№1
lim (∆x→0)∆f/∆x = f’(x)
∆f/∆x =f’(x)+α(∆x), где
lim (∆x→0)α(∆x)=0
∆f =f’(x)∙∆x+ α(∆x)∙∆x
Опред-е:диф-ом к ф-ии наз-ся вел-на пропорциональная приращ-юаргумента и отлич-ся от приращ-я ф-ии на вел-ну беск. малую по сравнению сприр-м аргумента.
df(x)=k∙∆x
∆f-df(x)=0(∆x)
∆f=df(x)+ 0(∆x)
Теорема:д/того, чтобы у ф-ии f(x) сущ-ал дифф-л, необх. и достаточно, чтобы ф-ия была диф-ма в эт.(∙), т.е. чтобы у нее сущ-ла производная в эт. (∙).
df(x)= f’(x) ∙∆x
y=x
dx=∆x
df(x)= f’(x)dx
№2
Св-ва диф-а:
1) dc=0
2) d(cf(x))=cdf(x)
3) d(ax+b)=ad(x), где aи b-пост. величины
4) d(u ± v)= du ± dv
5) d(uv)=udv+vdu
6) d(u/v)=( vdu-udv)/v2
7) df(u(x))=f’u(u)du
8) dφ(u)= φ’(u)du
№3
Будемпредполагать, что приращение независ. переменной произвольно и не зависит отконкрет. Знач-я арг. Х и одно и то же д/всех значений этого аргумента.
df(x)=f’(x)dx
d(df(x))=d2f(x)=d(f’(x)dx)=dx∙d(f’(x))=dxf”(x)dx=f”(x)∙dx2
d2f(x)/ dx2= f”(x)
dnf(x)=f(n)(x)dxn– диф. n-го порядка f(x)
f(x)=x
dx=∆x
dx2=0
dxn=0
Теорема:диф-ы высшего порядка д/независ. перемен. = 0.
№4
Опред-е: первообразной д/ф-ии f(x) наз-ся ф-ия F(x), такая, что F’(x)= f(x).
(F(x)+С)’= F’(x)+ С’= f(x)
Опред-е:совокупность всех первообразных д/ф-ии f(x) наз-сянеопред. ∫ от ф-ии f(x) и обознач.: ∫ f(x)dx= F(x)+С, где d-диф-л, f(x)-подинтегр. ф-ия, f(x)dx-подинтегр.выр-е.
Св-ва:
1) (∫f(x)dx)’=f(x)
2) d∫f(x)dx= f(x)dx(диф-л отнеопред. ∫=подинт. выр-ю)
3) ∫dφ(x)=φ(x)+C(∫ от диф-ла люб. ф-ии = этой ф-ии с точностьюдо пост. слагаемого)
4) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx
5) ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
№5
∫f(φ(x))φ’(x)dx= ∫f(φ(x))dφ(x) = ∫f(u)du
u= φ(x)
Пример:
∫dx/2x+3 =∫(dt/2)/t = 1/2∫dt/t = ½ ln|t|+C = ½ ln|2x+3|+C
2x+3=t
2dx=dt
dx=dt/2
№6
d(uv)=udv+vdu
∫d(uv)= ∫udv +∫vdu
uv = ∫udv + ∫vdu
∫udv= uv — ∫vdu
Пример:
∫xsinxdx =-xcosx+∫cosxdx = -xcosx+sinx+C
u=x
dv=sinxdx
du=dx
v=∫sinxdx=-cosx
№7
f(x) [a, b]
n– произв. Целое положит. Число
Выберем(∙)-и t0= a
{t0; t1; t2;… tn} = Tn–совокуп. точек – разбиение отрезка [a, b].
[ti; ti-1]
∆i= ti — ti-1– длина i-подотрезка
Ф-ия,опред-я на отрез. [a, b].
∆=max{∆1, ∆2, …∆n}
Выберемпроизв. внутр. (∙) ti-1≤ εi≤ ti
Σni=1f(εi)∆i= f(ε1)∆1+ f(ε2)∆2+…+ f(εn)∆n– это интегр-я сумма д/ф-ии f(t) соотв-й разбиению Тnи набору (∙)-ек ε1 и т.д. εn.
Σni=1f(εi)∆i= I(f(t), Тn, ε1…εn)
Опред-е:если сущ-т конеч. предел послед-ти интегр-х сумм приусл-ии, что ∆→0 и этот limнезависит от выбора разбиений Тnивыбора промеж. (∙)-ек ε1 и т.д. εn, то ф-ия f(t) наз-ся интегр-й на отрез. [a, b], а этот limназ-сяопред. ∫ от ф-ии f(t) по отрезку [a, b] и обознач-ся: a∫bf(t)dt= lim(∆→0)I(f(t), Тn, ε1…εn),где a– ниж. предел интегр-я, b– верх.предел интегр-я, f(t) – подинт. ф-ия, f(t)dt– подинт.выр-е.
№8
Д/Vф-ии f(t) a∫bf(t)dt=0
1) a∫bdt=b-a
2) a∫b cf(x)dx = ca∫bf(x)dx
3) Если ф-ии f(x) и g(x) интегрируемы наотрез. [a, b], то ф-ия f(x)+g(x) такжеинтегр-ма на отрез. [a, b]. a∫b [f(x)+g(x)]dx = a∫bf(x)dx + a∫b g(x)dx.
4) a∫bf(x)dx= -b∫af(x)dx– еслиизменить направ-е интегр-я, то измен-ся и знак.
5) Если ф-ия f(x) интегр-ма наотрез. [a, b] (a6) Если ф-ия f(x) интегр-ма наотрез. [a, b], а (∙)слежит внутри отрез. [a, b], то
a∫bf(x)dx=a∫с f(x)dx+ с∫bf(x)dx.
7) Если ф-ия f(x) непрерывна наотрез. [a, b], то онаинтегр-ма на этом отрезке.
8) Если ф-ия f(x) интегр-ма наотрез. [a, b] и ограниченана этом отрезке, то
m(b-a) ≤ a∫bf(x)dx ≤ M(b-a); a∫b mdx = ma∫bdx= m(b-a)
9) Если ф-ии f(x) и g(x) интегрируемына отрез. [a, b] и во всех (∙)-ах этого отрез. Вып-ся нер-во m(b-a) ≤ a∫bf(x)dx≤ M(b-a), то f(x) не превосходит g(x): f(x) ≤ g(x);
a∫bf(x)dx≤ a∫bg(x)dx.
10) Теорема осреднем: если ф-ия f(x) непрерыв. на отрез. [a, b], то сущ-т (∙)с, лежащая внутри этого отрезкаили на его границе, такая, что: a∫bf(x)dx= f(c)∙(b-a).
№9
Пустьф-ия f(x) определена иинтегр-ма на отрез. [a, b]. Если выбрать нек. произв-е числа a≤c
Ф(х)= с∫х f(t)dt.
Св-ва ф-ии Ф(х):
предположимf(x) непрерывна
х+∆х
Ф(х+∆х)– Ф(х) = с∫х+∆х f(t)dt — с∫хf(t)dt= х∫х+∆х f(t)dt= f(с)∙∆х,где (∙)с лежит внутри интерв. (х+∆х).
1)Если ∆х→0, ф-ия непрерыв., т.е. ограничена => опред. ∫тоже непрерыв.
2)lim(∆х→0) ∆Ф/∆х = f(x)
Т.е.введенная ф-ия Ф(х) – первообраз. д/ф-ии f(x).
№10
ПустьФ(х) – какая-то первообраз-я д/ф-ии f(x), тогда можно утверждать, что:
a∫х f(t)dt= F(x)+Cд/люб. х из интерв. [a, b], тогдаa∫a f(t)dt=0; F(a)+C=0; C=-F(a)
a∫b f(t)dt = F(b) – F(a) – формулаЛейбница-Ньютона.
№11
a∫b f(х)dх= α∫βf(φ(t)) φ’(t)dt
x= φ(t)
x=a => a=φ(t), t = φ-1(a) = α
x=b => b=φ(t), t = φ-1(b) = β
dx = φ’(t)dt
№12
Будемпредполагать, что ф-ии uи vинтегр-мы на отрез. [a, b] и диффер-мы на этом отрез.
d(uv) = udv+vdu; проинтегр-м по отрез. [a, b] это рав-во
a∫bd(uv) = a∫budv+ a∫bvdu
u(b)v(b) – u(a)v(a) = a∫budv+ a∫bvdu
a∫budv= u(b)v(b) – u(a)v(a) — a∫bvdu– правило интегр-я по частям в опред. ∫.
№13
2случая: 1) ф-ия неогранич. растет в (∙); 2) интегр-ие на беск. интервале.
1)Пусть ф-ия f(х) определена на интерв. (a, b), но limf(x) = ∞, тогда a∫bf(х)dх будет наз-ся несобств.интегралом.
Подним поним-ся lim(ε→0) a+ε∫bf(x)dx
a∫b f(x)dx =lim (ε→0) a+ε∫b f(x)dx.
Еслиэтот предел сущ-т и конечен, то данный ∫ наз-ся сход-ся.
2)Оба, или хотя бы 1 предел интегр. Неограничен.
a∫+∞ f(x)dx= lim(А→ +∞) a∫А f(x)dx
Еслиэтот предел сущ-т и конечен, то данный ∫ наз-ся сход-ся.
-∞∫bf(x)dx= lim(B→-∞) B∫bf(x)dx
-∞∫+∞f(x)dx= -∞∫0f(x)dx+ 0∫+∞f(x)dx– обобщение.
№14
Пустьф-ия f(x)>0 на отрез.[a, b]
Выберемнек. целое положит. число nи разобьемотрезок [a, b] на nодинак.подотрезков.
(b-a)/n = R
x0 = a; y0 =f(x0)
x1=a+h; y1=f(x1)
——–; ———
xi=a+ih
xn=b=a+nh; yn=f(xn)
Si = (yi-1+ yi)/2 ∙h
S=S1+S2+…Sn= h∙[(y0+yn)/2 + y1+y2…+yn-1]
a∫b f(x)dx = h∙[(y0+yn)/2+ y1+y2…+yn-1]
№15
y=αx2+βx+γ
yi-1 = αx2i-1+βxi-1+γ= α(xi-h)2+ β(xi-h)+ γ
yi=αxi2+βxi+γ;yi-1 = αxi2 — 2αhxi + 2h2+βxi – βh +γ
yi+1 = α(xi+h)2+β(xi-h)+ γ; yi+1 = αx2i +2αhxi+2h2 + βxi + βh +γ
yi+1+ yi-1= 2 αx2i + 2αh2+2βxi + 2γ
yi+1+ yi-1= 2yi = 2αh2
α = (yi+1+ yi-1– 2yi)/ 2h2
Si = xi-1∫xi+1(αx2+βx+γ)dx= (αx3/3 + βx2/2 + γx) |xi+1xi-1= α∙[(xi+h)3 – (xi-h)3]/3+ β∙[(xi+h)2 – (xi-h)2]/2+ γ∙[(xi+h) – (xi-h)]/1 = α/3∙(6x2ih+ 2h3) + β/2∙(4xih) + 2γh = (2hαxi2+ 2hβxi + 2hγ) + 2/3∙h3α = 2hyi+ 2/3∙h3∙( yi+1+ yi-1– 2yi)/2h2 = h∙(6yi + yi+1+ yi-1 — 2yi)/3
Si= ( yi+1+ 4yi+ yi-1)/3∙h– формула Симпсона
№16
S=a∫b(f1(x) – f2(x))dx
S2= -a∫b f2(x)dx
S = a∫b(f1(x)– f2(x))dx
№17
y = f(x)
{x=φ(t)
{y=Ψ(t)
α ≤ t ≤ β
cos2φ + sin2φ= 1
{x=a∙cosφ
{y=a∙sinφ
0 ≤ φ ≤2π
S = 0∫aydx = — π/2∫0sin2φdφ =a2 0∫π/2 sin2φdφ= a2 0∫π/2 (1-cos2φ)/2 dφ= a2π/4
S= α∫βy(t)x’(t)dt–вычисление Sкривой, если ее Ур-е заданопарам-ки.
№18
l– вектор, ρ – длина вектора ОМ
{x= ρcosφ
{y= ρsinφ
ρ= √(x2+y2)
tgφ= y/x
ρ= ρ(φ) – в полярн. сис. коорд.
ρ(φ) ρ(φ+dφ)
ds= ρ2/2 dφ
α∫βds= S= ½ α∫βρ2dφ
S= ½ α∫βρ2dφ
№19
Вдугу АВ вписали ломаную.
Mi(xi, yi)
yi=f(xi)(если ур-е кривой y= f(x))
| Mi-1 Mi | = √[(xi – xi-1)2+ (yi – yi-1)2]
lлом= Σni=1√[(xi– xi-1)2+ (yi– yi-1)2]– длина ломаной линии.
Опред.:под длиной дуги АВ будем понимать limдлины впис. Ломаной, когда число звеньев неогранич-орастет, а длина maxзвена стремится к 0.
Приоч. мал. ∆х: dl= √[(dx)2 + (dy)2] = √[(dx)2 +(y’x)2 + (dx)2] =√ [1+(y’x)2] dx
lдуги ab= a∫b√ [1+(y’x)2] dx– формула д/вычисл. длины дуги.
№20
{x=φ(t)
{y=Ψ(t)
dx= φ’(t)dt
dy= Ψ’(t)dt
lдуги ab= α∫β√ [ (φ’(t))2+ (Ψ’(t))2] dt
№21
{x= ρcosφ
{y= ρsinφ
dx= (ρ’cosφ–ρsinφ)dφ
dy= (ρ’sinφ+ρcosφ)dφ
(dx)2 = (ρ’2cos2φ–2ρ’ρcosφsinφ+ ρ2sin2φ)
(dy)2 = (ρ’2sin2φ+2ρ’ρcosφsinφ+ ρ2cos2φ)
dl=√[(ρ’)2 + ρ2] dφ
l= α∫β√[(ρ’)2 + ρ2]dφ
№22
IВокруг х
a){ y= f(x)
{x = a, x = b
{y = 0
Vx= πa∫bf2(x)dx
б) Час. случай
Vx= πa∫bf2(x)dx — πa∫bg2(x)dx= πa∫b[f2(x) — g2(x)]dx
II Вокруг y
a)
Vy= π c∫d g2(y)dy
б) Час. Случай
Vy= πc∫df2(y)dy — πc∫dg2(y)dy= πc∫d[f2(y) — g2(y)]dy
№23
Опред-е:числ. ряд – сумма беск. числа слаг-ых u1+u2+…+un=Σ∞n=1un(1), каж. из кот. – опред.число.
un= n/(n2+1)
Последов-тьчастичных сумм:
S1 = u1
S2 = u1+u2
S3 = u1+u2+u3
—————-
Sn = u1+u2+…+un
Σ∞n=1un = Sn + Σ∞k=n+1 uk =Sn + rn, rn – n-йостатокряда
Опред-е:ряд 1 наз-ся сход-ся рядом, если у него сущ-т, конеченlimпослед-ти частичных сумм, а сам этот limназ-ся суммой числ. ряда.
S= lim(n→∞) Sn
Опред-е:если у этой послед-ти частич. сумм нет limили lim=∞, торяд наз-ся расход-ся.
Теорема:д/того, чтобы ряд 1 сходился, необх-о и достат-о,чтобы остаток ряда → к 0, т.е. чтобы lim(n→∞) rn= 0
Теорема (необх. усл-е сход. ряда)2:если ряд 1 сход-ся, то lim(n→∞) un= 0.
Следствие из теор.2:если n-й член ряда не→ к 0, то ряд расх-ся.
№24
Основ. св-ва сход. рядов:
1) Если членысход-ся ряда умнож. на 1 и то же конеч. число, то нов. получ-й ряд будет тожесход-ся, и сумма этого нов. ряда будет = произвед. эт. числа на сумму исход.ряда, т.е. Σ∞n=1un= S; Σ∞n=1λ∙un= λ∙S
2) Если ряд 1сход-ся и к нему добавить конеч. число слаг-х, либо из него убрать конеч. числослаг-х, то получ. нов. ряд будет тоже сход-ся.
3) Если ряд счленами unсход-ся и его сумма = Σ∞n=1un= Sи ряд с членамиvnсход-ся и его сумма = Σ∞n=1vn= σ, то ряд счл. (un+ vn)сход-ся и его сумма = Σ∞n=1(un+ vn) = S+ σ
Σ∞n=11/n= 1+1/2+1/3+…+1/n… — гармонич. ряд
№25
ПризнакДаламбера: Пусть дан ряд Σ∞n=1un, если lim(n→∞) un+1/un= k
{k
{k>1 – ряд расх.
{k=1 – вопр. о сход. ряда ост-ся открытым
Интегральныйпризнак: Им-ся ряд с положит. членами. un= f(n) – эта ф-ия определена на интерв. [1; +∞]. Если 1∫∞f(x)dxнесобств. интеграл сход-ся, то изнач. ряд тожесход-ся.
Σ∞n=11/n– гарм. ряд; Σ∞n=11/nα– обобщ. гарм. ряд.
f(x) = 1/xα
1∫∞ dx/xα= lim(A→∞) 1∫Adx/xα= lim(A→∞) [-αx-α+1] |A1= lim(A→∞)[α — αA-α+1] = lim(A→∞)[α– α/A-α+1]
Еслиα>1, вычит. → к 0 при А→ ∞, рядсход-ся.
Еслиα≤1, А-bположит.степ., при А→ ∞ ряд расх-ся.
№26
Σ∞n=1(-1)n+1un= u1-u2+u3 — u4+…, причем un≥0
Теорема Лейбница:если д/членов знакочеред-ся ряда справедливы соотнош-яun+1
иlim(n→∞) un= 0, то дан. ряд сход-ся.
Док-во:
Найдем2n частичную сумму ряда:
S2n= (u1–u2) + (u3-u4) +…+(u2n-1-u2n) = послед-ть, состав-я из четных частич-х сумм –возраст-я = u1–(u2– u3) + (u4– u5)-…-( u2n-2-u2n-1) — u2n
имеемпослед-ть монотонно возр-х сумм она имеет lim
Рассмотримнечет. частич. сумму S2n+1= S2n+ u2n+1
lim (n→∞) S2n+1= lim (n→∞) S2n + lim (n→∞) u2n+1= S
Чтд.
Σ∞n=1(-1)n/n–знакочеред. ряд
un = 1/n, un+1= 1/(n+1)
un > un+1
lim (n→∞) un= lim (n→∞) 1/n = 0
№27
(1) Σ∞n=1un– числа uи nмогут иметь произвол. знаки
(2) Σ∞n=1|un| — ряд из абсолют. знач-й ряда (1)
Обозначимч/з Snn-нуючастич. сумму 1-го ряда и ч/з σn – 2-го ряда.
|Sn| = | Σnk=1uk| ≤ Σnk=1|uk| = σn
|Sn|≤ σn
Опред-е:если д/ряда (1) сход-ся ряд, состав-й из абсолют.знач-й членов ряда (1) (т.е. ряд 2), то ряд 1 наз-ся абсолютно сход-ся рядом.Если же ряд 1 сход-ся, а ряд 2 расх-ся, то ряд 1 наз-ся условно сход-ся рядрм.
№28
Рядыможно составлять и из ф-ий – функц-е ряды: Σ∞k=1fk(x)
Выберемнек. (∙)х этой области опред-я, получим числ. ряд. Мн-во тех (∙)-екх, д/кот. соотв-е числ. ряды сход-ся, наз-ся областью сход-ти функц. ряда.
f1(x0)+ f2(x0)+…+ fn(x0)+…= S(х0)
Ч/зS(х) будем обознач. ф-ию, опред. на области сход-ти,кот. наз-ся суммой эт. ряда.
Степеннымрядом наз-ся Σ∞n=0Сn(х-х0)n(1)
ЧислаСn-ные наз-ся коэф-ом степ. ряда, число х0наз-ся центром степ. ряда.
В(∙)х=х0степ. ряд сход-ся.
Теорема Абеля: утвержд.1:если ряд 1 сход-ся в нек. (∙)х1, тоон сход-ся в люб. (∙)х, удовл-ей нерав-ву |х-х0|
утвержд.2:если ряд 1 расх-ся в нек. (∙)х2, то он расх-ся в люб.(∙)х, удовл-ей нерав-ву |х-х0|>|х2-х0|.
Областьюсход-ти степ-го ряда явл-ся интервал с центром в (∙)х0(х0– R, х0+ R), число R-maxрасстояние от (∙)х0до (∙), гдеряд сх-ся – радиус сход-ти степ. ряда.
R= lim(n→∞)|Cn|/|Cn+1| — правило д/нахожд. радиуса сход-ти.
№29
Св-ва степ. рядов:
1) В интервалесход-ти степ. ряда ряд сход-ся абсолютно.
2) В интервалесход-ти степ. ряда ряд сход-ся к непрерыв. ф-ии.
3) Степ. рядможно почленно диффер-ть. Получ-й при этом нов. степ. ряд будет сход-ся в томже самом интерв-ле к ф-ии, кот. явл-ся производ-й суммы исход. степ. ряда.
Σ∞n=0Cn(х-х0)n= S(x)
Σ∞n=0Cnn(х-х0)n-1= S’(x)
4) Степ. рядможно почленно интегрировать, при этом получ-й новый степ. ряд сход-ся в том жеинтервале к ф-ии = ∫ от ф-ии исход. ряда.
Σ∞n=0∫Cn(х-х0)ndx= ∫S(x)