Дипломная работа
«Системы с постоянной четной частью»
Содержание
Введение
1. Четные и нечетные вектор-функции
2. Основные сведения из теории отражающих функций
3. Системы чёт-нечет
4. Построение примеров систем, четная часть общего решения которых постоянная
5. Простые и простейшие системы
6. Построение множества систем, четная часть общего решения которых постоянна
6.1 Системы, имеющие постоянную четную часть
6.2 Построение систем с заданной четной частью
Заключение
Список использованных источников…………………………………………25
Введение
Основным инструментом нашего исследования является понятие отражающей функции. Исследования с помощью отражающей функции позволяет получить новые результаты даже для уже хорошо изученных линейных систем.
При изучении вопросов существования периодических решений дифференциальных систем и уравнений используются свойства симметричности (четность, нечетность и т.п.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.
В данной работе мы будем рассматривать семейства решений с постоянной четной частью, т.е. когда четная часть будет представлена в виде константы.
Разберем примеры систем, семейства решений которых имеют постаянную четную часть. Будем изучать построение систем с заданной четной частью.
1. Четные и нечетные вектор-функции
По аналогии с вещественными функциями одной переменной, вектор-функцию />, /> будем называть четной (нечетной), если для всех />, /> является четной (нечетной) функцией, т.е. область определения /> симметрична относительно нуля и /> (/>).
Любую функцию с симметричной областью определения, можно представить как сумму четной и нечетной функций. Действительно, если
/>
и
/>
то
/>
и /> является четной функцией, а /> – нечетной.
/>будем называть четной частью функции />, /> – нечетной.
Отметим следующие свойства четных и нечетных функций.
Свойство 19 Производная дифференцируемой четной (нечетной) функции есть функция нечетная (четная).
Доказательство. a) /> – четная функция.
/>
/>
/>
Т.к. /> и /> существуют или не существуют одновременно, то />, /> и />. Таким образом, производная четной функции есть функция нечетная.
б) /> – нечетная функция.
/>
/>
/>
Т.к. /> и /> существуют или не существуют одновременно, то />, /> и />. Таким образом, производная нечетной функции есть функция четная.
Свойство 19 Если /> – нечетная функция, то />.–PAGE_BREAK–
Доказательство. Поскольку /> – нечетная функция, то
/>
Подставив вместо />/> получаем
/>
Откуда следует
/>
2. Основные сведения из теории отражающих функций
Рассмотрим систему
/>19
считая, что её правая часть непрерывна и имеет непрерывные частные производные по />. Общее решение этой системы в форме Коши обозначим через />. Через /> обозначим интервал существования решения />
Пусть
/>
Определение: Отражающей функцией системы назовем дифференцируемую функцию
/>
определяемую формулой
/>19
или формулами
/>
Для отражающей функции справедливы свойства:
1) Для любого решения
/>
системы верно тождество
/>19
2) Для отображающей функции /> любой системы выполнены тождества:
/>19
3) Дифференцируемая функция
/>
будет отражающей функцией системы тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям в частных производных
/>19
и начальному условию
/>19
Уравнение будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающей функции.
Доказательство. Свойство 1) следует непосредственно из определения. Для доказательства свойства 2) заметим, что согласно свойству 1) для любого решения /> системы верны тождества
/>
Из этих тождеств в силу того, что через каждую точку /> проходит некоторое решение /> системы, и следуют тождества .
Приступим к доказательству свойства 3). Пусть /> – отражающая функция системы. Тогда для неё верно тождество. Продифференцируем это тождество по /> и воспользуемся тем, что /> – решение системы, и самим тождеством. Получим тождество
/>
из которого в силу произвольности решения /> следует, что /> – решение системы. Начальное условие согласно свойству 2) так же выполняется.
Пусть некоторая функция /> удовлетворяет системе и условию. Так как этой системе и этому условию удовлетворяет так же и отражающая функция, то из единственности решения задачи – функция /> должна совпадать с отражающей функцией. Свойство 3) доказано.
Лемма Основная лемма 19 Пусть правая часть системы />-периодична по />, непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным />. Тогда отображение за период для системы можно найти по формуле
/>
и поэтому решение
/>
системы будет />-периодическим тогда и только тогда, когда /> есть решение недифференциальной системы
/>19
В качестве следствия этой леммы докажем следующее предположение.
Утверждение 19 Пусть непрерывно дифференцируемая функция />/>-периодична и нечетна по />, т.е.
/>
и />. Тогда всякое продолжение на отрезок /> решение системы будет />-периодическим и четным по />. продолжение
–PAGE_BREAK–
Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что функция /> удовлетворяет уравнению и условию. Поэтому она согласно свойству 3) является отражающей функцией рассматриваемой системы. Уравнение в нашем случае вырождается в тождество, и ему удовлетворяет любое />, для которого определено значение
/>
Согласно основной лемме любое продолжимое на /> решение системы будет />-периодическим. Четность произвольного решения /> системы следует из тождеств
/>
справедливых в силу свойства 1) отражающей функции.
Справедливы следующие утверждения .
Теорема 19 Пусть все решения системы />-периодичны и однозначно определяются своими начальными данными. Тогда отражающая функция />этой системы />-периодична по />
Теорема 19 Пусть система />-периодична по />а ее решения однозначно определяются своими начальными данными и существуют при всех />Если, кроме того, отражающая функция этой системы />-периодична по />то все решения системы периодичны с периодом />
Аналогичная теорема имеет место в том случае, когда не все решения системы продолжимы на отрезок /> При этом заключение о />-периодичности можно сделать лишь для тех решений, которые существуют при всех />
Из />-периодичности отражающей функции следует />-периодичность всех продолжимых на /> решений периодической системы. Из />-периодичности отражающей функции не следует, вообще говоря, />-периодичность решений />-периодической системы, хотя следует их />-периодичность.
Не следует думать, что если все решения />-периодической системы />-периодичны, то ее отражающая функция обязана быть />-периодической. Этому противоречит пример уравнения />
В случае, когда />, т.е. когда система вырождается в уравнение, верна
Теорема 19 Пусть уравнение />-периодично по />а его решения однозначно определяются своими начальными данными и существуют при всех />Тогда для того, чтобы все решения уравнения были />-периодичны, необходима и достаточна />-периодичность по />отражающей функции этого уравнения.
3. Системы чёт-нечет
Рассмотрим систему
/>19
Будем считать, что всюду в дальнейшем эта система удовлетворяет условиям:
а) Функция /> непрерывно дифференцируема, и поэтому, задача Коши для системы имеет единственное решение;
б) Правая часть системы />-периодична по />.
Лемма 19 Пусть система удовлетворяет условиям а) и б). Тогда продолжимое на отрезок />решение />этой системы будет />-периодическим тогда и только тогда, когда
/>
где
/>
– есть нечетная часть решения />.
Доказательство. Пусть /> – />-периодическое решение системы. Тогда
/>
Необходимость доказана.
Пусть /> – решение системы, для которого />. Тогда
/>
и поэтому
/>
Таким образом, точка /> есть неподвижная точка отображения за период, а решение /> – />-периодическое.
Доказанная лемма, вопрос о периодичности решения
/>
сводит к вычислению одного из значений нечетной части />. Иногда относительно /> можно сказать больше, чем о самом решении />. Это позволяет в таких случаях делать различные заключения относительно существования периодических решений у систем вида. Дифференцируемые функции
/>
/> продолжение
–PAGE_BREAK–
удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений. Прежде, чем выписать эту систему, заметим:
/>19
так как
/>
решение системы. Заменяя в тождестве /> на /> и учитывая, что производная четной функции – функция нечетная, а производная нечетной функции – функция четная, получаем тождество –
/>19
Из тождеств и найдем производные:
/>
Таким образом вектор-функция
/>19
удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений порядка />:
/>19
При этом
/>
Систему будем называть системой чет-нечет, соответствующей системе. решение системы чет-нечет, как следует из условия а), однозначно определяется своими начальными условиями.
4. Построение примеров систем, четная часть общего решения которых постоянная
Пример
/>
Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него />:
/>
теперь продифференцируем его
/>
Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы
/>
Сделаем преобразования и приведем подобные
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Таким образом:
/>
Сделаем проверку, для этого в исходную систему подставим полученное решение:
/>
/>
Получили верные равенства. Значит было найдено правильное решение исходной системы.
Четная часть общего решения:
/>
Пример
/>
Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него />:
/>
теперь продифференцируем его
/>
Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы
/>
Сделаем преобразования и приведем подобные
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Таким образом:
/>
Сделаем проверку:
/>
/>
/>
Четная часть общего решения продолжение
–PAGE_BREAK–
/>
Пример
/>
Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него />:
/>
теперь продифференцируем его
/>
Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы
/>
/>
/>
/>
Получили два решения /> и />.
1) />;
/>
2) />;
/>
Сделаем проверку для />:
/>
/>
/>
/>
Получили верные равенства. Значит было найдено правильное решение исходной системы.
Сделаем проверку для />:
/>
/>
/>
/>
/>
Отсюда видно, что /> не являются решением для исходной системы.
Таким образом:
/>
Четная часть общего решения
/>
Из данных примеров можем заметить, что решения систем записывается в виде:
/>
где /> и /> – нечетные функции, а четная часть представлена константой.
/>
/>; />;
/>19
Системы вида будут иметь семейства решений с постоянной четной частью. В этом легко убедится, проделав вычисления, аналогичные предыдущим примерам.
5. Простые и простейшие системы
Лемма 19 Для всякой непрерывно дифференцируемой функции
/>
для которой выполнены тождества, имеют место соотношения
/>
/>
Теорема 19 Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции />определенной в симметричной области />, содержащей гиперплоскость />для которой выполнены тождества, существует дифференциальная система
/>
c непрерывно дифференцируемой правой частью, отражающая функция которой совпадает с />.
Теорема 19 Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции
/>
определенной в области /> содержащей гиперплоскость />, для которой выполнены тождества, при всех /> и достаточно малых /> существует дифференциальная система
/>
отражающая функция которой совпадает с /> а общий интеграл задается формулой
/> продолжение
–PAGE_BREAK–
Следствие 19 Дважды непрерывно дифференцируемая функция
/>
является отражающей функцией хотя бы одной дифференциальной системы тогда и только тогда, когда для нее выполнены тождества .
Системы, существование которых гарантируется теоремами 19и 19, называются соответственно простой и простейшей.
Теорема 19 Пусть
/>
простейшая система, тогда
/>
где /> – отражающая функция системы .
Доказательство. Если система простейшая,
/>
/>
Теорема 19 Пусть
/>
есть отражающая функция некоторой дифференциальной системы, решения которой однозначно определяются своими начальными данными, а для непрерывно дифференцируемой функции
/>
выполнены тождества. Тогда для того, чтобы в области /> функция /> совпадала с /> необходимо и достаточно, чтобы рассматриваемая система имела вид
/>
или вид
/>
где
/>
есть некоторая непрерывная вектор-функция.
Будем говорить, что множество систем вида образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция
/>
со свойствами:
1) Oтражающая функция
/>
любой системы из рассматриваемого множества совпадает в своей области определения /> с функцией />
2) Любая система вида, отражающая функция
/>
которой совпадает в области /> с функцией /> содержится в рассматриваемом множестве.
Две системы вида, принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными. Допуская определенную вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию /> при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс – соответствующим отражающей функции />.
Из третьего свойства отражающей функции следует, что система и система
/>
принадлежат одному классу эквивалентности тогда и только тогда, когда система уравнений
/>
совместна.
Необходимым условием совместности этой системы является тождество />.
6. Построение множества систем, четная часть общего решения которых постоянна
6.1 Системы, имеющие постоянную четную часть
Пусть нам дана система
/>19
Перед нами стоит следующий вопрос о том, когда семейство решений этой системы будут иметь постоянную четную часть.
/>19
То есть, когда /> не будет зависеть от времени />.
Возьмем отражающую функцию системы /> и используя
/>
получим четную часть следующим образом:
/>19
Теорема 19 Если выполнено тождество
/>
где /> – отражающая функция, для линейной системы вида, то любое решение этой системы имеет постоянную четную часть.
Доказательство. Возьмем любое решение /> системы. Его производная
/> продолжение
–PAGE_BREAK–
Поэтому можем записать
/>
Из условия теоремы имеем
/>
Таким образом получили, что /> – четная вектор-функция. Тогда
/>
6.2 Построение систем с заданной четной частью
Рассмотрим систему. Будем строить систему с заданной четной частью.
Пусть нам известна четная часть />. Воспользуемся формулой и преобразуем ее
/>
Следовательно, можем записать
/>
Отсюда зная, получим
/>
где /> – отражающая функция системы. Исключая /> из предыдущего соотношения, с произвольной отражающей функцией />, удовлетворяющей условию
/>
получим требуемую систему.
Пример 19 Пусть
/>
где /> – заданная четная часть, />. Продифференцируем обе части равенства
/>
Преобразуем правую часть
/>
Перепишем полученное в виде:
/>
Выразим />:
/>19
Для всех систем вида должно быть выполнено условие
/>
Возьмем
/>
Найдем />, />. />;
/>
Подставим значения />, /> в систему :
/>
/>
/>
Получаем требуемую систему:
/>
Пример 19 Пусть
/>
где /> – заданная четная часть, />. Продифференцируем обе части равенства
/>
и преобразуем правую часть
/>
Перепишем полученное в виде:
/>
Выразим />:
/>19
Для всех таких систем должно быть выполнено условие />.
Возьмем />. Найдем />, />. />,
/>
Подставим найденные значения в систему и сделав преобразования аналогичные примеру 19, получаем:
/>
Рассмотрим теперь общий случай, когда нам задана четная часть /> общего решения системы с отражающей функцией />. В этом случае
/>
Поэтому, если /> нам задана, то из соотношения продолжение
–PAGE_BREAK–
/>
при заданной /> мы найдем общее решение /> искомой системы. Саму систему мы построим исключая /> из соотношений
/>
Таким образом, мы пришли к
Теорема 19 Всякая система
/>19
где /> находятся из системы
/>
при любой заданной дифференцируемой функции />, удовлетворяющей соотношениям
/>
имеет общее решение с четной частью />.
Если
/>
то система имеет вид:
/>
Таким образом, мы пришли к выводу:
Следствие 19 Общее решение дифференциальной системы имеет постоянную четную часть тогда и только тогда, когда эта система простейшая.
Заключение
Основным результатом данной работы является построение дифференциальных систем, семейство решений которых имеет заданную четную часть. А так же теорема о связи простейшей системы и системы, семейство решений которой имеет постоянную четную часть.
Теорема. Общее решение дифференциальной системы имеет постоянную четную часть тогда и только тогда, когда эта система простейшая.
Список использованных источников
5 Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1971 – 240 с.
5 Бибиков Ю.Н., Общий курс дифференциальных уравнений, изд. Ленинградского университета, 1981 – 232 с.
5 Еругин Н.П., Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е издание, М. изд. Наука и Техника, 1979 – 744 с.
5 Мироненко В.И., Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений, г. Минск: изд. Университетское, 1986 – 76 с.
5 Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1970 – 331 с.