Спектральные характеристики
Демидов Р.А., ФТФ, 2105
Введение
В первой части работы я поставил себе цель описать линейные операторы в целом, а также подробно рассказать о важной характеристике спектра операторов – спектральном радиусе.
В этой части работы я подробнее остановлюсь на не менее важной характеристике спектров – резольвенте, и расскажу о связи этой характеристики с подвидами спектра оператора – с остаточным, точечным и непрерывными его частями. Вначале, опять же, необходимо остановиться на некоторых основных определениях и понятиях теории линейных операторов. Итак:
Пусть A — оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве E. Спектром оператораназывается множество всех его собственных значений.
Квадратную матрицу n×n можно рассматривать как линейный оператор в n-мерном пространстве, что позволяет перенести на матрицы «операторные» термины. В таком случае говорят о спектре матрицы.
Пусть A — оператор, действующий в банаховом пространстве E над полем k. Число λназывается регулярнымдля оператора A, если оператор R(λ) = (A − λI)-1, называемый резольвентой оператораA, определён на всём E и непрерывен.
Множество регулярных значений оператора A называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества — спектром этого оператора.
Максимум модулей точек спектра оператора A называется спектральным радиусом этого оператора и обозначается через r(A). При этом выполняется равенство:
/>
Это равенство может быть принято за определение спектрального радиуса, приусловии существования данного предела.
Теперь рассмотрим состав самого спектра. Он неоднороден, и состоит из следующих частей:
дискретный (точечный) спектр — множество всех собственных значений оператора A — только точечный спектр присутствует в конечномерном случае;
непрерывный спектр— множество значений λ, при которых резольвента (A — λI)-1определена на всюду плотном множестве в E, но не является непрерывной;
остаточный спектр— множество точек спектра, не входящих ни в дискретную, ни в непрерывную части.
Таким образом, мы видим, что спектр оператора состоит из 3-х больших частей, принципиально различных.
Свойства резольвенты
Теорема 1: />ограничен. Тогда />является регулярной точкой.
Доказательство./>. Пусть/>. Тогда />.
/>— банахово, />, причем он ограничен:
/>
Резольвента существует и ограничена. Чтд.
Теорема 2:/>не принадлежит точечному спектру />осуществляет биекцию />на />.
Доказательство.
Если построена биекция, то не существует />, за исключением тривиальной.
Если — точка точечного спектра, то />, что противоречит биективности />.
Теорема 3: (Тождество Гильберта) />
Доказательство.
/>,/>,
/>,/>верно => Чтд.
Следствия:
/>— коммутативность резольвенты.
/>(т.к. />непрерывна по />в точке />), т.е. она бесконечно дифференцируема (аналитическая функция).
Итак, />— аналитическая оператор-функция на множестве регулярных точек (резольвентном множестве). />— разложение в ряд Лорана (имеет место при />, но, возможно, и в большей области).
Упражнение: (Примеры вычисления спектрального радиуса) –PAGE_BREAK–
/>,
/>/>.
Возьмем/>.Тогда
/>
Таким образом />. Эта оценка достижима при />, т.е. />, и rc(A)=1.
Теорема 4:всякая к.ч />, есть регулярная точка самосопряженного оператора A.
Доказательство.
]/>регулярная точка, значит />не собственное значение и />. Проверим ограниченность />.
/>/>
/>/>
/>ограничен, />и его можно распространить на />с сохранением нормы оператора, так как />не собственое значение. Если при этом />не замкнуто, то />не замкнут. При этом линейный оператор, обратный к замкнутому, а также сопряженный к нему, замкнут => самосопряженный оператор замкнут.
Спектральная теория в электронике
Полезнейшим приложением спектральной теории в физике является теория спектров электрических сигналов. Суть теории состоит в том, что любой сигнал на входе линейной цепи возможно представить совокупностью гармонических колебаний, или тестовых сигналов, заданной частоты, вопрос такого разложения состоит в нахождении амплитуд результирующих колебаний. Последние вычисляются определенным образом.
/>
Классическое преобразование Фурье представляет из себя линейный оператор.
Спектральная теория здесь работает следующим образом – для периодических входных сигналов для нахождения соответствующих амплитуд используется интегральное преобразование – дискретный Фурье- образ:
/>
/>
/>
/>
в котором разложение начинается с частоты следования wк. В данном случае очевидно, что, раз выходной сигнал представляется суммой бесконечного ряда, то мы имеем дело с точечным спектром сигнала, поскольку он дискретен. Следовательно, любое периодическое колебание можно рассматривать как сигнал с дискретным спектром, поскольку непрерывным спектромон не обладает. Однако, если же взять непериодический сигнал, например, единичный прямоугольный импульс, то вводится понятия прямого и обратного преобразований Фурье:
/>/>,
где S(w) – спектральная плотностьсигнала s(t).
Соответственно, S(w) – непрерывная по w функция, и в данном.
Заключение
В работе не ставилась цель охватить весь курс спектральной теории и спектрвльных характеристик, а ставилась цель изучить основные спектральные характеристики линейных операторов, и обрисовать применение этих понятий. Опять же, класс Фурье преобразований включает в себя намного больший объем, чем тот, о котором упомянуто в работе, они используются в теории алгоритмов при кодировке и сжатии информации в цифровом формате изображений JPEG, в вейвлет — преобразованиях. Новое поколение функциональной электроники содержит на элементарном уровне элементы, способные производить непрерывные преобразования Фурье и Лапласа, что намного ускоряет работу электронных устройств.
В общем и целом, наряду с первой частью работа дает представление о б основных спектральных характеристиках линейных операторов и их применении в различных областях математики, информатики и физики.
Список литературы
Лекции по математической физике, Попов И.Ю., СПбГУ ИТМО, кафедра высшей математики.
Элементы теории функций и функционального анализа, А.Н. Колмогоров и С.В. Фомин.
Теория цепей и сигналов, Новиков Ю.Н.
Свободная энциклопедия Википедия.
Сжатие данных, изображения и звука, Д. Сэломон.