ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Степенные ряды
Содержание
1. Определение степенного ряда.Теорема Абеля
2. Свойства степенных рядов
3. Ряды Тейлора, Маклорена дляфункций
4. Разложение некоторых элементарныхфункций в ряд Маклорена
5. Приложения степенных рядов
1. Определение степенного ряда.Теорема Абеля
Степенные ряды являются частнымслучаем функциональных рядов.
Определение 1.1. Степенным рядом называетсяфункциональный ряд вида />.(1.1)
Здесь /> –постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда;а – некоторое постоянное число, х – переменная, принимающаязначения из множества действительных чисел.
При /> степеннойряд (1.1) принимает вид
/>. (1.2)
Степенной ряд (1.1) называют рядомпо степеням разности />, ряд(1.2) – рядом по степеням х.
Если переменной х придатькакое-либо значение, то степенной ряд (1.1) (или (1.2)) превращается в числовойряд, который может сходиться или расходиться.
Определение 1.2. Областью сходимостистепенного ряданазывается множество тех значений х, при которыхстепенной ряд сходится.
Ряд (1.1) с помощью подстановки /> приводится к более простомувиду (1.2), поэтому вначале будем рассматривать степенные ряды вида (1.2).
Для нахождения области сходимостистепенного ряда важную роль играет следующая теорема.
Теорема 1.1 (Теорема Абеля):
если степенной ряд (1.2) сходится при/>, то он абсолютно сходитсяпри всех значениях х, удовлетворяющих неравенству />;если же ряд (1.2) расходится при />, то онрасходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству />.
Теорема Абеля дает ясноепредставление о структуре области сходимости степенного ряда.
Теорема 1.2:
область сходимости степенного ряда(1.2) совпадает с одним из следующих интервалов:
1) />;2) />; 3) />; 4) />,
где R– некоторое неотрицательноедействительное число или />.
Число R называется радиусом сходимости,интервал /> – интерваломсходимости степенного ряда (1.2).
Если />,то интервал сходимости представляет собой всю числовую ось />.
Если />,то интервал сходимости вырождается в точку />.
Замечание: если /> –интервал сходимости для степенного ряда (1.2), то /> –интервал сходимости для степенного ряда (1.1).
Из теоремы 1.2 следует, что дляпрактического нахождения области сходимости степенного ряда (1.2) достаточнонайти его радиус сходимости Rи выяснить вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала сходимости />, т. е. при /> и />.
Радиус сходимости R степенного ряда можно найти по однойиз следующих формул:
формула Даламбера:
/>;(1.3)
формула Коши:
/>.(1.4)
Если в формуле Коши />, то полагают />, если />, то полагают />.
Пример 1.1. Найти радиус сходимости, интервалсходимости и область сходимости степенного ряда />.
Решение
Найдем радиус сходимости данного рядапо формуле
/>
В нашем случае
/>, />.
Тогда />.
Следовательно, интервал сходимостиданного ряда имеет вид />.
Исследуем сходимость ряда на концахинтервала сходимости.
При /> степеннойряд превращается в числовой ряд
/> .
который расходится как гармоническийряд.
При /> степеннойряд превращается в числовой ряд
/> .
Это – знакочередующийся ряд, членыкоторого убывают по абсолютной величине и />. Следовательно, по признакуЛейбница этот числовой ряд сходится.
Таким образом, промежуток /> – область сходимостиданного степенного ряда.
2. Свойства степенных рядов
Степенной ряд (1.2) представляетсобой функцию />, определенную винтервале сходимости />, т. е.
/>.
Приведем несколько свойств функции />.
Свойство 1. Функция /> является непрерывной налюбом отрезке />, принадлежащеминтервалу сходимости />.
Свойство 2. Функция /> дифференцируема наинтервале />, и ее производная /> может быть найденапочленным дифференцированием ряда (1.2), т. е.
/>
/>,
для всех />.
Свойство 3. Неопределенный интеграл отфункции /> для всех /> может быть полученпочленным интегрированием ряда (1.2), т. е.
/>
/>
для всех />.
Следует отметить, что при почленномдифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости R не меняется, однако его сходимостьна концах интервала /> можетизмениться.
Приведенные свойства справедливытакже и для степенных рядов (1.1).
Пример 2.1. Рассмотрим степенной ряд
/>.
Область сходимости этого ряда, какпоказано в примере 1.1, есть промежуток />.
Почленно продифференцируем этот ряд:
/>
/>.(2.1)
По свойству 2 интервал сходимостиполученного степенного ряда (2.1) есть интервал />.
Исследуем поведение этого ряда наконцах интервала сходимости, т. е. при /> ипри />.
При /> степеннойряд (2.1) превращается в числовой ряд
/> .
Этот числовой ряд расходится, так какне выполняется необходимый признак сходимости />:/>, который не существует.
При /> степеннойряд (2.1) превращается в числовой ряд
/> ,
который также расходится, так как невыполняется необходимый признак сходимости.
Следовательно, область сходимостистепенного ряда, полученного при почленном дифференцировании исходногостепенного ряда, изменилась и совпадает с интервалом />.
3. Ряды Тейлора, Маклорена дляфункций
Пусть /> –дифференцируемая бесконечное число раз функция в окрестности точки />, т. е. имеет производныелюбых порядков.
Определение 3.1. Рядом Тейлорафункции /> в точке /> называется степенной ряд
/>
/>. (3.1)
В частном случае при /> ряд (3.1) называется рядомМаклорена:
/>. (3.2)
Возникает вопрос: в каких случаях рядТейлора для дифференцированной бесконечное число раз функции /> в окрестности точки /> совпадает с функцией />?
Возможны случаи, когда ряд Тейлорафункции /> сходится, однако егосумма не равна />.
Приведем достаточное условиесходимости ряда Тейлора функции /> кэтой функции.
Теорема 3.1:
если в интервале /> функция /> имеет производные любогопорядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом, т.е. />, то ряд Тейлора этойфункции сходится к /> для любого х изэтого интервала />, т. е. имеетместо равенство
/>.
Для выяснения выполнения этогоравенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования.
Следует отметить, что если функцияразлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена)этой функции, причем это разложение единственно.
4. Разложение некоторых элементарныхфункций в ряд Маклорена
1. />.Для этой функции />, /> .
По формуле (3.2) составим рядМаклорена данной функции:
/>. (3.3)
Найдем радиус сходимости ряда (3.3)по формуле (1.3):
/>.
Следовательно, ряд (3.3) сходится прилюбом значении />.
Все производные функции /> на любом отрезке /> ограничены, т. е.
/> .
Поэтому, согласно теореме 3.1, имеетместо разложение
/>. (3.4)
2. />.Для этой функции />, />, /> .
Отсюда следует, что при /> производные четногопорядка равны нулю, а производные нечетного порядка чередуют знак с плюса наминус.
По формуле (3.2) составим рядМаклорена:
/> .
При любом фиксированном значении этотряд сходится как знакочередующийся по признаку Лейбница. При этом
/> />/>.
Поэтому, согласно теореме 3.1, имеетместо разложение
/>. (3.5)
3. />.Воспользуемся разложением (3.5) в ряд Маклорена функции /> и свойством 2 одифференцировании степенного ряда. Имеем
/>
/>
/> . (3.6)
Поскольку при почленномдифференцировании интервал сходимости степенного ряда не изменяется, торазложение (3.6) имеет место при любом />.
Приведем без доказательстваразложения других элементарных функций в ряды Маклорена.
4. />
/> – биномиальный ряд (/> – любое действительноечисло).
Если /> –положительное целое число, то получаембином Ньютона:
/>.
/> – логарифмический ряд.
/>.
5. Приложения степенных рядов
Степенные ряды находят применение втаких задачах, как приближенное вычисление функций с заданной степеньюточности, определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений и др.
Приближенное значение функциивычисляют, заменяя ряд Маклорена этой функции конечным числом его членов.
Приведем приближенные формулы длявычисления некоторых наиболее часто встречающихся функций при достаточно малыхзначениях х:
/>; />; />; />;
/>; />.
Литература
1. Высшая математика: Общий курс:Учебник – 2-е изд., перераб. / А.И. Яблонский, А.В. Кузнецов, Е.И. Шилкина идр.; Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000.– 351 с.
2. Марков Л.Н., Размыслович Г.П.Высшая математика. Ч. 2. Основы математического анализа и элементыдифференциальных уравнений. – Мн.: Амалфея, 2003. – 352 с./>