УравненияБоголюбова
Уравнения Больцмана, идея которого принадлежит самому Больцману,не может считаться строгим. Действительно, запись этого уравнения, какуравнения непрерывности в m-пространстве с источниками (интегралстолкновений) в правой части, предполагает, во-первых, что изменение во временифункции распределения f(r, v, t) аддитивно относительно двух процессов, имеющихразличное происхождение. Члены vi df/dxi и wi df/dvi в левой части
/>
или
/>
характеризуют потоки газа, возникающие вследствие существованияградиента плотности и внешних полей, в то время как правые части возникаютвследствие учета столкновений молекул. Таким образом предполагается, что потокии столкновения не влияют друг на друга. Во-вторых, в интеграле столкновенийзначения функций /> берутся в одной и той же точкепространства r, в то время как с учетом конечных размеров молекул координаты вфункциях /> ив функциях /> должныбыть выбраны различными.
Далее, как мы уже упоминали, классический вывод уравненияБольцмана предполагает отсутствие корреляций между скоростями молекул. Наконец,что наиболее существенно, в уравнении Больцмана учитываются только попарныестолкновения молекул, и нет более или менее очевидного рецепта, позволяющегоучесть столкновения групп из трех, четырех и более молекул. Между тем ясно, чтоучет таких процессов существен для плотных газов.
В приближении парных соударений длина свободного пробега обратнопропорциональна плотности газа
/>
(s —эффективное сечение парных столкновений).
Как известно,это приводит к тому, что коэффициенты переноса: À — коэффициенттеплопроводности, a — коэффициент вязкости, не зависят от плотности п и,стало быть, от давления. При учете многочастичных столкновений выражение для l должно иметь вид
/>,
где коэффициенты a, А возникают в связи с учетом трехчастичных,коэффициенты b и В — в связи с учетом четырехчастичных и т. д. столкновений. Врезультате для длины пробега и для коэффициентов переноса должны возникнутьвириальные разложения такого же типа, какие возникают в статистической физикедля уравнения состояния неидеального газа.
В связи со сказанным целесообразно подойти более строго к проблемевывода кинетического уравнения и к его возможным обобщениям. Это можно сделатьс помощью весьма общего и строгого метода, предложенного Н. Н. Боголюбовым, ккраткому изложению которого мы и переходим.
Имеем систему из N одинаковых частиц, состояние которой вклассической механике мы будем задавать с помощью 2N векторов ri, vi. Совокупностьri, и vi мы для краткости будем обозначать символом xi а произведение d3rid3vi- символом dxi.
Введем функцию распределения F(N)(x1, … ,xN, t) в Г-пространстве,считая координатами бN-мерного Г-пространства координаты и проекции скоростейвсех частиц. Выражение
F{N)(х1, х2,…, xN, t)dx1dx2… dxN
дает вероятность того, что изображающая точка в Г-пространственаходится в объеме dx1, dx2… dxN, а функция F(N) нормирована на единицу
ò F{N)(х1, х2,…, xN, t)dx1dx2… dxN=1. (1)
Будем в дальнейшем считать, что внешние поля отсутствуют и частицывзаимодействуют с потенциалом взаимодействия U(rik) = ти (rik). Для исключенияграничных эффектов мы будем рассматривать термодинамический предел, при котором/>, a w=V/N остается конечным.
Дальнейшие рассуждения основаны на уравнении Лиувилля, которое мызапишем здесь в виде
/>, (2)
где оператор /> называется оператором Лиувилля иопределяется формулой
/> (3)
причем wi, k = -ди (ri,k)/dri — ускорение, придаваемое i-й частицевзаимодействием с k-й частицей. Функции распределения r(р, q) и функции F{N)(ri, vi, t) по существу идентичны, и, следовательно, F(N) (xi, t) подчиняетсяуравнению
/>
Следует обратить внимание читателя на следующие принципиальныесвойства уравнения Лиувилля.
1. Функция F(N) (х1, х2,…, xN, t) лишь «насильственно» быланами связана с вероятностными представлениями. Мы могли бы рассматривать ее некак плотность вероятности для единичной системы с координатами ri, vi, а какпроизвольно заданную в начальный момент времени функцию распределения дляансамбля систем — ансамбля Гиббса.
Иначе говоря, мы можем себе представить, что при t = 0 мы«приготовляем» ансамбль, т. е. произвольным образом «высыпаем» изображающиеточки в фазовое пространство, задавая тем самым F{N) {x1, …, xN, 0). Вдальнейшем эти «высыпанные» точки «плывут» по своим фазовым траекториям,подчиняясь исключительно законам механики. Таким образом, уравнение (2) вовсене имеет статистического вероятностного содержания, а несет в себе только чистомеханическую информацию.
2. Уравнение Лиувилля, являясь уравнением первого порядка повремени, описывает причинно-обусловленное изменение функции F(N)(х1, …, xN,t). При заданном ее начальном значении F(N) (х1,…, xN, 0) уравнение (2)однозначно предсказывает все будущие значения F(N)(xi,t).
3. Как и всякое уравнение классической механики, уравнениеЛиувилля обратимо во времени. Это значит, что при замене t на -t оно остаетсянеизменным. Следовательно, наряду с «прямым» движением экземпляров ансамбля,столь же возможным при соответствующем изменении начальных условий, является и«обращенное» движение.
4. В свете сказанного неудивительно, что решение уравненияЛиувилля эквивалентно решению динамической задачи, т. е. нахождению всехдинамических траекторий. Формально это видно из того, что характеристикиуравнения (2) имеют вид
/>,
из которых следуют уравнения динамики в форме Ньютона
/>.
Физически это следует из того, что мы можем «приготовить»начальный ансамбль в виде />, т. е. «высыпать» всеизображающие точки в одну точку фазового пространства. В силу однозначности решенияуравнения Лиувилля при заданном начальном условии движение изображающей точки ибудет описывать эволюцию одной единственной динамической системы. Такимобразом, наряду с методами решения задач динамики, основанными наинтегрировании уравнений Ньютона, Лагранжа, Гамильтона и Гамильтона -Якоби,существует еще один метод — метод интегрирования уравнения Лиувилля. Однако длясистемы с огромным числом частиц этот метод столь же непригоден и столь же ненужен, как и все остальные, а для решения задач макроскопической неравновеснойфизики следует переходить к вероятностным методам.
Введем с этой целью n-частичные функции распределения
/>. (4)
Эти функции подчинены следующему из (1) условию нормировки:
/>, (5)
и если мы придаем вероятностный смысл функции F(N) (х1,….,xN,t),
то и функции /> приобретают статистическуюинтерпретацию. Здесь и в дальнейшем мы опускаем для краткости индекс (N) вобозначении F(nN). Выражение /> представляет собой вероятностьтого, что первые п частиц системы (а не ансамбля систем!) имеют координаты искорости, лежащие в пределах (ri, ri + dri), (vi, vi + dvi).
Выведем систему дифференциальных уравнений, которым подчиняютсяфункции />.Умножим с этой целью уравнение (2) на /> и проинтегрируем полученноеравенство, пользуясь выражением (3):
/> (6)
Заметим теперь, что в этом уравнении третье, шестое и седьмоеслагаемые тождественно равны нулю. Действительно, каждое из этих слагаемыхпредставляет собой интеграл от трехмерной дивергенции: третье слагаемое — впространстве координат молекулы i, шестое и седьмое —в пространстве скоростеймолекулы i. По теореме Гаусса они могут быть преобразованы в интеграл пограничной поверхности. Но функция Fn обращается в нуль, когда координаты любойчастицы газа соответствуют точкам, лежащим на абсолютно непроницаемой стенкесосуда и, с другой стороны, функция распределения Fn стремится к нулю, когда />. Поэтому интегралот дивергенции равен нулю и в координатном пространстве, и в пространствескоростей. С другой стороны, пятое слагаемое в (6) можно преобразоватьследующим образом. Отдельные слагаемые суммы по k отличаются лишь обозначениемпеременной интегрирования
/>.
Таким образом, получаем окончательно систему уравнений
/>. (7)
Эта система в зарубежной литературе называется обычно ББКГИ-системой(Борн, Боголюбов, Кирквуд, Грин, Ивон). Мы будем в дальнейшем для краткости, атакже потому, что Боголюбову принадлежит наиболее детальный ее анализ, называтьее системой уравнений Боголюбова. /> в формуле (7) есть операторЛиувилля для подсистемы из п частиц. Система уравнений Боголюбова является«зацепляющейся», так как уравнения для функции Fn содержат в правой частифункцию Fn+1. Физически это отражает факт незамкнутости любой группы из nмолекул (n
Заметим, что последнее уравнение системы (7) для функции Fn являетсязамкнутым и тождественным уравнению Лиувилля (2). С математической точки зренияинтегрирование системы уравнений (7) следовало бы начинать с интегрированияэтого уравнения. При этом, естественно, не нужно было бы интегрироватьостальные N — 1 уравнения системы, так как все n-частичные функциираспределения могут быть найдены по формулам (4), после того как найденафункция FN(x1, …, xN, t), и система вообще стала бы не нужной. Однако, как мыуже говорили, интегрирование уравнения Лиувилля представляет собой невыполнимуюпрактически задачу.
Таким образом, физически разумный метод решения системы уравненийБоголюбова заключается в том, чтобы начинать эту процедуру не с последнегоуравнения для функции FN, а с первого для функции F1 и пытаться тем или инымспособом «оборвать» эту систему. Если оказывается возможным выразить некоторуюфункцию Fn+1 как функционал от функций Fl (l/>n), то такой «обрыв» системы (7)становится возможным, и мы придем к системе с конечным числом уравнений. Вчастности, если удается тем или иным способом выразить как функционал от F1(x1, t) функцию F2 (х1, х2, t), мы получаем уравнение для одночастичной функцииF1 (xl, t), которую принято называть кинетическим уравнением. УравнениеБольцмана и уравнение Фоккера-Планка представляют собой частные случаикинетических уравнений.
Мы уделяем особое внимание одночастичной и двухчастичной функциям F1(xl, t) и F2 (xl, x2, t) по следующим причинам. Через одночастичную функциюмогут быть выражены важные для газодинамического описания величины: средняяплотность числа частиц n(r, t), средняя скорость потока частиц и(r, t), средняякинетическая энергия 3/2T(r, t), которые определяются формулами
/> (8)
/> (9)
/> (10)
И другие важные для газодинамики величины, такие как тензор вязкихсил, поток тепла и т. д., выражаются через одночастичные функции распределения.Двухчастичная функция распределения имеет особо важное значение дляравновесного состояния системы. В равновесном состоянии она описываеткорреляции между положениями частиц, имеющие, важное значение в теориифлуктуации и в теории фазовых переходов.
Заметим, наконец, что в определение n-частичных функций Fn(x1,…, хN, t), так же как и в определение FiN) (х1, …, xN, t), вероятностныйсмысл был нами вложен «насильственно», и мы по существу получили системууравнений (7), полностью эквивалентную уравнению Лиувилля, совершенно несвязывая функции Fn с вероятностными характеристиками единичной системы. Отсюдаследует, что система уравнений (7) есть система механических, а нестатистических уравнений. Неудивительно поэтому, что эта система, так же как иуравнение Лиувилля, инвариантна по отношению к отражению времени — замене />и не можетописывать необратимые макроскопические процессы. Необратимость вносится вформализм теории только определенными гипотезами сугубо вероятностногохарактера. Запишем в явном виде уравнения для F1 и F2, которыми нам придетсязаниматься более детально; при этом мы отбросим в множителе (N — n)/V, входящемв (7) слагаемое n=1, 2:
/>, (11)
/> (12)
где />, (13)
/> (14)
Безразмерная форма уравнений Боголюбова. Факторизация икорреляционные функции. Свободно-молекулярное течение
Рассмотрим некоторые приближенные методы интегрирования системыуравнений Боголюбова. Эти методы основаны на том, что в двух случаях — весьмаразреженного газа и при слабом взаимодействии между частицами газа — влияниеодной частицы на состояние других частиц должно становиться слабым, и можносделать пробное допущение о том, что в нулевом приближении n-частичная функцияраспределения факторизуется, т. е. представляется в виде произведенияодночастичных функций
/>. (15)
Отклонение точной n-частичной функции от факторизованного нулевогоприближения принято характеризовать с помощью так называемых корреляционныхфункций Gn (x1, …, хп, t), которые находятся по следующей схеме.
Для двухчастичной функции имеем
F2(0) (х1, х2, t) = F1 (х1, t) F1 (х2, t), (16)
F2 (x1, x2, t) = F2(0) (x1, x2, t) + G2 (x1, x2, t). (17)
Для трехчастичной функции –
F3(0) (х1, х2,x3, t) = F1 (х1, t) F1 (х2, t) F1 (х3, t), (18)
/> (19)
и т. д.
Сформулируем теперь количественно условие разреженности газа иусловие слабости взаимодействия. Пусть r0 — радиус действия межмолекулярных сили U0 — характерная величина потенциальной энергии взаимодействия. Случайразреженного газа осуществляется, если r0 много меньше среднего расстояниямежду частицами ω1/3, и, следовательно, в этом случае малым параметромзадачи является величина />. Случай слабого взаимодействияреализуется, если потенциальная энергия мала по сравнению с кинетическойэнергией ~ Т. Следовательно, в этом случае малым параметром задачи являетсявеличина β= U0/T.
Допустим, что в обоих случаях корреляции между координатами искоростями частиц являются слабыми и корреляционные функции Gn (x1, …, хп, t)малыми по параметрам а или β соответственно.
Для того чтобы построить методы решения системы уравненийБоголюбова в этих предположениях, запишем систему (7) в более детализированномвиде
/> (20)
выделив в операторе /> слагаемые, содержащие и несодержащие потенциал взаимодействия
/> (21)
/> (22)
/> (23)
Перейдем в уравнениях (20) безразмерным переменным, выбрав вкачестве единицы длины r0, скорости />, ускорения /> и времени />. Для простотымы не будем вводить новые обозначения для безразмерных переменных и сделаем вуравнениях (20) замены
/>, />
/> /> (24)
Кроме того, учитывая условие нормировки (19) для функци Fn(x1,…, хN, t), из которого видно, что Fn имеет размерность />, введем безразмернуюфункцию распределения с помощью замены
/> (25)
Тогда уравнения Боголюбова (20) при /> запишутся в виде
/> (26)
Заметим, что, предполагая факторизацию функций Fn в нулевомприближении,
Fn(0) = F1 (х1, t) F1 (х2, t)…F1(xn,t), мы получим для одной и тойже функции F1 (xi, t) N уравнений. Ясно, что необходимым условием допустимостифакторизации является совместность этих уравнений нулевого приближения.
Убедимся, что случай разреженного газа (/>) /> приводит в нулевом приближении кнесамосогласованной системе. Действительно, система уравнений (26) в нулевомприближении выглядит следующим образом:
/>
/>
Легко видеть, что уравнения этой системы будут совместными толькопри условии отсутствия взаимодействия между частицами wik = 0. Следовательно, вслучае разреженного газа корреляциями нельзя пренебрегать даже в нулевомприближении. Собственно говоря, этого следовало ожидать, так как дляразреженного газа а
Рассмотрим случай β = U0/T , что соответствуетгорячему газу со слабым взаимодействием между частицами, который, однако, можетбыть достаточно плотным. Фактически при типичной глубине потенциальной ямы U0~(10-1 — 10-2) эв U0/T
/> (27)
в которых переменные х1,…, хп разделяются. Это значит, чтопредположение />является самосогласованным иодночастичная функция F1(0)(r, v, t) подчиняется уравнению
/> (28)
Интегрируя уравнение характеристик
/> (29)
находим, что решение уравнения (28) имеет вид
/> (30)
где ψ(r,v,t) — произвольная функция своих аргументов,совместимая с начальными и граничными условиями. Из выражения (30) следует, чтоF1(0)(r, v, t) остается постоянной вдоль динамической траектории частиц вμ-пространстве, чего и следовало ожидать для системы слабовзаимодействующих частиц в нулевом приближении.
Следующие приближения для функций Fn могут быть найденыпоследовательно из уравнений:
/>
/> (31)
Решая первое из этих уравнений, можно в принципе найти F1, решаязатем второе уравнение — найти G2 и, следовательно, F2 и т. д.
Мы ограничимся нулевым приближением (30) и в качествеиллюстрирующего примера рассмотрим задачу о свободном расширении газа впустоту. Пусть в начальный момент t = 0 газ с максвелловским распределением поскоростям в одномерном случае занимает полупространство х
Начальное распределение f(r, v, 0) задается тогда формулой
/>, (32)
где σ (х) — ступенчатая функция (напоминаем, что функция f(r,v, t) связана с F1 (r, v, t) соотношением f = F1n = F1/ω).
Согласно соотношению (30) продолжение во времени функции f(х, v, 0)дается формулой
/> (33)
Пространственная плотность числа частиц в точке х в момент времениt равна
/>, (34)
и средняя скорость газа u(x,t) равна
/> (35)
Так как п (х, t) и и (х, t) зависят только от x/t, то и распределениеплотности газа, и распределение по скоростям в пространстве остаются подобнымисамим себе, а геометрическое место равных плотностей и равных скоростей потокаравномерно перемещается вдоль оси х.
Сделаем в заключение следующее замечание. Поскольку уравнениесвободно-молекулярного течения (27) представляет собой одночастичное уравнениеЛиувилля, оно является, строго говоря, механическим, а не статистическимутверждением, и статистический смысл в него вложен «насильственно». Этопроявляется, в частности, в обратимости решений уравнения (27). Например, еслирешение (32) при t = t0 принять за начальное условие и продолжить его вовремени, заменив х на x+vxt, обратив направление скорости всех частиц, тоспустя время t0 мы придем к исходному состоянию (32). В обращенном такимобразом движении газ самопроизвольно сжимается вместо того, чтобы расширяться,и необратимость отсутствует.
Список использованныхисточников
1. Базаров И. П. Неравновеснаятермодинамика и физическая кинетика / Базаров И. П., Геворкян Э. В., НиколаевП. Н. — М., 1989 – 240 с.
2. Гуревич Л. Э. Основыфизической кинетики / Гуревич Л. Э. – М. 1940 – 245 с.
3. Лифшиц, Е. М.,Питаевский, Л. П. Физическая кинетика / Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. — М.:Физматлит, 2007. — 536 с.