МИНИСТЕРСТВООБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВОПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КАФЕДРА ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХМЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине
Эконометрика
Липецк 2009
Задача 1
Попредприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующаязависимость объема выпуска продукции (/>,млн. руб.) от объема капиталовложений (/>,млн. руб.)
Требуется:
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическуюинтерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценитьдисперсию остатков />; построитьграфик остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии спомощью t‑критерия Стьюдента />
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнениярегрессии с помощью /> — критерия Фишера/>, найти среднююотносительную ошибку аппроксимации.Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя /> при уровне значимости />, если прогнозное значенияфактора Х составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения /> точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
· гиперболической;
· степенной;
· показательной.
Привестиграфики построенных уравнений регрессии.
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации,коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристиками сделать вывод.
/> 17 22 10 7 12 21 14 7 20 3
/> 26 27 22 19 21 26 20 15 30 13
Решение
1.Уравнение линейной регрессии имеет вид: y=a+b*x.
Данные,используемые для расчета параметров aиbлинейной модели,представлены в табл. 1:
Таблица 1
n
х
у
ух
хх
y-ycp
(у-уср)2
х-хср
(х-хср)2
Упр
ε
ε2
εt-εt-1
(εt-εt-1)2 1 17 26 442 289 4,1 16,81 3,7 13,69 27,71 1,71 2,92 2 22 27 594 484 5,1 26,01 8,7 75,69 32,26 5,26 27,67 3,55 12,60 3 10 22 220 100 0,1 0,01 -3,3 10,89 21,34 -0,66 0,44 -5,92 35,05 4 7 19 133 49 -2,9 8,41 -6,3 39,69 18,61 -0,39 0,15 0,27 0,07 5 12 21 252 144 -0,9 0,81 -1,3 1,69 23,16 2,16 4,67 2,55 6,50 6 21 26 546 441 4,1 16,81 7,7 59,29 31,35 5,35 28,62 3,19 10,18 7 14 20 280 196 -1,9 3,61 0,7 0,49 24,98 4,98 24,80 -0,37 0,14 8 7 15 105 49 -6,9 47,61 -6,3 39,69 18,61 3,61 13,03 -1,37 1,88 9 20 30 600 400 8,1 65,61 6,7 44,89 30,44 0,44 0,19 -3,17 10,05 10 3 13 39 9 -8,9 79,21 -10,3 106,09 14,97 1,97 3,88 1,53 2,34 сумма 133 219 3211 2161 264,90 392,1 24,43 106,37 0,26 78,80 ср. знач. 13,3 21,9 321,1 216,1
/>;
/>
Уравнениелинейной регрессии имеет вид: у=11,78+0,76х
Сувеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукцииувеличится в среднем на 76 тыс. руб. Это свидетельствует об эффективностиработы предприятия.
2.Вычисленные остатки и остаточная сумма квадратов представлены в таблице 1.Дисперсию остатков /> оценим поформуле:
/>
/> – стандартная ошибка оценки.Построим график остатков (рис. 1)
/>
Рисунок 1
3. Проверимвыполнение предпосылок МНК на основе анализа остаточной компоненты (см. табл.1).
Независимостьостатков проверяется с помощью критерия Дарбина – Уотсона по формуле />, т.к. />=0,74,d1=1,08, d2=1,36, т.е. d
Дляобнаружения гетероскедастичности используем тест Голдфельда – Квандта:
1)Упорядочим наблюдения по мере возрастания переменной х.
2) Разделимсовокупность на 2 группы по 5 наблюдений и для каждой определим уравнениерегрессии. Воспользуемся инструментом Регрессия пакета Анализ данных,полученные результаты представлены в табл. 2.
Таблица 2
n
у1
Предсказанное у1
е1
е12
у2
Предсказанное у2
е2
е22 1 13 13,81 -0,81 0,66 22 22,46 -0,46 0,21 2 15 16,52 -1,52 2,30 26 25,73 0,27 0,07 3 19 16,52 2,48 6,16 26 27,60 -1,60 2,57 4 20 21,25 -1,25 1,57 27 28,07 -1,07 1,15 5 21 19,90 1,10 1,21 30 27,14 2,86 8,20 сумма 11,90 12,20
3)Определим остаточную сумму квадратов для первой /> и второй регрессии />.
4) Вычислимотношение />, т.к. Fнабл=0,98, Fкр(α, к1, к2)= Fкр(0,05,5,5) =5,05 (из таблицы критерия Фишера), Fнабл
4. Проверимзначимость параметров уравнения регрессии с помощью t‑критерия Стьюдента />Расчетные значения t‑критерия Стьюдента длякоэффициента уравнения регрессии а1 приведены в четвертом столбцепротокола Excel, полученном при использовании инструмента Регрессия (рис. 2).
/>
Рисунок 2
Табличноезначение t‑критерия Стьюдента 2,30. tрасч=6,92, так как tрасч>tтабл, то коэффициент а1 значим.
5. Значениекоэффициента детерминации (R – квадрат) можно найти в таблице Регрессионная статистика (рис. 2).Коэффициент детерминации/ Он показывает долю вариации результативного признакапод воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 85,7% вариации зависимойпеременной (объем выпуска продукции) учтено в модели и обусловлено влияниемвключенного фактора (объем капиталовложений).
Значение F – критерия Фишера можно найти в таблице протокола Excel (рис. 2), Fрасч=47,83. Табличное значение F – критерия при доверительной вероятности 0,05 равно 4,46, т. к. Fрасч>Fтабл, уравнение регрессииследует признать адекватным.
Определимсреднюю относительную ошибку аппроксимации? в среднем расчетные значения у для линейной моделиотличаются от фактических на 1% – хорошее качество модели.
6.Осуществим прогнозирование среднего значения показателя /> при уровне значимости />, если прогнозное значенияфактора Х составит 80% от его максимального значения.
Модельзависимости объема выпуска продукции от величины капиталовложений у=11,78+0,76х.Для того чтобы определить среднее значение фактора У при 80% максимальногозначения фактора Х, необходимо подставить Хпрогн=Хmax*0,8=22*0,8=17,6 вполученную модель: Упрогн=11,78+0,76*17,6=25,17
Дляпостроения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. КритерийСтьюдента (при v=n -2=10–2=8) равен 1,8595. Ширину доверительного интервалавычислим по формуле:
/>
/>,
такимобразом, прогнозное значение будет находиться между:
Yпрогн(80 % max)+= 25,17+7,26=32,43 – верхняя граница прогноза,
Yпрогн(80 % max) – =25,17–7,26=17,91 – нижняя граница прогноза.
7.Графическое представление (рис. 3) модели парной регрессии зависимости объемавыпуска продукции от объема капиталовложений: фактические и модельные значения /> точки прогноза.
/>
Рисунок 3
8.Уравнение гиперболической функции: y=a+b/x. Произведем линеаризацию путем замены Х=1/х. В результатеполучим линейное уравнение y=a+bХ. Рассчитаем его параметры поданным таблицы 3
Таблица 3
n
х
у
Х
уХ
Х2
y-ycp
(у-уср)2
Упр
ε
ε2
/ε/у/*100% 1 17 26 0,05882 1,52941 0,0035 4,1 16,81 24,3846 1,62 2,61 6,213 2 22 27 0,04545 1,22727 0,0021 5,1 26,01 25,066 1,93 3,74 7,163 3 10 22 0,10000 2,20000 0,0100 0,1 0,01 22,2859 -0,29 0,08 1,299 4 7 19 0,14286 2,71429 0,0204 -2,9 8,41 20,1015 -1,10 1,21 5,797 5 12 21 0,08333 1,75000 0,0069 -0,9 0,81 23,1354 -2,14 4,56 10,168 6 21 26 0,04762 1,23810 0,0023 4,1 16,81 24,9557 1,04 1,09 4,016 7 14 20 0,07143 1,42857 0,0051 -1,9 3,61 23,7422 -3,74 14,00 18,711 8 7 15 0,14286 2,14286 0,0204 -6,9 47,61 20,1015 -5,10 26,02 34,010 9 20 30 0,05000 1,50000 0,0025 8,1 65,61 24,8344 5,17 26,68 17,219 10 3 13 0,33333 4,33333 0,1111 -8,9 79,21 10,3929 2,61 6,80 20,054 сумма 219 20,0638 0,1843 265 219 0,00 86,80 124,65 ср. знач. 13,3 21,9 0,10757 2,00638 0,0184 12,465
/>,
получимследующее уравнение гиперболической модели: ỹ =27,38–50,97/х.
Уравнениестепенной модели имеет вид: у=а*хb. Для линеаризациипеременных произведем логарифмирование обеих частей уравнения: lgy=lga+blgx. Обозначим Y=lgy’, X=lgx, A=lga. Тогда уравнение приметвид Y=A+bX – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры,используя данные табл. 4:
Таблица 4
n
у
Y=lg(y)
х
X=lg(x)
YX
X2
yпр
ε
ε2
|ε/y|*100% 1 26 1,415 17 1,230 1,741 1,514 24,823 1,177 1,385 0,045 2 27 1,431 22 1,342 1,921 1,802 27,476 -0,476 0,226 0,018 3 22 1,342 10 1,000 1,342 1,000 20,142 1,858 3,452 0,084 4 19 1,279 7 0,845 1,081 0,714 17,503 1,497 2,242 0,079 5 21 1,322 12 1,079 1,427 1,165 21,641 -0,641 0,411 0,031 6 26 1,415 21 1,322 1,871 1,748 26,977 -0,977 0,955 0,038 7 20 1,301 14 1,146 1,491 1,314 22,996 -2,996 8,975 0,150 8 15 1,176 7 0,845 0,994 0,714 17,503 -2,503 6,263 0,167 9 30 1,477 20 1,301 1,922 1,693 26,464 3,536 12,505 0,118 10 13 1,114 3 0,477 0,531 0,228 12,537 0,463 0,214 0,036 сумма 219 13,273 10,589 14,322 11,891 0,939 36,630 0,764 ср. знач. 1,327 1,059 1,432 1,189 0,076
Уравнениерегрессии будет иметь вид: У=0,9103+0,3938*Х. Перейдем к исходным переменным хи у, выполнив потенцирование данного уравнения: ỹ=100,9103*х0,3938.
Получимуравнение степенной модели регрессии: ỹ=8,1339*х0,3938.
Уравнениепоказательной кривой:ỹ=а*bx. Осуществимлогарифмирование обеих частей уравнения: lgy=lga+x*lgb. Обозначим Y=lgy’, В=lgb, A=lga. Получим линейноеуравнение регрессии: Y=A+Вх. Рассчитаем его параметры, используя данныетабл. 5
Таблица 5
n
у
Y=lg(y)
х
Ух
х2
У-Уср
(У-Уср)2
х-хср
(х-хср)2
Упр
ε
ε2
|ε/y|*100% 1 26 1,415 17 24,0545 289 0,088 0,008 3,7 13,69 24,365 1,635 2,673 26 2 27 1,431 22 31,49 484 0,104 0,011 8,7 75,69 29,318 -2,318 5,375 27 3 22 1,342 10 13,4242 100 0,015 0,000 -3,3 10,89 18,804 3,196 10,21 22 4 19 1,279 7 8,95128 49 -0,049 0,002 -6,3 39,69 16,827 2,173 4,720 19 5 21 1,322 12 15,8666 144 -0,005 0,000 -1,3 1,69 20,248 0,752 0,565 21 6 26 1,415 21 29,7144 441 0,088 0,008 7,7 59,29 28,253 -2,253 5,076 26 7 20 1,301 14 18,2144 196 -0,026 0,001 0,7 0,49 21,804 -1,804 3,255 20 8 15 1,176 7 8,23264 49 -0,151 0,023 -6,3 39,69 16,827 -1,827 3,339 15 9 30 1,477 20 29,5424 400 0,150 0,022 6,7 44,89 27,226 2,774 7,693 30 10 13 1,114 3 3,34183 9 -0,213 0,046 -10,3 106,09 14,512 -1,512 2,285 13 сумма 219 13,273 133 182,832 2161 0,120 392,1 0,814 45,199 219 ср. зн 1,327 13,3 18,2832 216,1
Уравнение имеетвид: У=1,11+0,0161х. Перейдем к исходным переменным х и у,выполнив потенцирование уравнения:
ỹ =101,11(10 0,0161)х, ỹ=12,99*1,038х – уравнение показательной кривой.
Графикипостроенных уравнений регрессии приведены на рис. 4.
/>
Рисунок 4
9.Коэффициент детерминации: />
Длясравнения и выбора лучшей модели строим сводную таблицу результатов (табл. 6).
Таблица 6
Параметры
Модель коэффициент детерминации средняя относительная ошибка аппроксимации коэффициент эластичности гиперболическая 0,672 7,257 -0,250 степенная 0,862 0,034 0,239 показательная 0,829 3,82 0,010
Вывод: наосновании полученных данных лучшей является степенная модель регрессии, т. к.она имеет наибольший коэффициент детерминации R2=0,862, т.е. вариация факторного признака У (объем выпуска продукции)на 86,2% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений), инаименьшую относительную ошибку (в среднем расчетные значения для степенноймодели отличаются от фактических данных на 0,034%). Также степенная модельимеет наибольший коэффициент эластичности, т.е. при изменении фактора на 1%зависимая переменная изменится на 0,24%, таким образом степенную модель можновзять в качестве лучшей для построения прогноза.
Задача 2а и2б
Имеются дваварианта структурной формы модели, заданные в виде матриц коэффициентов модели.Необходимо для каждой матрицы записать системы одновременных уравнений ипроверить их на идентифицируемость.
Задача 2а
Решение.
Запишемсистему одновременных уравнений:
у1= b12у2+ b13у3+ a12х2+ a13х3
у2= b23у3+ a21х1+ a22х2+ a24x4
у3 = b32у2+ a31х1+ a32х2+a33х3
Проверимкаждое уравнение на выполнение необходимого и достаточного условияидентификации.
1) В первомуравнении три эндогенные переменные у1, у2, у3 (Н=3). В нем отсутствуютэкзогенные переменные х1, х4 (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H, 2+1=3 выполнено.
Дляпроверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов припеременных х1 и х4 (табл. 7)
Таблица 7Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных Переменные
х1
х4 2
a21
a24 3
a31
Определительматрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условиевыполнено, первое уравнение идентифицируемо.
2) Вовтором уравнении две эндогенные переменные у2, у3 (Н=2). В немотсутствует экзогенная переменная х3 (D=1). Необходимое условиеидентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.
Дляпроверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов припеременных у1 и х3 (табл. 8)
Таблица 8Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных Переменные
у1
х3 1
-1
a13 3
a33
Определительматрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условиевыполнено, второе уравнение идентифицируемо.
3) Втретьем уравнении две эндогенные переменные у2, у3 (Н=2). В немотсутствует экзогенная переменная х4 (D=1). Необходимое условиеидентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.
Дляпроверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов припеременных у1 и х4 (табл. 9)
Таблица 9Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных Переменные
у1
х4 1
-1 2
a24
Определительматрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условиевыполнено, третье уравнение идентифицируемо.
Вывод: всеуравнения системы идентифицируемы, систему можно решать.
Задача 2б
Решение
Запишемсистему уравнений:
у1=b13у3+a11х1+a13х3+a14х4
у2= b21у1+b23у3+a22х2+a24х4
у3=b31у1+a31х1+a33х3+a34х4
Проверимкаждое уравнение на выполнение необходимого и достаточного условияидентификации.
1) В первомуравнении две эндогенные переменные у1, у3 (Н=2). В нем отсутствуетэкзогенная переменная х2 (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.
Дляпроверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов припеременных у2 и х2 (табл. 10)
Таблица 10Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных Переменные
у2
х2 2 -1
a22 3 -1
Определительматрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условиевыполнено, первое уравнение идентифицируемо.
2) Вовтором уравнении три эндогенные переменные у1, у2, у3 (Н=3). В немотсутствуют экзогенные переменные х1, х3 (D=2). Необходимое условиеидентификации D+1=H, 2+1=3 выполнено.
Дляпроверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов припеременных х1 и х3 (табл. 11)
Таблица 11Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных Переменные
х1
х3 1
a11
а13 3
a31
a33
Определительматрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условиевыполнено, первое уравнение идентифицируемо.
3) Втретьем уравнении две эндогенные переменные у1, у3 (Н=2). В немотсутствует экзогенная переменная х2 (D=2). Необходимое условиеидентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.
Дляпроверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов припеременных у2 и х2 (табл. 12)
Таблица 12Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных Переменные
у2
х2 1 2 -1
a22
Определительматрицы равен нулю (первая строка состоит из нулей). Значит, достаточноеусловие не выполнено, и третье уравнение нельзя считать идентифицируемым.
Вывод: невсе уравнения системы идентифицируемы, систему решать нельзя.
Задача 2в
По даннымтаблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов(КМНК), построить структурную форму модели вида:
y1= a01 + b12 y2 + a11 x1 + e1
y2= a02 + b21 y1 + a22 x2 + e2
Вар.
n
y1
y2
x1
x2 8 1 61,3 31,3 9 7 2 88,2 52,2 9 20 3 38,0 14,1 4 2 4 48,4 21,7 2 9 5 57,0 27,6 7 7 6 59,7 30,3 3 13
Решение
Дляпостроения модели мы располагаем информацией, представленной в табл. 13.
Таблица 13.Фактические данные для построения модели
n
y1
y2
x1
x2 1 61,3 31,3 9 7 2 88,2 52,2 9 20 3 38 14,1 4 2 4 48,4 21,7 2 9 5 57 27,6 7 7 6 59,7 30,3 3 13 Сумма 352,60 177,20 34,00 58,00 Среднее значение 58,77 29,53 5,67 9,67
Структурнаяформа модели преобразуется в приведенную форму:
у1=d11x1+d12x2+u1
y2=d21x1+d22x2+u2, где u1 и u2 – случайные ошибки.
Для каждогоуравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применитьМНК. Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней у=у-усри х=х-хср. Преобразованные таким образом данные табл. 13сведены в табл. 14. Здесь же показаны промежуточные рассчеты, необходимые дляопределения коэффициентов d.
Таблица 14
n
у1
у2
х1
х2
у1*х1
х12
х1*х2
у1*х2
у2*х1
у2*х2
х22 1 2,53 1,77 3,33 -2,67 8,444 11,111 -8,889 -6,756 5,889 -4,711 7,111 2 29,43 22,67 3,33 10,33 98,111 11,111 34,444 304,144 75,556 234,222 106,778 3 -20,77 -15,43 -1,67 -7,67 34,611 2,778 12,778 159,211 25,722 118,322 58,778 4 -10,37 -7,83 -3,67 -0,67 38,011 13,444 2,444 6,911 28,722 5,222 0,444 5 -1,77 -1,93 1,33 -2,67 -2,356 1,778 -3,556 4,711 -2,578 5,156 7,111 6 0,93 0,77 -2,67 3,33 -2,489 7,111 -8,889 3,111 -2,044 2,556 11,111 Σ 0,00 0,00 0,00 0,00 174,333 47,333 28,333 471,333 131,267 360,767 191,333
Длянахождения коэффициентов первого приведенного уравнения можно использоватьсистему нормальных уравнений:
Σу1х1=d11Σx12+d12Σx1x2;
Σy1x2=d11Σx1x2+d12Σx22.
Подставляярассчитанные в табл. 14 значения сумм, получим:
174,333=47,333d11+28,333d12
471,333=28,333d11+191,333d12.
Решениеэтих уравнений дает значения d11=2,423, d12=2,105. Первое уравнение приведенной формы примет вид: у1=2,423х1+2,105х2+u1.
Длянахождения коэффициентов второго приведенного уравнения можно использоватьсистему нормальных уравнений:
Σу2х1=d21Σx12+d22Σx1x2
Σy2x2=d21Σx1x2+d22Σx22
Подставляярассчитанные в табл. 14 значения сумм, получим:
131,267=47,333d21+28,333d22
360,767=28,333d21+191,333d22.
Решениеэтих уравнений дает значения d21=1,805, d22=1,618. Второе уравнение приведенной формы примет вид: у2=1,805х1+1,618х2+u2
Дляперехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем х2из второго уравнения приведенной модели:
х2=(у2-1,805х1)/1,618.
Подставив этовыражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:
у1=2,423х1+2,105(у2-1,805х1)/1,618=2,423х1+1,3у2-1,115х1=1,3у2+1,308х1
Такимобразом, b12=1,3 а11=1,308.
Найдем х1из первого уравнения у1=2,423х1+2,105х2 приведеннойформы:
х1=(у1-2,105х2)/2,423
Подставив этовыражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:
у2=1,805(у1-2,105х2)/2,423+1,618х2=0,745 у1-0,868х2+1,618х2=0,745у1+0,75х2
Такимобразом, b21= 0,745 а22=0,75
Свободныечлены структурной формы находим из уравнений:
А01=у1, ср-b12у2, ср-а11х1, ср=58,77 – 1,3*29,53–1,308*5,67=14,04
А02=у2, ср-b21у1, ср-а22х2, ср=29,53–0,745*58,77–0,75*9,67=-5,83
Окончательныйвид структурной модели:
y1= a01 + b12 y2 + a11 x1 + e1=14,04+1,3у2+1,308х1+e1;
y2= a02 + b21 y1 + a22 x2 + e2=-5,83+0,745у1+0,75х2+ e2.