 7. Игра «Число добавляй, а сам незевай!».
Занятие 3. 1.Танграм. 2. Задача в стихах. 3. Задача-смекалка на изменение разности. 4.Загадка. 5. Игра «Задумай число».
Занятие 4. 1.Выпуск математической газеты. 2. Игра «Не собьюсь».
Занятие 5. 1.Итоги выпуска газеты. 2. Задача в стихах. 3. Логические упражнения сотношениями «больше», «меньше», «равно». 4. Задача-шутка. 5. Игра «Таблицузнаю».
Занятие 6. 1.Ребусы. 2. Задача в стихах на сложение. 3. Логические упражнения на сравнениефигур. 4. Задача-смекалка. 5. Задача-шутка. 6. Загадка. 7. Логическая игра«Узнай, какой значок на твоей шапочке».
Занятие 7. 1.Таблица умножения на пальцах. 2. Задача в стихах. 3. Задача-смекалка. 4.Задача-шутка. 5. Загадка. 6. Игра «Телефон».
Занятие 8. 1.Выпуск математической газеты. 2. Игры.
Занятие 9. 1.Итоги выпуска газеты. 2. Задача на вычисление времени. 3. Задача-шутка. 4.Задача-смекалка. 5. Загадка на меры времени. 6. Игра «Волшебный циферблат».
Занятие 10. Выставкалучших работ учеников. 2. Игры. 3. Подведение итогов работы кружка.
3 класс
Занятие 1. 1.Ребусы. 2. Задача в стихах. 3. Задача-смекалка. 4. Загадка. 5. Игра «Таблицузнаю».
Занятие 2. 1.Числа-великаны. 2. Коллективный счет. 3. Задача-смекалка. 4. Задача-шутка. 5.Загадка. 6. Игра «Знай свой разряд».
Занятие 3. 1.Логическая задача на сравнение фигур. 2. Задача в стихах. 3. Наглядная алгебра.4. Логическая задача. 5. Задача-шутка. 6. Загадка. 7. Игра «У кого какаяцифра?».
Занятие 4. 1.Выпуск математической газеты. 2. Игры.
Занятие 5. 1.Итоги выпуска газеты. 2. Задача на движение. 3. Логическое упражнение наусвоение смысла слова «одновременно». 4. Задача в стихах. 5. Задача-смекалка.6. Загадка. 7. Игра «Удивительный квадрат».
Занятие 6. 1.Ребусы. 2. Задача в стихах. 3. Задача-смекалка (нахождение целого по доле). 4.Задача о встречных поездах. 5. Задача-шутка. 6. Загадка. 7. Логическая игра«Молодцы и хитрецы».
Занятие 7. 1.Сценка о С. В. Ковалевской. 2. Задача в стихах. 3. Задача-смекалка. 4.Задача-шутка. 5. Загадка. 6. Игра «Задумай число по формуле (х 3): х + 7 = 10»
Занятие 8. 1.Выпуск математической газеты. 2. Игры.
Занятие 9. 1.Итоги выпуска газеты. 2. Задача в стихах. 3. Задача-смекалка. 4. Задача-шутка.5. Загадка. 6. Игра «На 40 больше и на 40 меньше»
Занятие 10. 1.Итоги работы кружка. 2. Выставка лучших работ учеников. 3. Игры.
Подобнаясистема занятий может быть взята учителем за основу, однако занятия мырекомендовали бы каждому учителю немного усовершенствовать и перестроить всоответствии с особенностями своих учеников. К тому же занятия, разработанныеВ.П. Трудневым, несколько «суховаты», на наш взгляд, им не хватает живости, вних нет динамики. Не совсем понятно и отсутствие (за исключением небольшогорассказа о жизни С.В. Ковалевской) исторических сведений, ведь автор признаетих важность в развитии математических способностей и интереса к предмету.
Гораздоинтереснее, по нашему мнению, пособие В.А. Игнатьева, которое, кстати,попытался преобразовать В.П. Труднев, взяв его за основу. Предлагаемые В.А.Игнатьевым занятия интересны, разнообразны и увлекательны, на них ученикиузнают много нового и интересного (30, 31).
Для малышейинтересные системы занятия разработаны В.Г. Житомирским и Л.Н. Шевриным (23,24). Так же нас заинтересовала работа В.Г. Иванова и О.П. Ивановой (29). Мы также находим интересной их систему занятий, разработанную для математическогокружка. Интересные авторские разработки можно найти и в журнале «Начальнаяшкола», раньше публикациям, касающимся внеклассной работы по математике, былпосвящен большой раздел в каждом шестом номере. Сейчас ситуация несколькоизменилась. К сожалению, на страницах журнала все меньше появляется статейтакого рода, но они все же есть.
Так чтосамому составить систему занятий в математическом кружке творческому учителю нетак уж сложно, важно правильно отобрать и распределить материал и точноследовать поставленным перед собой целям: прививать интерес к математике, развиватьтворческие математические способности школьников.
2.4.3 Математическиевечера
Цель ихарактер проведения математических вечеров (утренников) несколько отличны отобычных целей и привычного образа действий, когда учащийся “занимается”математикой ¾ решает задачи, доказывает теоремы, выполняет геометрическиепостроения или является зрителем и слушателем литературно-художественноговечера.
Прежде всего,на таких вечерах, как правило, присутствуют не только те учащиеся, которыепроявили свои способности в математике, но и школьники, которые такого интересак математике еще не имеют, а их успехи по этому предмету весьма скромны.Степень их участия в математическом вечере зачастую ограничивается лишь такимвидом деятельности, который прямо не связан с предметом: подготовкой оформлениявечера, выпуском газеты, исполнением ролей в инсценировках, подготовкой билетови премий, декламацией стихотворений, раздачей материала для игры и так далее.
Организацияматематических вечеров для школьников младшего возраста имеет своей целью:
¾ заинтересовать предметом;
¾ представить серьезные математические идеи в занимательной форме;
¾ вызвать удивление, желание помечтать;
¾ вызвать стремление самому сформулировать и решить задачу.
Конечно,нужно при этом помнить, что чрезмерное увлечение занимательной сторонойматематики не даст желаемого результата. На одних шутках и внешних эффектах непривьешь учащемуся настоящего и устойчивого интереса к занятиям математикой.
Ценностьматематических вечеров не только и не, сколько в их математическом содержании,сколько в характере деятельности на этих вечерах. Это вечер, на котором дети фантазируют,учатся рассуждать, правильно мыслить и говорить. Таким образом, время,проведенное на математическом вечере, для учащихся работает не на одну толькоматематику, а имеет общекультурную ценность и воспитательное значение.
Формыматематических вечеров бывают разными. Они могут проходить в виде
¾ викторин,
¾ КВНов,
¾соревнований одной группы учащихся с другой,
¾утренников.
При этомсодержание вечера не может ограничиваться одними лишь математическимивопросами. Математическая тематика предстает перед учащимися в игровой форме ¾ в виде ребусов,кроссвордов, викторин, занимательных вопросов и ответов, загадок, софизмов итщательно замаскированных ошибок в рассуждениях, которые учащиеся должныобнаружить, и другие.
Занятиятакого вида вызывают острый интерес у учащихся, дают им возможность вдовольпофантазировать, опираясь как на интуицию и здравый смысл, так и нарассуждения, подчиняющиеся логике, принятой в математических доказательствах.
Примеромтакой работы может служить проведение математического КВНа, который будетинтересен ученикам 3-4 классов. Эта форма работы интересна как раз тем, чтодети могут не только проявить себя в области математических знаний, но ипофантазировать, поиграть, проявить себя во многих других областях. Мыпредлагаем провести такой, разработанный нами, математический вечер.
Приветствиекоманд (команды сформированы из учеников одного ряда, дети готовятся кприветствию заранее, им может помогать учитель). Команды представляют себя ирассказывают о роли математики в жизни.
Разминка.Командам по очереди задаются вопросы, на обдумывание которых дается 30 секунд.Если не отвечает команда, которой адресовался вопрос, право ответа имеет другаякоманда. Примерные вопросы:
¾ одно яйцо варится 3 минуты. Сколько будут вариться 4 яйца? (3минуты)
¾ когда петух стоит на двух ногах, он весит 4 кг. Сколько будетвесить петух, если встанет на одну ногу?
¾ Какая бывает лошадь, когда ее покупают?
Сочинениематематических историй. Командам задается тема и даются опорные слова.
Вспоминай-ка.Вспомнить пословицы, поговорки и названия сказок, в которых встречаются числа.
Индивидуальныйзачет. Один человек от команды, прыгая на одной ноге, вспоминает таблицуумножения.
Страдания поребусам. Отгадывание ребусов, вывешенных на доске (какая команда больше ребусовотгадает за 5 минут).
Конкурскапитанов. Капитаны загадывают друг другу загадки, в которых встречаются числа(загадки подготавливаются заранее).
Музыкальныйконкурс. Команды решают примеры, с помощью ответов к которым зашифрована надоске название песни. Кто первый запоет эту песню ¾ тот победил в этомконкурсе.
Подведениеитогов КВНа, награждение победителей.
Следуетотметить, что очки должны выставляться после каждого конкурса членами жюри,которыми могут быть ученики-старшеклассники, родители, другие учителя.
Тематика иметодика проведения математических вечеров весьма разнообразны. Содержаниевечеров может группироваться вокруг исторической темы (история математическойидеи, теории, математического открытия, биографии великих математиков),примеров приложения математики в различных областях науки и техники. Примеромтаких занятий может служить викторина, посвященная жизни какого-нибудь великогоматематика. Предлагаем разработанную нами викторину, посвященную жизни итворчеству первой русской женщины-математика Софьи Васильевны Ковалевской,проводить которую предлагаем в 4 классе или в математическом клубе.
Ребята,сегодня мы познакомимся с жизнью удивительного человека, удивительной женщины.Ее жизнь ¾увлекательная история о девушке, полюбившей свободу иматематику, история о женщине, проложившей дорогу в науку женщинам России иЕвропы. Давайте узнаем ее имя.
1. Составьтевсевозможные двузначные числа с помощью цифр 1, 2, 3. Сколько их получилось?
Барто АгнияЛьвовна ¾ 3,
МарияСклодовская-Кьюри ¾ 15,
КовалевскаяСофья Васильевна ¾ 27.
Отец СофьиВасильевны, генерал-лейтенант артиллерии, вышел в отставку и уехал с семьей изМосквы в свое родовое поместье, которое находилось на границе с Литвой. Красотаимения была необычной: вокруг него на сотни километров простирались леса,богатые ягодами, грибами, зайцами, птицами и барсуками. Большой господский домстоял на пригорке. Он был окружен садом с беседками, утопающими в сирени ижасмине, а с северной стороны зарастал травами большой пруд. Узнайте, какназывалось это имение.
2. Сколькополучится, если сложить наименьшее двузначное число, наименьшее трехзначное инаименьшее четырехзначное числа?
Заречное ¾ 1233,
Палибино ¾ 1110,
Жаворонки ¾ 11220.
Мать Сони,Елизавета Федоровна, была внучкой Петербургского академика, который был крупнымученым и военным деятелем, известным своими работами по геодезии и изданиемгеографических карт России. По профессии он был…
3. Один насосза одну минуту выкачивает 5 тонн воды. За сколько минут 5 таких насосоввыкачают 10 тонн воды?
Географом ¾ 5 минут,
Астрономом ¾ 2 минуты,
Военным ¾ 1 минута.
Первые урокиматематики Соня и ее старшая сестра Анна получили в семье у своего домашнегоучителя. Это был талантливый педагог. К своему труду он относился с увлечением,любил детей и к каждому находил особый подход. Он считал, что русский язык ¾ важнейший из предметов,поэтому Соня писала под диктовку, изучала самостоятельно устно и письменно, училастихи наизусть, читала произведения русских авторов. До 10 с половиной лет онаизучала и арифметику. Потом Софья Васильевна говорила, что именно это дало ейоснову математических знаний. Как звали домашнего учителя Сони и Ани?
4. В корзинележало несколько яблок, их было меньше 15. Если разделить их поровну на двоих,то 1 яблоко останется. Если разделить на трех ребят ¾ тоже 1 яблоко останется.Если разделить на четверых, то опять останется 1 яблоко лишним. Сколько в корзинеяблок?
ИосифИгнатович ¾ 13,
МакарСеменович ¾ 11,
МодестКарпович ¾ 5.
Однажды вкомнате Сони решили делать ремонт. Денег на обои не хватило, и стены в комнатеоклеили страницами из книги по высшей математике. Когда девочка оставалась вкомнате одна, чтобы не скучать, она читала то, что было написано на стенах. Ейдаже стало нравится читать непонятные слова и разглядывать формулы. Девочкезахотелось разобраться во всем и она самостоятельно стала заниматьсяматематикой. Вот так из маленькой девочки, читающей надписи на стенах своейкомнаты, Софья Васильевна превратилась в знаменитого ученого. Она стала первойрусской женщиной-математиком. Правда, жила Ковалевская не в России. Она вышлазамуж за иностранного ученого-биолога и уехала с ним жить заграницу. Где жежила Софья Васильевна Ковалевская со своим мужем?
5. В5-иэтажном доме 112 квартир. Первый этаж занят под магазин, а на остальныхэтажах квартиры размещены равномерно. На каком этаже находится квартира сномером 84?
Англия ¾ 3,
Германия ¾ 4,
Франция ¾ 5.
Содержаниевопросов, которые обсуждаются на вечере, не обязательно должно быть посвященособственно математической тематике. Они могут охватить области смежныхдисциплин, в том числе тех из них, которые будут изучаться в будущем.
В методикепроведения вечера следует учитывать особенности возраста учащихся 1-4 классов,а именно, детям необходима постоянная активная деятельность. Поэтому большаячасть времени у учащихся должна быть занята выполнением упражнений, решениекоторых не требует пространных рассуждений, длительного времени, не связано сгромоздкими вычислениями и тождественными преобразованиями. Краткость решения,неожиданность результата, занимательность, связь с другими предметами ¾ вот основные направленияпри разработке содержания конкретного математического вечера.
Приорганизации вечера необходимо добиваться активного участия школьников в работе,вызывать дискуссии, споры, публичный обмен мнениями, утверждениями и подробныйи популярный разбор правильного решения вопроса, оглашение фамилий учащихся,которые способствовали отысканию истины.
Содержаниевечера должно перекликаться со школьным курсом математики и отчасти отражатьсодержание занятий в кружке и в достаточной мере быть доступным и вновьпришедшим учащимся, не уделявшим до этого большого внимания занятиямматематикой.
Примеромтакого вечера могут являться математические утренники. Эти мероприятия можнопроводить совместно с родителями. Мы предлагаем сценарий утренника-чаепития“Математический чай”. Идею такого вечера мы нашли у С. П. Исхановой (33). Уучителя должно припасено быть печенье в виде квадратов, прямоугольников,треугольников, ромбов, кругов и подобное. Ученики разбиты на несколько командпо 4-5 человек. Можно в каждую команду добавить по родителю, а можно создатьцелую команду из родителей, тогда соревнование пройдет интереснее и веселее. Закаждый верный ответ каждый участник команды получает по печенью, с которым поокончании соревнования и будет пить чай.
Математическиевечера нецелесообразно проводить часто. Их подготовка занимает немало времени,в нее вовлечены многие учащиеся, поэтому таких вечеров должно быть один-два вгод. Целесообразней включать их в общешкольный план работы.
Можно такжеустраивать вечера для всех классов параллели. В этом случае вечер можнопровести в качестве соревнования команд от каждого класса. Ученики, не занявшиеместо в команде, должны организовать группу поддержки, можно придумать дажекричалки. Наиболее уместным концом такого вечера может явиться дискотека.Сценарием такого вечера может служить сценарий классного КВНа, викторины илиутренника.
Весь порядокпроведения вечера должен быть подробно спланирован и расписан: материал изадания учащимися должны быть заранее даны. Необходим и четкий порядок контроляза выполнением заданий. Здесь в помощь следует привлекать старших учащихся,учителей смежных классов, которые совместно готовят вечер. В порученияхнеобходимо учесть: оформление зала, приглашение гостей, проведение отдельныхфрагментов вечера, выставки работ учащихся (классные тетради, лучшиеконтрольные работы, оригинальные решения задач; лучшие задачи, составленныесамими учащимися, лучшие газеты).
Вечерзанимательной математики замышляется как определенный отчет о состоянииматематического образования в классах данной параллели.
Одним изразделов вечера может быть оглашение результатов работы кружковцев, результатовпроводимого математического конкурса, а в конце года и объявление результатовпроведенного зачета. Не следует забывать и различные занимательные фокусы,отгадки задуманных чисел и прочее.
Организациявечера или проведение математической викторины требует значительнойподготовительной работы. При этом не следует забывать, что сама подготовка неменее полезна для учащихся, чем проведение мероприятия, особенно если в этойподготовке участвуют многие учащиеся.
2.4.4 Математическиеолимпиады
Новая дляучащихся форма внеклассной работы ¾ олимпиада ¾ должна предстать передними увлекательным соревнованием, прививающим интерес и любовь к данномупредмету, расширяющим кругозор и систематизирующим знания и навыки.
Поэтому стольответственна роль организаторов первых в жизни школьника олимпиад. Неумелосоставленные задачи могут отпугнуть ученика своей сложностью и непривычностью,непривлекательностью формулировок, преждевременностью ознакомления сиспользуемым материалом. С другой стороны, если олимпиадные задачи малоотличаются от обычных “школьных”, то олимпиада превращается в дополнительнуюконтрольную работу, а это может ослабить стремление детей к углублению знаний поматематике, охладить учащихся.
Итак,олимпиады в 1- 4 классах по математике способствуют знакомству учащихся с этойувлекательной формой внеклассного обучения; способствуют расширениюматематических знаний учащихся; знакомят их с интересными задачами и изящными,порой неожиданными методами их решения.
Возможнаследующая организация олимпиады в 1-4 классах. Для участия в олимпиадеприглашают всех желающих. Участникам состязания предоставляются условияопределенного количества задач, на решение которых выделяют определенное время.Подбор задач осуществляют таким образом: первая задача должна бытьобщедоступной по своему решению и оригинальной по формулировке, основанной нажизненных наблюдениях учащихся; последующие ¾ сочетать математическиефакты и термины из различных разделов курса; должны быть представлены илогические задачи. Олимпиада должна быть сложной, рассчитанной на нестандартныйприем мышления.
Подобранныенами задания мы предлагаем использовать, как конкурсные олимпиадные дляучащихся 3 (4) классов.
3 человеказавтракали в кафе. Двое ели сосиски, двое ¾ винегрет, а двое ¾ виноград. Тот, кто не елсосисок, не ел и виноград, а тот, который не ел виноград, не ел и винегрет. Кточто ел?
Маленький Муки королевский скороход соревновались в беге по дорожке длинной – 30 км, котораяшла вокруг леса. По условиям соревнования выигрывает тот, кто обгонит другого,пробежав на круг больше. Скороход делает круг за 10 мин, а маленький мук за 6мин. Оба бегут равномерно. Через сколько минут Маленький Мук обгонит скорохода?
В МосковскомКремле хранятся старинные пушка и колокол. За большую величину их назвали:царь-колокол и царь-пушка. Вместе они весят 240 тонн. Царь-колокол в 5 разтяжелее царь-пушки. Сколько весят в отдельности царь-колокол и царь-пушка?
Как поставить16 стульев у четырех стен комнаты, чтобы у каждой стены стояло по 5 стульев?
Один человекподмечал все числовые соотношения. Он знал, что в том кафе, в которое он ходитзавтракать, в одной чашке кофе со сливками 6 глотков. Однажды, сделав одинглоток, он подозвал официанта: «Кофе без сливок. Долейте их». Его просьбуофициант выполнил. После еще двух глотков человек остался недоволен: «Дополнитееще». Затем он отпил полчашки и вновь попросил дополнить ее сливками. Толькотеперь он выпил всю чашку до дна. Чего же больше выпил человек ¾ кофе или сливок?
Через 8 летНаде будет на 14 лет больше, чем Наташе будет через 17 лет, а Мише будет на 7лет больше, чем Тарасу будет через 9 лет. Кто моложе из девочек и кто моложе измальчиков? Можно ли узнать, кто из ребят самый молодой?
Почтовыйиндекс каждого из районов сказочной страны Зазеркалья выражается четырехзначнымчислом, в записи которого цифры не повторяются. Кроме того, сумма однозначныхчисел, обозначенных двумя средними цифрами, равна 15, а число, записанноекрайней левой цифрой, в 3 раза меньше числа, записанного крайней правой.Определите все возможные разные индексы. Сколько районов может быть вЗазеркалье?
Последняязадача с многовариантным решением позволит дифференцировать результаты каждогоученика. Определение успешности ее выполнения пропорционально количествурешений.
В периодподготовки к олимпиаде учитель должен сообщать учащимся о том, как правильнораспределить свои силы и время на олимпиаде, как самостоятельно готовиться.Следует знакомить участников олимпиады с новыми, нестандартными методамирешения задач.
Разбиратьрешения задач олимпиады следует своевременно, когда еще свежи в памятиучащегося ощущения, связанные с соревнованием; в строгой и торжественнойобстановке.
2.4.5 Математическиедобровольные зачеты
Любое важноедело немыслимо без учета и информации о результатах работы. Какими бы методамимы ни пользовались, и в каких бы условиях ни проводилось обучение, нельзяобойтись без проверки полученных учащимися знаний и навыков, без проверкипроведенной работы, без так называемой обратной связи получения информации оходе и качестве усвоения изучаемого материала.
Проверкакачества учебной работы учащихся необходима и во внеклассной работе. Конечно, впроцессе работы учитель слышит ответы и выступления детей, получает информациюоб отдельных успехах того или иного учащегося. Однако эта информация частонеоднородна у разных учителей, руководителей кружков, она не дает возможностисравнивать работу разных кружков и создать у учителя сложившееся мнение обобщепринятых критериях оценки их эффективности, о том, какие результатыучащихся следует высоко расценивать безотносительно к уровню работы конкретногокружка. Поэтому необходимы конкретные предложения по проверке знаний, умений,навыков и развития учащихся. Этой цели могут служить математические зачеты иолимпиады. Целями такой работы, как проведение зачетов, являются
¾ развитие самостоятельности в работе,
¾ развитие готовности добровольно и самостоятельно выполнитьбольшое задание за большой срок, что требует от учащихся более высокого уровняразвития интереса к изучению математики.
Такая формаотчетности соответствует возрастным особенностям учащихся, их желаниюучаствовать в соревнованиях и добиваться успеха, стремлению показать своидостижения перед товарищами.
Проведениезачетов создает условия для совершенствования индивидуального подхода учителя вработе с учащимися. Такая форма работы дает возможность охватить и техучащихся, которые по какой-либо причине вовсе не посещали или пропустили частьзанятий.
Зачеты даютвозможность придать всей внеклассной работе завершенную форму, подвести итоги,ликвидировать имевшиеся пробелы, организовать повторение. Кроме того,проведение подобных зачетов как бы готовит учеников к зачетной форме обучения встаршем звене. Учащиеся, которые проявляют интерес и способности к занятиям поматематике, должны уметь отчитываться в проделанной работе.
Проведениезачетов наряду с кружковой работой и олимпиадами дает возможность выявитьнаиболее способных, трудолюбивых и интересующихся математикой учащихся.
Организациязачетов ¾ весьма важный элемент в работе. Мы считаем оптимальным проведениедвух зачетов в год. На каждом зачете учащийся должен уметь решать заранеепредложенные учителем 15 задач.
Мыразработали интересную, на наш взгляд, подборку заданий для проведенияматематического добровольного зачета в 3 (4) классе.
Света, Зина иКатя должны раскрасить каждую из четырех картинок тремя цветами: синим, зелеными красным. Света раскрашивает каждую картинку синим, Зина ¾ зеленым, а Катя ¾ красным цветом. Нараскраску одной картины каждой краской требуется одна минута. Выбраннуюкартинку может раскрашивать только одна девочка. Могут ли девочки раскраситьвсе картинки за четыре минуты, как?
В 16-ти клеткахквадрата расставьте числа 0, 1, 2, 3, 4, …15 так чтобы сумма чисел погоризонтали, вертикали и диагоналям была равна 30.
ДваМедвежонка нашли головку сыра. Они долго спорили, как ее поделить но никто нехотел уступать. Мимо пробегала Лиса. Узнав о чем спор, она предложила помочь.Разломив головку сыра на две части так, чтобы она из них была полкилограмма, адругая меньше, она спросила, усмехаясь:
¾ куски равны?
ЖадныеМедвежата дали отрицательный ответ. Тогда Лиса откусила от большей части, нотак, чтобы от нее остался кусок меньше, чем другая часть и повторила вопрос. Ина этот раз Медвежата сообщили, что получились неравные части. После этого Лисаповторила откусывание еще 9 раз, каждый раз откусывая одинаковое количествосыра. В результате остались маленькие кусочки, при чем один из них оказался на20 г больше другого. Лиса заявила, что медвежатам трудно угодить. Она отправилаоба кусочка в рот и вильнув хвостом, скрылась в кустах. Какова бала массаголовки сыра?
Наташа, Галя,Валя, Маша и Лена вырезали из бумаги различные фигурки. Кто-то вырезал круги избумаги в линейку, кто-то квадраты из бумаги в клетку, кто-то круги из бумаги вклетку, кто-то квадраты из бумаги в линейку, кто-то флажки из белой бумаги.Валя и Галя вырезала круги, Галя и Наташа вырезали из бумаги в клетку, Наташа иМаша вырезали квадраты. Кто, что вырезал?
Семь круговрасположены по окружности
Можно лираскрасить эти круги красным, зеленым и синим цветом так, чтобы два кругаодного цвета не были рядом? Кругов разного цвета не одинаковое число, зеленыхкругов больше, чем красных и синих.
Расстояние отдома ученика до школы 2 км 500 м, но по дороге в школу ученик заметил, что онпрошел 1 км за 1/5 часа и у него на оставшейся путь есть еще 20 мин. Успеет лиученик придти в школу, если он будет идти с той же скоростью?
Через 9 летПете будет на 11 лет больше, чем Ване будет через 15 лет. Через 6 лет Машебудет на 4 года больше, чем Люде будет через 9 лет. Кто старше из мальчиков икто моложе из девочек?
Как отнять 4спички так, чтобы оставшиеся спички образовали 5 квадратов, причем квадратымогут быть и неодинаковой величины.
У пятикрестьян ¾ Ивана, Петра, Якова, Михаила и Герасима ¾ было 10 овец. Никак немогли они найти пастуха для своих овец. Тогда Иван предложил: «Будем пасти овецпо очереди, по столько дней, сколько каждый имеет овец». Как распределятся дни,если известно, что у Ивана овец в 2 раза меньше, чем у Петра, у Якова в 2 разаменьше, чем у Ивана, у Михаила в 2 раза больше, чем у Якова, а у Герасима в 4раза меньше, чем у Петра?
Как сделатьрамку для картины, разрезав основу по линиям на 4 уголка?
Давным-давнобыл построен канал и такой узкий, что встречные пароходы разъехаться никак немогли. На канале был лишь один залив, в который мог встать только один пароход.Только тогда другие пароходы мимо него могли проезжать по каналу. Однажды шлипо каналу два парохода с одной стороны, а навстречу им ¾ два других парохода. Какже разъехаться пароходам, чтобы они могли идти дальше по своим направлениям?
Имеется 16 кгмуки и несколько одинаковых по весу пустых мешков. Имеются весы, но гирь нет.Как, не имея гирь, взвесить 12 кг муки, 14 кг?
Спросил нектоу учителя: «Скажи, сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебев учение своего сына». На это учитель ответил: «Если придет еще столько,сколько есть, и полстолько и четверть столько и твой сын, то будет 100».Сколько же учеников в классе?
В битве с трехглавыми треххвостым Змеем Горынычем Иван-Царевич одним ударом меча может срубить либоодну голову, либо две головы, либо один хвост, либо два хвоста. Если срубитьодну голову ¾ новая вырастет, если срубить один хвост ¾ два новых вырастут, еслисрубить два хвоста ¾ голова вырастет, если срубить две головы ¾ ничего не вырастет.Посоветуйте Ивану-Царевичу, как поступить, чтобы он мог срубить Змею все головыи хвосты.
Какрасставить 10 стульев у четырех стен комнаты, чтобы у каждой стены былопоровну?
Список этихзадач полезно дать учащимся за 2- 3 месяца до проведения самого зачета. Приэтом необходимо провести подготовительную работу, целью которой должно явитьсяразъяснение учащимся необходимости решить задачи самостоятельно, без чьей-либопомощи. Задачи, предложенные для зачета, также не следует разбирать с учащимисяво время кружковых занятий. Желательно, чтобы ученики сами осознали бессмысленностьчужой помощи в этой работе.
Зачетпроводится в устной форме, никаких письменных решений задач представлять ненадо. Учащийся “тянет” три задачи и объясняет решения тех из них, которые лучшезнает. Для получения зачета достаточно объяснить решения двух задач. При этомследует учитывать и поощрять оригинальные идеи в решении задач.
Дляофициального признания успеха учащегося заводится зачетная книжка, в которойуказываются факт сдачи зачета, дата и подпись учителя. Изготовить такиезачетные книжки можно на уроках труда, в них также можно заносить различныепоощрения и факты награждения.
Часы и минутызанимательной арифметики.
Эта формавнеклассной работы может проводиться даже во время самого урока, в этом случаеречь будет идти о занимательных минутах, к занимательным же математическимчасам, очевидно, можно отнести экскурсии и различные внеклассные занятия иматематические викторины занимательного характера.
Можнопровести с детьми «Конкурс смекалистых». Для этого ученики разбиваются нанесколько команд по 3-6 человек в каждой. За самый быстрый правильный ответкоманда получает очко, это может быть вырезанная из бумаги звездочка, солнышко,смешная рожица или же что-то еще. Во втором туре среди участников победившейкоманды выявляется самый смекалистый, им станет тот, кто ответит на большеечисло вопросов второго тура. Примерные вопросы:
1 тур.
Какие часыпоказывают верное время только 2 раза в сутки?
Когда мысмотрим на 3, а говорим «15»?
Сколько минутнужно варить яйцо, сваренное вкрутую?
Сидели дведочери, две матери да бабушка с внучкой. Сколько всех?
Шел Кондрат
В Ленинград,
А навстречу ¾ двенадцать ребят.
У каждого потри лукошка,
В каждомлукошке ¾ кошка,
У каждойкошки ¾ двенадцать котят.
У каждогокотенка
В зубах почетыре мышонка.
И задумалсястарый Кондрат:
«Сколькомышат и котят
Ребята несутв Ленинград?»
В какоммесяце 28 дней?
Яйцо должновариться 4 минуты. Сколько минут будут вариться 3 яйца?
Петя заполчаса поймал 5 рыбок. Сколько рыбок он поймает за 1 час?
Два мальчика ¾ Петя и Ваня, отправилисьв лавочку. По дороге они нашли 10 рублей. Сколько денег нашел бы Петя, если быпошел в лавку один?
В комнате 4угла. В каждом углу сидит кошка. Против каждой кошки сидят по 3 кошки. Скольковсего кошек?
2 тур.
Еслиперевернуть цифру сверху вниз, она уменьшается на 3. Какая это цифра?
В известнойсказке «Поди туда ¾ не знаю куда, принеси то ¾ не знаю что» царь послалстрелка Андрея за «тридевять земель». Тридевять ¾ это сколько?
Длина бревна5 аршин. В одну минуту от этого бревна отпиливают по одному аршину. Во сколькоминут будет распилено это бревно?
Продолжичисловой ряд: 1, 4, 5, 9, 14, …
Но и такиезанятия требуют соблюдения определенных требований.
1.На занятияхнеобходимо осуществлять дифференцированный подход.
2. Оформлениепомещения должно быть увлекательным и ярким, так же как и демонстрационныйматериал.
3. Большоеместо в системе занятий отводить числовым загадкам, задачам в стихах,задачам-шуткам и драматизации задач.
4.Длительность занятий определяется их целевой установкой. Лучше проводить такиезанятия чаще, но меньшей продолжительности (10-15 минут).
5.Учительдолжен на занятиях так же знакомить детей с различными математическими играми,чтобы дети могли играть в них самостоятельно.
Можновключать элементы занимательности в сам урок. Сюда относятся и дидактическиеигры, и задачи в стихах, и ребусы, и задачи-смекалки, и логические задачи изагадки. Они легко «вплетутся» в общую канву урока и снимут напряжение, внесутв урок эмоциональный настрой.
Примеромтакой работы могут служить занимательные математические упражнения на основепроходимого материала. На уроке закрепления вычислительных навыков можноиспользовать следующие задания:
Этот зверекпо облику ¾ нечто среднее между белкой и мышкой, с округлыми ушками,большими глазами, пушистым хвостом. В лесах, где он живет, летом слышитсякашель, кто-то посвистывает, ворчит. Так перекликаются эти зверьки.
4: 2 + 6 + 2           Сурок¾ 5
Соня ¾ 10
Барсук ¾ 4
Все лето ести роет, роет и ест. Ест траву до полутора кг в день, гусениц, жуков, улиток.Роет нору до 7 м глубиной, а на поверхности вырастают земляные холмы до 18 м впоперечнике и высотой около 1 м.
Такие задачинетрудно придумать самому, взяв за основу биологические или исторические знанияили достижения «Книги рекордов Гиннеса»(ж.).
Можнопредложить такую форму работы с детьми, как самого маленького возраста, так и сучениками 2-3 классов. Учитель заготавливает карточки с задачами в стихах ипронумеровывает их. Всем желающим раздается каждый день по карточке, детирешают задачи на переменах, в свободное время или же учитель может выделить наэто пару минут от урока. В классе вывешивается таблица успехов, где фиксируютсявсе правильные ответы учеников. Итоги такого «конкурса» подводятся в конценедели или учебной четверти. Такие стихи можно найти в методических пособиях, удетских авторов или сочинить самому.
Прилетелигалки, сели на палки.
Если накаждой палке сядет по одной галке,
То для однойгалки не хватит палки.
Если же наодной палке сядет по две галки,
То одна изпалок будет без галок.
Сколько былогалок? Сколько было палок?
По тропинкевдоль кустов шло 11 хвостов.
Сосчитать ятакже смог, что шагало 30 ног
Это вместешли куда-то петухи и поросята.
А теперьвопрос таков: сколько было петухов?
И узнать ябыл бы рад, сколько было поросят?
Ты сумелнайти ответ? До свиданья, всем привет!
¾ Я на два года старше льва, ¾ сказала мудрая сова.
¾ А я в два раза старше вас, ¾ сове ответил дикобраз.
Лев на неговзглянул и гордо промолвил, чуть наморщив нос:
¾ Я старше на 4 года, чем вы, почтенный иглонос. ¾
А скольковсем им вместе лет? Проверьте дважды свой ответ.
Можно накарточках также записывать и логические задачи:
Вставьтепропущенную букву и пропущенное число:
1        в        5        ?
а        3        д        ?
Вставьтенедостающее число:
16                                   ?
1 3 5 7                            22 3 3       
Можно длятакой работы использовать и задачи-смекалки, и загадки. Этот интересныйматериал очень разнообразен, широко представлен в учебно-методическойлитературе и периодической печати. Часы и минуты занимательной арифметики ¾ сильнодействующеепедагогическое средство, доступное каждому учителю и, самое главное, не требуетдлительной подготовки и не занимает много времени, для такой работы надоиспользовать любую свободную минуту как на уроке так и вне его.
Интересны иполезны детям будут и математические фокусы. Они должны занять достойное местово внеклассной работе по математике. Учитель может не только показывать ихдетям, но и знакомить с «секретами» того или иного фокуса. Тогда уже дети будутпоказывать их своим друзьям, родителям, а может кто-то из ребят сам придумаетматематический фокус. Детям будет полезно попытаться выявить закономерности,лежащие в основе того или иного фокуса. Например, догадаться, в чем суть такогофокуса:
Вот волшебнаяптица. Загадай число и скажи, в каких перьях слева направо оно встречается. Яэто число легко угадаю!
Секрет фокусав том, что это число является суммой чисел, стоящих первыми в тех крыльях, гдевстречается загаданное число.
Интересны ифокусы, связанные с угадыванием задуманного числа посредством несложныхвычислений. Зная суть такого фокуса и загадывая его другим детям, ребенок, самтого не осознавая, тренирует свои вычислительные навыки.
Загадайчисло. Прибавьте к нему 2, полученную сумму умножьте на 4, от произведения отнимите8.
Задуманноечисло будет в 4 раза меньше получившегося, то есть для того, чтобы назватьзадуманное число, надо полученное разделить на 4.
Учитель ещебольший авторитет приобретет в глазах своих учеников, если предложит им такойфокус, как угадывание их даты рождения.
Число, когдавы родились, умножьте на 100, к полученному произведению прибавьте порядковыйномер месяца, в котором вы родились, сумму умножьте на 10 и к полученномупроизведению прибавьте число ваших лет. Я скажу вам, число, месяц вашегорождения и сколько вам сейчас лет.
2.4.7 Математическиеигры
Большую рольна внеклассных занятиях по математике играют игры, главным образомдидактические. Основная их ценность в том, что они возбуждают интерес детей,усиливают эффект самого обучения. Создание игровых ситуаций приводит к тому,что дети увлечены игрой и незаметно для себя и без особого труда и напряженияприобретают определенные знания, умения и навыки. Игра делает отдельныеэлементы внеклассной работы по математике эмоционально насыщенными, вноситбодрый настрой в детский коллектив, помогает эстетически воспринимать ситуацию,связанную с математикой: праздничное оформление класса, красочные оригинальныегазеты, красоту древней легенды, включающей задачу, драматизациюматематического задания, наконец, стройность мыслей при решении логическихзадач. Игра так же содействует воспитанию дисциплинированности, так какпроводится по правилам.
Приведемпример игры на развитие пространственного воображения, для которой потребуетсянабор моделей плоских геометрических фигур (например, равносторонниетреугольники, разрезанные на два равных прямоугольных треугольника, илипрямоугольник и два равных прямоугольных треугольника с катетами, равнымисторонам прямоугольника), на каждую пару игроков ¾ лист бумаги и карандаш.
Участникиигры разбиваются на пары. Каждая пара получает одинаковый набор фигур. У ниходна и та же задача: составить из имеющихся фигур как можно быстрее и большеразличных геометрических фигур и зарисовать их. При этом один игрок складываетфигуры, другой их зарисовывает.
Получивфигуры, игроки по сигналу руководителя приступают к выполнению задания. Когдаотдельные пары заканчивают работу, руководитель дает команду: «Стоп! Положитькарандаши!» и оценивает успехи каждой пары, быстро просматривая сделанныечертежи.
Выигрывает тапара, у которой больше правильно составленных и зарисованных фигур.
Во второмкруге участники пар меняются ролями и получают другой набор фигур.
Чтобы играбыла наиболее эффективной, необходимо, чтобы учитель тоже включался в игру. Ноне следует забывать, что игра ¾ это не самоцель, а средство для развитияинтереса к математике. Поэтому математическая сторона должна выдвигаться напередний план. Однако при проведении математических игр учителю необходимособлюдать некоторые правила.
Правиладолжны быть простыми, точно сформулированными, доступными.
Игра недолжна вызывать слишком бурной реакции детей.
Дидактическийматериал должен быть прост в изготовлении и удобен в использовании.
Если играпредполагает соревнование команд, то должен быть контроль и открытый учетрезультатов.
Дети должныактивно участвовать в игре, а не бездействовать в длительном ожидании.
Легкие игрыдолжны чередоваться с более трудными. В конце должна быть проведена наиболеелегкая и живая игра.
Если нанескольких занятиях проводятся игры, связанные со сходными мыслительнымидействиями, то по содержанию математического материала должен соблюдатьсяпринцип ¾ от простого к сложному, от конкретного к абстрактному.
Подвижныеигры должны чередоваться со спокойными.
Игровойхарактер проведения внеклассных занятий по математике должен иметь определеннуюмеру.
Игры имеютпознавательное значение, поэтому на первом плане должны оказаться умственныезадания, для решения которых в мыслительной деятельности должны использоватьсясравнение, анализ и синтез, суждения и умозаключения. Надо предоставлять детямвозможность высказаться.
В процессеигры должно быть выполнено определенное законченное действие, решено конкретноезадание, а после игры сделан вывод.
Что касаетсяподбора игр, то здесь учителю предоставляется полная свобода, ведь, как говорилБ.А. Кордемский: ”Любая игра является математической, если ее исход может бытьпредопределен предварительным теоретическим анализом ”. При подборе игр учителюнеобходимо продумывать следующие моменты:
— цель игры;
— количество участвующих;
— необходимые материалы и пособия;
— как ознакомить детей с правилами игры в минимальные сроки;
— длительность игры (игра не должна быть “затянутой”, чтобы дети захотеливернутся к ней);
— как обеспечить наиболее полное участие детей в игре;
— как организовать наблюдение за детьми в процессе игры, чтобы понять, интереснали она им;
— как можно использовать основу игры с другим математическим материалом;
— какие выводы должны сделать дети после игры.
Кроме того,математические игры могут быть настольными и подвижными. В первом случаематериал для нее могут изготовить сами дети на уроках труда или рисования(например, математическое лото). Примером подвижной игры может служитьматематическая эстафета. Игры могут быть и такими, в которые дети могут игратьи без помощи учителя. Например, игра «Ай да я!».
Играющиестановятся в шеренгу. Один начинает порядковый счет, другие по очередипродолжают: один, два и так далее. Вместо чисел, в записи которых имеется цифра3, игрок должен говорить «Ай да я!» Назвавший такое число выбывает из игры.
Игру можноусложнить: к числам, подлежащим замене, прибавить еще и те, которые делятся на3. Можно разнообразить игру, беря за основу 4.
2.4.8 Другиеформы внеклассной работы
Кромеуказанных выше, существуют и такие формы внеклассной работы, которыепредполагают не столько работу учителя для подготовки к ним, сколько учеников.Учитель здесь выступает в роли организатора ученической деятельности,направляющего ее. Основная же роль при проведении такой работы отводится самимученикам. К внеклассной работе подобного рода относятся создание математическихуголков, выпуск математических стенных газет, проведение математическихвыставок и сочинение математических сказок и написание сочинений наматематическую тему. Эти формы внеклассной работы не только развиваютматематические способности, развивают интерес к предмету, как другие формывнеклассной работы, но и активно содействуют развитию творческой активностиучащихся, их самостоятельности, пытливости ума.
Математическиеуголки создаются в классе и имеют своей основной целью привлечь учеников кзанятиям математикой. Здесь выставляются лучшие работы учеников класса:тетради, контрольные работы, творческие работы и прочее, здесь же помещаютсязадания и для дополнительных занятий, новости из математической жизни класса. Отом, как можно оформить математический уголок в классе, подробно описано у В.П.Труднева.
О выпускахстенных математических газет речь в нашей работе пойдет позже. Укажем лишь, чтометодических рекомендаций к проведению такого рода работы нам найти не удалось,лишь образцы уже готовых работ. Тем не менее, эту форму проведения внекласснойработы по математике мы считаем наиболее удобной и, при удачно спланированнойработе над выпуском стенных математических газет, она может заменитьвнеклассную работу по математике. Нами разработана методика работы над выпускамистенных математических газет, которая отражена в 3 главе данной работы.
Организациявыставок на математическую тему предполагает выставку книг ¾ математическихразвлечений. В день открытия выставки проходит ее «презентация», то естьучитель рассказывает детям о представленных на выставке работах, знакомит снаиболее интересными заданиями, советует обратиться к тому или иному источнику.Эту работу необходимо провести так, чтобы детям действительно захотелось нетолько разглядеть книги, представленные на выставке, но и изучить их болеевнимательно, взяв тот или иной задачник в библиотеке. Учитель даже можетобъявить какой-нибудь конкурс, например, на «Самого умного», того, кто решитбольше других заданий, представленных в предложенных на выставке книгах, или на«Самого любознательного», того, кто найдет дома или в библиотеке и принесет вкласс подобные книги, или на «Лучшего художника», того, кто нарисует самыйинтересный рисунок к понравившейся задаче и так далее. Можно объявить конкурс ина «Лучшего составителя математической книжки», в которую войдут самыеинтересные, по мнению ребят, математические задачи и задания.
Кроме того,на выставке можно экспонировать и творческие работы самих ребят. Здесь уже идетречь о другой форме проведения внеклассной работы по математике ¾ сочинение детьмиматематических сказок и написание сочинений на математическую тему. Передначалом такой работы учителю целесообразней дать детям некоторый образец ипреподнести его в увлекательной, интересной форме. Сказку можно инсценироватьили нарисовать по ней диафильм. Темы для сочинений могут быть следующими:
¾ Можно ли прожить без математики?
¾ Как люди научились считать?
¾ Геометрия во всем и другие.
Темы длясказок должны быть несколько иными:
¾ Путешествия Квадрата в стране Геометрии
¾ Один день из жизни Треугольника
¾ Приключения Плюсика и Минусика
¾ Почему Круг круглый? и так далее.
Работы детейможно оформлять как книжки-малютки, книжки-раскладушки или диафильмы. Этиработы найдут достойное место на математических выставках или в математическомуголке. Работы детей можно издавать и в математической стенной газете.
Такимобразом, описанные в этом пункте формы проведения внеклассной работы поматематике должны быть во взаимосвязи друг с другом, проводиться параллельно,тогда каждая из форм сама по себе станет интересней и гораздо полезней.
2.5 Внеучебныематематические задачи
Какую быформу не принимала внеклассная работа по математике, основное место в работеотводится внеучебным математическим задачам.
Внеучебныематематические задачи бывают двух видов: одни для тех, кто увлекаетсяматематикой, другие же для ее “недругов”, которым пока еще требуется помощь вразвитии сообразительности. Первую группу задач можно отнести к курсуматематики, но повышенной трудности, вторая же группа ¾ это так называемыематематические развлечения. Внеучебные задачи, поданные в увлекательной форме,вносят эмоциональный момент в умственные занятия. Не связанные с необходимостьювсякий раз применять для их решения заученные правила и приемы, они требуютмобилизации всех накопленных знаний, приучают к поиску своеобразных,нешаблонных способов решения, обогащают искусство решения красивыми приемами,заставляют восхищаться силой разума. И даже младшие школьники способны заметитькрасоту математической мысли, найти нестандартное, оригинальное решение. Кматематическим развлечениям следует относить задачи-смекалки, эвристические илогические задачи, математические игры, математические фокусы и розыгрыши и другие.Среди математических развлечений имеются и такие задачи, которые допускаюточень большое, а иногда и бесконечное множество решений. Смысл таких задач впоиске оригинальных, красочных приемов и решений.
Математическиеразвлечения имеют некоторые педагогические особенности:
¾ конкретность и индуктивность;
¾ способность возбуждать интерес к предмету, делать процесс решенияинтересным;
¾ занимательность;
¾ доступность.
Остановимсяболее подробно на каждой из этих особенностей.
Конкретность.
Начальнаястадия мышления всегда конкретна. Через конкретность пролегает путь кабстракции ¾ одному из важнейших качеств мышления в его высших формах. Вжанре внеучебной математической литературы допустима и даже желанна не толькоформа задач-рассказов, но также и большие беллетристические произведения сединой художественно выполненной фабулой, включающей в себя познавательныйматериал.
Ваня и Петясидели на берегу реки и ловили рыбу. Петя то и дело подсекал и выбрасывал наберег серебристых уклеек. У Вани же рыба почему-то клевала плохо.
В это время кребятам подошла сестра Вани и с обычной усмешкой спросила у брата: «Ну, какклев, рыболов? Много ли с Петей рыбы наловили?»
И Ваня снаигранной веселостью ответил сестре: «А ты угадай сама. У нас вместе на 15рыбок больше, чем у меня, а у одного из нас на 12 рыбок меньше, чем у другого».Но сестра быстро угадала, сколько рыбок у брата. Сколько же рыбок поймал каждыйиз ребят?
2. Индуктивность.
Ребенок,самостоятельно отыскивающий неизвестное ему решение задачи, совершаетэлементарный творческий процесс. Отправным пунктом этого мыслительного процессаявляется простая индукция, которая в свою очередь, опирается на наблюдения. Длятого, чтобы подвергнуть какое-либо свойство индуктивной проверке, надо егосначала заметить. В ходе решения задач процесс обобщения, как известно, частоосуществляется при помощи математической или полной индукции, вывод, полученныйтаким путем, уже является дедуктивным. Простая индукция сама по себе необладает доказательной силой, но она обеспечивает исходное положение длядедукции. Существует набор упражнений для применения индуктивного метода, для развитиянаблюдательности и умения осуществлять обобщения. Таковы темы “переправ”,“перемещений”, “магических квадратов” и так далее.
Такие заданиядоступны даже людям, не обладающим специальными математическими знаниями:
Отряд солдатподходит к реке, через которую необходимо переправиться. Но мост сломан, а рекаглубока. Что делать? Вдруг командир замечает двух мальчиков, которые катаютсяна лодке недалеко от берега. Но лодка так мала, что на ней может переправитьсятолько один солдат или только двое мальчиков ¾ не больше! Однако всесолдаты переправились через реку именно на этой лодке. Как это было сделано?
Какрасставить 6 стульев у четырех стен комнаты, чтобы у каждой стены стояло по двастула?
В 9 клетокквадрата впишите числа 1, 2 и 3, чтобы в каждой строке и в каждом столбце числабыли различны.
3. Возбуждениеинтереса.
Что можетзаставить думать, размышлять, решать задачи, тем более не обязательные дляучебных дел? Не принуждение и даже не всегда убеждение. Источник побуждениянадо искать в эмоциях ребенка. Основным побудителем к умственному трудуявляется интерес, первоначально появляющийся как производная от впечатления, азатем уже как желание познания. На базе интереса возникает и увлечениепроцессом деятельности. Увлечение деятельностью перерастает в интерес кпредмету деятельности, к открывающимся перспективам. Но увеличение интересаодновременно сопровождается возникновением новых вопросов и жадным стремлениемполучить на них ответы, то есть усилением чувства неудовлетворенностидостигнутым, которое в свою очередь становится теперь побудительной силой длядальнейших размышлений и поисков нового.
Интерес кматематике ¾ важнейший помощник в преодолении возникающих в процессе ееобучения трудностей, в мобилизации всех умственных и физических сил длядостижения этой цели. Интерес ¾ не врожденное качество, он воспитуем и,прежде всего, сомовоспитуем. Прежде всего, он может воспитываться извне:увлеченным математикой учителем, родителями или ближайшей средой. Но этовнешнее побуждение лишь стимул, толчок к внутреннему, к воспитанию в себеинтереса к математике. Не трудно понять, что чем раньше этот толчок будет дан,тем раньше интерес перерастет в увлеченность, страсть, и, кто знает, вочередной математический гений.
Внеклассныезанятия по математике только тогда будут достигать свои целей, основная изкоторых — развитие математических способностей, когда у детей будет интерес к тому, чем онизанимаются. Привлечь внимание и пробудить интерес можно разными средствами(красочное оформление помещения, интересное вступительное слово, необычноеназвание, привлечение сказочных героев, занимательное формулирование заданий).Для возбуждения интереса на внеклассных занятиях надо не только привлекатьвнимание детей к каким-то ее элементам, но и вызывать у ребят удивление. Надодопускать и более свободное, чем на уроках, переживание детьми удовольствий, сболее свободным внешним их проявлением.
Пробудившийсяинтерес необходимо поддерживать на протяжении всего занятия, чтобы детямзахотелось вернуться к подобной деятельности. Поддерживая интерес различнымиприемами надо его постепенно воспитывать: в начале, как интерес к своейнепосредственной деятельности во время внеклассных занятий, затем чтобы онперерастал в интерес к математике как к науке, в интерес к процессу самоймыслительной деятельности, к новым знаниям в области математике. Приорганизации внеклассной работы по математике надо добиваться максимальнойдеятельности каждого ученика — организаторской, трудовой, особенно мыслительнойдля выполнения всевозможных заданий. Для поддержания интереса необходимо,чтобы:
— материал был понятен каждому ученику;
— во всяком новом должны быть элементы старого.
Занимательность.
Занимательностьслужит тем же педагогическим целям, что и интерес. Истинная занимательностьпредназначена привлекать внимание, активизировать мысль, возбуждать интерес кпредмету и желание им заниматься. Она всегда несет в себе черты остроумия ипридает задаче оттенок игры. Через занимательность проникает в сознаниеощущение прекрасного в математике, которое при последующем изучении предметадополняется пониманием прекрасного.
Занимательность¾ не развлечение детей пустыми забавами, а занимательностьсодержания математических задач, либо формы, в которую они облекаются.Педагогически оправданная занимательность имеет целью привлечь внимание детей,усилить его, активизировать их мыслительную деятельность. Занимательность вэтом смысле на внеклассных занятиях всегда несет элемент остроумия, игровогонастроя, праздничности. Она служит основой для проникновения в сознание ребенкачувства прекрасного в самой математике. К эстетическим элементамзанимательности относятся: легкий юмор фабулы, неожиданность ситуаций илиразвязки, стройность геометрической формы, изящество решения, под которымпонимается сочетание простоты и оригинальности методов его получения. Этимипризнаками истинной занимательности обладают все лучшие произведения коллекцииматематической смекалки.
Один господинвстретил во время прогулки знакомую семью, состоящую из деда отца и сына.Поздоровавшись со всеми, он спросил их в шутку, сколько им лет. «Нам всемвместе 100 лет» ¾ ответил за всех дед и важно зашагал в перед.Тогда господин продолжая интересоваться их возрастом, спросил отца, «Ну,скажите же, сколько вам лет?» ¾ «Мне вместе с сыном 45 лет,» ¾ отвечал отец, ¾ «а сын на 25 лет моложеменя.» Так любопытному господину и не пришлось узнать сколько лет каждому изних. Не сообразите ли Вы?
Одним извидов занимательности является поэтическая форма математической информации,предназначенная для получения эффекта как художественного, так ипедагогического. Стихотворный текст применяется, как один из мнемоническихприемов запоминания.
Например, приизучении с первоклашками геометрического материала, можно использоватьследующие стихи:
Без конца,без края ¾ линия прямая.
Хоть сто летпо ней иди,
Не найдешьконца пути.
Вот веревочкамоя!
Привязал кней камень я,
И веревкамоментально
Натянуласьвертикально!
От вершины получу, словно с горки я качу.
Только лучтеперь ¾ она, и зовется «сторона».
У круга естьодна подруга.
Знакома всемее наружность.
Идет она покраю круга
И называетсяокружность!
Еще Б. Паскальговорил: “Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускатьслучаев делать его немного занимательным”. Однако следует избегать ложнойзанимательности, если она приводит к неряшливости в математических выражениях,к вульгаризации отдельных математических положений, к некорректности визложении, к нелепым решениям и рассуждениям.
Общедоступность.
Общедоступность-это одно из достоинств математических развлечений, так как решение большинствазадач этой категории опирается на весьма скромную математическую базу, восновном арифметическую. Решение некоторых задач может быть простым, доступнымдля понимания, но не каждый может сообразить, как решить эту задачу.
У одногочеловека был золотой крест, украшенный бриллиантами. Этот человек никогда неинтересовался тем, сколько всего бриллиантов вставлено в крест. Он знал лишьодно: если начать считать с одного из боковых концов или с верхнего конца вниз,то всегда окажется 6 бриллиантов.
Однажды этоткрест был отдан в починку золотых дел мастеру. Мастер потерял 2 бриллианта и,не вставляя на их место других, вернул крест починенным, лишь расположивбриллианты по-другому. Владелец пересчитал бриллианты «по-своему» и ничего незаметил.
Как мастерухитрился расположить бриллианты?
Значениезадач математических развлечений состоит так же в том, что почти все они неменьше чем школьные упражнения педагогически целенаправленны: одни — на укрепление навыковлогического мышления, другие — на укрепление правильности математической речи,третьи — на развитие осторожности в суждениях “по аналогии”, иные — на расширенияпредставлений о разнообразии и красоте геометрических форм, представлений освязях математики с практической деятельностью, на укрепление конструктивныхнавыков самостоятельной работы и так далее, а все в совокупности — на общие повышениематематической культуры и развития математических способностей тех, ктосистематически упражняется в решении задач подобного рода.
Одним извидов математических развлечений являются логические упражнения. На внеклассныхзанятиях по математике в процессе логических упражнений дети практически учатсясравнивать математические объекты, выполнять простейшие анализа и синтеза,устанавливать связи между родовыми и видовыми понятиями. Проводя анализ, ученикв математических объектах выделяет существенные признаки, которые должны удовлетворятьопределенным психическим и дидактическим требованиям.
Возможностьих операционного выявления, то есть выявления посредством некоторых ¾ причем достаточноэлементарных ¾ операций.
Их известностьдля обучающихся.
Иходнозначность. При этом однозначными признаками следует считать те, которыелегко различимы, точно выделяются и в основном одинаково оцениваются всемилюдьми.
Предельновозможная легкость их выявления, удобства оперирования ими.
Примерамитаких заданий могут служить математические ряды:
1, 3, 5, 7,9, ?
1, 3, 4, 7,11, 18, ?
Текстовыезадачи на развитие логического мышления, работу над которыми мы предлагаемпроводить с детьми следующим образом:
Сегодня мыбудем отгадывать интересные загадки. Я расскажу одну загадку и расскажу то, очем в ней говорится.
Задача 1.Было три фигурки: треугольник, круг и квадрат (учитель одновременно изображаетэто в левой части доски). Каждая из них жила в одном из трех домиков: первыйдомик был с высокой крышей и маленьким окном, второй с высокой крышей и большимокном, третий с низкой крышей и большим окном. (учитель рисует домики, как нарисунке).
Треугольник икруг жили в домиках с большим окном, а круг и квадрат в домиках с высокойкрышей (по мере рассказа учитель дает схематическое изображение этих сужденийсправа от изображения домиков). Нужно отгадать, в каком домике живет каждаяфигурка (изображение вопроса задачи дается еще правее).
Решение.Давайте подумаем, как отгадать эту загадку. Что нам известно про фигурки? Намизвестно, что треугольник и круг живут в домиках с большим окном, а круг иквадрат в домиках с высокой крышей. Про какую фигурку известно больше всего?Конечно, про круг. Что известно? Что круг живет в домике с высокой крышей и большимокном. Есть у нас такой домик? Да, это домик 2. Напишем цифру 2 в ответ рядом скругом.
Что теперьможно узнать? Можно узнать, где живет треугольник. Он живет в домике 3. Почему?Потому что в загадке сказано, что треугольник живет в домике с большим окном. Атак как в одном таком домике живет круг, то в другом живет треугольник. Напишемв ответе рядом с треугольником цифру 3.
А где живетквадрат? Квадрат живет в домике 1, потому что этот домик остался свободным.Напишем в ответе рядом с квадратом цифру 1.
Когда ученикихорошо освоят такие несложные логические задачи, им можно предложить болеетрудные.
Задача 2.Миша, Сережа, Дима, Валера, Костя рисовали машины. Кто-то рисовал пожарнуюмашину красным карандашом, кто-то гоночную машину синим фломастером, кто-тогрузовую машину коричневой ручкой, кто-то легковую машину синим карандашом,кто-то легковую машину коричневым фломастером. Миша и Сережа рисоваликарандашом, Сережа и Дима рисовали одинаковые машины, Дима и Костя рисовалиодинаковым цветом. Кто что рисовал?
После решениязадач указанного вида с опорой на наглядно представленное условие целесообразнопроводить работу только с текстовой частью условий этих задач (то есть безизображения суждений), чтобы дети практиковались рассуждать. Наряду с этим полезнотакже предлагать детям самостоятельно составлять подобные задачи. Здесьвозможны два варианта. На первом этапе учитель предлагает детям два звенаусловия, где говорится о предметах и их признаках, а суждения, характеризующиесвязи предметов и признаков, дети придумывают сами. На втором этапе дети самисочиняют всю задачу.
Для повышенияэффективности обучения и развития детей следует позаботиться прежде всего осодержании предлагаемых задач, их потенциальн6ых дидактических возможностях иметодике работы с ними. В этом смысле заслуживают внимания задачи, допускающиене одно возможное решение, а несколько (здесь имеются в виду не разные способынахождения одного и того же ответа, а существование разных решений-ответов и ихпоиск, то есть решение рассматривается не как процесс, а как результат-ответ).
Необходимостьв использовании таких задач особенно остро ощущается в условияхдифференцированного и индивидуализированного обучения. Одно дело, когда ребенокпоставлен в рамки отыскания единственного возможного решения, и другое ¾ когда перед нимоткрывается многоходовой, со многими выходами лабиринт. В первом случае ¾ все или ничего, вовтором ¾ движение по ступенькам разного уровня. В зависимости от знаний,способностей и развития один ученик может подняться на одну ступеньку, другой ¾ на две, третий ¾ на три и так далее.Задача в этом случае не сковывает ученика жесткими рамками одного решения, аоткрывает ему возможность для поисков и размышлений, исследований и открытий,пусть на первый раз и маленьких. И оценивать при этом деятельность ученикаудается в зависимости от того, кто сколько нашел решений.
Предлагаемнесколько таких задач, которые считаем необходимым использовать на внеклассныхзанятиях по математике.
Незнайкапытался записать все примеры на сложение трех однозначных чисел, чтобы врезультате каждый раз получалось 20 (некоторые слагаемые могут бытьодинаковыми), но все время ошибался. Помогите ему решить эту задачу.
Эта задачаимеет 8 решений. Чтобы не пропустить ни одного из них, необходимо записыватьпримеры в определенной последовательности. Например, начать запись с наибольшихвозможных двух первых слагаемых, а затем последовательно уменьшая на единицувторое слагаемое, а в двух случаях ¾ и первое.
Три богатыря ¾ Илья Муромец, ДобрыняНикитич и Алеша Попович, защищая от нашествия родную землю, срубили ЗмеюГорынычу все 13 голов. Больше всех срубил Илья Муромец, а меньше всех ¾ Алеша Попович. Сколькоголов мог срубить каждый из них?
В примерах навычисление Незнайка перепутал знаки действий и числа, записав:
1) 6 4 + 5 =26
2) 42 7 + 3 =21
Запишитеправильно примеры, используя те же числа (знаки действий можно использовать идругие).
Решение:
1) 6 5 – 4 =26 или 5 4 + 6 = 26
2) 42 – 7 3 =21 или 42 3 + 7 = 21
Шпунтик и егодрузья из данных фигур составляли новые. Каждый из них из двух такихмногоугольников, как показано на рисунке, составил новый и нашел сумму длин егосторон. Ответы у них получились разные, но у всех правильные. Как это моглобыть и какие ответы они получили?
Решение:
И сказалКощей Ивану-Царевичу: «Жить тебе осталось до утра. А утром я задумаю три цифрыа, в и с, ты мне назовешь три числа м, н, и к. Тогда я назову тебе число ам +вн + ск, и ты должен отгадать, какие цифры я задумал. Не отгадаешь ¾ голова с плеч». Надо быпомочь Ивану-Царевичу. Что вы ему посоветуете?
Решение:Ученики, которые хорошо решают задачи на представление числа в виде суммыразрядных слагаемых и обратные им задачи, поймут идею решения предложеннойзадачи. Простейшее решение ¾ назвать числа 100, 10 и 1. Можно назватьи числа 200, 20, 2 или 300, 30,3 и так далее, но тогда названное Кощеем числоИван-Царевич должен делить на 2, 3 и так далее. Последние решения болееинтересные и требуют от учеников большей сообразительности.
Задачи смноговариантными решениями весьма полезны для внеклассных занятий в качестваолимпиадных заданий, так как открываются возможности по-настоящемудифференцировать результаты каждого участника. Такие задачи могут с успехомиспользоваться и в качестве дополнительных индивидуальных заданий для техучеников, которые легко и быстро справляются с основными во времясамостоятельной работы на уроке, или для желающих в качестве дополнительныхдомашних заданий.
Большоезначение, особенно для самых юных математиков, имеют задачи в стихах. Такиезадачи интересны и доступны детям. Они вносят некоторую живость в занятие,воспринимаются детьми как некоторая игра. Кроме того, они воспитывают иэстетические чувства. Такие стихотворные задания учителю не сложно сочинить исамому, взяв за основу какую-либо задачу, можно использовать и стихи детскихавторов, задав после прочтения вопрос.
Котик смышкою дружил, мышке тапочки купил.
И на все 4лапки натянула мышка тапки.
Побежала потропинке, да споткнулась о травинку.
С лапкитапочка упала и куда-то запропала.
Тапку мышкане нашла и без тапочки пошла.
Сколькотапочек осталось у мышки?
Мышка зернасобирала, по 2 зернышка таскала.
Принесла уж 9раз. Каков у мышки стал запас?
На двухмалютках-яблоньках росли четыре яблока.
В три разабольше на одной. А сколько яблок на другой?
В 9 сели вэлектричку мы на станции «Пески»,
А в 12, какобычно, прибыли на «Василики».
Скольковремени в пути были мы? Ответ найди.
Мы невозьмемся в этой работе описывать все виды внеучебных математических задач,остановимся на рассмотренных выше. Укажем лишь, что учителю следует помнить приподборе заданий для проведения внеклассной работы по математике, наскольковажно облечь математический вопрос в интересную для учащихся форму или внести врешение задачи такое незначительное, но любопытное затруднение, которое моглобы приучить детский ум к самостоятельности, или, наконец, предложить трудную напервый взгляд задачу, но решающуюся легко и неожиданным образом.
Такимобразом, изучив учебно-методическую литературу по проблеме организациивнеклассной работы по математике, можем сделать следующие выводы:
Учащиесяначальных классов наиболее нуждаются в том, чтобы их первоначальное ипоследующее знакомство с математическими истинами носило не сухой характер, апорождало бы интерес и любовь к предмету, развивало бы в учащихся способность кправильному мышлению, острый ум и смекалку и тем самым вносило бы оживление впреподавание предмета.
Не стоитумалять значения внеклассной работы по математике в начальной школе, ведьименно в этом возрасте ребенок определяет свое отношение к предметам школьногокурса. Внеклассная же работа по математике позволит привить ученикам интерес кпредмету, поддерживать и культивировать его, развивать общие и творческиеспособности и, конечно же, математические, компоненты которых как раз иформируются наиболее активно в этом возрасте.
Внекласснаяработа имеет некоторые особенности, которые учителю необходимо учитывать, чтобыэффективность проводимой им работы была максимальной.
Формывнеклассной работы по математике очень разнообразны, учителю, проводящемувнеклассную работу систематически, можно их комбинировать.
Внекласснаяработа зависит от индивидуальных интересов учителя, его опыта, вкусов,особенностей учеников каждого конкретного класса. Однако при проведении той илииной формы внеклассной работы по математике, учителю необходимо учитыватьнекоторые методические рекомендации.
Разработанныенами и предложенные авторами методических пособий материалы могут быть использованыучителями при проведении различных форм внеклассной работы, или взяты за основусобственных разработок.
Арассмотренные нами требования к внеучебным математическим задачам, как иуказание их основных видов, помогут учителю самому методически грамотноподобрать задания для проведения внеклассной работы по математике в своемклассе.

Глава 3.Анализ опытно-экспериментальной работы
3.1Содержание и анализ анкетирования учителей, студентов и учащихся
Как ужеотмечалось, целью нашей работы явилось не только изучениепсихолого-педагогической и учебно-методической литературы по проблеме выявленияи развития математических способностей, но и разработка системы внеклассныхзанятий по математике в начальных классах, которые бы развивали математическиеспособности учащихся, а так же проведение анкетирования учителей начальныхклассов, студентов педагогического университета педагогического факультета имладших школьников.
Характеристикаметодик и испытуемых.
Нами былиразработаны и проведены анкеты для студентов педагогического факультетаспециализации “Педагогика и методика начального образования”, практикующихучителей начальных классов и младших школьников. Анкета для студентов включалав себя два вопроса, один из которых о том, в чем, по их мнению, заключаетсяразвитие математических способностей школьников, а второй ¾ для выяснения отношениястудентов к проведению внеклассной работы по математике в начальных классах.Анкета для преподавателей имела своей целью выяснить, проводят ли (а еслипроводят, то как часто) учителя наиболее доступные и методически разработанныеформы внеклассной работы по математике, такие как внеклассные занятия, выпускматематических газет, проводят ли другие виды внеклассной работы, а так жеприменяют ли элементы занимательности на уроках математики. Анкета дляшкольников позволила отнести школьный предмет “математика” к числу любимых илинелюбимых детьми, а также выявить отношение к нему детей с точки зрениятрудности или легкости. Тексты данных вопросников в приложении, где ониобозначены, как “Анкета 1”, “Анкета 2”, “Анкета 3”.
Ванкетировании приняло участие 18 студентов-выпускников педагогическогофакультета ЯГПУ имени К.Д.Ушинского, 20 учителей начальных классов школ городаЯрославля, 78 учащихся 2ого класса.
Результатыанкетирования, на наш взгляд, имеют следующее практическое значение. Во-первых,для преподавателей-методистов это некоторая оценка проделанной работы: усвоилили студенты суть, прониклись ли важностью проблемы, смогут ли в своей работе непросто “напичкивать” учеников математическими знаниями, а четко определить,что, почему и зачем нужно делать. Во-вторых, чтобы установить бесполезность илинеобходимость нашей работы: ведь если учителя постоянно проводят внеклассныезанятия по математике в своем классе, используют разнообразные организационныеформы такой работы, четко определяют главную цель ¾ развивать математическиеспособности учащихся, то проделанная нами работа напрасна, не имеетпрактической значимости. И, наконец, ответ на последний вопрос даст намвозможность определить, в каком направлении должна вестись наша работа, с какойстепенью принуждения и “разжевывания” материала.
Полученныерезультаты.
Послепроведения анкетирования, нами были получены следующие результаты.
Под развитиемматематических способностей студенты понимают, прежде всего, развитиелогического мышления (84% опрошенных), мышления вообще (39% опрошенных), памяти(28%) и внимания (17%). Были также указаны и такие компоненты, как интерес кматематике, потребность в математических знаниях, умственные способностивообще, настойчивость в достижении цели. Некоторые указали на необходимостьразвития наблюдательности, воображения, умения выполнять учебные действия поплану, анализировать и синтезировать полученную информацию, развитиявычислительных навыков, навыков самоконтроля, а так же развитие интереса кпредмету, стремления к точности, ясности, к лаконичности. Результатыанкетирования представлены в данной таблице.Составляющая %-ное выражение Логика 84 Мышление 39 Память 28 Интерес, потребность в мат. Знаниях 17 Настойчивость Внимание 17 Умственные способности 11 Стремление к точности, ясности 5 Стремление к лаконичности 5 Воображение 5 Умение находить нестандартные решения 5 Самоконтроль 5 Вычислительные навыки 5 Наблюдательность 5 Умение выполнять учебные действия по плану 5 Умение анализировать и синтезировать 5
Большинствостудентов-выпускников считают, что проводить внеклассные занятия по математикев начальной школе возможно, но не находят это необходимым. Около одной третиреспондентов рассматривают внеклассные занятия по математике, как необходимыйкомпонент своей будущей педагогической деятельности. Однако выявился инебольшой процент тех, кто считает эти занятия бесполезными и ненужными.Процентное соотношение ответов представлено на диаграмме: 1.
/>
Диаграмма 1.

Подавляющеебольшинство учителей начальных классов (70%) внеклассные занятия по математикене проводят вообще, некоторые проводят лишь комплексные занятия, равно немногиеуказали, что проводят внеклассные занятия по математике редко и один раз внеделю и совсем малый процент тех, кто проводит внеклассные занятия поматематике два раза в неделю. Процентное соотношение этих групп представлено надиаграмме12.
/>
Диаграмма 2.
Ни одинучитель не использует в своей работе такую форму проведения внеклассных занятийпо математике, как совместный с детьми выпуск математической газеты. Лишь одинучитель указал, что учащиеся его класса пишут статьи в общешкольнуюматематическую газету. Эти результаты отражены на диаграмме13.
/>
Диаграмма 3.
Болееутешительные результаты были получены при ответе на вопрос об использованииучителями элементов занимательности на уроках математики. Чуть меньше половиныреспондентов ответили на вопрос положительно, четверть используют элементызанимательности на уроках, так как это предусмотрено программой, пятая часть ¾ редко, однако естьпроцент и тех, кто не использует их вообще. Более подробно результаты отраженына диаграмме 4.
/>
Диаграмма 4.
Детямнравится заниматься математикой, большинство указало, что это их любимыйшкольный предмет, примерно пятая часть опрашиваемых относит его к числу неочень полюбившихся предметов, однако таких, кто бы указал математику какнелюбимый предмет среди наших респондентов не нашлось. Эти результаты нашли отражениев гистограмме 1.
/>
Гистограмма1.
Такжебольшинство детей утверждает, что им легко дается математика и не испытываетпри обучении особых трудностей, но есть небольшой процент и тех, кому трудно итяжело овладевать математическими знаниями. Данные опроса так же приведены вгистограмме 1.
Выводы и рекомендации
1.Результаты, полученные при обработке анкет студентов, показали, что будущиеучителя не совсем ясно понимают, какие именно цели они должны ставить передсобой в своей будущей работе по развитию математических способностей. Ведьтакие познавательные процессы, как мышление, память, внимание, воображениенеобходимо развивать как на любом внеклассном занятии, так и на любом уроке, иразвитие лишь этих познавательных процессов не предполагает развитияматематических способностей. Хотя, развивая математические способности, мы,безусловно, развиваем и память, и воображение, и мышление, и внимание учащихся.Развитие математических способностей также не есть развитие умственныхспособностей вообще. Кроме того, нашлись и такие студенты, которые развитиематематических способностей подменяют развитием лишь вычислительных навыков.Также были указаны и такие качества, которые влияют на успешность выполненияматематической деятельности, а значит, их развитие как бы создает почву дляразвития собственно математических способностей. К таким качествам можноотнести следующие из указанных нашими респондентами: наблюдательность,настойчивость в достижении цели, самоконтроль, стремление к точности, ясности врассуждениях, умение выполнять учебные действия по плану и, самое главное,нашлись и такие, кто считает нужным развивать у детей интерес к математике,потребность в математических знаниях. Большой процент указал на необходимостьразвития логического мышления, но ведь не только его мы понимаем под развитиемматематических способностей. Лишь малый процент отметил необходимость развитиятаких компонентов математических способностей, как стремление к лаконичности врассуждениях, находчивость, умение находить нестандартные решения, умениеанализировать и синтезировать.
Такимобразом, в работе со студентами математикам-методистам необходимо уделятьбольшее внимание психологии математического мышления. Основой обученияматематике на начальных этапах должно стать развитие интереса к математике,увлеченности ею, а это значит, что студентов надо учить не формально, атворчески подходить к проблеме развития математических способностей. Но дляэтого они должны четко представлять себе, что именно они должны развивать,знать не только компоненты математических способностей, но и условия ихформирования, знать и развивать и те качества, которые влияют на успешностьосуществления математической деятельности школьника.
Результатыанкетирования учителей показали, что учителя начальных классов практически непроводят внеклассных занятий по математике, не уделяют им должного внимания.Проводя устные беседы, мы выяснили, что причина тому ¾ недостаток времени.Программы насыщенные, предметов становится все больше, а число учебных часов неувеличивается. Многие учителя не видят возможности проводить внеклассныезанятия из-за высокой загруженности учеников и их повышенной утомляемости кконцу учебного дня. Эти причины объективны, проблема перезагруженности учениковдействительно существует в современной начальной школе, но и проблема развитияматематических способностей не исчезает. И хотя в настоящее время, времяповсеместного внедрения различных систем развивающего обучения, развитиематематических способностей обеспечивается самим процессом изучения школьногокурса математики, не стоит пренебрегать и внеучебными средствами,содействующими укреплению и расширению математической активности ¾ внеклассной работой поматематике.
Принимая вовнимание указанные выше проблемы, возникающие у учителей при проведениивнеклассных занятий по математике, мы выделили такую форму внеклассной работы,которая не затрачивает много времени и не требует большой мобилизацииумственных сил. Такой формой внеклассной работы по математике мы считаемвыпуски математических газет. Однако подобная работа учителями начальныхклассов, судя по нашему исследованию, не проводится вообще. Возможно, причинаэтого в недостаточной методической разработке подобного рода занятий. Прианализе учебно-методической литературы мы не раз встречали описание самойматематической газеты, но нигде не нашли подробного описания самой работы надгазетой, последующей работы класса с газетой и методики подведения итоговработы класса.
Наиболеераспространенным среди учителей оказалось введение элементов занимательности всам урок математики. Это наиболее простая, но в то же время действенная формавнеклассной работы, ведь она позволяет достигнуть главной цели в периодпервоначального развития математических способностей ¾ развития интереса кматематике, потребности заниматься ею.
Такимобразом, проблеме развития математических способностей в начальной школе напрактике уделяется совсем мало времени, а перед некоторыми учителями такаяпроблема не стоит вообще. Тем более важной мы находим свою работу, это ипридает ей актуальность, этим и объясняется наша заинтересованность ею.
Большинстводетей любят математику, им нравится заниматься ею, в этом они находятудовольствие. Так же большинство вовсе не считают этот предмет трудным, а,напротив, относят его к числу наиболее легко дающихся. Это все говорит о том,что интерес к математике у детей в этом возрасте достаточно высок, и учителюважно, чтобы ребенок не утратил его в процессе школьного обучения, апреувеличил, чтобы интерес перерос в страстную увлеченность, в потребностьзаниматься математикой. А для плодотворных занятий должна быть созданаплодотворная почва, то есть ребенок должен обладать определенным наборомзнаний, умений и навыков, а для этого и необходимо развивать его математическиеспособности.
Содержание ианализ экспериментальной работы.
Опытно-экспериментальнаяработа была проведена в трех вторых классах, обучающихся по системе “Школа2100” в общеобразовательных школах города Ярославля № 20, № 42 и № 81.
2 «Г» классшколы № 81 ¾ экспериментальный;
2 «Б» классшколы № 20 ¾ экспериментальный;
2 «А» классшколы № 42 ¾ контрольный.
Всего вклассах обучается: 2 «Г» ¾ 20 человек;
2 «Б» ¾ 24 человека;
2 «А» ¾ 34 человека.
Цельисследования: выявить уровень развития математических способностей учащихся,при обучении которых применялись различные формы внеклассной работы поматематике.
Первичныйконстатирующий эксперимент.
Для выявленияуровня математических способностей школьников была использована серия из 24задач, в основу которой положена методика А.З. Зака. Данная методика была намивыбрана не случайно. Согласно определению математических способностей, мывыявляли выраженность некоторых их компонентов у учащихся. Все задачи можноотнести к той группе заданий, для решения которых не требуется никакихспециальных знаний, но нужно умение логически рассуждать, проявляя при этомизвестную изобретательность. Так, группа из первых четырех заданий позволилаопределить способность к обратимости мыслительного процесс ¾ способность кперестройке направленности мыслительного процесса, к переходу с прямого наобратный ход мысли. При этом задания усложняются от 1 к 4. Задания с 5 по 10представляют собой систему задач с постепенной трансформацией из конкретного вабстрактный план. Дети должны заметить структурную общность этих задач спредыдущими. Они позволяют определить способность решать задачи в общем виде, отвлекаясьот конкретных данных, также позволяют определить способность к оперированиючисловой и знаковой символикой. Эти же цели (кроме последней) преследует иследующая группа задач, задачи с 11 по 16. Кроме того, при их решении детидолжны не поддаться непосредственному впечатлению от их условия, выделить взадаче лишь отношения. Задачи 17 и 18 позволяют определить уровень развитиярефлексии, способность учащихся контролировать свою работу. Задачи с 19 по 22определяют уровень развития действий в уме, способность планировать ход и этапысвоего рассуждения. Кроме того, задания этой группы достаточно сложны изапутанны, содержат большое количество данных, сложные отношения. И, наконец,задачи 23 и 24 с взаимопроникающими элементами. В основу их положена мысльБ.Журавлева о “математическом зрении” как способности ”видеть на чертеже нетолько то, что бросается в глаза, но и все то, что на нем вообще есть”. Этизадачи направлены на исследование некоторых особенностейаналитико-синтетического восприятия геометрических фигур учащимися, вчастности, умения рассматривать и оценивать взаимопроникающие элементыгеометрических фигур с различных точек зрения, выделять элементы фигур и фигурыиз фона, включать один и тот же элемент в различные фигуры и соответственно даватьему различные интерпретации.
Задачи с 1 по22 были предложены для работы в двух вариантах, их тексты выдавались каждому ученику,задачи 23 и 24 ¾ в одном варианте, написаны на доске.
Тексты обоихвариантов задач:
Вариант 1
Светавеселее, чем Наташа. Наташа веселее, чем Лена. Кто веселее всех?
Дима сильнее,чем Лиза. Лиза сильнее, чем Вера. Кто слабее всех ?
Даша темнее,чем Катя. Даша светлее, чем Полина. Кто темнее всех ?
Петя тяжелее,чем Миша. Петя легче, чем Саша. Кто легче всех ?
Игнат иаее,чем Коля. Коля иаее, чем Тарас. Кто иаее всех ?
Мила тпрк,чем Лена. Лена тпрк, чем Зоя. Кто тпрк всех ?
Дмкл веселее,чем Шбрд. Дмкл печальнее, чем Нгрл. Кто печальнее всех ?
Квсм слабее,чем Прмт. Квсм сильнее, чем Лдзк. Кто слабее всех ?
Мстр уиее,чем Вкмт. Вкмт уиее, чем Длгт. Кто уиее всех ?
Фкст прст,чем Млгд. Млгд прст, чем Зпсм. Кто прст всех ?
Кошка легче,чем бабочка. Кошка тяжелее, чем крокодил. Кто легче всех ?
Кабан ниже,чем таракан. Кабан выше, чем олень. Кто выше всех ?
Иванов на 48лет младше, чем Петров. Иванов на 5 лет старше, чем Сидоров. Кто младше всех ?
Белкин на 7кг легче, чем Палкин. Белкин на 51 кг тяжелее, чем Мошкин. Кто тяжелее всех ?
Данил намногослабее, чем Алик. Данил немного сильнее, чем Гоша. Кто слабее всех ?
Маша немноготемнее, чем Юля. Маша намного светлее, чем Тамара. Кто светлее всех ?
Женямедлительнее, чем Андрей. Валера быстрее, чем Женя. Кто быстрее?
Юра тяжелее,чем Борис. Витя легче, чем Юра. Кто легче ?
Кира веселее,чем Катя, и легче, чем Лида. Кира печальнее, чем Лида, и тяжелее, чем Катя. Ктосамый печальный и самый тяжелый ?
Раиса темнее,чем Люба, и младше, чем Наташа. Раиса светлее, чем Наташа, и старше, чем Люба.Кто самый темный и самый молодой ?
Аня веселее,чем Лена. Лена легче, чем Света. Света сильнее, чем Аня. Аня тяжелее, чемСвета. Света печальнее, чем Лена. Лена слабее, чем Аня. Кто самый веселый,самый легкий и самый сильный?
Тимур темнее,чем Макар. Макар младше, чем Витя. Витя ниже, чем Тимур. Тимур старше, чемВитя. Витя светлее, чем Макар. Макар выше, чем Тимур. Кто самый светлый, ктостарше всех и кто самый высокий?
Вариант 2
Толя веселее,чем Катя. Катя веселее, чем Алик. Кто веселее всех ?
Саша сильнее,чем Вера. Вера сильнее, чем Лиза. Кто слабее всех ?
Миша темнее,чем Коля. Миша светлее, чем Вова. Кто темнее всех ?
Вера тяжелее,чем Катя. Вера легче, чем Оля. Кто легче всех ?
Катя иаее,чем Лиза. Лиза иаее, чем Лена. Кто иаее всех?
Коля тпрк,чем Дима. Дима тпрк, чем Боря. Кто тпрк всех ?
Трсн веселее,чем Лдвк. Трсн печальнее, чем Квшр. Кто печальнее всех?
Вснч слабее,чем Рптн. Вснч сильнее, чем Гшдс. Кто слабее всех ?
Мпрн уиее,чем Мврк. Мврк уиее, чем Сптв. Кто уиее всех ?
Вшпп клмн,чем Двтс. Двтс клмн, чем Нпрл. Кто клмн всех ?
Собака легче,чем жук. Собака тяжелее, чем слон. Кто легче всех ?
Лошадь ниже,чем муха. Лошадь выше, чем жираф. Кто выше всех ?
Попов на 68лет младше, чем Бобров. Попов на 2 года старше, чем Семенов. Кто младше всех ?
Уткин на 3 кглегче, чем Гусев. Уткин на 74 кг тяжелее, чем Комаров. Кто тяжелее всех ?
Маша намногослабее, чем Лиза. Маша немного сильнее, чем Нина. Кто слабее всех ?
Вера немноготемнее, чем Люба. Вера намного светлее, чем Катя. Кто светлее всех ?
Петямедлительнее, чем Коля. Вова быстрее, чем Петя. Кто быстрее ?
Саша тяжелее,чем Миша. Дима легче, чем Саша. Кто легче ?
Вера веселее,чем Катя, и легче, чем Маша. Вера печальнее, чем Маша, и тяжелее, чем Катя. Ктосамый печальный и кто самый тяжелый ?
Рита темнее,чем Лиза, и младше, чем Нина. Рита светлее, чем Нина, и старше, чем Лиза. Ктосамый темный и кто самый молодой ?
Юля веселее,чем Ася. Ася легче, чем Соня. Соня сильнее, чем Юля. Юля тяжелее, чем Соня.Соня печальнее, чем Ася. Ася слабее, чем Юля. Кто самый веселый, самый легкий исамый сильный ?
Толя темнее,чем Миша. Миша младше, чем Вова. Вова ниже, чем Толя. Толя старше, чем Вова.Вова светлее, чем Миша. Миша выше, чем Толя. Кто самый светлый, кто старше всехи кто самый высокий?
На доске
Первыйконстатирующий эксперимент проводился в начале первой четверти учебного года.
Работапроводилась во 2 «Г» классе школы № 81 ¾ 26. 09.2002,
2 «Б» классешколы № 20 ¾ 30. 09. 2002,
2 «А» классешколы № 42 ¾ 9. 10. 2002
Работапроводилась на третьем уроке, время, отведенное детям на ее выполнение ¾ 45 минут. Былопредложено 2 варианта работы. Перед выполнением задания детям была данаследующая инструкция:
“Дети, вамданы листы с условием 22 задач. Посмотрите на них. Первые четыре задачипростые: для их решения достаточно прочитать условие, подумать и написать вответе имя только одного человека, того, кто, по вашему мнению, будет самыйвеселый, самый сильный из тех, о ком говорится в задаче.
Теперьпосмотрите на задачи с 5 по 10. В них использованы искусственные слова,бессмысленные буквосочетания. Они заменяют наши обычные слова. В задачах 5 и 6бессмысленные буквосочетания, например “иаее”, обозначают такие слова, каквеселее, быстрее, темнее и тому подобные. В задачах 7 и 8 искусственные словазаменяют имена людей, а в задачах 9 и 10 они заменяют все. Когда вы будетерешать эти шесть задач, то можете про себя вместо бессмысленных словподставлять понятные, обычные слова. Но в ответах задач с 7 по 10 нужно писатьбессмысленное слово, которое заменяет имя.
Далее идутзадачи 11 и 12. Эти задачи “сказочные”, так как в них про известных всем намзверей рассказывается что-то странное, необычное. Эти задачи нужно решать,пользуясь только теми сведениями о животных, которые есть в задаче.
В задачах13-16 в ответе нужно писать только одно имя, а в задачах 17 и 18 ¾ кто как считаетправильным: либо одно имя, либо два. В задачах 19 и20 обязательно писать вответе два имени, а в последних двух задачах ¾ три, даже если одно изних будет повторяться”.
Детям так жедается установка на то, что задания не такие сложные, какими кажутся на первыйвзгляд, что оценка никому ставиться не будет, да и подписывать листочек ненадо, поэтому никто не узнает, как они справились с заданием. Не надо боятьсяошибиться, никто не накажет за неправильный ответ. После того, как детисправлялись с заданиями 1-22, им предлагалось взглянуть на доску. Те, кто неуспел выполнить предыдущее задание, пропускали его, чтобы закончить позже, иприсоединялись к большинству. Детям давалась следующая инструкция: ”Посмотритена доску и напишите на листочках после всех заданий, сколько вы видитеквадратов на доске. Отступите клетку вниз и напишите, сколько на доскенарисовано треугольников. У вас должно быть записано только два числа”.
Первыйэкспериментальный класс (2 «Г» школы № 81) справился с заданием за 45 минут,второй экспериментальный класс (2 «Б» школы № 20) ¾ за 35 минут, контрольныйкласс ¾ за 45 минут.
Результатыпроведенной работы отражены в таблицах 1-3.
Таблица 1.
Результатывыполнения работы учениками первого экспериментального класса. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 + + – – – – + – + + -у – + – – – – – – – 2 + + – + + О – -с – – + – – – – – – – + О 3 + + – – + + -с + -с – + + – – + + – – – – 4 + – – + – – -с -с -с -с – + – – + – – – О – 5 + – – – + + – – + + – + – – – – – – – + 6 + – – + + + -с -с -с -с + + – – – + – – – – 7 + + О + + + -с -с -с -с -у -у + – + – – – – 8 + + – + + – -с -с -с -с -у – – – + – – – – – 9 + + – – + – – + + – -у – – + – – – – – – 10 ++ + – – – + -с -с -с -с – – – – – – – – – О 11 ++++++++ – – – + + – – + – -у -у – – – – – – – – 12 + + – – – – -с – – – – – + – + – – – – – 13 + – – – + + -с -с -с – + -у – – – – – – – – 14 + + – + + О -с -с – – + – – + – + – – – – 15 + + – – + + -с – + + -у -у – – – – – – – О 16 + – – – + – -с -с -с -с – – – – – – – – – О 17 + + – – + + – – + + – – – – – – – – – – 18 + – – – + + – – + + – – + – – + – – – – 19 + + – – + + -с -с -с -с -у – – – – – – – – – 20 + – + + + + -с -с -с О О О О О О О О О О О
Таблица 2.
Результатывыполнения работы учениками второго экспериментального класса. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 1 + – – – – + -с -с -с -с -у – – – – + – – – – + – + 2 – – – – О – О – – – – – – + – – – – О – – – + 3 – + – – О – + – О + -у – – – – – – О О О О О + 4 + – – + – – – + – + -у + – – – – – – – – – – + 5 – – – – – – -с -с -с -с -у -у – – – – – – – – – – + 6 – + – – – – – – – – -у + – – – + – – О О О О + 7 + + – – + + – – + + -у -у + – + – – – – – + – + 8 + – – – + + -с -с -с -с -у -у + – + + – + О О О – + 9 – + – – – – -с -с -с -с – – – – – – – – – – + + + 10 + + – + + – -с -с О О -у – + + + – – – – – – – + 11 + + + – + + -с -с -с -с -у -у – – + + – – – – + – + 12 – – О – О О О – О О -у – О + – + – – – – – – + 13 – + – – – – – – + О -у -у – – – – – – – – О О + 14 + + – – + + -с -с -с -с -у – + – – – – – – – – – + 15 + + – – + + -с -с -с -с + + + + + + – – – – – – + 16 + + – + + + – О О О -у -у + – О – О О О О О О + 17 + – – – + + -с -с -с -с -у -у – – – – – – – О О О + 18 + + – + + + – + + + + – + – – + – – – – + – + 19 + + О О + + О – + + – -у О – О О – – О О О О + 20 + – – – + + -с -с -с -с -у -у + – – + – – – – – – + 21 + + – – – – – – – – -у -у – – – – – О О О О О + 22 + + + – + + + – + + -У -У + + + + – – О О О О + 23 + + – – + + – – + + -У -У + – + + – – – О О О +
Таблица 3.
Результатывыполнения работы учениками контрольного класса. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + – – + О 2 + + + + + – – – + + + + + + + – + – – – – + 3 + + + + + + + + + + + + + + + + + + – – + О 4 + + + + + – – – + + + – – + + + + + О О О О 5 + + + – + + – – + – + + + – О + О О О О + + 6 + + + – + + -с О -с -с -у + + О – + О О О О – О 7 + + – – + + – + + + + – – + + + + – О О О О 8 + – + + + + – – + + -у – – – + – – – – О – – 9 + + – – – + + + + + + + – + – + – – – + – + 10 + – + + + + – – + + -у – – – + – – – – О – – 11 + + + + + + + + + + + + + – + + + + – – – + 12 + + + – – + + + + + + + + – – – – – – – + + 13 + + – – – + – – + – -у – – – – – – – – – О О 14 + + + – + + – – + – + + + – + + + + + – + + 15 + + + – – + + + + + + + + – – – – – – – О О 16 – + – + – + – – – – -у – + + – + – – – – – – 17 + + – – – – – – О – -у – – – – – – – – – О О 18 – + – + – + – – – – -у – + + – + + – – + О – 19 – – – – + – -с -с -с -с -у -у – – – – – – – – + – 20 + + + + + + -с -с -с -с + + + + + + + + – – + – 21 + + + + + – – + – – + + + + + + + + + + + + 22 + + + – + + – + – + + – – – + – – – + – О О 23 – + + + + + -С -С -С -С -У – + + – – – – + – О О 24 – + + + + + -С -С -С -С -У – + + – – – – – – О – 25 + + – + + + – – + + + – + – + + + – + – – – 26 + + – + + + О – + + + – + – + + + – + – – – 27 + + + + + + + + + + + + + + + + + – О + + + 28 + + + + + + + + + + + – – + + – – – – – – + 29 – + + + – – – – – – + + – + + – – – – – – + 30 + + + + + + – + + + + + + + + + + + + + + + 31 + + – + + + – – + + + + – + – – + – – – + – 32 – – + + + + + – – + + – – – + – + + – – – – 33 О + + О – + – + + + -У – + – + + – – О – О – 34 + + + + + + + + + + + – – + + – – – – – – +
В данныхтаблицах использованы следующие условные обозначения:
«+» ¾ ученик справился сзаданием,
«-» ¾ не справился с заданием,
«-с» ¾ в ответе указалсобственно подставленное имя,
«-у» ¾ ребенок решил задачу,руководствуясь жизненным опытом, а не отношениями, заданными в условии самойзадачи,
«О» ¾ ученик отказался отвыполнения задания.
Из таблицывидно, что ошибок и недочетов в работе допущено много. При этом обаэкспериментальных класса показали одинаково средние результаты, контрольныйкласс справился с заданием гораздо лучше. Если учесть, что все три классаобучаются по одной системе обучения и эксперимент проводился примерно в одно ито же время, то одной из возможных причин столь явных различий в результатах,по нашим предположениям, мог явиться педагогический стаж работы учителей. Впервых двух случаях учителя работают в школе лишь второй год, в последнем ¾ 21 год.
Во всехработах можно выделить основные ошибки, допущенные во второй группе заданий, вчетвертой и в пятой группах. Это ошибки в заданиях, связанных со способностьюмыслить абстрактно и с умением анализировать условие задачи, с наличием навыковсамоконтроля и с уровнем развития действий в уме. Причины этого мы видим вследующем:
¾ у детей в этом возрасте плохо развито умение анализироватьусловие, они не смогли выделить структурную общность этих задач с предыдущими.Не все могут решать задачи в общем виде, детям в этом возрасте труднооторваться от конкретных данных. Об этом говорит и тот факт, что многие вответах к задачам 7-10 написали придуманные ими самими имена, особенно великпроцент таких детей в экспериментальных классах (около 50%);
¾ недостаточно развитая рефлексия, дети не проверяют себя, плохоанализируют условие задачи, не развиты навыки самопроверки;
¾ дети бояться задач с длинными и запутанными условиями, снесколькими вопросами. За внешней запутанностью задачи не смогли разглядетьпростоту решения, поэтому большинство просто отказалось от решения. Есть итакие, кто взялся решать задачу, нашел один из ответов правильно, а затемзапутался и решил задачу на половину (таких в первом экспериментальном классе40%, в контрольном ¾ около 25%) или треть (таких учеников большойпроцент во всех трех классах, достаточно указать, что не справившихся вообще сзаданиями 21 и 22 ¾ 13%, 26% и 26% в классах соответственно).
В обоихэкспериментальных классах много ошибок допущено при выполнении 3 и 4 заданий.Это говорит том, что ребенок может действовать в уме в минимальной степени,отношения объектов на обратные он может заменить лишь в конце рассуждения (чтотребовалось в задаче 2). Дети пошли на поводу внешнего сходства формулировокэтих задач с предыдущими.
Так жетипичными для учащихся экспериментальных классов стали ошибки в задачах 11 и12. Причина тому ¾ дети действуют на основе непосредственныхвпечатлений от условия задачи, основными для них в задаче являются факты, а неотношения. Много ошибок допущено и при решении задач 14 и 15. Здесь причины теже, к тому же детей запутали числовые данные, которые в задаче не былиосновными.
В последнихдвух задачах геометрического характера большие сложности возникли у учащихсяпервого экспериментального класса, лишь малый процент учеников справился сними, тогда как в других классах таких затруднений не возникло. Возможно,причина этого в том, что учителя последних классов проводят подобные упражнениясо своими учениками, детям они не новы.
Для большейнаглядности результаты работы представим в виде графиков.
/>
График 1.
/>
График 2.
/>
График 3.
Описаниеформирующего эксперимента.
В течениеучебного года в обоих контрольных классах нами проводилась внеклассная работапо математике, целью которой стало развитие математических способностейучащихся.
Для первогоэкспериментального класса нами была разработана система внеклассных занятий,предполагающих кружковую работу, в которой мы попытались соблюсти всенеобходимые условия для развития способностей. Во-первых, мы старались, чтобыдеятельность вызывала у детей сильные и устойчивые положительные эмоции. Дляэтого по возможности создавали для детей ситуации успеха, предъявляя для работысначала более простой материал, с которым все легко справлялись, и, убеждаядетей в их возможностях, переходили к все более трудному. Кроме того, на своихзанятиях мы старались развивать интерес к самой математике посредствомисторических экскурсов. На занятиях широко применялись соревнования,математические игры, различный занимательный материал. Все это, по нашемумнению, и должно было вызывать положительные эмоции, которые являютсянеобходимым условием развития способностей.
Во-вторых, мыстремились к тому, чтобы деятельность детей на занятиях была по возможноститворческой. И здесь мы рассматривали не только непосредственно математическоетворчество, которое проявлялось в нахождении нестандартных решений, в поискезакономерностей, но и творчество в целом. Для занятий дети подготавливалидоклады и короткие сообщения, сочиняли математические сказки, задачи,разыгрывали математические сценки и задачи, создавали из геометрических фигур.
В-третьих,старались организовать деятельность ребенка так, чтобы он преследовал цели,немного превосходящие его наличные возможности. Здесь, безусловно, должнавестись речь об индивидуальном подходе к каждому ученику, чего, к сожалению, всвоей работе нам достигнуть не удалось. Причина того в том, что приходящий наодин час в неделю педагог никак не сможет, пусть даже за полгода, изучитьвозможности каждого из своих учеников. Однако для практикующих учителей этойпроблемы не возникнет, и в этом случае мы можем рекомендовать индивидуальныекарточки, групповую работу, работу в парах, домашние задания и поручения (хотявнеклассная работа и не предполагает заданий на дом). Кроме того, помогут восуществлении индивидуального подхода математические зачеты, где группы задачсоставлены индивидуально для каждого ученика (подробнее об этом в главе 2данной работы). Однако свои занятия мы старались построить так, чтобы детиузнавали что-то новое и пока еще трудно доступное, но в несколько упрощенной,понятной форме. К тому же этот материал старались преподать в такой форме,чтобы детям захотелось побольше узнать об этом и рассказать другим о том, чтоон знает и умеет. Примером такой работы может служить таблица умножения на 9 напальцах, результат которой легко проверить по последней странице тетради,знакомство с системами счисления и записью чисел в двоичной системой счисленияпосредством одевания в сапожки животных, знакомство с математическими фокусами.
Занятиязадумывались как путешествия по удивительной стране Математике. На каждомзанятии мы посещали один из городов этой страны и узнавали что-то новое о ней.При этом на каждом занятии, помимо обязательного рассказа учителя из историиматематики или знакомства с неизвестными математическими понятиями, проводилисьследующие упражнения: игра «Внимание» и игра «Робот». В начале занятия ученикиподбирали ключ к городским воротам и зарисовывали его в тетради (игра«Внимание»), а затем зарисовывали экскурсовода, который поможет не заблудитьсяв математическом городе, он же является сквозным персонажем всего занятия,предлагает задания, игры, конкурсы. Цель первой игры в том, чтобы активизироватьвнимание учащихся, настроить их на рабочий лад. Вторая игра закрепляет навыки ориентациив пространстве, развивает алгоритмическое мышление и воображение.
Примерноепланирование внеклассных занятий по математике.
Занятие 1.
Игра«Внимание»
Игра «Робот»
Как людинаучились считать (учитель)
Живой абак
Как людинаучились записывать числа (учитель)
Знакомство смагическим квадратом (дети)
Сценка отреугольнике и квадрате (дети)
Занятие 2.
3. Как икогда появились арифметические действия (учитель)
Математическаяэстафета
Из историинуля (дети)
Сочинениеконца математической сказки о нуле
Сочинениесобственной математической сказки (дома)
Занятие 3.
3.Математический брейн-ринг
Занятие 4.
Системысчисления (учитель)
Запись чиселв двоичной системе счисления
Знакомство станграмом (дети)
Соревнованиепар «Кто быстрее составит фигуру»
Занятие 5.
3. Что такоеотрицательные числа (учитель)
4. Решениелогических задач
5. Работа вмикрогруппах «Придумай задачу»
6.Математические фокусы
Занятие 6.
3.Математическое многоборье
Занятие 7.
3. Каквозникла геометрия (учитель)
4. Рисунки изгеометрических фигур
5.Соревнование «Лучший геометр»
Занятие 8.
3. Числовыесуеверия (учитель+дети)
4. Решениезанимательных задач сказочного характера
5.Математические фокусы
Занятие 9. 3.Знакомство с ребусами (дети)
4. Игроваяработа в парах
5. Итогиработы кружка
Занятие 10.
Математическийчай
Описаниезанятий приведено в приложении.
Занятияпроводились с октября по май один раз в две недели по четвергам четвертым(последним) уроком. При проведении занятий мы не соблюли одно из основныхправил проведения внеклассных занятий по математике. Занятия в нашемматематическом клубе оказались максимально приближенными в групповым занятиямпосле уроков по принципу привлечения кружковцев. Занятия проводились не попринципу добровольности, а в обязательном порядке для всех учеников. Этосвязано в первую очередь с тем, что дети в младшем школьном возрасте еще немогут выбрать для себя приоритеты, их интересы их неустойчивы. Поэтому в этомвозрасте мы посчитали целесообразным проводить обязательные занятия для всехучеников. Однако на занятии сам ученик выбирал, участвовать ему в работе илинет, не было никакого принуждения со стороны учителя.
Так какзанятия проводились в общеурочное время, то записи велись в обычной тетради поматематике, никак не выделяясь из остальных работ. Сейчас в этом мы видимбольшой недостаток: дети не могут наглядно видеть результаты своей работы, имтяжело подвести итоги. Да и преподавателю также необходим отчетный материал опроводимых занятиях: он поможет четче спланировать последующую работу, наметитьпути индивидуальной работы с некоторыми учениками. Из всего вышесказанногоможно сделать вывод, что для внеклассных занятий по математике у ученика должнабыть заведена отдельная тетрадь. Хорошо, если дети будут заниматься в ней исамостоятельно дома: выписывать интересные задачи, решать их, украшать тетрадьрисунками из геометрических фигур и прочее. Учителю же в конце учебного года (вконце работы кружка) можно организовать выставку тетрадей, устроить конкурс налучшую тетрадь.
Кроме этого,принимая во внимание результаты проведенной нами анкеты для практикующихучителей и устных бесед с некоторыми из них, мы решили во второмэкспериментальном классе провести такой вид внеклассной работы как выпускстенной математической газеты. Причины выбора нами именно такой формы внекласснойработы указаны в предыдущем параграфе данной работы. Перед нами стояла цель нетолько провести данную внеклассную работу и проверить ее эффективность с точкизрения развития математических способностей школьников, но и разработатьметодику проведения подобного рода работы. Необходимость этого мы видим в связис недостатком подобных рекомендаций в учебно-методической литературе, о чемтоже говорилось выше.
Итак,учитывая отзывчивость детей младшего школьного возраста и желание участвоватьво всем и сразу, мы предложили детям работать над выпусками математическихгазет не всем классом, а по рядам. Преимущество этого мы видим в следующем:
¾ каждый желающий ребенок может приобщиться к работе над каким-либоиз выпусков;
¾ при работе над выпуском небольшого количества человек, каждыйможет каким-либо образом проявить себя, работы хватит на всех;
выпуск газетыпо рядам вносит и соревновательный мотив, что усиливает стремление каждоговыполнить свою работу как можно лучше.
Кроме того,выпуск стенной математической газеты ¾ это и соревнование всехучеников
класса, ведьпо итогам работы мы выявляли не только лучшую редакционную группу, но и“Лучшего математика”. Первая ¾ выбиралась методом независимой экспертизыв лице родителей учеников класса, а лучшего математика удалось выявить с помощьютаблицы “Математические гонки”, в которой отражается активность каждого ученикав выпусках газеты и в решении предлагаемых заданий. В нашем случае очкираспределялись следующим образом: за участие в выпуске газеты ¾ 3 балла за каждыйподготовленный материал, за правильное решение задания ¾ 3 балла, за участие(неправильно решенное задание) ¾ 1 балл. Такая таблица может носить любоеиз предложенных учениками, понравившееся большинству и вывешивается в классе навидном месте. Лучше, если таблица будет красочно оформленной и действительнобудет отражать результаты работы, в нашем случае рядом с фамилиями трехлидирующих на данное время учеников прикреплялись значки разного цвета (красный¾ наилучший результат, зеленый и желтый). Однако здесь, послепроведенной работы, было бы уместнее, на наш взгляд, заполнять таблицу ненабранными баллами, а, с так называемым, продвижением. Это, по нашему мнению,должно выглядеть примерно так:
Эта таблицарезультатов кажется нам более удобной, так как в ней наглядно видны результатыработы учеников, явно выделяются лидеры, детям не придется долго высчитыватьколичество набранных баллов, ведь один балл равняется одной закрашенной ячейке.
Работанепосредственно над выпуском самой математической газеты строилась намиследующим образом. На выпуск номера ребятам отводилось 3 недели. За это времядети должны придумать название своей газете, совместно с учителем распределитьобязанности между всеми участниками группы, при этом должны учитываться каквозможности ученика, так и его пожелания. После этого ученики подготавливаютматериалы дома или после уроков, имея возможность проконсультироваться сучителем. Возможные задания при подготовке к выпуску математической газеты:
¾ найди интересные математические задачи, пусть тебе помогутродители;
¾ составь задачу, похожую на эту;
¾ выбери из этих задач самую, на твой взгляд, интересную;
¾ придумай задачу по рисунку;
¾ нарисуй рисунок к задаче;
¾ спрячь цифру (рисунки, в основе которых различные цифры);
¾ придумай, как необычно украсить газету.
Когда ребятаподготавливают весь материал, назначается день сбора редакционной коллегии. Вэто время все ученики ряда приносят свои наработки, учитель выдает им ватман,клей, ножницы и другие принадлежности. Совместно с учителем и под егоруководством дети оформляют газету. Когда газета готова, все задания в нейнумеруются. Газета вывешивается в начале учебной недели и на первом уроке вэтот день ученики, принимавшие участие в работе над газетой, должны ее“прорекламировать”. В этом ученики вольны: они могут придумывать девиз своейгазеты, объявлять дополнительные конкурсы, рассказать о задачах, предложенных вномере, сочинить стихи о своей газете, то есть они должны привлечь внимание кгазете остальных учеников класса. Так проходит презентация газеты, на которойобъявляется, кому из ребят надо сдавать ответы к заданиям. Потом все ответыанализируются вместе с учителем и в конце недели проставляются в таблице баллы.
Баллы так жепроставляются и в конце последующих недель, пока не выйдет новый выпуск газеты.Лидеры определяются после каждого выставления баллов.
В концеучебного года, как уже отмечалось выше, определяется лучшая редакционнаяколлегия, то есть ряд-победитель, и самый лучший математик, который получаетприз. В идеале им могла бы стать книга с занимательными заданиями поматематике.
Вторичныйконстатирующий эксперимент.
В концеучебного года, после проведенной работы по развитию математических способностейв двух экспериментальных классах, нами был проведен повторный констатирующийэксперимент.
Цель:определение эффективности формирующего эксперимента.
Ученикам былапредложена та же работа, что и в начале года, только задания 23, 24 имелидругой вид.

Выводы и рекомендации
Такимобразом, проведенный нами эксперимент позволил сделать следующий вывод:проводимая нами в течение года работа по развитию математических способностейпосредством проведения различных форм внеклассной работы по математике вначальной школе оказала положительное влияние на развитие математическихспособностей школьников. Причем этому развитию в большей степени способствовалопроведение системы внеклассных занятий по математике, чем выпуск стенныхматематических газет.
Наша работадоказала, что внеклассная работа по математике является сильнодействующимпедагогическим средством, позволяющим значительно улучшить уровеньматематического мышления учащихся и развивающим их математические способности.Поэтому учителям необходимо целенаправленно и систематически проводить работуподобного рода, для чего можно использовать и наши разработки.

Заключение
В нашейдипломной работе хотелось бы еще раз подчеркнуть следующие факты: Проблемаразвития математических способностей школьников наиболее остро встает именно впериод начального обучения. Поэтому развитие математических способностейучащихся должно осуществляться не только в процессе школьного обучения, но ивне его.
Основнымсредством развития математических способностей школьников должна стать внекласснаяработа по математике, из многообразия форм которой каждый учитель сможетвыбрать те, что наиболее подходят для его класса.
Как показалпроводимый нами эксперимент, практикующие учителя в большинстве не проводятвнеклассную работу по математике со своими учениками, за исключением внесенияэлементов занимательности в сам урок. Будущие же учителя неплохо усвоили, чтоименно следует понимать под математическими способностями учеников, однако недо конца осознали необходимости проведения целенаправленной и систематическойвнеклассной работы. Ученики же начальных классов любят этот предмет,большинству он дается без особых затруднений.
Основнымирезультатами работы явились:
Теоретическии экспериментально обосновано значение внеклассной работы по математике дляразвития математических способностей школьников.
Разработаныобщие и частные положения, определяющие построение некоторых форм внекласснойработы по математике в начальной школе.
Разработанкомплекс учебно-методических материалов для проведения различных формвнеклассной работы по математике с целью развития математических способностейучащихся.
Материалработы может быть полезен студентам педагогических факультетов, учителямначальной школы и методистам-предметникам.

Приложение
Примерноепланирование внеклассных занятий по математике
Занятие 1.
Игра«Внимание»
Игра «Робот»
Как людинаучились считать (учитель)
Живой абак
Как людинаучились записывать числа (учитель)
Знакомство смагическим квадратом (дети)
Сценка отреугольнике и квадрате (дети)
Занятие 2.
3. Как икогда появились арифметические действия (учитель)
Математическаяэстафета
Из историинуля (дети)
Сочинениеконца математической сказки о нуле
Сочинениесобственной математической сказки (дома)
Занятие 3.
3.Математический брейн-ринг
Занятие 4.
Системысчисления (учитель)
Запись чиселв двоичной системе счисления
Знакомство станграмом (дети)
Соревнованиепар «Кто быстрее составит фигуру»
Занятие 5.
3. Что такоеотрицательные числа (учитель)
4. Решениелогических задач
5. Работа вмикрогруппах «Придумай задачу»
6.Математические фокусы
Занятие 6.
3.Математическое многоборье
Занятие 7.
3. Каквозникла геометрия (учитель)
4. Рисунки изгеометрических фигур
5.Соревнование «Лучший геометр»
Занятие 8.
3. Числовыесуеверия (учитель+дети)
4. Решениезанимательных задач сказочного характера
5.Математические фокусы
Занятие 9.
3. Знакомствос ребусами (дети)
4. Игроваяработа в парах
5. Итогиработы кружка
Занятие 10.
Математическийчай