Решение нелинейных уравнений методом простых итераций скачать бесплатно на Диплом IQ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Реферат на тему: «Решение нелинейных уравнений

методом простых итераций»

Выполнил:. Бубеев Б.М.

Проверил: Ширапов Д.Ш.
Улан-Удэ

2011 г.

Введение

Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса — алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

точные методы;

итерационные методы.

Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности.

Пусть дано уравнение

(1)

где:

Функцияf(x) непрерывна на отрезке [a, b] вместе со своими производными 1-го и 2-го порядка.

Значения f(x) на концах отрезка имеют разные знаки (f(a)  f(b) .

Первая и вторая производные f’ (x) и f” (x) сохраняют определенный знак на всем отрезке.

Условия 1) и 2) гарантируют, что на интервале [a, b] находится хотя бы один корень, а из 3) следует, что f(x) на данном интервале монотонна и поэтому корень будет единственным.

Решить уравнение (1) итерационным методом значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней с нужной точностью.

Всякое значение />, обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. такое, что:

называется корнем уравнения (1) или нулем функции f(x).

Задача нахождения корня уравнения f(x) = 0 итерационным методом состоит из двух этапов:

отделение корней — отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;

уточнение приближенных корней — доведение их до заданной степени точности.

Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f(x) в граничных x =a и x =b точках области ее существования.

Пример 1. Отделить корни уравнения:

f(x)x3— 6х + 2= 0.

(2)

Составим приблизительную схему:

-

-3

-1

+

f(x)

–

Следовательно, уравнение (2) имеет три действительных корня, лежащих в интервалах [-3, -1], [0, 1] и [1, 3].

Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть также известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, или могут быть найдены графическим способом.

В инженерной практике распространен графический способ определения приближенных корней.

Принимая во внимание, что действительные корни уравнения (1) — это точки пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f(x) и отметить точки пересечения f(x)с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение (1) равносильным ему уравнением:

/>,

(3)

где функцииf1(x) и f2(x) — более простые, чем функцияf(x). Тогда, построив графики функций у =f1(x) и у = f2(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.

Рисунок 2.

Пример 2. Графически отделить корни уравнения (Рисунок 2):

x lgx = 1.

(4)

Уравнение (4) удобно переписать в виде равенства:

lgx=/>.

Отсюда ясно, что корни уравнения (4) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lgx и гиперболы y = />. Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень />уравнения (4) или определим его содержащий отрезок [2, 3].

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х0. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х1, х2, …, хn. Если эти значения с увеличением числа итераций n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится.

Метод простой итерации

Для использования метода итерации исходное нелинейное уравнение f(х) = 0 заменяется равносильным уравнением

x = (x).

(8)

Пусть известно начальное приближение корня х = х0. Подставляя это значение в правую часть уравнения (8), получим новое приближение:

х1 = (х0).

Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в (8), получаем последовательность значений:

(9)

Геометрически метод итерации может быть пояснен следующим образом. Построим на плоскости хОу графики функций у = х и у =

(х). Каждый действительный корень />уравнения (8) является абсциссой точки пересечения М кривойу =

(х) с прямой у = х (Рисунок 6, а).

Рисунок 6.

Отправляясь от некоторой точки А0[x0,

(x0)], строим ломаную А0В1А1В2А2… (“лестница”), звенья которой попеременно параллельны оси Ох и оси Оу, вершины А0, А1, А2, …лежат на кривойу=

(х), а вершины В1, В2, В3, …, — на прямой у = х. Общие абсциссы точек А1 и В1, А2 и В2, …, очевидно, представляют собой соответственно последовательные приближения х1, х2, … корня />.

Возможен также другой вид ломанойА0В1А1В2А2 … — “спираль” (Рисунок 6, б). Решение в виде “лестницы” получается, если производная ’ (х) положительна, а решение в виде “спирали”, если ’ (х) отрицательна.

На Рисунке 6, а, б кривая у =  (х) в окрестности корня /> — пологая, то есть />>1, то процесс итерации может быть расходящимся (Рисунок 7).

Рисунок 7.

Поэтому для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса.

Теорема: Пусть функция  (х) определена и дифференцируема на отрезке [a, b], причем все ее значения  (х) />[a,b].

Тогда, если существует правильная дробь q такая, что

/>/>q
при a x b, то: 1)процесс итерации

сходится независимо от начального значения х0 [a,b];

2) предельное значение />является единственным корнем уравнения х =

(х) на отрезке [a, b].

Пример 5. Уравнение

f(x) x3 — x — 1 = 0

(10)

имеет корень />[1, 2], так как f(1) = — 1 f(2) = 5 > 0.

Уравнение (10) можно записать в виде

х = х3 — 1.

(11)

Здесь

 (х) = х3 — 1 и ’ (х) = 3х2;

поэтому

’ (х) />3 при 1 />х />2

и, следовательно, условия сходимости процесса итерации не выполнены.

Если записать уравнение (10) в виде

(12)

то будем иметь:

/>.

Отсюда />при 1 />х />2 и значит, процесс итерации для уравнения (12) быстро сойдется.

Найдем корень  уравнения (10) с точностью до 10-2. Вычисляем последовательные приближения хnс одним запасным знаком по формуле

Найденные значения помещены в Таблицу 1:

Таблица 1

Значения последовательных приближений xi.

1,260

1,312

1,322

1,3243

С точностью до 10-2 можно положить  = 1,324.

Похожие работы