Математичний розвиток молодшихшколярів водночас є метою і результатом початкової математичної освіти, якийуявляється складним мисленнєвим процесом, структурно-цілісним, інтегративним засуттю та дискретним і диференційованим за формою. Інтелектуальна здатністьмолодшого школяра до виконання математичних дій у їх системному взаємозв’язкувизначається достатнім рівнем сформованості пізнавальних процесів, мотиваційноїсфери, досвіду навчально-творчої діяльності. У навчальному процесі формуваннягнучкості, рухливості розумових операцій в учнів початкової школи здійснюється поступовоза допомогою навчальних завдань різної складності: від традиційних донестандартних.
Складаннянестандартної задачі потрібно розпочинати із вибору параметрів, який маєузгоджуватися із темою уроку, вивченим учнями математичним матеріалом напопередніх уроках, підготовленістю молодших школярів до виконання завданьпідвищеної складності.
Нестандартнізадачі охоплюють клас завдань математичного змісту, які не мають визначеногоспособу розв’язування і передбачають виконання попереднього аналізу числовихданих умови, моделювання за сюжетною лінією, встановлення логіки зв’язків міжданими та шуканими величинами, які не подаються безпосередньо. До таких задачвідносимо ті, які у підручниках з математики для початкової школи (автор М.В. Богданович)позначені «зірочкою». На уроках ці задачі розглядаються вибірково,однак досить часто пропонуються учням для самостійного опрацювання. Задачі із«зірочкою» не мають однозначного методичного обґрунтування чипояснення щодо узагальненого способу знаходження відповіді та передбачаютьдостатньо розвинений логічний апарат учнів для їх розв’язування.
Длявчителя сучасної початкової школи однією із умов його професійноїкомпетентності є високий рівень володіння методикою розв’язування нестандартнихзадач в умовах класу, уміннями інтерпретувати спосіб розв’язування, а такожтехнологією їх складання. Основні дидактичні цілі використання нестандартнихзадач з математики полягають у:
•створенні дидактичних ситуацій, спрямованих на збагачення математичногоматеріалу завданнями нових типів, а саме, розвивального спрямування;
•стимулюванні концептуального, емоційного та мотиваційного складниківособистості молодшого школяра під час розв’язування нестандартних задач;
•розвитку пошукових структур мисленнєвої діяльності на математичному матеріалізавдяки підсиленню, активізації логічної складової.
Складністьнестандартної задачі залежить від багатьох чинників, з-поміж яких назвемосуб’єктивний (вік дітей, рівень розвитку їхньої пізнавальної діяльності,наявність математичних здібностей, досвіду творчої діяльності) та об’єктивний(стандарти математичної освіти, зміст програми, наявність навчально-методичноїлітератури).
Умовнакласифікація нестандартних задач, основою якої обрано зміст навчання математикиу початкових класах:
1.Задачі з варіативними сенсорними ознаками (формою, кольором, величиною).
2.Задачі на обчислення (логіка нумерації, різницеві парадокси, на залежність міжкомпонентами та результатами дій, абстрактного змісту, на поєднання виконанняарифметичних дій).
3.Задачі із відношеннями між величинами (порівняння довжин відрізків, віку; назміну площ, об’ємів, маси, віку; визначення дня тижня).
4.Задачі геометричного змісту (на просторову орієнтацію, метричні і позиційнізадачі).
5.Задачі на рух.
Технологіяскладання нестандартних задач полягає у:
а)визначенні параметрів задачі, які покладаються в основу її сюжетної лінії.Наприклад, відстань між двома населеними пунктами; числа; зріст дітей; довжинавідрізків; вік хлопчика і дівчинки тощо. Диференціація параметрів длянестандартної задачі пов’язана також із тими функціями, які вони виконують підчас складання і розв’язування задач, а саме із забезпеченням предметної талогічної складових задачі;
б)виборі зв’язків між обраними параметрами, що визначається конкретною темою,дидактичним навантаженням завдань;
в)складанні тексту задачі, структурно цілісного з чітко сформульованою сюжетноюлінією.
Основнимипараметрами у технологічному підході до складання нестандартних задач визначенотакі:
а)об’єкти дії як операторна основа у складанні сюжетної лінії задачі та кількістьоб’єктів;
б)відношення (кількісні, просторові, часові, за величиною, подільності, логічногослідування, порядку, а саме: більше — менше; вище — нижче; старше — молодше;важче — легше; далі — ближче; довше — коротше; швидше — повільніше; справа —зліва; вгорі — внизу); порівняльна характеристика предметів (довший — коротший,більший — менший, старший — молодший тощо);
в)логічні операції (заперечення, кон’юнкція, диз’юнкція, імплікація,еквіваленція), закони логіки (тотожності, виключеного третього, достатньоїпідстави, подвійного заперечення, силогізму та інші), форми логічного мислення(поняття, судження, висновок), прийоми логічного мислення (аналіз, синтез,порівняння, аналогія, абстрагування, узагальнення, конкретизація).
Складаннянестандартної задачі потрібно розпочинати із вибору параметрів, який маєузгоджуватися із темою уроку, вивченим учнями математичним матеріалом напопередніх уроках, підготовленістю молодших школярів до виконання завдань підвищеноїскладності.
Продемонструюна конкретних прикладах технологію складання задач з однією логічною операцією.
Приклад1. Складання задачі зсенсорними ознаками до теми «Доцифровий період».
Параметри:Об’єкти дії — ялинка, дуб. –
Кількістьоб’єктів — 2. –
Відношення— «вище».
Логічнаоперація — заперечення.
Задача.Біля будинку росли ялинка та дуб. Ялинка була не вища, ніж дуб. Яке із дереввище?
Приклад2. Складання задачі ізчасовими відношеннями до теми «Табличне додавання і віднімання з переходомчерез десяток».
Параметри:Об’єкти дії — брат, сестра. –
Кількістьоб’єктів — 2. –
Відношення— «молодше». –
Логічнаоперація — імплікація.
Задача.Якщо брату 4 роки і він молодший від своєї сестри на 4 роки, то скільки роківбуде сестрі через 4 роки?
Задача.Якщо брату два роки тому було 9 років і він на шість років молодший від сестри,то скільки років сестрі зараз?
Задача.Якщо сестра молодша за брата на п ‘ять років і через три роки її вік складатиме12років, то якого віку брат?
Задача.Якщо чотири року тому вік сестри складав 8 років і вонамолодша від брата на чотири роки, то скільки років братові зараз?
Приклад3. Складання позиційнихзадач геометричного змісту до теми «Прямокутник».
Параметри:Об’єктидії — круг, прямокутник, трикутник. –
Кількістьоб’єктів — 3. –
Відношення- «справа — зліва». –
Логічнаоперація — імплікація.
Задача.Якщо трикутник перший справа, а прямокутник перший зліва, то як будутьрозташовані фігури зліва направо?
Задача.Якщо круг перший справа, а трикутник — не другий зліва, то як будутьрозташовані фігури справа наліво?
Приклад4. Складання задачі налогіку нумерації до теми «Нумерація чисел у межах 100».
Параметри:Об’єктдії — двоцифрове число. –
Кількістьоб’єктів — 1. –
Відношення— «більше — менше». –
Логічнаоперація — кон’юнкція.
Задача.Записати число третього десятка, яке закінчується парною цифрою і ділиться на7.
Задача.Записати двоцифрове число парними цифрами і щоб кількість десятків була на 6більша, ніж кількість одиниць.
Задача.Записати двоцифрове непарне число, яке більше 39 і менше 43.
Задача.Назвати найбільше і парне двоцифрове число.
Приклад5. Складання задачі на поєднання дій до теми«Багатоцифрові числа».
Параметри:Об’єктдії — багатоцифрові числа. –
Кількістьоб’єктів — 2. –
Відношення- «подільності». –
Логічнаоперація — кон’юнкція.
Задача.Частки першого невідомого числа та числа 38 і другого невідомого та числа27однакові. Це число 9558. Знайти перше і друге невідомі числа.
Задача.Різниця двох чисел дорівнює 108695 і вона (різниця) у 5разів менша за більше ізчисел. Знайти невідомі числа.
Задача.Сума двох чисел дорівнює 188232 і одне із чисел більше за друге у 32рази.Знайти невідомі числа.
Задача.Сума двох чисел дорівнює 188232 і вона (сума) більша за одне із чисел у 33рази.Знайти невідомі числа.
За д а ч а. Різниця двох чисел дорівнює 32081 і їхсума — 93417. Знайти невідомі числа.
Задача.Перше число більше за друге у 17разів, але менше затретє у 3 рази. Різниця між першим і третім числом складає 175812. Назвати всічисла.
Наведенівище приклади ілюструють складання найпростіших задач з однією логічноюоперацією, тоді як нестандартні задачі містять не тільки логічні операції, а йформи та прийоми мислення у певному поєднанні з прямим чи оберненим ходомрозмірковувань.
Проаналізуємоодну із нестандартних задач на предмет параметрів у аспекті технологічногопідходу. Для цього оберемо задачу № 961 із підручника математики для 3 класу(автор М.В.Богданович).
Задача.Ліхтарик з батарейкою коштує 4 грн. Хлопчик на всігроші, які були в нього, міг купити ліхтарик або 4 батарейки. Скільки грошейбуло у хлопчика?
Аналіззадачі. З умови задачі (Хлопчик на всі гроші,які були в нього, міг купити ліхтарик або 4 батарейки) можна зробити висновок,що ліхтарик та 4 батарейки коштують однаково. За прийомом аналогії формулюєтьсясудження про вартість ліхтарика з батарейкою. (Вартість ліхтарика з батарейкоюдорівнює вартості 5 батарейок, а саме 4 грн), звідси ціна батарейкиобчислюється діленням: 400: 5 = 80 (к.). Наступне судження: Якщо цінабатарейки 80 к., а хлопчик міг купити 4 батарейки, то у нього було: 80 • 4 =320 (к.). Відповідь: 3 грн20к.
Отже,у задачі параметрами є: об’єкти дій — батарейка, ліхтарик; відношення — коштують однаково; логічний апарат — прийом аналогії, силогістичне судження,висновок.
Наступнийетап складання нестандартних задач полягає у виборі зв’язків між шуканимивеличинами та об’єктами дій або між об’єктами дій. Вибір відношень пов’язанийяк з об’єктами дії, так і з їх кількістю. Подамо різні випадки прикладівнестандартних задач, складених з урахуванням вибору конкретних відношень:
а)між показниками одного об’єкта дії.
Задача.Максиму три роки тому було 3 роки. Скільки йому буде років через три роки?
Задача.Відрізок збільшили на 6 см і він став втричі довший. Якої довжини був відрізокспочатку?
Задача.Через 6 років Петрик буде вчетверо старший, ніж він є зараз. Скільки роківПетрику зараз?
Задача.У бідон долили третину того молока, яке було у бідоні. Скільки літрів молокабуло спочатку у бідоні, якщо стало 28 л?
Задача.Від стрічки відрізали ЇЇ четверту частину. Скільки сантиметрів стрічкивідрізали, якщо залишилося 60 см стрічки?
За д а ч а. До бочки долили спочатку 17л води, апотім відлили третю частину води, яка була у бочці, або 16л. Скільки літрівводи спочатку було у бочці?
Задача.До ящика спочатку доклали 8 апельсинів, а потімзабрали 11 апельсинів. Скільки апельсинів було спочатку у ящику, якщо їх стало25?
б)між об’єктами дій у кількох випадках.
Випадок1. Для цього випадку має бути не менше двох об’єктів дії, причому значенняодного подається як відома величина, а другого — шукана.
Приклад1. Складання задачі на обчислення до теми«Позатабличні випадки ділення».
Параметри:Об’єктдії — об’єм посудин. –
Кількістьоб’єктів — 2. –
Відношення- «більше». –
Шуканавеличина — об’єм другої посудини.
Задача.Об’єм першої посудини 43 л. Якщо об’єм першої посудини збільшити на 37л, то вінстане вдвічі більший за об’єм другої посудини. Обчислити об’єм другої посудини.
За д а ч а. До першого бідона спочатку налили 18л молока, а пізніше — ще 30л. Після цього у першому бідоні стало втричі більшемолока, ніж було у другому бідоні. Скільки молока було у другому бідоні?
Приклад2. Складання задачі наобчислення до теми «Позатабличні випадки ділення».
Параметри:Об’єктдії — довжина відрізків. –
Кількістьоб’єктів — 3. –
Відношення— «менше». –
Шуканавеличина — довжина третього відрізка.
Задача.Довжина другої смужки вдвічі менша від довжини першої смужки, а довжина третьоїсмужки втричі менша за довжину другої смужки. Яка довжина третьої смужки, якщодовжина першої смужки 84 см ?
Приклад3. Складання задачі наобчислення до теми «Нумерація шестицифрових чисел».
Параметри:Об’єктдії — цифри 2, 3, 5, 6, 7, 9. –
Кількістьоб’єктів — 6.
Відношення- «подільності», «менше», «рівності». –
Шуканавеличина — шестицифрове число.
Задача.Записати найменше шестицифрове число, у якому кількість сотень вдвічі менша закількість десятків тисяч, а кількість одиниць — на 5 менша кількості тисяч.
Задача.Записати найбільше шестицифрове число, у якому різниця кількості одиницьвідповідних розрядів класів одиниць і тисяч дорівнює 4.
Задача.Записати найменше шестицифрове число, у якому сума цифр класу тисяч дорівнюєсумі цифр класу одиниць.
Випадок2. У цьому випадку у запитанні задачі міститься вимогавизначити кількісні показники кількох об’єктів дії; обчислити числові значенняокремих об’єктів дії, які підлягають певним змінам; описати шукані величини наоснові даних про зв’язок або відношення між об’єктами дії.
Приклад1. Складання задачі наобчислення.
Параметри:Об’єктдії — довжина відрізків. –
Кількістьоб’єктів — 2. –
Відношення— «менше». –
Шуканавеличина — довжина відрізків.
Задача.Довжина другого відрізка у 3рази менша або на 6 см коротша, ніж довжина першоговідрізка. Яка довжина першого і другого відрізків!
Короткийзапис (схематичний):
Розв’язання1)3-1 = 2 (ч.) — менше у другому відрізку;
2)6: 2 = 3 (см) — довжина однієї частини;
3)3 • 3 = 9 (см) — довжина першого відрізка;
4)3 • 1 = 3 (см) — довжина другого відрізка.
Перевірка:9-3 = 6 (см).
Ві д п о в і д ь: 9 см, 3 см.
Приклад2. Складання задачі наобчислення до теми «Позатабличні випадки ділення».
Параметри:Об’єктдії — об’єм посудин. –
Кількістьоб’єктів — 2. –
Відношення— «більше». –
Шуканавеличина — об’єм другої посудини.
Задача.У другому бідоні у Зрази більше молока, ніж: у першому, а всього у бідонах 56л.Скільки літрів молока у кожному бідоні?
Задача.У першому бідоні 33 л молока, а у другому — 8 л. Після того, як до другогобідона налили кілька літрів молока, то у ньому (у другому бідоні) стало у 4рази менше молока від загального об’єму. Скільки літрів молока долили додругого бідона?
Приклад3. Складання задачі наобчислення до теми «Периметр трикутника».
Параметри:Об’єктдії — довжини сторін трикутника. –
Кількістьоб’єктів — 3. –
Відношення- «більше», «менше». –
Шуканавеличина — периметр трикутника.
Задача.Найменша сторона трикутника менша, а найбільша сторона трикутника більша засередню за довжиною сторону на 2 см. Обчислити периметр трикутника, якщо найменшаіз сторін має довжину 7 см.
Задача.Якщо одну із сторін трикутника зменшити на 8 см, то вона стане втричі меншоювід другої сторони. Обчислити периметр трикутника, якщо відомо, що дві сторонирівні між: собою, а третя — на 6 см менша від кожної з двох інших.
Приклад4. Складання задачі нарізницеві парадокси до теми «Усне додавання і віднімання трицифровихчисел».
Задача.Від першого числа відняли 60, а до другого числа додали це число. Як зміниласярізниця, якщо перше і друге числа були однаковими? (Перевірити на конкретнихприкладах).
Задача.Перше число зменшили на 40, а друге число збільшили на 80. Як змінилася різницяміж ними, якщо друге число більше від першого1} (Перевірити наконкретних прикладах).
Задача.Перше число зменшили на 60, а друге число збільшили на 90. Як змінилася різницяміж ними, якщо друге число менше від першого”] (Перевірити на конкретнихприкладах).
Задача.Різниця між першим і другим числами дорівнює 160. Перше число збільшили на 80,а друге число зменшили на 190. Як змінилася різниця чисел? Якою вона стала! (Перевіритина конкретних прикладах).
Задача.Різниця між першим і другим числами дорівнює 160. Перше число збільшили на 80,а друге число — на 190. Як змінилася різниця чисел? Якою вона стала? (Перевіритина конкретних прикладах).
Задача.Площа першої ділянки складає 170м2, а другої— 230 м^. Як перепланувати ділянки,щоб іх площі стали однаковими!
Задача.Коли від першого сувою відрізали 540 дм тканини, а від другого — 260 дм, тоз’ясувалося, що в обох сувоях залишилася однакова кількість тканини. У якомусувої було більше тканини і на скільки? (Перевірити на конкретних прикладах).
Задача.Петрик та Іванко мінялися марками. За 50 марок Іванка Петрик дав йому 80 марок.Після цього обміну з’ясувалося, що у Петрика та Іванка однакова кількістьмарок. У кого із хлопчиків було більше марок і на скільки? (Перевірити наконкретних прикладах).
Приклад5. Складання задач напоєднання арифметичних дій до теми «Усне додавання і відніманнятрицифрових чисел».
Задача.Невідоме число збільшили на 370 і воно стало меншим від числа 810 на 280.Знайти невідоме число.
Задача.Перше число збільшили на 250, а друге — на 370 і одержали однакові суми, число720. Обчислити перше і друге числа.
Задача.Перше число зменшили на 180, а друге число збільшили на 360 і одержали однаковірезультати, число 640. Знайти невідомі числа.
Задача.Невідоме число збільшили на 430 і воно стало більшим за суму чисел 390 та 230на 90. Знайти невідоме число.
Приклад6. Складання задачі назнаходження дробу від числа і числа за його дробом до теми «Дроби».
Параметри:Об’єкт дії — кількість сторінок, прочитаних кожним хлопчиком.
Кількістьоб’єктів — 2.
Відношення— «рівно».
Шуканавеличина — число за його дробом.
Задача.Семен та Петрик разом читали книгу. Семен прочитав частини книги, тоді якПетрик прочитав 27 сторінок. Скільки сторінок у книзі?
Задача.Оленка прочитала частини книги, а її подруга Маринка дочитала книгу до кінця іпрочитала 48 сторінок. Скільки сторінок у книзі?
Задача.У бабусі четверо внуків. Вік найстаршого становитьтретину, вік кожного із братів-близнюків — четверту, а найменшого —шосту частину віку бабусі. Вік найстаршого із онуків на 12 років більший відвіку молодшого. Скільки років бабусі і кожному із онуків?
Приклад7. Складання позиційнихзадач з геометричним змістом.
Параметри:Об’єкт дії — квадрати.
Кількістьоб’єктів — чотири. –
Відношення- «справа», «зліва». –
Шуканавеличина — ряд геометричних фігур.
Задача.Розфарбувати квадрати так, щоб червоний квадрат лежав між зеленим та жовтим, азелений — між синім та червоним. Назвати кольори квадратів зліва направо.
Задача.Розфарбувати квадрат, трикутник, прямокутник, коло трьома кольорами (червоним,синім, зеленим) та розмістити так, щоб червона фігура знаходилася міжпрямокутником та синім квадратом і фігури одного кольору поряд не стояли.Назвати фігури справа наліво.
Задача.Розфарбувати квадрат, трикутник, шестикутник, овал чотирма кольорами (червоним,синім, жовтим, зеленим) та розмістити так, щоб червона фігура знаходилася міжтрикутником та синьою фігурою, а жовта фігура між червоною та овалом. Першазліва фігура не квадрат. Назвати фігури справа наліво.
Задача.Розфарбувати прямокутник, овал, трикутник, квадрат трьома кольорами (синім,червоним, зеленим) та розмістити так, щоб прямокутник знаходився між фігурамиодного кольору, але не зеленого, а трикутник знаходився між прямокутником тасинім квадратом. Назвати фігури справа наліво.
Задача.Розфарбувати п’ятикутник, овал, трикутник, чотирикутник двома кольорами(червоним, синім) та розмістити їх так, щоб фігури одного кольору поряд незнаходилися, трикутник лежав між п’ятикутником та червоним чотирикутником, апершою справа фігура була не овал. Назвати фігури справа наліво.
Задача.Розфарбувати трикутник, квадрат, овал, шестикутник чотирма кольорами (зеленим,червоним, синім, жовтим) та розмістити їх так, щоб трикутник знаходився міжчервоним овалом та зеленою фігурою. Справа від квадрата — синя фігура. Якогокольору кожна фігура? Назвати фігури зліва направо.
Приклад8. Складання задач різнихтипів на обчислення маси.
Задача.Троєкурчат важать стільки ж, скільки одне каченя, а двоє каченят важать так само,як і гусеня. Скільки важать 24, 27курчат?
Задача.Різниця між: масою першого та другого ящиків дорівнює 5 кг, а між масою другогота третього ящиків — 2 кг. Яка маса кожного ящика, якщо загальна маса дорівнює36 кг?
Задача.Маса двох пакетів 16 кг. Якщо масу першого пакета збільшити на 3 кг, а масудругого пакета зменшити на 1 кг, то маса пакетів стане однаковою. Яка масакожного із пакетів?
Окрімвищеназваних типів нестандартних задач можна назвати такі, що мають прямий чиобернений хід розмірковувань під час розв’язування:
•прямий хід розмірковувань.
Задача.Завтрашній день — середа. Який день тижня післязавтра?
Задача.Учорашній день — понеділок. Який день тижня завтра?
Задача.Позавчора була п’ятниця. Який день тижня післязавтра?
•обернений хід розмірковувань.
Задача.Учорашній день — понеділок. Який день тижня бувпозавчора?
Задача.Завтрашній день — субота. Який день тижня був учора?
Задача.Післязавтра буде неділя. Який день тижня був позавчора?
Нестандартнізадачі у початковому курсі математики становлять один із напрямів розвиткуматематичного мислення, формування досвіду творчої діяльності молодших школярівта підвищення рівня технологічного і методичного забезпечення процесувикладання математики у початкових класах.
Назавершення хочу зазначити, що в основі лежить постійна співпраця у підсистемах«учитель — клас», «учитель — учень», «учень —учень», «учень — клас».
Література
1.Корчевська О.П. Цікава математика. 1-4 класи: Тернопіль: Астон.- 2002
2.Нечволод Л.І. Нетрадиційні уроки в початковій школі. 2 кл. – Харків: ТОРСІНГ ПЛЮС,2006
3. Сухарева Л.С.Сучасний урок у початковій школі. Нестандартні уроки математики у 1-4 класах. –Х: Вид. група «Основа», 2005.