Лабораторна робота № 1
Тема. Застосування електронних таблиць EXCEL та пакетівприкладних програм для розв’язування економетричних задач
Мета роботи:ознайомитися з порядком застосування електоронних таблиць та пакетів прикладнихпрограм у сатистичних та економетричних розрахунках.
Завдання
1. Ознайомитисяз прийомами використання електронних таблиць EXCEL для економетричнихрозрахунків.
2. Ознайомитисяз функціональними можливостями професійних пакетів прикладних програмстатистичної обробки даних STATGRAFICS, SPSS.
Хід роботи
1. 1) Дляознайомлення з можливостями застосування електронних таблиць в економетричнихрозрахунках скласти в оболонці EXCEL розрахункову табл. 1.1. Занести вихіднідані – ряди даних для змінних X, Y. Розрахувати значення граф 4 – 7, а такожзначення параметрів A, B за формулами:
/>,/>
/>/>.
Таблиця 1.1
Макет розрахункової таблиці длявиконання завдання 1№ спотереження
/>
/>
/>
/>
/>
/> 1 2 … n Сума Середнє значення
Для розрахунківвикористати функції СУММ, СРЗНАЧ, СТЕПЕНЬ, КОРЕНЬ, СУММПРОИЗВ, ЧСТРОК.
2) Ознайомитися зможливостями EXCEL при виконанні операцій з матрицями. Використовуючи функціїТРАНСП, МУМНОЖ, МОБОР, виконати дії з матрицями (завдання 1.2).
Вихідні дані длярозрахунків:
матриця D = (12 х 4)
y – векторрозмірністю (12 х 1)
Для виконаннязавдання необхідно згадати елементи матричного обчислювання.
Елементи лінійної алгебри
1. Матриці
При розв’язуванніекономічних задач використовуються таблиці значень, системи регресій, якізручно записувати з використанням матричних позначень.
Основнівизначення
Матриці – це прямокутні таблиці елементів,розташованих по рядках та стовпцях:
/>/>.
Матриця />називається прямокутною матрицею порядку m на n або (m x n) (m – число рядків, n –число стовпців).
Елемент, якийзнаходиться в i-му рядку та в j-му стовпці, позначається через /> (перший індекс – номер рядка, другий –стовпця).
Матриця, в якійчисло рядків дорівнює числу стовпців, називається квадратною. Порядок квадратної матриці визначається одним числом – кількістюрядків (стовпців).
Матриця, якаскладається з одного рядка елементів, називається вектором-рядком.
/>
Матриця, якаскладається з одного стовпця елементів, називається вектором-стовпцем.
/>/>
Квадратна матрицяназивається діагональною, якщо елементи, які не належатьголовній діагоналі, дорівнюють нулю.
Діагональна матриця,в якої кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною і позначається буквою />.
Одинична матриця маєвигляд:
/>/>.
Матриця, в якої всіелементи дорівнюють нулю, називається нульовою.
Квадратна матриця /> порядку n називається симетричною, якщо виконується умова /> для всіх елементів цієї матриці.
Рівність двох матриць. Матриця /> дорівнює матриці />, якщо вони однакових розмірів,наприклад (m x n), і мають однакові відповідні елементи:
/>/>.
2. Дії над матрицями
Додавання матриць
Додавання матрицьвводиться тільки для матриць одного порядку. Сумою двох матриць /> і />порядку (m x n) називається матриця />, яка має такий самий порядок (m x n),причому кожен елемент матриці /> дорівнює сумі відповіднихелементів матриць /> і />:
/>.
Множення числа наматрицю
Добутком числа /> на матрицю /> порядку (m x n) називається матриця /> порядку (m x n), кожний елемент якоїдорівнює добутку числа /> на відповідний елемент матриці />:
/>/>.
Для додавання імноження матриць на число справедливі такі операції:
/>а) />
— комутативний закондодавання матриць;
/>б) />
/> – асоціативний закондодавання матриць;
в) />
/> – асоціативний законмноження чисел на матрицю;
г) />
/> – дистрибутивний законмноження числа на суму матриць;
ґ) />
— дистрибутивнийзакон множення суми чисел на матрицю.
Добуток матриць
Добуток двох матрицьвводиться лише для узгоджених матриць. Дві матриці /> і /> називаються узгодженими, якщо кількість стовпців першої матриці /> дорівнює кількості рядків другої матриці/>.
Якщо матриці /> порядку (m x n) і /> порядку (n x p) узгоджені, то добутком цих матриць називається матриця /> порядку (m x p), для якої елемент />дорівнює добутку кожного елемента і-горядка матриці /> на j-й стовпець матриці />.
/>Взагалі операція множенняматриць не комутативна:
/>.
Квадратну матрицюможна помножити саму на себе, тобто піднести до квадрата.
Для дій надматрицями справедливі такі властивості:
/>а) />
/> – асоціативний законмноження матриць;
б) />/>
/> – дистрибутивний законмноження матриці на суму матриць;
в) />
— комутативний законмноження квадратної матриці /> на одиничну матрицю /> такого ж порядку.
Транспонуванняматриць
Матриця />’ називається транспонованою відносно матриці />, якщо кожен стовпець матриці />’ є відповідним рядком матриці />, тобто перший стовпець матриці />’є першим рядком матриці />, відповідно другий стовпець матриці />’ є другим рядком матриці /> і т.д.
Для елементівтранспонованих матриць виконується умова
/>/>.
Якщо квадратнаматриця /> симетрична, то виконується умова />.
Властивостітранспонованих матриць:
1. />
2. />/>
3. />
4. />
Інвертуванняматриць
Розглянемоневироджену матрицю n-го порядку:
/>/>.
Квадратна матриця /> називається невиродженою, якщо їївизначник не дорівнює нулю, тобто />, і виродженою, якщо їївизначник дорівнює нулю, тобто />.
Квадратна матриця /> називається оберненою до квадратноїматриці /> того ж порядку, якщо їх добутокдорівнює одиничній матриці:
Визначення рангуматриці
Якщо у будь-якійматриці виділити r довільних столбців та r довільних рядків, то з елементівматриці, які містяться на перетині цих рядків і стовпців, можна скластивизначник r-го порядку. Його називають мінором r-го порядку.
Рангом матриці називають число, яке дорівнюєнайвищому порядку її мінора, відмінного від нуля (rang [A]).
Диференціальнеобчислювання в матричній формі
Розглянемо деяківипадкидиференціального обчислювання в матричній формі, які використовуються веконометриці.
1.Похідна відскалярного добутку векторів (/>) по одному з них дорівнюєдругому:
/>/>.
2.Розглянемо добуток/>, де А – квадратна симетрична матрицяпорядку n, x – вектор розмірністю n.
/>/>
/>або
/>.
/>./>
3. Другачастинна похідна по вектору х :
/>/>.
2. Для побудовита аналізу економетричних моделей, а також для прогнозування економічнихпроцесів застосовується ряд професійних пакетів прикладних програм. Такими єпакет STATGRAFICS, SPSS. В рамках лабораторної роботи необхідно поверхньоознайомитися з призначенням цих пакетів, їх функціональними можливостями таособливостями, а також послідовністю операцій, які виконуються з їхзастосуванням.Завданнядля самостійної роботи студентівЗавдання1.1Згадати правила виконання операцій з матрицями (додавання,множення, транспонування, інвертування, диференціювання).Завдання1.2
Виконати дії надматрицями:
/>,
/>,
/>,
/>,
/> (E – одинична матриця).
Вихідні дані длярозрахунків:
/>, abc – три останні цифри шифрустудента,
/>.
Лабораторна робота № 2
Тема.Парна лінійна регресія
Метароботи: навчитися будувати парну лінійну регресійну модель економічнихпроцесів.Завдання
1. Наоснові спостережених даних показника Y і фактора X знайти оцінки:
1) коефіцієнтів кореляції і детермінації;
2) параметрів лінії регресії />.
2.Побудувати ANOVA-таблицю для парної регресії.
3.Використовуючи критерій Фішера, з надійністю P=0.95 оцінити адекватністьприйнятої моделі статистичним даним.
4.Розрахувати інші показники якості моделі.
5.Використовуючи t-статистику, з надійністю Р=0.95 оцінити значущість коефіцієнтакореляції.
6.Використовуючи t-статитстику, з надійністю Р=0.95 оцінити значущість параметрівмоделі та визначити інтервали довіри для параметрів.
7.Якщо модель адекватна статистичним даним, то знайти:
1) з надійністю Р=0.95 надійні зони базисних даних;
2) точковий прогноз показника;
3) інтервальні прогнози показника та його математичного сподівання.
8. Наоснові одержаної економетричної моделі зробити висновки.Хідроботи
1. 1) Коєфіцієнт кореляції є мірою щільності зв’язку між змінними.
Коєфіцієнткореляції між двома рядами спостережуваних змінних X та Y розраховується заформулою:
/>/>
Коефіцієнтдетермінації дорівнює квадрату коефіцієнта кореляції.
3) Вводиться гіпотеза, що між фактором Х та показником Y існуєлінійна стохастична залежність
/>.
Оцінкипараметрів />та/> парноїрегресіїобчислюються методом 1МНК за формулами:
/>/>,
(або
/>/>)
/>
/>,
де n– кількість спостережень.
Дляроботи використовується пакет EXCEL. Складається розрахункова таблиця замакетом (табл.2.1) і розраховуються оцінки параметрів:
Таблиця2.1Розрахунковатаблиця для оцінки параметрів парної лінійної моделі (за формулами (2.1),(2.3))
№ спостереження X
Y
XY
X2
1
2
3
4
5 1 2 … n Сума x х
Середнє значення х х
Прогнозне значення
Результатрозрахунків – вектор параметрів />.
2.Для проведення дисперсійного аналізу складається ANOVA-таблиця (табл. 2.2):Таблиця2.2
ANOVA-таблиця Джерело варіації Кількість ступенів вільності Сума квадратів Середні квадрати Зумовлене регресією (модель) К-1
/>
/> Не пояснюване за допомогою регресії (помилка) n-K
/>
/> Загальне n-1
/> –
Уразі парної регресії К=2 – кількість оцінюваних параметрів.
Длярозрахунку ANOVA-таблиці розрахункова табл. 2.1 додається такими графами :
Продовження табл.2.1
№ спостереження
/>
(/>)2
/>
(/>)2
(/>)2
1
6
7
8
9
10 1 2 … n Сума
Середнє значення х Х х х
Прогнозне значення
3.Перевірка моделі на адекватність за допомогою критерія Фішера здійснюється за6-ти-кроковою схемою.
КРОК1. Формулюються нульова та альтернативна гіпотези:
/> — незалежназмінна Х не впливає на значення залежної Y.
/> – значення Хвпливає на значення Y.
КРОК2. Задається рівень значущості: />.
КРОК3. Обчислюється F-відношення:
/>/>.
КРОК4. Знаходиться критичне значення F-розподілу Фішера при заданому рівнізначущості та з (К-1), (n-K) ступенями вільності (функція FРАСПОБР в EXCEL) — />.
КРОК5. Порівнюється розрахункове та критичне значення функції F-розподілу.
КРОК6. Робиться висновок. Якщо />, тоді гіпотеза /> відхиляється, якщо />, то /> приймається.
4.Розраховуються інші показники адекватності моделі:
1) Середня помилка прогнозу ME:
/>/>;
2) Дисперсія помилок VAR:
/>/>
/>та стандартневідхилення:
/>;
3) Середній квадрат помилки MSE (з ANOVA-таблиці):
/>/>
/>або сумаквадратів помилок SSE:
/>.
4) Абсолютна середня процентна помилка MAPE:
/>/> (/>)
ЯкщоMAPE
10%
20%
MAPE>50%- незадовільна точність.
5) Середня процентна помилка MPE:
/>/>
(MPE
6) Середня абсолютна помилка MAE:
/>/>.
5.Оцінка значущості коефіцієнта кореляції здійснюється за допомогою t-теста (6кроків).
КРОК1. Формулюються нульова та альтернативна гіпотези:
/> – вгенеральній сукупності немає зв’язку між X та Y
/> – коефіцієнткореляції статистично значущий
КРОК2. Обирається рівень значущості: />.
КРОК3. Знаходиться розрахункове значення t-статистики:
/>/>,
де R– вибірковий коефіцієнт кореляції.
КРОК4. За таблицями t-розподілу Ст’юдента знаходиться критичне значення функціїрозподілу /> (функціяСТЬЮРАСПОБР в EXCEL).
КРОК5. Розрахункове значення t-статистики порівнюється з табличним. Знаходитьсякритична зона (рис. 2.1).
КРОК6. Якщо розрахункове значення t-статистики потрапляє в критичну зону, то /> відхиляється,у ішшому випадку — /> приймається./> />
Рис.2.1.Графічне зображення критичної зони для розрахункового значення t-статистики.
6.Етапи тестування за критерієм Ст’юдента на значимість параметрів моделі /> та />.
КРОК1. Формулюються нульова та альтернативна гіпотези:
/> — оцінкапараметру />угенеральній сукупності статистично не значимий,
/> – оцінкапараметру />статистичнозначимий
КРОК2. Обирається рівень значущості />.
КРОК3. Будується t-статистика для кожного параметру:
/>/>,
де /> — 1МНК оцінкадисперсії параметру />,
/>/>;
/>/>.
КРОК4. За таблицями t-розподілу Ст’юдента знаходиться критичне значення функціїрозподілу /> (функціяСТЬЮРАСПОБР в EXCEL).
КРОК5. Розрахункове значення t-статистики порівнюється з табличним. Знаходитьсякритична зона.
КРОК6. Якщо значення />не потрапляє в критичну зону, томожна стверджувати з ймовірністю 95%, що оцінка />є статистично незначимою –приймається гіпотеза />. Інакше – гіпотеза /> відхиляється.
Длятого, щоб визначити, як параметри /> та/>пов’язані з дійсними параметрами />та/>, будуютьсяшнтервали довіри для параметрів моделі за формулою:
/>/>.
7.Прогнозування за моделлю простої лінійної регресії.
Точковийпрогноз дає значення залежної змінної для відповідного значення />, виходячи з побудованоїмоделі:
/>/>.
Надійнізони для базисних даних та прогнозні інтервали знаходяться за формулами:
а)для окремоно значення y:
/>/>;
б)для математичного сподівання y:
/>/>.
Длярозрахунків доповнити розрахункову табл. 2.1 графами:Продовженнятабл.2.1
№ спостереження
/> (розрах. за (2.19))
/> (розрах.за (2.19))
1
11
12 1 2 … n Сума х х
Середнє значення х х
Прогнозне значення
8.Зробити висновки щодо:
1) економічної інтерпретації параметрів моделі;
2) інтерпретації коефіцієнта кореляції;
3) адекватності побудованої моделі;
4) прогнозу показника.
Оформитизвіт про виконання лабораторної роботи.
Завданнядля самостійної роботи студентівЗавдання2.1
Виконатизавдання лабораторної роботи № 2 на основі даних спостереження (табл 2.3):Таблиця2.3Вихіднідані для побудови простої лінійної регресійної моделі№ спостереження Незалежна змінна Х Залежна зміннаY 1 0,12 625 2 0,15 624 3 0,19 362 4 0,12 580 5 0,25 425 6 0,60 аbc Прогнозне значення 0.90
(abc– три останні цифри шифру студента)
Завдання1.2
Припустимо,що Ви збираєте дані про річний продаж фірмою продукції (y) і суми, яківитрачено на наукові дослідження (x). Ви маєте таку статистику:
cov(x,y)=300;
var(y)=125;
var(x)=880.
Середнійрічний продаж (/>)=1200.
Середнясума витрат на наукові дослідження (/>)=895.
Підрахуйтекоефіцієнт кореляції між продажем і сумою, використаною на наукові дослідження.Визначте коефіцієнт детермінації. Знайдіть параметри регресії /> та />.
Завдання1.3
Проведенооцінку регресії та розраховані SSE та SSR:
SSE=53.27
SSR=202.91.
РозрахуйтеSST, R2, r.
Завдання1.4
Вивчаючизміну попиту на товар залежно від його ціни, отримано такі результати:
/>;
/>;
/>;
/>;
/>;
n=4.
Фірмавстановлює на товар ціну: 1,75 грн. Спрогнозуйте попит і побудуйте 95%-йінтервал довіри для математичного сподівання прогнозу.
Завдання1.5
Виоцінюєте таку регресію:
/>;
/>;
n=28;
/>.
Перевіртезначимість нахилу при 95%-ному рівні довіри.
Побудуйте90%-ний інтервал довіри для нахилу.
Завдання1.6
Наяку додаткову оплату може очікувати особа, яка навчалась додатково 1 рік, якщоспіввідношення між заробітною платою (в грн.) – y і освітою (в роках) – x маєвигляд:
/>.
Завдання1.7
Припустимо,що Ви підрахували кореляцію між двома випадковими змінними, яка дорівнює 0.62.Якщо для оцінки коефіцієнта кореляції було використано 25 спостережень,використайте 5%-ний рівень значимочті, щоб перевірити значимість коефіцієнтакореляції.
Завдання1.8
Припустимо, щоВи оцінюєте залежність доходу відповідно до кількості років навчання,використовуючи 30 спостережень. Середньоквадратичні відхилення параметрівподано в дужках.
/>
(4,8)(127)
а)перевірте значимість нахилу при 5%-ному рівні значимості;
б)побудуйте 95%-ний інтервал довіри для нахилу.
Завдання1.9
Припустимо,що в регресії із завдання 1.8 SSE=75, SSR=81. Використайте F-тест для перевіркиадекватності регресії.
Лабораторна робота № 3
Тема.Парна нелінійна регресія
Метароботи: навчитися будувати парну нелінійну регресійну модель економічнихпроцесів.Завдання
1. Виконати завдання для самостійної роботи 3.1.
2. На основі статистичних даних показника Y і фактора X (вихідні даніз л.р.№1) знайти оцінки параметрів лінії регресії, якщо припустити, щостохастична залежність між фактором X і показникомY має визляд однієї звищерозраховуваних функцій (завдання 1)
3. Використовуючи критерій Фішера з надійністю P=0.95, оцінитиадекватність прийнятої моделі статистичним даним.
4. Побудувати ANOVA-таблицю для нелінійної моделі.
5. Якщо з заданою надійністю прийнята модель адекватнаексперементальним даним, то знайти:
а) знадійністю Р=0.95 довірчу зону базисних даних;
б)точкову оцінку прогнозу;
в) знадійністю Р=0.95 інтервальну оцінку прогнозу
6. Зробити висновки щодо ступеню апроксимації вихідних даних лініямипростої лінійної та нелінійної регресії.
7. Побудувати графіки:
а)фактичних даних;
б)лінії прямої регресії та її довірчу зону (л.р.№2);
в)нелінійної функції та її довірчу зону.Хідроботи
1. Зведення кривих зростання до лінійної функції дає змогу оцінитипараметри методом 1МНК та використовувати подальший аналіз моделі.
Приклад3.1
Зведеннянелінійної парної регресії />до лінійної виконується заміною />, />. У результатімаємо лінійну регресію: />.
2. Вводиться гіпотеза, що між фактором X та показником Y (вихідніряди даних беруться з л.р.№1) існує нелінійна залежність (завдання 3.1, завибором). Заміною приводиться нелінійна парна регресія до парної лінійноївигляду:
/>.
Параметриоцінюються за формулами, аналогічними (2.1) – (2.3) із застосуванням пакетуEXCEL.
3. Перевірка моделі на адекватність за критерієм Фішера проводитьсяза 6-ти кроковою схемлю (п.3, л.р.№2).
4. Розраховується ANOVA-таблиця (табл.2.2).
5. За формулами (2.18) – (2.20) у разі адекватності моделірозраховуються з надійністю Р=0.95 довірчі зони базисних даних, точкова оцінкапрогнозу, з надійністю Р=0.95 інтервальна оцінка прогнозу індивідуальногозаначення показника Y та його математичного сподівання.
6. На основі результатів дисперсійного аналізу зробити висновки щодопорівняної якості двох побудованих моделей – парної лінійної та нелінійної(критерій – min SSE).
7. Проводиться графічний аналіз даних:
а)будується діаграма розсіювання (на координатну площину наносяться сточкиспостережуваних даних);
б)зображуються графіки оцінених лінійної та нелінійної функцій регресії та їхдовірчі зони
в)робляться висновки.Завданнядля самостійної роботи студентівЗавдання3.1
Шляхом необхіднихперетворень та заміни змінних звести наведені нелінійні функції до лінійноговигляду.
1) />;
2) />;
3) />;
4) />;
5) />;
6) />;
7) />;
/>;
8) />;
9) />;
10) />;
11) />;
12) />;
13) />;
14) />;
/>.
Завдання3.2
Чиможна параметри модифікованої експоненти розрахувати за методом найменшихквадратів? Поясніть відповідь.
Завдання3.3
Наведенітакі дані (табл.3.1):Таблиця 3.1. Вихіднідані для побудови моделі
/>
/>
86
3
79
7
76
12
69
17
65
25
ab
bc
(abc– три останні цифри шифру студента)
Побудуйтеза наведеними даними модель вигляду
/>,
оцініть їїпараметри.
Лабораторна робота № 4
Тема.Багатофакторна модель лінійної регресії
Мета роботи:навчитися моделювати економічні процеси за допомогою моделі багатофакторноїлінійної регресії, оцінювати якість моделі та застосовувати її для прогнозу таприйняття рішень.Завдання/> />
Підприємство має велику кількість філіалів, і керівництво цьогопідприємства хотіло б знати, як Y (річний товарообіг одного філіалу,млн.грош.од.) функціонально залежить від X2 – торговельної площі, тис. м2,та X3 – середньоденної інтенсивності потоку покупців, тис.чол/день. Конкретнонеобхідно визначити, яке значення має кожний коефіцієнт такого регресійногорівняння:
Длядванадцяти філіалів за певний рік маємо фіксовані значення показників Y, X2 таX3 (табл. 4.1).Таблиця4.1Просторовідані за філіалами підприємства
№ філіалу
Значення Y
Значення X2
Значення X3 1 2.93 0.31 10.24 2 5.27 0.98 7.51 3 6.85 1.21 10.81 4 7.01 1.29 9.89 5 7.02 1.12 13.72 6 8.35 1.49 13.92 7 4.33 0.78 8.54 8 5.77 0.94 12.36 9 7.68 1.29 12.27 10 3.16 0.48 11.01 11 1.52 0.24 8.25 12 3.15 0.55 9.31
1. Оцінити параметри моделі за методом 1МНК (у матричній формі).Інтерпретувати отримані оцінки.
2. Оцінити стандартизовані регресійні коефіцієнти(«бета-коефіцієнти»). Інтерпретувати оцінені стандартизованікоефіцієнти регресії.
3. Скласти до числового прикладу вектори />, />,/>, />, />/>
а такожматриці X та D.
4. Розрахувати значення величин />, />, />.
5. Оцінити еластичність товарообігу відносно торговельної площі тавідносно середньоденної частоти потоку покупців, обчисливши коефіцієнтиеластичності.
6. Перевірити значимість окремих коефіцієнтів регресії (провестиt-тестування), визначити їх інтервали довіри.
7. Розрахувати таінтерпретувати коефіцієнт детермінацї, частинний коефіцієнт детермінації тазкоректований коефіцієнт детермінації.
8. Перевіритимодель на адекватність за допомогою F-критерію Фішера.
9.Уразі адекватності моделі обчислити та інтерпретувати для регресії:
– точковий прогноз товарообігу t+1-го філіалу;
– 99%-ний прогнозний інтервал математичного сподівання товарообігуцього філіалу;
– /> />
99%-нийпрогнозний інтервал безпосередньо самого товарообігу yt+1 цьогофіліалу, якщо задані такі значення регресорів:
Хідроботи
1. Для знаходження вектора оцінок параметрів багатофакторної лінійноїмоделі застосовується метод 1МНК у матричній формі:
/>/>
Параметрилінійної регресії інтерпретуються так: зміна величини к-го регресора на одиницюсвого виміру за інших рівних умов призведе до зміни оціненої величини /> на числоодиниць свого виміру, яке дорівнює значенню />.
2. Стандартизовані коефіцієнти регресії обчислюються за формулою:
/>/>, (k=2,…,k), де
/>1МНК-оцінкарегресійного коефіцієнта />;
/> — емпіричнестандартне (середньоквадратичне) відхилення k-го регресора xk
/>/>
/> — емпіричнестандартне (середньоквадратичне) відхилення регресанда y.
/>/>
Емпіричнийстандартизований регресійний коефіцієнт /> вказує на те, який великий заінших рівних умов типовий ефект впливу k-го регресора у порівнянні з типовимефектом зміни регресанда.
3. Складаються такі вектори і матриці:
/> – векторспостережуваних значень показника Y;
/> – вектороцінених значень регресанда;
/> — вектордійсних, але невідомих параметрів регресії;
/> – вектор1МНК-оцінок параметрів моделі;
/> -1МНК-оцінка вектору помилок;
/> – матрицярегресорів;
/> – матрицяданих.
4. Розраховуються величини: /> — суму помилок регресії (маєдорівнювати 0), /> — суму квадратев помилок, /> — дисперсіюпомилок.
/>/>
5. Коефіцієнти еластичності розраховуються за формулою:
/>,
де /> – значеннярегресанда і к-го регресора, що визначають точку регресійної функції, для якоїобчислюється коефіцієнт еластичності. Можна використовувати /> та /> – середні значення.
6. t-тест для перевірки гіпотези про числові значення окремихкоефіцієнтів регресії проводиться за 6-тикроковою схемою (схема наведена ул.р.№ 2, п. 6).
Інтервалдовіри для регресійного коефіцієнта /> при рівні довіри (1-/>) є інтерваломз випадково залежними межами.
Довірчийінтервал для дійсного значення регрессійного коефіцієнта />:
/>/>
7. Коефіцієнт детермінації />дрівнює квадрату емпіричногомножинного коефіцієнта кореляції між двома рядами спостережень: емпіричнихзначень регресанда(/>) та його розрахунковим значенням(/>).
Триформули для розрахунку коефіцієнта детермінації:
1) />/>/>;
2) />;
3) />/>.
Регресійнерівняння оцінене тим краще, чим більше за інших рівних умов />.
Частиннийкоефіцієнт детермінації /> називається граничним вкладомk-го регресора в /> і показує, на яку величинузменшується коефіцієнт детермінації, якщо k-й регресор (і тільки він) будевиключений із групи K регресорів.
/>/>,
де /> – коефіцієнтдетермінації, одержаний при включенні усіх К регресорів;
/> – квадратобчисленого значення t-статистики для k-го регресійного коефіцієнта-
/>/>;
Т –довжина ряду спостережень;
К –кількість регресорів;
Т-К –кількість ступенів вільності.
Здвох варіантів регресійних рівнянь, які відрізняються на величинузкоректованого коефіцієнта детермінації, але мають однаково гарні інші критеріїякості, обирають варіант з більшим значенням зкоректованого коефіцієнтадетермінації.
Зкоректованийкоефіцієнт детермінації за Тейлом:
/>/>.
Зкоректованийкоефіцієнт детермінації за Амемієй:
/>/>.
8. F-тест може бути проведений за схемою, яка складається з 6-тикроків.
КРОК1. Формулюється пара гіпотез:
/>/>/> – жоден регресор не впливає нарегресанд
/> існує хоча бодин регресор, який впливає на регресанд: />.
КРОК2. Обирається рівень значимості.
КРОК3. Визначається табличне значення F-критерію (функція FРАСПОБР в EXCEL).
КРОК4. Числове значення F-статистики може бути розраховане за спрощеною формулою іззастосуванням коефіцієнта детермінації :
/>/>.
КРОК5. Порівнюється розрахована величина F з її табличним значенням та приймаєтьсярішення у відповідності з правилом застосування F-тесту:
/> відхиляється,якщо />.
КРОК6. Інтерпретуються результати тесту.
9. У разі адекватності моделі вона застосовується для прогнозуванняекономічного показника.
1) Точковий прогноз регресанда одержують, виходячи з оціненогорегресійного рівняння:
/>.
2) Прогнозні інтервали для математичного сподівання таіндивідуального значення регресанда визначається при рівні довіри (1-/>) таким чином:
/>/>,
де /> — оціненастандартна помилка прогнозу:
– помилка прогнозу при оцінці математичного сподівання регресанда
/>/>
(/>),
де />.
– помилка прогнозу при оцінці індивідуального значення регресанда
/>/>
Яквисновок наводиться геометрична інтерпретація прогнозних інтервалів. Обидвапрогнозних інтервали є найменшими при />.Завданнядля самостійної роботи студентівЗавдання4.1
Є такі дані (табл.4.2)
Таблиця 4.2
Вихідні дані для побудови класичноїрегресійної моделіВідстань від фінішу, Y Вага спортсмена, X2 Час, X3 925 210 4,8 850 185 4,7 1622 225 4,7 1121 215 4,6 658 180 4,9 Abс 212 4,6
(abc – три останніцифри шифру студента)
1. Оцініть параметрилінійної регресійної моделі />. Інтерпретуйте коефіцієнтирегресії.
2. Перевірте назначимість оцінені параметри з рівнем значимості 5% за t-тестом Ст’юдента.
3. Перевіртеадекватність моделі за F-тестом при 5%-ному рівні значимості.
4. У разіадекватності моделі зробіть 95%-ний прогноз індивідуального значення регресандата його математичного сподівання.
Завдання 4.2
Ви оцінюєте такумодель: />, що базується на 20 спостереженнях, іотримали
/>,
Підрахуйтекоефіцієнт детермінації />. Чи “добре” модель пояснює виявленузакономірність?
Завдання 4.3
Скільки ступеніввільності мають чисельник та знаменник F-статистики в регресії, що складаєтьсяз 50 спостережень та 5 незалежних змінних?
Лабораторна робота № 5. Тема. Виробничі функції
Метароботи: навчитися аналізувати виробничі процеси за допомогою виробничоїфункції.Завдання
Побудуйтевиробничу функцію Кобба-Дугласа, використовуючи дані про випуск продукції,витрати основних виробничих фондів, витрати праці за 10 років, наведені в табл.5.1. Розрахуйте характеристики:
– середню продуктивність ресурсів;
– граничну ефективність ресурсів;
– еластичність випуску за ресурсами;
– потребу в ресурсах;
– фондоозброєність праці;
– граничну норму заміщення витрат праці виробничими фондами;
– еластичність заміщення ресурсів.
Таблиця 5.1
Вихідні дані дляпобудови виробничої функції№ року Випуск продукції, грш.од. (Y) Витрати виробничих фондів, грош.од. (X1) Витрати праці, люд-год., (X2) 1 6.2 3.9 2.3 2 6.4 4.8 2.9 3 7.2 5.6 3.2 4 8.2 7.3 3.6 5 9.5 8.4 4.2 6 10.3 9.5 4.5 7 11.3 11.4 5.2 8 12.7 12.6 5.4 9 13.9 13.4 6 10 14.5 14.5 6.7
Хідроботи
1.Для розрахунку параметрів функції використовуємо рівняння:
/>.
Прологарифмуємовихідне рівняння:
/>.
Введемозаміну змінних:
/>,
/>,
/>,
/>.
Одержуємолінійну форму виробничої функції:
/>,
параметриякої оцінемо за методом 1МНК.
2.Розрахуємо основні характеристики цієї функції.
1. Середня продуктивність праці:
/>.
Іззростанням витрат праці (величины Х2) середня продуктивність праці знижується(показник степеню від’ємний). Це зумовлено тим, что кількість засобів працізалишається незмінною, і тому фондоозброєність праці спадає, а разом із нею іпродуктивність. Із збільшенням же основних фондів (величины Х1) середняпродуктивність праці зростає.
Середняфондовіддача:
/>
Іззбільшенням фондів середня фондовіддача спадає (при незмінних трудовыхресурсах), а зростання залученої до виробництва робочої сили (за фіксованоївеличини фондів) призводить до зростання фондовіддачі.
2. Гранична продуктивність праці:
/>.
Іззростанням витрат праці за незмінних фондів гранична продуктивність працізнижується. Із зменшенням обсягу фондів за незмінних трудових ресурсах (тобтопри збільшенні фондоозброєності праці), гранична продуктивність праці зростає.
Граничнафондовіддача:
/>.
Призбільшенні обсягу виробничих фондів за незмінних трудовых ресурсах граничнафондовіддача знижується. При збільшенні обсягу трудових ресурсів при незміннихфондах гранична фондовіддача зростає.
Еластичністьвипуску продукції за витратами праці:
/>
Такимчином, показник ступеню /> функції Кобба-Дугласа єкоефіцієнтом еластичності випуску продукції за витратами праці і показує, щопри збільшенні витрат праці на 1% и незмінних основних фондах випуск продукціїзростає на />%.
Еластичністьвипуску продукції за витратами засобів праці:
/>
Показникступеню /> функціїКобба-Дугласа є коефіцієнтом еластичності випуску продукції за витратамизасобів праці. Тобто, збільшення використованих у виробництві основних фондівна 1% сприяє (за інших рівних умов) зростанню випуску продукції на />%.
3. Потреба в ресурсах
Виробнича функціядозволяє розрахувати потребу в одному з виробничих факторів при заданому обсязівипуску та величині іншого фактора:
/>;
/>.
Фондоозброєністьпраці:
Виробничафункція дозволяє досліджувати питання співвідношення, взаємодії, заміщенняресурсів. На основі отриманих вище співвідношень визначається важливийекономічний показник – фондоозброєність праці:/>.
4. Гранична норма заміщення праці основними фондами дорівнює:
/>.
5. Еластичність заміщення ресурсів
ФункціяКобба-Дугласа має еластичність заміщення праці капіталом, яка дорівнює 1.Завданнядля самостійної роботи студентівЗавдання5.1
Побудуйтевиробничу функцію Кобба-Дугласа, використовуючи дані про випуск продукції,витрати основних виробничих фондів, витрати праці за 6 років, наведені в табл.5.2. Розрахуйте характеристики:
– середню продуктивність ресурсів;
– граничну ефективність ресурсів;
– еластичність випуску за ресурсами;
– потребу в ресурсах;
– фондоозброєність праці;
– граничну норму заміщення витрат праці виробничими фондами;
– еластичність заміщення ресурсів.
Таблиця 5.2
Вихідні дані дляпобудови виробничої функції№ року Випуск продукції, грш.од. (Y) Витрати виробничих фондів, грош.од. (X1) Витрати праці, люд-год., (X2) 1 6.2 3.9 2.3 2 6.4 4.8 2.9 3 7.2 5.6 3.2 4 8.2 7.3 3.6 5 9.5 8.4 4.2 6 ab b c
(abc– три останні цифри шифру студента).
Інтерпретуватиодержані результати та зробити економічні висновки.
Лабораторна робота № 6
Тема.Взаємозалежні економетричні моделі
Мета роботи:навчитися оцінювати параметри системи взаємозалежних рівнянь.Завдання
1. Наоснові статистичних даних за 10 періодів
ендогеннихвеличин:
Y1 –експорт,
Y2 –імпорт
іекзогенних величин:
Х1 –національний дохід;
Х2 –оборот зовнішньої торгівлі,
використовуючиметод 2МНК, оцінити параметри структурної системи регресій:
/>/>/>
/>
2. Для данихзначень екзогенних величин знайти точкові оцінки прогнозу ендогенних величин тазробити аналіз взаємного впливу величин.
Вихіднідані для розрахунків:Таблиця6.1Вихіднідані для оцінки параметрів структурної системи регресії
Період часу
Х1
Х2
Y1
Y2 1 606,2 371,0 70,2 50,3 2 617,1 396,8 74,6 55,7 3 623,0 400,8 81,4 59,9 4 626,9 411,3 87,9 64,9 5 635,5 432,7 92,5 70,0 6 636,4 442,9 99,6 45,2 7 644,5 444,8 106,5 80,7 8 647,2 472,4 112,2 85,8 9 654,2 478,9 116,5 89,9 10 659,4 491,0 121,3 95,8 Прогнозні заначення екзогенних величин
667,3
507,6 Хідроботи
1. Для вибору методуоцінки параметрів сумісної системи регресій перевіримо її ідентифікацію. Умоваідентифікації регресії має вигляд
/>/>,
де n– число ендогенних величин у системі регресій,
m –число екзогенних величин у системі регресій,
niі mi – відповідно число ендогенних і екзогенних величин в і-йрегресії. Для першої регресії ця умова запишеться так:
2+2 — (2+2)=0
Оскільки0
/>ПЕРШИЙ КРОК МНК.Будемо вважати, що визначник матриці /> не дорівнює нулю, тоді можнаперетворити структурну систему регресій у приведену :
/>,
або врозгорнутій формі:
/>/>
Оцінкипараметрів для прогнозної системи регресій (6.4) знаходимо за методом 1МНК заформулою в матричній формі:
/>/>.
ДРУГИЙКРОК МНК. Величини />, />, які знаходяться справа, вважаємопередвизначеними і, використовуючи МНК, знаходимо оцінки параметрів структурноїсистеми регресій за такою формою:
/>/>/>
/>
2.Для отримання точкової оцінки прогнозу використовується приведена (прогнозна)форма системи регресій (6.4).
Зробитивисновок щодо прогнозних значень ендогенних величин та взаємного впливуендогенних змінних (інтерпретувати коефіцієнти />).Завданнядля самостійної роботи студентівЗавдання6.1
На основістатистичних даних за 6 періодів, використовуючи метод 2МНК, оцінити параметриструктурної системи регресій:
/>/>
/>
Для даних значеньекзогенних величин знайти точкові оцінки прогнозу ендогенних величин та зробитианаліз взаємного впливу величин.
Література
1. Грубер Й. Эконометрия. Т.1. Введение в эконометрию. – К., 1996.
2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математическиеметоды в экономике. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 1997.
3. Лук’яненко І.Г., Краснікова Л.І. Економетрика: Підручник. – К.:Тов. “Знання”, 1998.
4. Лук’яненко І.Г., Краснікова Л.І. Економетрика: Практикум звикористанням комп’ютера. — К.: Тов. “Знання”, 1998.
5. Толбатов Ю.А. Економетрика: Підручник для студентівекон.спец.вищ.навч.закл. – К.: Четверта хвиля,1997.