Теория многочленной аппроксимации рядами Фурье для периодических функций.В предыдущих лабораторных работах была изложена теориямногочленной аппроксимации. Попробуем теперь изложить подобную теорию дляаппроксимации периодических функций рядами Фурье. Ряд Фурье на интервале -N t N можно записать так 1 где 2 k 0, 1, 2, 3 k 0, 1, 2, 1 -p 0 p -1 В качестве примера рассмотрим разложениепрямоугольного колебания в ряд
Фурье. Подобное колебание, называемое меандром,находит широкое применение в 5-right технике.Итак, 4 Так как на практике мы не можем вычислить бесконечнуюсумму, проанализируем, как увеличение числа слагаемых влияет на приближение.При этом мы сталкиваемся с явлением Гиббса. H t 0 p 2p 3p t Прямоугольная Рассмотрим это явление на примере прямоугольной волны H t с периодом 2p. 6 Если вычислить сумму первых 2n членов, то все члены с косинусами будут равны нулю
иполучаем 7 129 H2n t H t 1 явление Гиббса p t 8 Гиббс отметил, что частичная сумма H2nпревосходит функцию на некоторую величину. Более точно H2n 9 1,08949 , при n yen Действительно, H2n t не только превосходит функцию H t , но и имееттенденцию колебаться около H t , и колебания уменьшаются медленно, когда t удаляется от разрыва.
Чтобы объяснить явление,запишем 1 как 10 2 где использована формула 11 Из выведенной формулы 2 ясно, что максимум и минимумдля 0 t p достигаются вточках 12 ,то есть при t 13 , m 1, 2, , 2n-1, и что они чередуются.То, что верно для этой специальной функции, очевидно,верно и для более общих функций, так как разрыв можно рассматривать каквозникающий из прямоугольной волны, прибавленной к главной функции.Действительно, явление Гиббса мы можем наблюдать и приприближении пилообразного сигнала
с помощью рядов Фурье. С пилообразнымиколебаниями часто приходится сталкиваться в устройствах для разв рткиизображения в осциллографах.Заметим, что при увеличении числа слагаемых в рядахФурье, приближение улучшается уменьшается глубина колебаний . Это нагляднопоказывают графики, привед нные в конце.Задача следующего этапа этой работы – фильтрациязашумл нного сигнала с помощью быстрых преобразований Фурье БПФ .Рассмотрим произвольный сигнал. В данном случае онзадан как 14
На практике почти всегда имеют дело с зашумл ннымсигналом. Поэтому наложим на сигнал некоторый шум. Теперь попробуем очиститьнаш сигнал от шумов. Для этого применим БПФ, а затем цифровой фильтр.Итак, если использовать комплексное представлениетригонометрических функций 15 то получим 16 ,где 17 Легко видеть, что 18 ak и bk -коэффициентыразложения в ряд Фурье Комплексная форма ряда Фурье удобнее в обращении притеоретических исследованиях, но вычисления
проводятся с действительной формой.В комплексной форме существуют и положительные и отрицательные частоты длякаждой положительной частоты мы заменили две функции, синус и косинус, единойэкспоненциальной, но имеющей как положительную, так и отрицательную частоту.Покажем, что соответственно представлению рядам Фурьепериодической функции имеется представление интегралом Фурье любой функции 19 , где 20 .Функция F s , грубо говоря, соответствует коэффициентам cл в рядеФурье.
Это – спектральная функция спектральная плоскость F s описывает амплитуду частоты s в функции f t . Говорят, что функция F s является преобразованием Фурье функции f t . Обе функциинесут одну и ту же информацию, так как каждая может быть найдена из другой, нотолько в разных формах f t в области времени, а F s в области частот.Итак, возвращаясь к нашей задаче, перевед м сигнал извременной области в частотную.
После этого применим цифровой фильтр. С помощьюэтого фильтра мы отбрасываем шумовые составляющие сигнала, оставляя частотныесоставляющие. Но нужно заметить, что пытаясь избавится от шумовых составляющихсигнала, мы невольно отбрасываем часть частотных. чем выше порог фильтрации,тем меньше шума мы получаем, но в то же время мы теряем вс большую частьполезной информации, то есть сигнал искажается. В этом я убедился на практике.Чем выше был порог шума, тем более гладкой была очищенная функция, но
приналожении на не исходного незашумл нного сигнала можно было убедиться взначительных расхождениях. И наоборот, чем ниже был порог шума, тем функциябыла менее гладкой , но совпадение с исходным сигналом было лучше. При выбореопредел нного порога фильтрации нельзя не учитывать этот факт. Чтобы определитьвеличину этого параметра прежде всего нужно руководствоваться особенностямипоставленной задачи.Фурье-анализ. ak Как в чистой, так и в прикладной математике, обычноищут инварианты представления
инварианты по отношению к классупреобразований. В классе периодических функций перенос осей t t b не должны менять в представлении функции того, что независит от системы координат. Непосредственно видно, что коэффициенты Фурье ak и bk необладают этими свойствами и меняются при сдвиге оси, то есть когда изменяетсяначало отсч та времени. Полагая t t b и используя периодичностьf t , чтобысдвинуть в интеграле пределы получаем 21
Аналогично 22 Хотя ak и bk не инвариантны, величина 23 очевидно, инвариантна. Величину 24 называют мощностьючастоты k и изображают в виде дискретного спектра мощности.В конце работы мы можем видеть в графики двух наиболееважных характеристик импульса график огибающей спектра прямоугольного импульсаи график фазового сдвига гармоник.