КОНТРОЛЬНА РОБОТАз дисципліни “Основи фінансової та актуарної математики”
1. Задача № 1(Варіант №1)
Визначитивідсотки І, суму накопиченого боргу S, якщо позичка дорівнює Р, термін позички n, відсотки прості по ставці і.
Р = 600000
n = 3
i = 20%Рішення
1. Розраховуємо суму накопиченого боргу S для постійних простих відсотків,заданих в якості річної відсоткової ставки та для строку позички в цілих роках.Повернення позички та нарахованих відсотків – після закінчення строкукредитного договору.
/>
2. Розраховуємо суму відсотків закредит:
/>
2. Задача № 2(Варіант №1)
Є зобов’язання погасити за 2 роки (з12.03.2000 по 12.03.2002 р.) борг у сумі 15 млн.грн. Кредитор згоднийодержувати часткові платежі. Відсотки нараховуються по ставці 20% річних.Часткові надходження характеризуються наступними даними (тис. грн.):
– 12.04.2000р. – 550 тис. грн.
– 12.09.2000р. – 5 000 тис.грн.
– 30.06.2001р. – 6 000 тис. грн.
– 12.09.2001р. – 3 000 тис. грн.
– 12.03.2002 р. —? (залишок) тис. грн.
Використовуючиактуарний метод, розв’язати завдання та скластиконтур операції.Рішення
1. Оскільки часткові суми кредитупогашаються нерівними частинами помісячно з різним терміном, розрахункипроведемо для реальної тривалості року 365(366) днів при заданій простій річнійвідсотковій ставці і = 20%.
2. Складаємо вихідний контур операції.
Згідно звихідними даними, нам відома початкова сума позичкового боргу Р = 15 млн. грн. та перші чотири суми S1 – S4 накопленого боргу, які знаходилися в боржника на протязі строків t1 – t4, указаних в табл. 2.1.Остання п’ята сума частковогоповернення боргу S5 знаходилась у боржника на протязіповного строку позички t5= 2,0 роки = 366+365 = 731 день (враховуючи, що 2000 рік – високосний).
Таблиця 2.1 — Показникивихідного контуру позичкової операції№ п/п Назва операції Сума операції, тис.грн. Розрахунковий строк позички, днях 1. Отримання кредиту Р 15 000 731 2. Повернення першої частини кредиту та нарахованих відсотків S1 — 550 31 3. Повернення другої частини кредиту та нарахованих відсотків S2 -5 000 183 4. Повернення третьої частини кредиту та нарахованих відсотків S3 -6 000 482 5. Повернення четвертої частини кредиту та нарахованих відсотків S4 -3 000 548 6. Повернення п’ятої частини кредиту та нарахованих відсотків S5 ? 731
3. За даними табл. 2.1 розраховуємоокремо суми часткового повернення основної суми кредиту P(i) та сплачених нарахованих відсотків I(i) за формулою:
/> (2.1)
За формулою (2.1)розраховуємо суми P(i) та I(i) для перших 4-х періодів.
Розрахувавшичасткові суми повернення Р1-Р4, розраховуємо остаточну суму Р5 позикового боргуна кінець строку позикового договору.
/>
/>
/>
/>
/>
4. Розраховуємозагальну суму накопленого позикового боргу S(5) та суму нарахованих відсотків І(5) за формулами:
/> (2.2)
/>
5. Враховуючирезультати проведених розрахунків будуємо результативний контур позичковоїоперації (табл. 2.2):
Таблиця 2.2 — Показникирезультативного контуру позичкової операції№ п/п Назва операції Сума операції, тис.грн. Розра-хунковий строк позички, днях Сума частко-вого повернен-ня кредиту, тис.грн. Сума сплачених відсотків в тис.грн. 1. Отримання кредиту Р 15 000 731 – – 2. Повернення першої частини кредиту та нарахованих відсотків S1 — 550 31 540,8 9,2 3. Повернення другої частини кредиту та нарахованих відсотків S2 -5 000 183 4 545,5 454,5 4. Повернення третьої частини кредиту та нарахованих відсотків S3 -6 000 482 4 744,6 1 255,4 5. Повернення четвертої частини кредиту та нарахованих відсотків S4 -3 000 548 2307,7 692,3 6. Повернення п’ятої частини кредиту та нарахованих відсотків S5 -4 007,5 731 2 861,4 1 146,1 Загальна сума операції -18 555,7 15 000 3 555,7 Загальне подорожчання позики за 2,0 роки 23,72% Ефективна річна ставка кредиту Р 11,86%
3. Задача № 3(Варіант №1)
Є зобов’язання погасити за 2 роки (з12.03.2000 по 12.03.2002 р.) борг у сумі 15 млн.грн. Кредитор згоднийодержувати часткові платежі. Відсотки нараховуються по ставці 20% річних.Часткові надходження характеризуються наступними даними (тис.грн.):
– 12.04.2000р. – 550 тис.грн.
– 12.09.2000р. – 5 000 тис.грн.
– 30.06.2001р. – 6 000 тис.грн.
– 12.09.2001р. – 3 000 тис.грн.
– 12.03.2002 р. —? (залишок) тис.грн.
Використовуючиметод торговця, розв’язати завдання.Рішення
Нарощуванняпервинної суми кредиту за відсотковою ставкою по формулі (3.1) попередньоїзадачі має назву декурсивного методу нарахування відсотків (абоактуарного методу нарахування відсотків).
Окрім відсоткової ставки і існує обліковаставка d (інша назва – ставка дисконту), величина якої визначається формулою:
/> (3.1)
де D – сумма дисконта, як різниця між сумою позикиР та нарощеної суми загального позикового боргу S на момент погашення позики.
Хоч, в основному облікова ставка застосовується вдисконтуванні, тобто в процесі, обратному до нарахування відсотків, іноді вона застосовується длянарощення методомантисипативних відсотків (метод торгівця).
Нарахуванняпростих декурсивних та антисипативних відсотків в нарощених сумахпозикових боргів виконується за різними формулами:
– декурсивні відсотки (актуарний метод):
/> (3.2)
– антисипативні відсотки (метод торгівця):
/> (3.3)
n – тривалість позики в роках.
Відповідно зформулами (3.2), (3.3) ставка дисконту d, еквівалентна відсотковій ставці і,розраховується по формулам:
/>(3.4)
Відповідно,проста річна ставка дисконту d в задачідорівнює:
/>
За формулою(3.3), використовуючи вихідні дані табл.2.1, розраховуємо суми P(i) та I(i) для перших 4-х періодів.Розрахувавши часткові суми повернення Р1-Р4, розраховуємо остаточну суму Р5позикового боргу на кінець строку пози-кового договору.
/>
/>
/>
/>
/>
4. Розраховуємозагальну суму накопленого позикового боргу S(5) та суму нарахованих відсотків І(5) за формулами:
/> (2.2)
/>
5. Враховуючирезультати проведених розрахунків будуємо результативний контур позичковоїоперації (табл. 3.1):
Таблиця 3.1 — Показникирезультативного контуру позичкової операції№п/п Назва операції Сума операції, тис.грн. Розра-хунковий строк позички, днях Сума частко-вого повернен-ня кредиту, тис.грн. Сума сплачених відсотків в тис.грн. 1. Отримання кредиту Р 15 000 731 – – 2. Повернення першої частини кредиту та нарахованих відсотків S1 — 550 31 543,3 6,7 3. Повернення другої частини кредиту та нарахованих відсотків S2 -5 000 183 4 642,0 358,0 4. Повернення третьої частини кредиту та нарахованих відсотків S3 -6 000 482 4 866,2 1 133,8 5. Повернення четвертої частини кредиту та нарахованих відсотків S4 -3 000 548 2357,0 643,0 6. Повернення п’ятої частини кредиту та нарахованих відсотків S5 -3 629,6 731 2 591,5 1 038,1 Загальна сума операції -18 179,6 15 000 3 179,6 Загальне подорожчання позики за 2,5 роки 21,2% Ефективна річна ставка кредиту Р 10,6%
4. Задача № 4(Варіант №1)
Якого розмірудосягне борг, рівний Р, через n років прирості по складній ставці проценту і річних?
Р = 800000
n = 5
I = 15%Рішення
1.Розраховуємо суму накопиченого боргу S для постійних складних відсотків, заданих в якості річноївідсоткової ставки та для строку позички в цілих роках. Повернення позички танарахованих відсотків – після закінчення строку кредитного договору.
/>
2. Розраховуємо суму відсотків закредит:
/>
5. Задача № 5(Варіант №1)
Позику (борг)1000000 грн. надано під 10% річних (складних) на 3 роки. Визначити річні(рівні) термінові сплати по погашенню боргу та нарахованих процентів.Рішення
1. Серія n виплат, розміри яких рівні,здійснюваних наприкінці кожного періоду(року), називається рентоюпостнумерандо.
2. Щорічнісплати основної суми та нарахованих відсотків станови-тимуть за формулоюнарощеної суми боргу з складними відсотками:
/>
6. Задача № 6(Варіант №1)
Існують такі даніпо страховій компанії за чотири квартали звітного року, тис. грн.Квартал Страхова сума, тис.грн. Сума виплат, тис.грн. I 32000 1500 II 32890 1350 ІІІ 34400 1480 IV 35000 1420
У звітному роціумови страхування були стабільні, величина навантаження у тарифній ставці –25%. З ймовірністю 0,95 розрахуйте нетто-ставку і брутто-ставку.Рішення
1. Показникзбитковості страхової суми (У) являє собою відношення сплаченого страховоговідшкодування (SВ) до страхової суми всіх об’єктів страхування (SС):
/>
або 4,69 грн./на 100 грн. страхової суми;
/>
або 4,10 грн./на 100 грн. страхової суми;
/>
або 4,30 грн./на 100 грн. страхової суми;
/>
або 4,06 грн./на 100 грн. страхової суми;
2.Нетто-ставка зі страхування розраховується за даними 4 кварталів страхових виплат якматематичне очікування показника збитковості страхової суми МУ + 2 s -середньоквадратичнихвідхилення (з рівнем гарантування ймовірної упевненості 0,954).
/>
/>
Тн(нетто-ставка)= 4,2875% + 2*0,2881% =4,8637%
Як видно ізпорівняння розрахованої нетто-ставки з фактичними даними розрахунків, ймовірнамаксимальна нетто-ставка вища ніж фактичні значення, що характерно для малогообсягу статистичних вибірок (за рахунок здвигів у середньоквадратичномувідхиленні).
3. Тарифна ставка, за якоюукладається страховий договір, називається брутто-ставкой. Вона складається здвох частин: нетто-ставки і навантаження. Нетто-ставка – це ціна страховогоризику. Навантаження – вартість, яка покриває витрати страховика з організаціїта ведення страхової справи, а також містить елементи прибутку.
Загальна методика розрахунку брутто-ставки має вигляд:
/> (6.1)
де Тб – брутто-ставка, % від страхової суми;
Тн – нетто-ставка, % від страхової суми;
Нс – статті навантаження (витрати страховика та йогоприбуток), в абсолютних процентах від страхової суми;
Н0– регламентовані статті навантаження в процентах відбрутто-ставки;
Брутто – ставка зврахуванням заданого навантаження розраховується як:
/>
7. Задача № 7(Варіант №1)
Існують такі даніпо страховій компанії за п’ятьроків, тис. грн.