КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 9
ВАРИАНТ 9.3.
Найти область сходимости указанных рядов
9.3.1.
а)
/>
По признаку Лейбница для знакопеременных рядов /> ряд сходится условно (соответствующий ряд Дирихле расходиться)
/>.
б)
/>
Отсюда следует, что при /> ряд сходится, т.е. при />. При /> ряд расходится.
Рассмотрим случай />
/>
Для данного ряда выполняется теорема Лейбница для знакопеременных рядов /> Ряд сходится условно, т.к. ряд />
При /> аналогично получим ряд />, ряд сходится условно.
Ответ: />
9.3.2.
а)
/>. По признаку Даламбера ряд сходится, если />.
/>
Ряд будет сходится при />
Первый случай /> или
/>
/>
В промежутке /> ряд сходится.
Второй случай
/>
В промежутке 1. Рассмотрим концы интервала.
При x=1 получим ряд />, т.е. ряд вида — -1+1-1+1-1+…
Данный ряд расходится, т.к. его сумма имеет два различных предела (колеблющийся ряд).
При /> получим ряд /> т.е. ряд вида 1+1+1+…; ряд расходится, т.к. />
/>
б)
/>
Ряд будет сходиться при />.
1)
/>
в интервале /> ряд сходится.
2)
/>
в интервале 3
Общий интервал сходимости –2
На концах интервала х=-2, имеем ряд:
/>
— расходящийся гармонический ряд.
/>
в п.9.3.1 б) показано, что ряд сходится условно.
Ответ: (-2,8]
9.3.3.
а)
/>
Ряд сходится при условии />
1) />
Решим неравенство:
/>
корней нет, следовательно: /> — всегда.
/>
/>
Ветви параболы направлены вверх, получаем два интервала: /> Здесь ряд сходится.
Исследуем концы интервалов:
1) />. Получаем ряд: />. Ряд расходится, т.к. все его члены не меньше расходящегося гармонического ряда />.
2)
/>
б)
/>.
Ряд сходится при />.
1) /> интервал сходимости />.
2) /> интервал сходимости />.
Исследуем границы интервала.
1)
/>
По теореме Лейбница ряд сходится, причем условно, т.к. ряд /> — расходится.
2) />.
Сравним с рядом /> по второму признаку сравнения
/>
расходится, то расходится и ряд />.
/>
3.9.4.
а)
/>
Ряд сходится при />
1) /> тогда
/>/>–PAGE_BREAK–
корней нет, />.
Решаем неравенство:
/>.
Решаем полученное неравенство:
/>
В промежутке (1,3) ряд сходится.
На концах интервала имеем:
1)
/>
Ряд расходится, т.к. />.
2)
/>
б)
/>
Ряд сходится при условии /> или
/>
Интервал сходимости />.
На концах интервала.
1)
/>
— ряд расходится, т.к. расходится ряд />.
2)
/>
Ряд, как предыдущий, но все члены отрицательны.
/>
9.3.5.
а)
/>
Ряд сходится при условии />.
1)
/>
2)
/>
Исследуем концы интервала:
1) />
/>
2)
/>
б)
/>
Ряд сходится при условии /> откуда />
/>
9.3.6.
а)
/>
Ряд сходится при
/>
/>
и корней нет, следовательно, имеет условие
/>
Интервал сходимости />.
Исследуем концы интервалов:
1)
/>
Ряд знакочередующийся, проверим условие Лейбница
/> — выполняется
/>
Ряд сходится при
/>
Получим такой же ряд.
/>
б) />
Проверяем признак Даламбера:
/>
Условие сходимости
/>
На концах интервала имеем:
1)
/>
Ряд знакочередующийся, признак Лейбница выполняется.
Ряд сходится условно при />.
Получим такой же ряд, но члены имеют обратные знаки.
/>.
9.3.7.
а)
/>
Проверяем концы интервалов
1)
/>
Признак Лейбница выполняется, ряд сходится.
При /> получится такой же ряд (т.к. x в четной степени).
/>
б)
/>
9.3.8.
а)
/>
Условие сходимости />.
Найдем дискриминант знаменателя: D=64-72
/>
Интервал сходимости />.
На концах интервала
/>
Получаем один и тот же ряд
/>.
Члены этого ряда не меньше членов ряда />, следовательно, ряд расходится.
/>
б)
/>
Условие сходимости
/>
На краях интервалов:
1) />. Получается ряд:
/>
Ряд знакочередующийся, по признаку Лейбница сходится.
2)
/>
9.3.9.
а)
/>
1. Если />, т.е. /> и необходимо решить неравенство: />. Получается интервал />.
2.
/>
Интервал с учетом />.
На концах интервала:
1)
/>
Ряд сходится. Аналогично при />.
/>.
б)
/>
Интервал сходимости определяется неравенством
/>
9.3.10.
а)
/>
Найдем дискриминант числителя
/>
б)
/>
1)
/>
2)
/>
1.
/>
2.
/>