Решетчатые фильтры для стационарных случайных процессов
1. Достоинства решетчатыхфильтров
Построение АР модели или синтез АР фильтра требуют вычисления коэффициентовАР. Для этого необходимо обращать корреляционную матрицу, а эта операция, какправило, сопряжена с большим объемом вычислений.
Поиски эффективных алгоритмов вычисления коэффициентов АР привелик синтезу решетчатых структур. Решетчатые структуры могут быть реализованы ввиде решетчатых фильтров (РФ). Параметрами РФ являются коэффициенты отражения ичисло звеньев фильтра. Коэффициенты отражения однозначно связаны нелинейнымисоотношениями с параметрами АР и определяются, в конечном счете, корреляционнойфункцией случайного процесса. Число звеньев РФ равно порядку АР модели. РФ,также как и АР фильтры, являются фильтрами предсказания, минимизирующимидисперсию ошибки предсказания.
Несмотря на то, что АР фильтры и РФ математически эквивалентны, междуними существует ряд различий, существенных с практической точки зрения. Прицифровой реализации фильтров особое значение играет шум округления. Егопоявление связано с тем, что значения величин приходится представлять конечнымчислом разрядов. Как показывает опыт, в этом отношении РФ более эффективны.Объясняется это тем, что ошибки округления (i-1) – го звена в РФ частичнокомпенсируются в i-м звене РФ, чего нет в АР фильтрах.
Другим существенным свойством цифровых фильтров является ихчувствительность к квантованной форме представления параметров фильтра.Поэтому, естественно, возникает вопрос: насколько сильно зависят характеристикифильтра от отклонения величин параметров? Доказано, что РФ менее чувствительнык погрешностям квантования параметров по сравнению с фильтрами прямой реализации.
При синтезе РФ, состоящего из p звеньев, используются те же коэффициентыотражения, что и у (p-1) – звенного фильтра. В АР фильтре при увеличениичисла звеньев фильтра приходится заново пересчитывать все коэффициенты АРфильтра. Следовательно, использование РФ для обработки случайных сигналов имеетряд преимуществ, по сравнению с АР фильтрами.
2. Синтез решетчатого фильтра
Несмотря на близость РФ и АР фильтров, использование РФ требует введенияновых понятий и соотношений, на основе которых выводится структура РФ. Преждевсего, необходимо остановиться на выводе рекуррентных соотношений, которыеносят название алгоритма Левинсона-Дарбина. Алгоритм позволяет вычислять дляр-го порядка коэффициенты АР и отражения РФ по найденным коэффициентам АРмодели сигнала 1…р порядков.
По аналогии с фильтром прямого предсказания для сигнала,описываемого моделью АР р-го порядка, можно ввести фильтр обратногопредсказания, описываемый выражением
/>, (1)
где/> – коэффициентыфильтра обратного предсказания, состоящего из р звеньев, /> – ошибка обратногопредсказания на выходе р-го звена фильтра. Уравнение описывает регрессиюзначения случайного процесса /> напоследующие />.
Значения коэффициентов фильтра обратного предсказания находятся спомощью системы уравнений, аналогичной системе уравнений Юла-Уокера можнопредставить обобщенные уравнения Юла-Уокера в матричном виде
/>, (2)
где />-квадрат СКО,равный дисперсии ошибки прямого предсказания, Rp – корреляционная матрица (p+1) – го порядка
/>. (3)
Чтобы не выходить за рамки общепринятых в теории решетчатыхфильтров обозначений, в дальнейшем изложении будет использоваться замена />и />.
Умножив левую и правую части уравнения на/>, />и усреднив, легко получитьуравнение Юла-Уокера для фильтра обратного предсказания, аналогичное (3)
/>, (4)
где/> – дисперсияошибки обратного предсказания на выходе p-го звена фильтра обратного предсказания.Объединив матричные уравнения (2) и (4) можно записать общее уравнение
/>. (5)
Очевидно, что для (р+1) – звенного фильтра должно так жевыполняться соотношение типа
/>. (6)
От матричного уравнения (5) можно перейти к матричному уравнению(6) лишь в том случае, если коэффициенты фильтров прямого и обратногопредсказания p-го порядка связаны с коэффициентами фильтра (p+1) – го порядкаследующим образом
/>, (7)
где/> — некоторые, такназываемые, коэффициенты отражения. Умножив справа левую и правую частиматричного уравнения (7), на корреляционную матрицу /> можнопоказать, что коэффициенты отражения удовлетворяют соотношениям
/>, (8а)
/>. (8б)
Величины, входящие в соотношения (8а) и (8б), описываемые выражениями
/>, (9а)
/>, (9б)
как будет показано ниже, интерпретируются как взаимная корреляция ошибокпрямого и обратного предсказания при единичной задержке. Для скалярного случаясправедливы равенства
/>. (10)
Используя соотношения (8а), (8б) и учитывая (7), алгоритмЛевинсона-Дарбина, позволяющий вычислять коэффициенты АР по коэффициентамотражения, можно представить в виде
/> (11)
/>, (12)
/>, (13)
с инициацией
/>, />.(14)
Найденный алгоритм Левинсона-Дарбина позволяет получить структуруРФ. Формулы дают выражение
/>, (15)
которое с помощью (4) и учетом (15) для р-гозвена приводится к виду
/>. (16)
Аналогично можно найти выражение дляошибки обратного предсказания в р звене
/>. (17)
Полученные выражения (16) и (17) дают возможность представитьструктуру РФ в виде, изображенном на рисунке 1.
/>
Рисунок 1. Обеляющий РФ
При поступлении сигнала на вход фильтра на выходе каждого звенафильтра появятся ошибки предсказания вперед и назад. Как видно из рисунка 3 ошибкипредсказания вперед и назад связаны друг с другом соотношениями (14) и (15).
Можно показать, используя соотношение (17), что решение задачи минимизациидисперсии ошибки предсказания />относительнокоэффициента отражения Кpдает следующее выражение длякоэффициента отражения
/>. (18)
К этому же соотношению можно придти путем несложных преобразованийвыражений (14) и (15). Таким образом, РФ, коэффициенты отражения которого определяютсяалгоритмом Левинсона-Дарбина, минимизирует дисперсию ошибки предсказания. Выражение(18) дает удобную оценку коэффициентов отражения РФ, позволяющее обновлять ихпри адаптации фильтра.
Из рисунка 1 видно, что текущий отсчет случайного процесса можнопредставить в виде
/>, />, (19)
т.е. взвешенным суммированием ошибок обратного предсказания впредшествующий момент времени с коэффициентами веса, равными коэффициентамотражения. Случайная величина хt,представленная в виде (19), полностью определяется коэффициентами веса, ролькоторых играют коэффициенты отражения. Таким образом, коэффициенты отраженияполностью характеризуют случайный процесс в рамках модели АР. Это свойствокоэффициентов отражения РФ позволяет использовать их в качестве информативногопризнака при распознавании и спектральном оценивании.
3. Генерация случайных процессов на основефильтра с решетчатой структурой
Неадаптивные РФ используются для обработки стационарныхкоррелированных процессов. Примерами задач, решаемых с помощью таких фильтров,может служить применение РФ для подавления или обеления стационарныхкоррелированных помех, измерение некоторых параметров сигнала, кодировании идекодирования, генерации случайных процессов, синтеза речи, созданияэффективных вычислительных алгоритмов и т.д.
Эффективность обработки сигналов РФ определяется точностью АРмоделирования этих сигналов, точностью используемых оценок параметров фильтра исигнала, скоростью и объемом необходимых вычислений. Наиболее простым способомпроверки соответствия параметров РФ характеристикам обрабатываемых сигналовможет служить мера близости сигнала на выходе РФ к белому шуму, а также постепени подавления входного сигнала. Это следует из принципа построения РФ поминимуму дисперсии ошибки предсказания.
В стандарте GSM осуществляется адаптивная блочная обработка речи на основефильтров предсказания с решетчатой структурой. Блочная адаптивная обработкапроцессов отличается от пошаговой тем, что параметры фильтра пересчитываются нес получением каждого нового отсчета сигнала, а по последовательным блокамотсчетов сигнала. Параметры речи, а также процесс на выходе адаптивного РФ,сформированные кодером на передающем сотовом телефоне, покадрово передаютсячерез базовую станцию на приемник сотового телефона корреспондента. Декодерсотового телефона по принятым данным восстанавливает речевой сигнал. Длягенерации речи применяется формирователь на базе РФ с обратной связью.Структура такого генератора приведена на рис. 2.
РФ с прямым прохождением сигнала и РФ собратной связью, имеющие одинаковые коэффициенты отражения, выполняют инверсныеоперации над входным сигналом. Если на вход РФ с прямым прохождением сигналаподается коррелированный случайный процесс, т.е. />,то на выходе получается ошибка предсказания типа белого шума />. В случае же когда на входРФ с обратной связью подается случайный процесс типа белого шума, т.е. />, то на выходе формируетсякоррелированный случайный процесс, т.е. />.
Работа генератора с кратковременнымпредсказанием на РФ описывается системой двух уравнений
/>, (20а)
/>, (20б)
где /> – коэффициенты отраженияРФ, /> – число звеньев РФ, /> и /> – ошибки прямого иобратного предсказания в />-м звенеРФ в момент времени />.
Применение для кодирования речикоэффициентов отражения РФ, которые являются также коэффициентами частичнойкорреляции случайного процесса, являются более предпочтительными, по сравнениюс коэффициентами АР по следующим причинам:
– гарантируетсястабильность работы генератора на РФ, т. к. согласно />, а это являетсянеобходимым условием, чтобы передаточная функция была минимально фазовойфункцией и ее полюсы находились внутри единичного круга на комплекснойплоскости;
– коэффициенты /> нечувствительны к ошибкамквантования;
– при переходе от />-звенного к />-звенному фильтру, значения/> не пересчитываются, в товремя как коэффициенты АР нужно пересчитывать заново;
– коэффициенты отраженияанализирующего и синтезирующего фильтров совпадают, что, впрочем, характерно идля коэффициентов АР.
/>
Рисунок 2. Генератор коррелированногослучайногопроцесса на решетчатом фильтре с обратной связью
В стандарте GSM в качестве порождающего процесса />,который подается на вход синтезатора речи, используют ошибки предсказанияанализирующего РФ, пропущенные через НЧ фильтр, с частотой среза 3–4 кГц. Хотятакой способ возбуждения требует существенного увеличения скорости передачи до9,4 кбит/с, качество восстановленного в декодере сигнала речи, соответствуеткачеству передаваемой речи в цифровых каналах связи ISDN, и превосходит качество речи в аналоговых радиотелефонныхсистемах.
Высокое качество передачи речи в стандартеGSM достигается не только учетом корреляциимежду соседними отсчетами дискретизированного речевого сигнала, но и учетомтонкой структуры речевого сигнала – корреляции между отсчетами в соседнихпериодах основного тона. С этой целью используются предикторы с кратковременными долговременным предсказанием соответственно. Синтезатор речи скратковременным предсказанием описывается системой уравнений (45а, б) и показанна рис. 2.
Выражение для долговременного предсказанияв стандарте GSM определяется следующим образом
/>, (21)
где /> –число отсчетов в периоде основного тона.
Тогда передаточная функция анализирующегофильтра может быть представлена в виде
/>. (22)
Передаточная функция синтезирующегофильтра описывается выражением
/>. (23)
Систему уравнений, описывающуюсинтезирующий РФ с долговременным предсказанием можно получить из (20а, б)
/>, (24)
/>. (25)