Федеральное агентство пообразованию
Государственное образовательноеучреждение высшего профессионального образования
Пермский государственныйтехнический университет
Лысьвенский филиал
Кафедра ЕН
Курсовая работа
по дисциплине«Системный анализ и исследование операций»
по теме: «Симплексметод в форме презентации»
Выполнил студент группы ВИВТ-06-1:
Старцева Н. С.
Проверил преподаватель:
Мухаметьянов И.Т.
Лысьва 2010г.
Содержание
Введение. 3
Математическое программирование. 5
Графический метод. 6
Табличный симплекс – метод. 6
Метод искусственного базиса. 7
Модифицированный симплекс – метод. 7
Двойственный симплекс – метод. 7
Общий вид задачи линейногопрограммирования. 9
Решение задачи линейногопрограммирования симплекс-методом. 11
Вычислительные процедуры симплекс – метода. 11
Теорема 1: 13
Теорема 2: 14
Теорема 3: 15
Теорема 4: 15
Теорема 5: 15
Переход к новому опорному плану. 15
Двойственная задача. 17
Теорема 1 (первая теорема двойственности) 18
Теорема 2(вторая теорема двойственности) 18
Заключение. 20
Приложение. 21
Введение
В последние годы вприкладной математике большое внимание уделяется новому классу задачоптимизации, заключающихся в нахождении в заданной области точек наибольшегоили наименьшего значения некоторой функции, зависящей от большого числапеременных. Это так называемые задачи математического программирования,возникающие в самых разнообразных областях человеческой деятельности и преждевсего в экономических исследованиях, в практике планирования и организациипроизводства («Определение наилучшего состава смеси», «Задача об оптимальномплане выпуска продукции», «Оптимизация межотраслевых потоков», « Задача одиете», «Транспортная задача» и т.д.).
Линейноепрограммирование — это наука о методах исследования и отыскания наибольших инаименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейныеограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся кзадачам на условный экстремум функции. Казалось бы, что для исследованиялинейной функции многих переменных на условный экстремум достаточно применитьхорошо разработанные методы математического анализа, однако невозможность ихиспользования можно довольно просто проиллюстрировать.
Действительно,путь необходимо исследовать на экстремум линейную функцию
Z = С1х1+С2х2+…+СNxN
прилинейных ограничениях
a11x1 + a22x2 +… + a1NХN= b1
a21x1 + a22x2+… + a2NХN= b2
… .
aМ1×1+ aМ2×2 +… + aМNХN= bМ
Таккак Z — линейная функция, то Z = Сj, (j = 1, 2, …, n), то всекоэффициенты линейной функции не могут быть равны нулю, следовательно, внутриобласти, образованной системой ограничений, экстремальные точки не существуют.Они могут быть на границе области, но исследовать точки границы невозможно,поскольку частные производные являются константами.
Длярешения задач линейного программирования потребовалось создание специальныхметодов. Особенно широкое распространение линейное программирование получило вэкономике, так как исследование зависимостей между величинами, встречающимисяво многих экономических задачах, приводит к линейной функции с линейнымиограничениями, наложенными на неизвестные.
Цель данной курсовойработы: изучить и научиться применять на практике симплекс — метод для решениязадач линейного программирования.
Задачи курсовой заботы:
1. привеститеоретический материал;
2. напримерах рассмотреть симплекс метод;
3. представитьданную курсовую работу в виде презентации.
Математическое программирование
Математическоепрограммирование занимается изучение экстремальных задач и поиском методов ихрешения. Задачи математического программирования формулируются следующимобразом: найти экстремум некоторой функции многих переменных f ( x1,x2,…, xn ) при ограничениях gi ( x1,x2,…, xn ) * bi, где gi — функция, описывающая ограничения, * — один из следующихзнаков £,=,³,а bi — действительное число, i = 1,…, m. f называется целевойфункцией.
Линейное программирование– это раздел математического программирования, в котором рассматриваются методырешения экстремальных задач с линейным функционалом и линейными ограничениями,которым должны удовлетворять искомые переменные.
Задачу линейногопрограммирования можно сформулировать так. Найти max
/>
при условии: a11x1 + a12 x2 +… + a1n xn£b1;
a21 x1+ a22 x2 +… + a2n xn £b2;
….… .
am1 x1+ am2 x2 +… + amn xn £bm;
x1 ³0, x2 ³ 0,…, xn ³0.
Эти ограниченияназываются условиями не отрицательности. Если все ограничения заданы в видестрогих равенств, то данная форма называется канонической.
В матричной формезадачу линейного программирования записывают следующим образом.
Найти:
max cT x
при условии:
A x £b;
x ³0 ,
где А — матрицаограничений размером (m´n),
b(m´1)- вектор-столбец свободных членов,
x(n ´1) — вектор переменных,
сТ = (c1,c2,…, cn) — вектор-строка коэффициентов целевойфункции.
Решение х0называется оптимальным, если для него выполняется условие:
сТ х0³сТ х, для всех х Î R(x).
Поскольку min f(x)эквивалентен max [- f(x)], то задачу линейного программирования всегда можносвести к эквивалентной задаче максимизации.
Для решения задачданного типа применяются методы:
1) графический;
2) табличный (прямой,простой) симплекс — метод;
3) метод искусственногобазиса;
4) модифицированныйсимплекс — метод;
5) двойственныйсимплекс — метод. Графический метод
Графический методдовольно прост и нагляден для решения задач линейного программирования с двумяпеременными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений ицелевой функции задачи.
Каждое из неравенствзадачи линейного программирования определяет на координатной плоскости /> некоторую полуплоскость, асистема неравенств в целом – пересечение соответствующих плоскостей. Множествоточек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений(ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклуюфигуру, т.е. обладающуюследующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весьотрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклыммногоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком,лучом, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи ОДРявляется пустым множеством.Табличный симплекс – метод
Для его применениянеобходимо, чтобы знаки в ограничениях были вида “меньше либо равно”, акомпоненты вектора b — положительны.
Алгоритм решениясводится к следующему:
1. Приведениесистемы ограничений к каноническому виду путём введения дополнительныхпеременных для приведения неравенств к равенствам.
Если в исходной системеограничений присутствовали знаки “ равно ”
или “ больше либо равно”, то в указанные ограничения добавляются
искусственныепеременные, которые так же вводятся и в целевую функцию со знаками,определяемыми типом оптимума.
2. Формируетсясимплекс-таблица.
3. Рассчитываютсясимплекс – разности.
4. Принимаетсярешение об окончании либо продолжении счёта.
5. Принеобходимости выполняются итерации.
На каждой итерацииопределяется вектор, вводимый в базис, и вектор, выводимый из базиса. Таблицапересчитывается по методу Жордана-Гаусса или каким-нибудь другим способом.Метод искусственного базиса
Данный метод решенияприменяется при наличии в ограничении знаков
“равно”, “больше либоравно”, “меньше либо равно” и является модификацией табличного метода. Решениесистемы производится путём ввода искусственных переменных со знаком, зависящимот типа оптимума, т.е. для исключения из базиса этих переменных последниевводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами m,а в задачи минимизации — с положительными m. Таким образом, изисходной получается новая m — задача.
Если в оптимальномрешении m- задачи нет искусственных переменных, это решение есть оптимальное решениеисходной задачи. Если же в оптимальном решении m — задачи хотьодна из искусственных переменных будет отлична от нуля, то система ограниченийисходной задачи несовместна и исходная задача неразрешима.Модифицированный симплекс – метод
В основу даннойразновидности симплекс-метода положены такие особенности линейной алгебры,которые позволяют в ходе решения задачи работать с частью матрицы ограничений.Иногда метод называют методом обратной матрицы.
В процессе работыалгоритма происходит спонтанное обращение матрицы ограничений по частям,соответствующим текущим базисным векторам. Указанная способность делает весьмапривлекательной машинную реализацию вычислений вследствие экономии памяти подпромежуточные переменные и значительного сокращения времени счёта, хороша дляситуаций, когда число переменных n значительно превышает число ограничений m.
В целом, метод отражаеттрадиционные черты общего подхода к решению задач линейного программирования,включающего в себя канонизацию условий задачи, расчёт симплекс – разностей,проверку условий оптимальности, принятие решений о коррекции базиса иисключение Жордана-Гаусса.
Особенности заключаютсяв наличии двух таблиц — основной и вспомогательной, порядке их заполнения инекоторой специфичности расчётных формул.Двойственный симплекс – метод
Двойственныйсимплекс-метод, как и симплекс-метод, используется при нахождении решения задачилинейного программирования, записанной в форме основной задачи, для которойсреди векторов, составленных из коэффициентов при неизвестных в системеуравнений, имеется m единичных. Вместе с тем двойственный симплекс-метод можноприменять при решении задачи линейного программирования, свободные членысистемы уравнений которой могут быть любыми числами (при решении задачисимплексным методом эти числа предполагались неотрицательными).
Общийвид задачи линейного программирования
/>/>
/>
/>
/>
/>,/>
Ограничения:
1. Правые части всехограничений должны быть неотрицательными bi≥0,i=1,..m.Если какой-нибудь из коэффициентов bi
2. Все ограничениядолжны быть представлены в виде равенств, поэтому при переходе от неравенства кравенству используют аппарат дополнительных переменных. Если исходныеограничения определяют расход некоторого ресурса (знак “/>”), то переменные xj≥0,j=n+1,…kследуетинтерпретировать как остаток, или неиспользованную часть ресурса. В этом случаеxj– остаточная переменнаяи вводится в уравнение со знаком “+”. Если исходные ограниченияопределяют избыток некоторого ресурса (знак “/>”), то вводится избыточнаяпеременная xj≥0,j=k+1,…Nзнаком”-“.
Переменные:
· Всепеременные должны быть неотрицательными, т.е. xj≥0,j=1,…n.
· Еслипеременная не имеет ограничения в знаке, то её нужно представить как разностьдвух неотрицательных переменных: x=x’-x’’,где x’≥0,x’’≥0.Такую подстановку следует использовать во всех ограничениях, содержащих этупеременную, а также в выражении для целевой функции. Если такая переменнаяпопадает в оптимальное решение, то
/>.
Целевая функция:
· Подлежитмаксимизации или минимизации. maxz= — min(-z)
· Системаограничений в виде равенств и неравенств образует выпуклое множество — выпуклыймногогранник. Это множество может быть ограниченным и неограниченным. Целеваяфункция задачи линейного программирования также является выпуклой функцией.Таким образом, задача линейного программирования является частным случаемзадачи выпуклого программирования.
Рассмотрим системуограничений задачи линейного программирования в виде равенств
(1) />
· Система(1) линейных уравнений совместна, если она имеет, по крайней мере, однорешение.
· Система(1) называется избыточной, если одно из уравнений можно выразить в виделинейной комбинации остальных.
· Всистеме (1) число переменных (неизвестных xj)n больше, чем число ограничений m. Будем считать, что ранг этой системы равен m(система не избыточна) и что система (1) совместна. Тогда m переменных изобщего их числа образуют базисные переменные, а остальные (n-m)переменных называют небазисными.
· Еслисистема уравнений имеет решение, то она имеет и базисное решение.
· Решениесистемы уравнений (1) называют допустимым, если все его компонентынеотрицательны.
· Еслисистема линейных уравнений обладает допустимым решением, то она имеет и базисноедопустимое решение. Совокупность всех допустимых решений системы (1) естьвыпуклое множество, т.е. множество решений задачи линейного программированиявыпукло. Так как это множество образовано плоскостями (гиперплоскостями), тооно имеет вид выпуклого многогранника. Базисное допустимое решениесоответствует крайней точке выпуклого многогранника (его грани или вершине).Если существует оптимальное решение задачи линейного программирования, тосуществует базисное оптимальное решение.
Целевая функция задачилинейного программирования есть уравнение плоскости (или гиперплоскости длячисла переменных больше трех). Максимальное или минимальное значение целеваяфункция задачи линейного программирования достигает либо в вершине выпуклогомногогранника, либо на одной из его граней. Таким образом, решение (решения)задачи линейного программирования лежит в вершинах выпуклого многогранника идля его нахождения надо вычислить значения целевой функции в вершинах выпуклогомногогранника, определяемого условиями – ограничениями задачи.
Решение задачи линейного программированиясимплекс-методом
Прямая задача.
Рассмотрим задачулинейного программирования в канонической форме:
Найти максимум(минимум) функции
/>
при условиях
/>
Предполагается, чторешение этой задачи существует. Чтобы найти оптимальное решение, надо найтидопустимые базисные решения, а из них выбрать оптимальное базисное решение.
Симплекс – метод – этоалгебраический метод решения задач линейного программирования. В процессевычислений производиться последовательный обход вершин многогранника решений(ОДР) с проверкой в каждой вершине условий оптимальности. При этом каждыйпереход в смежную вершину сопровождается улучшением целевой функции. Вычислительныепроцедуры симплекс – метода
При графическом методерешения задачи линейного программирования (ЗЛП) оптимальному решениюсоответствует всегда одна из угловых (экстремальных) точек пространства решений.Это результат положен в основу построения симплекс-метода. Симплекс-метод необладает наглядностью геометрического представления пространства решений.
Симплекс-методреализует упорядоченный процесс, при котором, начиная с некоторой исходнойдопустимой угловой точки, осуществляются последовательные переходы от однойдопустимой экстремальной точки к другой, пока не будет найдена точкаоптимального решения.
Обозначим: N–общее количество переменных в ЗЛП, представленной в канонической форме; n-количество исходных переменных; m- количество ограничений, nq-количество дополнительных переменных, тогда N=n+nq.Каждая вершина многогранника решений имеет m- ненулевых переменных и
(N-m)- нулевых переменных. Ненулевые переменные называются базисными, нулевыепеременные – небазисными. Дополним систему равенств равенством целевой функции,при этом будем считать, что zявляется m+1 базисной переменной,которая всегда присутствует в базисе для любой вершины.
Для получения решениясоставляется начальный допустимый базис, в котором базисные переменные должныбыть представлены в виде единичных орт. Это означает, что уравнения,представляющие данную вершину должны включать каждую базисную переменную тольков одной строке с коэффициентом, равным 1.
При выборе начальногодопустимого базиса для составления симплекс-таблицы на первом шаге исходные x1,x2переменные приравниваются к нулю и являются небазисными, среди введённыхдополнительных переменных выбираются переменные с коэффициентами равнымиединице. Переменные x3,x4,x5в равенствах (2) — (4) являются базисными и в z- строку входят с коэффициентами, равными 0. Для заполнения симплекс-таблицынеобходимо целевую функцию преобразовать к виду
/>.
Таким образом,окончательно получаем:
/>
/>(1)
/>(2)
/>(3)
/>(4)
При составлениисимплекс-таблицы придерживаются следующих правил:
1. вкрайнем левом столбце располагаются базисные переменные и z;
2. вкрайнем правом столбце располагаются правые части ограничений;
3. впервой строке располагаются переменные в определённом порядке: сначала z,потом небазисные переменные, базисные переменные располагаются в последних mстолбцах перед правой частью. св. z
x1
x2
x3
x4
x5 z 1
-C1
-C2
X3
b1
a11
a12 1
X4
b2
a21
a22 1
X5
b3
a31
a32 1
Идею рассмотрим напримере:
/>
7×1+5×2→max
2×1+3×2≤19
2×1+x2≤13
3×2≤15
3×1≤18
x1≥0,×2≥0
Запишем задачу вканоническом виде. При необходимости предварительно неравенство преобразоватьтак чтобы все свободные члены были неотрицательными.
Симплекс метод впоследовательном преобразовании системы уравнений до получения нужного решения.В общем случае те переменные, в системе уравнений, определитель при которых неравен 0 и является максимумом порядка, называются базисными переменными.
/>7×1+5×2→max
2×1+3×2+x3=19
2×1+x2+x4=13
3×2+x5=15
3×1+x6=18
xi≥0,(i=1,…n)
В нашем случаебазисными переменными являются x3,x4,x5,x6.Остальные переменные являются свободными (x1,x2).Придавая произвольные значения свободным переменным мы будем получать различныезначения базисных. Любое решение системы ограничений задачи называетсядопустимым. Опорным называется решение задачи, записанное в каноническом виде вкотором свободные переменные равны 0.Теорема 1:
Оптимальное решениезадачи линейного программирования находиться среди опорных решений. Идея симплексметода состоит в том, что определенному правилу перебираются опорные решения донахождения оптимального среди них, перебирая опорные решения, по существу, мыперебираем различные базисные переменные, то есть на очередном шаге некотораяпеременная переводится из числа базисных, а вместо нее некоторая переменная изчисла свободных в число базисных.
7×1+5×2→max
/>x3=19-2×1-3×2(0;0;19;13;15;18)
x4=13-2×1-x2первоначальный опорный план
x5=15-3×2
x6=18-3×1 F(x1,x2 )=7*0+5*0=0
xi≥0,(i=1,…n)
На интуитивном уровнепонятно, что естественным будет увеличение x1,так как коэффициент при нем больше чем при x2.Оставляя x2=0,мы можем увеличивать до тех пор, пока x3,x4,x5,x6будут оставаться неотрицательными.
x1=min{19/2;13/2;∞;18/3}=6
Это означает что при x1=6,×6=0,то есть x1-переходитв число базисных, а x6-вчисло свободных.
x1=6-1/3×6
Выражаем неизвестныепеременные и целевую функцию через свободные переменные:
x3=19-2(6-1/3×6)-3×2=19-12+2/3×6-3×2=7+2/3×6-3×2
x4=13-2(6-1/3×6)- x2=1+2/3 x6 — x2
x5=x5=15
F(x2;x6)=42-7/3 x6+5×2
При данном опорномплане (6;0;7;1;15;0) x2переводиться из свободных в базисные переменные:
x2=min{∞;7/3;1/11;15/3}=1
Выражаем x2через x4
x2=1+2/3×6-x4
Выражаем неизвестныепеременные и целевую функцию через свободные переменные:
x3=7+2/3×6-3(1+2/3×6 –x4)= 7+2/3 x6-3-2×6+3×4=4-4/3×6+3×4
x5=12-2×6+3×4-
F=42-7/3×6+5(1+2/3×2 — x4) =47-7/3×6 +10/3×6-5×4=47+x6-5×4
x6положительное,следовательно можно увеличивать
x6=min{18;∞;3;6}=1
x4=4/3-4/9×6 — 1/3×3
F=47+x6-5(4/3-4/9-1/3×3)
В целевой функции всекоэффициенты при переменных отрицательны, значение функции увеличивать нельзя,аналогично преобразовываем остальные переменные, находим опорный план, изкоторого определяем x1,x2.Теорема 2:
1. Пересечениезамкнутых множеств, множество нетривиальных ограничений.
2. Множестворешений системы линейных нестрогих неравенств и уравнений является замкнутым.
αX=(αx1,x2,…,αxn)
X+Y=(x1+y1,x2+y2,… xn+yn)
Линейные координаты X1,X2,…Xnназывается точка P=λ1×1+λ2×2+…+λkxkТеорема 3:
Множество P={λ1×1+λ2×2+…+λkxk}0≤ hi≤1для i= 1,…knåRi=1,1≤ i≤kвыпуклая линейная комбинация точек x1,x2,…xn.Если k=2, то это множествоназывается отрезком. X1,X2– концы отрезка. Угловой точкой замкнутого множества называется точка, котораяне является нетривиальной линейной комбинацией точек множества (угловая точка).
Нетривиальностьозначает, что хотя бы одна из λ отлична от 0 или 1.
/>
Теорема 4:
Любое опорное решениезадачи линейного программирования является угловой точкой области допустимыхрешений.Теорема 5:
Если задача линейногопрограммирования имеет единственное решение, то оно лежит среди угловых точекОДР. А если решение не одно, то среди решений имеется несколько угловых, такихчто множество всех решений является их выпуклой линейной комбинацией.
Симплекс методзаключается в том, что сначала находится некоторое опорное решение задачи(первоначальный опорный план), а затем, целенаправленно переходя от одногоопорного плана к другому, ищется оптимальный план. Если таковых несколько, тонаходятся все угловые, а множество решений представляется как их линейнаякомбинация.Переход к новому опорному плану
F1=F(x1);F2=F(x2)F2-F1=-υkΔk=F2можнодоказать, где υkрассмотренныйвыше минимум, который определяется при введении k-ойпеременной в базис, а Δk=åсjxj(1)-Сk,где n≤j ≤1,X1=(x1(1);x2(1);…xn(1))-оценка k-ой переменной, поэтомуесли решается задача на максимум, то величина ΔF2положительной должна быть, Δk– отрицательная. При решении задач на минимум ΔF2-отрицательная,Δk — положительная.Эти величины вычисляются и если среди ΔF2всезначения не положительны, то при решении задач на минимум наоборот. Если прирешении на максимум среди ΔF2несколько положительных, то вводим в базис тот вектор, при котором эта величинадостигает максимум, а если задача решается на минимум и среди ΔF2несколько отрицательных, то в число базисных включается вектор с наименьшимзначением ΔF2,то есть с наибольшим по абсолютной величине. При выполнении этих условийгарантируется наибольшее возможное изменении значения функции.
Решение задачи будетединственным, если для любых векторов xkне входящих в базис, оценки Δk≠0,если хотя бы одно из таких Δk=0,то решение не является единственным, для нахождения другого решения переходим кдругому опорному плану, включая в базис xk,где Δk=0.Перебор все такие опорные решений составляют их в линейную комбинацию, котораяи будет решением задачи.
Если для любогонекоторого Δkпротиворечащих условию оптимальности коэффициенты при переменной xk≤0, то система ограничений не ограничена, то есть оптимального плана несуществует.
Двойственная задача
Двойственная задача(ДЗ) – это вспомогательная задача линейного программирования, формулируемая спомощью определённых правил непосредственно из условий прямой задачи.Заинтересованность в определении оптимального решения прямой задачи путёмрешения двойственной к ней задачи обусловлена тем, что вычисления при решенииДЗ могут оказаться менее сложными, чем при прямой задачи (ПЗ). Трудоёмкость вычисленийпри решении ЗЛП в большей степени зависит от числа ограничений, а не отколичества переменных. Для перехода к ДЗ необходимо, чтобы ПЗ была записана встандартной канонической форме. При представлении ПЗ в стандартной форме всостав переменных xjвключаются также избыточные и остаточные переменные.
Двойственная задачаимеет:
1. mпеременных, соответствующих числу ограничений прямой задачи;
2. nограничений, соответствующих числу переменных прямой задачи.
Двойственная задачаполучается путём симметричного структурного преобразования условий прямойзадачи по следующим правилам:
· Каждомуограничению biПЗсоответствует переменная yiДЗ;
· Каждойпеременной xjПЗ соответствует ограничение CjДЗ;
· Коэффициентыпри xjвограничениях ПЗ становятся коэффициентами левой части соответствующегоограничения ДЗ;
· КоэффициентыCjприxjвцелевой функции ПЗ становятся постоянными правой части ограничения ДЗ;
· Постоянныеограничений biПЗстановятся коэффициентами целевой функции ДЗ.
Рассмотрим следующие двезадачи:
F = С1х1+С2х2+…+Сnxn→max
/>
(5) a11x1 +a22x2 +… + a1mxn ≤ b1
a21x1 + a22x2+… + a2mxn ≤b2
… .
am1x1 + am2x2+… + amnxn ≤bm
xj≥0j=1,…,n
/>Z = b1х1+b2х2+… +bnxn→min
(6) a11y1 +a21y2 +… + am1y1 ≤ C1
a12y1 + a22y2+… + am2y2 ≤C2
.….… .
a1nyn + a2myn +… + anmyn ≤Cn
yi≥0i=1,…,mТеорема 1 (первая теоремадвойственности)
Если разрешимо иметьодно решение. Из пары двойственных задач не обязательно симметричных, то имеетрешение (как следствие получает, что если одна задача имеет решение, то неимеет решение другая) при этом значения целевых функций на обеих задачахсовпадают.
Fmax=ZminТеорема 2(вторая теоремадвойственности)
Если (5) и (6) парасимметричных двойственных задач, то (x01, x02,…, x0n) и (y01,y02,…, y0n)являются их оптимальными решениями, то компоненты оптимальных решенийудовлетворяются системе.
x10(a11y10+a21y20+…+am1yn0-c1)=0
/>x20(a12y10+a22y20+…+am2yn0-c2)=0
.…
xn0(a1ny10+a2my20+…+am1yn0-c1)=0
y10(a11x01+a22x02+…+a1mx0n-b1)=0
y20(a21x01+a22x02+…+a2mx0n-b2)=0
.…
yn0(am1x01+am2x02+…+amnx0n-bm)=0
Заключение
В данной курсовойработе были заложены основы математических методов решения задач линейногопрограммирования. Поэтому большее внимание уделялась следующим разделам:
1. Основыматематических методов и их применение;
2. Решениезадач с помощью симплекс – метода.