Введение
Глава 1.
§1.Теоретические основы решения уравнений с параметрами.
§2. Основные виды уравнений с параметрами.
Глава 2.
§1. Разработка факультативных занятий по теме.
Заключение.
ВВЕДЕНИЕ
Главной целью факультативных занятий по математике являются расширение и углубление знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей. Процесс обучения строится как совместная исследовательская деятельность учащихся.
Большую роль в развитии математического мышления учащихся на факультативных занятиях играет изучение темы «Уравнения с параметрами». Вместе с тем изучение этой темы в школьной программе не уделено достаточного внимания. Интерес к теме объясняется тем, что уравнения с параметрами предлагаются как на школьных выпускных экзаменах, так и на вступительных экзаменах в вузы.
Целью курсовой работы является ознакомление учащихся с теоретическими основами решения уравнений с параметрами, основными их видами и рекомендациями к решению.
ГЛАВА 1
§1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.
Рассмотрим уравнение
F(х,у, …, z; α,β, …, γ) =0 (F)
с неизвестными х,у, …, z и с параметрами α,β, …, γ; при всякойдопустимой системе значений параметров α0,β0, …, γ0 уравнение (F) обращается в уравнение
F(х,у, …, z; α0,β0, …, γ0)=0 (F0)
с неизвестными х,у,…, z, не содержащее параметров. Уравнение (Fo) имеет некотороевполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.
Аналогично рассматриваются системы уравнений,содержащих параметры. Допустимыми системами значений параметров считаютсясистемы, допустимые для каждого уравнения в отдельности.
Определение.Решить уравнение (или систему), содержащее параметры, это значит,для каждой допустимой системы значений параметров найти множество всех решенийданного уравнения (системы).
Понятие эквивалентности применительно к уравнению, содержащим параметры, устанавливается следующим образом.
Определение.Два уравнения (системы)
F(х,у, …, z; α,β, …, γ) =0 (F),
Ф (х, у, …, z; α,β, …, γ)=0 (Ф)
с неизвестным х, у,…, z и с параметрами α,β, …, γ называются эквивалентными, если для обоих уравнений (систем)множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимойсистеме значений, параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны.
Итак,эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений параметровимеют одно и то же множество решений.
Преобразованиеуравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров, приводитк уравнению, не эквивалентному данному уравнению.
Предположим,что каждое из неизвестных, содержащихся в уравнении
F(x,у,,z; α,β, …, γ)=0 (F)
задано в виде некоторой функции от параметров: х =х(α,β, …, γ);
у = у(α,β, …, γ);….
z=z (α,β, …, γ). (Х)
Говорят,что система функций (Х), заданных совместно, удовлетворяет уравнению (F),если при подстановке этих функций вместо неизвестных х, у,…, z вуравнение (F) левая его часть обращается в нуль тождественно при всехдопустимых значениях параметров:
F(x(α,β, …, γ), y(α,β, …,γ),…,z (α,β, …, γ)≡0.
При всякой допустимой системе численных значений параметров α = α0,β=β0, …, γ= γ0 соответствующие значения функций (Х) образуют решение уравнения
F(х, у, …, z;α0,β0, …, γ0) =0
§2. Основные виды уравнений с параметрами .
Линейные и квадратные уравнения.
Линейное уравнение,записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами: ах = b, где х – неизвестное, а,b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.
При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.
Особым значением параметра а является значение а = 0.
1. Если а ≠ 0, то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х = />.
2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b. В этом случае значение b = 0 является особым значением параметра b.
2.1. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.
2.2. При b = 0 уравнение примет вид: 0 х = 0.Решением данного уравнения является любое действительное число.
П р и ме р. Решим уравнение
2а(а — 2) х=а — 2. (2)
Р е ш е н ие. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при хобращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. Приэтих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения накоэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0,а≠2 это деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всехдействительных значений параметра разбить на подмножества
A1={0},А2={2} и Аз= {а≠0, а≠2}
и решить уравнение (2) на каждомиз этих подмножеств, т. е. решить уравнение (2) как семейство уравнений,получающихся из него при следующих значениях параметра:
1) а=0 ; 2) а=2 ; 3) а≠0, а≠2
Рассмотрим этислучаи.
1) При а=0уравнение(2) принимает вид 0 х= — 2. Это уравнение не имеет корней.
2) При а=2уравнение (2) принимает вид 0 х=0. Корнем этого уравнения является любоедействительноечисло.
3) Приа≠0, а≠2 из уравнения (2) получаем, х= />
откуда х= />.
0 т в е т: 1) если а=0,то корней нет; 2) если а=2, то х — любое действительное число; 3) если а≠0,а≠2, то х= />
П р и ме р. Решимуравнение
(а — 1) х2+2(2а+1) х+(4а+3) =0; (3)
Ре ш е н и е. В данном случае контрольным является значение a=1. Дело втом, что при a=1 уравнение (3) является линейным, а при а≠ 1оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит,целесообразно рассмотреть уравнение (3) как семейство уравнений, получающихсяиз него при следующих значениях параметра: 1) а=l; 2) а≠1.
Рассмотримэти случаи.
1)При a=1 уравнение (3) примет вид бх+7=0. Из этого
уравнения находим х= — />.
2)Из множества значений параметра а≠ 1 выделим те значения, прикоторых дискриминант уравнения (3) обращается в 0.
Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=ао, топри переходе значения D через точку аодискриминантможет изменить знак (например, при аDа>аоD>0). Вместе сэтим при переходе через точку ао меняется и число действительныхкорней квадратного уравнения (в нашем примере при акорнейнет, так как Dа>аоD>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить окачественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которыхобращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольнымзначениям.
Составимдискриминант уравнения (3):
/> =(2а+ l)2 — (а —1) (4а+3). После упрощений получаем /> = 5а+4.
Из уравнения /> =0находим а= /> — второеконтрольное значение параметра а. При
/>этом если а />, то D a≥ />, ,то D≥0.
a ≠ 1
Такимобразом, осталось решить уравнение (3) в случае, когда а/>и в случае, когда { a≥ />, a ≠ 1 }.
Если а/>, то уравнение (3) не имеет действительных корней; если же
{ a≥ />, a≠ 1 }, то находим />
Ответ: 1) если а/>, то корней нет ; 2)если а= 1, то х = -/> ;
/> 3) a ≥ />, то />
a ≠1
Дробно-рациональные уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным.
Процесс решения дробных уравнений протекает пообычной схеме: дробное уравнение заменяется целым путем умножения обеих частейуравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиесярешают известным им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, т. е.числа, которые обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений спараметрами эта задача более сложная. Здесь, чтобы исключить посторонние корни,требуется находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, т.е. решать соответствующие уравнения относительно параметра.
П р и м ер. Решим уравнение
/> (4)
Р е ш е н и е.Значение а=0 является контрольным. При a=0 уравнение (4) теряетсмысл и, следовательно, не имеет корней. Если а≠0, то послепреобразований уравнение (4) примет вид:
х2+2 (1 — а)х +а2 — 2а — 3=0. (5)
Найдем дискриминант уравнения (5)
/>= (1 — a)2 — (a2 — 2а — 3) = 4.
Находим корни уравнения (5):
х1=а + 1, х2 = а — 3.
При переходеот уравнения (4) к уравнению (5) расширилась
область определения уравнения (4), что могло привести кпоявлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка.
П р о в е р к а. Исключим из найденныхзначений х такие, при которых х1+1=0, х1+2=0,х2+1=0, х2+2=0.
Если х1+1=0,т. е. (а+1)+1=0, то а= — 2. Таким образом, при а= — 2 х1— посторонний корень уравнения (4).
Если х1+2=0,т. е. (а+1)+2=0, то а= — 3. Таким образом, при а= — 3×1 — посторонний корень уравнения (4).
Если х2+1 =0,т. е. (а — 3)+1=0, то а=2. Таким образом, при а=2х2 — посторонний корень уравнения (4)’.
Если х2+2=0, т.е. (а — 3)+2=0, то а=1. Таким образом, при а= 1 х2— посторонний корень уравнения (4).
Для облегчения выписывания ответасведем полученные результаты на рисунке.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/> только х2 только х2 корнейнет только х1 только х1
х1,2 х1,2 х1,2 х1,2 х1,2 х1,2
/>
/>
-3 -2 0 1 2 а
В соответствии с этойиллюстрацией при а= — 3 получаем х= — 3 — 3= — 6;
при a= — 2 х= — 2 — 3= — 5; при a=1 х=1+1=2; при a=2 х=2+1=3.
Итак, можно записать
От в ет: 1) если a= — 3,то х= — 6; 2) если a= — 2, то х= — 5; 3) если a=0,то корней нет; 4) если a= l, то х=2; 5) если а=2, то х=3;
6) если а≠-3 ;
а≠-2 ;
а≠ 0 ; то х1 = а + 1,
а≠1 ; х2 = а – 3.
а≠2,
Иррациональные уравнения с параметрами.
Существует несколько способов решения иррациональныхуравнений с параметрами. Познакомимся с ними, разобрав следующий пример.
П р и м ер. Решить уравнение х — /> = 1. (6)
Решение:
Возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с последующей проверкой полученных решений.
Перепишем исходное уравнение в виде:
/>= х – 1 (7)
При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим:
2 х2– 2х + (1 — а) = 0, D = 2а– 1.
Особое значение: а = 0,5. Отсюда :
1) при а > 0,5 х1,2 = 0,5 ( 1 ± />);
2) при а = 0,5 х = 0,5 ;
3) при а
Проверка:
1) при подстановке х = 0,5 в уравнение (7), равносильное исходному, получим неверное равенство. Значит, х = 0,5 не является решением (7) и уравнения (6).
2) при подстановке х1 = 0,5 ( 1 ± />) в (7) получим:
-0,5( 1 + />) = /> – ( 0,5 ( 1 — />))2
Так как левая часть равенства отрицательна, то х1 не удовлетворяет исходному уравнению.
3) Подставим х2 в уравнение (7):
/>= />
Проведя равносильные преобразования, получим:
Если />, то можно возвести полученное равенство в квадрат:
/>
Имеем истинное равенство при условии, что/>
Это условие выполняется, если а≥1. Так как равенство истинно при а ≥1, а х2 может быть корнем уравнения (6) при а > 0,5, следовательно, х2– корень уравнения при а ≥1.
Тригонометрические уравнения.
Большинство тригонометрических уравнений с параметрами сводится к решению простейших тригонометрических уравнений трех типов. При решении таких уравнений необходимо учитывать ограниченность тригонометрических функций у = sin x и y = cos x.Рассмотрим примеры.
Пример. Решить уравнение: cos />=2а.
Решение: Так как Е(соs t)=[-1;1], то имеем два случая.
1. При |a|> 0,5 уравнение не имеет решений.
2. При |a|≤0,5 имеем:
а) />=arccos2a+2πn. Так как уравнение имеет решение, если arccos2а+2πn≥0,то n может принимать значения n=0, 1, 2,3,… Решением уравнения является х = 1+(2πn+аrссоs2а)2
б) />=-аrссоs2а+πn. Так какуравнение имеет решение при условии, что -аrссоs2а+2πn>0, то n=1,2, 3,…, и решение уравнения. х=1+(2πn-arccos2a)2.
Ответ: если |a| > 0,5,решений нет;
если |a| ≤0,5 , х= 1+(2πn+аrссоs2а)2при n =0, 1, 2,… и х=1+(2πn-arccos2a)2 при n/> N.
Пример. Решить уравнение: tg ax2 =/>
Решение:.
ах2 = />+πn, n/> Z
Если коэффициент при неизвестномзависит от параметра, то появляется особое значение параметра. В данном случае:
1. Если а=0,то уравнение не имеет решений.
2. Если а/> 0, то х2= />, n/> Z
Уравнение имеет решение, если />≥0. Выясним, при каких значениях n
и а выполняется это условие:
/>≥0 />/>
откуда n ≥ /> и а > 0 или n ≤ /> и а
Итак, уравнение имеет решение х = ± />,если
1) а > 0 и n = 1,2,3,… или
2)а n/> Z.
Ответ: при а = 0 решений нет;
при а > 0 и n = 1,2,3,… или аn/> Z х = ± />.
Пример. Решите уравнение: аsin bx= 1
Решение: Особое значение параметра а: а = 0.
1. При а = 0 решений нет.
2. При а />0 sin bx= />. Имеем 2 случая:
2.1. Если /> > 1, то решений нет.
2.2. Если /> ≤ 1, то особое значение b = 0:
2.2.1.Если b = 0, то решений нет.
2.2.2. Если b />0, то х = />
Ответ: при а = 0 или /> > 1 и а />0 или а />0 b= 0 решений нет;
при а />0 и /> ≤ 1 и b />0 х = />
Показательные уравнения с параметрами.
Многие показательные уравнения с параметрами сводятся к элементарным показательным уравнениям вида а f (x) = bφ(х) (*), где а > 0, b > 0.
Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f(x) и φ (х). Для решения уравнения (*) нужно рассмотреть следующие случаи:
1) При а = b = 1 решением уравнения (*) является область его допустимых значений D.
2) При а = 1, b ≠ 1 решением уравнения (*) служит решение уравнения φ(х) = 0 на области допустимых значений D.
3) При а ≠ 1, b = 1 решение уравнения (*) находится как решение уравнения f(х)= 0 на области D.
4) При а = b (а > 0, а≠ 1, b >0, b≠ 1) уравнение (*) равносильно уравнению f(х)= φ(х) на области D.
5) При а ≠ b (а >0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) уравнение (*) тождественно уравнению
log c a f(x) = log cb φ(x) (c > 0, c≠ 1) на области D.
Пример. Решите уравнение: ах+ 1 = b 3 – х
Решение. ОДЗ уравнения: х/> R, а > 0, b >0.
1) При а ≤0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла.
2) При а = b = 1, х /> R.
3) При а =1, b ≠ 1 имеем: b 3 – х = 1 или 3 – х = 0 /> х = 3.
4) При а ≠1, b = 1 получим: а х+ 1 = 1 или х + 1 = 0 /> х= -1.
5) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) имеем: х + 1 =3 – х /> х= 1.
6) При а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) прологарифмируем исходное уравнение
по основанию а, получим:
/>, х + 1 = ( 3 – х) log ab, />
Ответ: при а ≤ 0,b ≤ 0 уравнение не имеет смысла;
при а = b = 1, х /> R;
при а = 1, b ≠ 1 х = 3.
при а≠ 1, b = 1 х = -1
при а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) х= 1
при а≠ b (а > 0, а ≠ 1,b >0, b≠ 1) />
Логарифмические уравнения с параметром.
Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения.
Пример. Решите уравнение 2 – log />/>(1 + х) = 3 log а /> – log />/>( х2 – 1)2
Решение. ОДЗ: х > 1, а> 0, а ≠ 1.
Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения:
log а а2 + log />/>( х2 — 1)= log а (/>)3 + log a/>/>,
log а ( а2 (х2 — 1)) = log а((/>)3/>),
а2(х2 — 1) = (х — 1) />,
а2(х — 1) (х + 1) = (х — 1) />
Так как х≠ -1 и х ≠ 1, сократим обе части уравнения на (х — 1) />
а2/>= />
Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:
а4(х + 1) = х – 1 /> а4х + а4 = х – 1/> х(1 — а4 ) = а4 + 1
Так как а≠ -1 и а ≠ 1, то />
Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно выполняться условие х > 1, то есть />
Выясним, при каких значениях параметра а это неравенство истинно:
/>, />
Так как а> 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а4> 0, то есть при
а
Итак, при 0 a x > 1,значит при 0 a х является корнем исходного уравнения.
Ответ: при а ≤ 0, а= 1 уравнение не имеет смысла;
при а >1 решений нет;
при 0 a
ГЛАВА 2
§1. Разработка факультативных занятий по теме.
В общеобразовательных классах данная тема не берется в явном виде. Она рассматривается в заданиях более сложного характера. Например, при изучении темы «Квадратные уравнения», можно встретить следующие задания:
1) При каком р уравнение х2 – 2х + 1 = р имеет один корень ?
2) При каких значениях параметра р сумма корней квадратного уравнения
х2+ ( р 2 + 4р – 5 ) х – р = 0 равна нулю ?
В классах с углубленным изучением математики уравнения с параметрами целенаправленно начинают изучать с 8 класса. Именно в этот период вводится понятие «параметр».Основная задача – научить учащихся решать уравнения с одним параметром.
Ученики должны уяснить, что уравнения с параметром – это семейство уравнений, определяемых параметром. Отсюда и вытекает способ решения: в зависимости от структуры уравнения выделяются подмножества множества допустимых значений параметра и для каждого такого подмножества находится соответствующее множество корней уравнения. Нужно обратить внимание на запись ответа. В нем должно быть указано для каждого значения параметра (или множества его значений), сколько корней имеет это уравнение и какого вида.
На факультативных занятиях следует разобрать следующие виды задач:
1) на разрешимость: определить параметры, при которых задача имеет хотя бы одно решение или не имеет решений вовсе.
2) на разрешимость на множестве: определить все параметры, при которых задача имеет m решений на множестве М или не имеет решений на множестве М.
3) на исследование: для каждого параметра найти все решения заданной задачи.
Разработка факультативных занятий приведена в приложении. Структура следующая:
Занятие№1. Решение линейных и квадратных уравнений
с параметрами.
Занятие№2. Решение линейных и квадратных уравнений
с параметрами.
Занятие№3. Решение дробно-рациональных и иррациональных
уравнений с параметрами.
Занятие№4. Тест
Занятие№5. Решение тригонометрических уравнений
с параметрами.
Занятие№6. Решение тригонометрических уравнений
с параметрами.
Занятие№7. Решение показательных и логарифмических
уравнений с параметрами.
Занятие№8. Тест
Занятие№1
Занятие№2
Занятие №3
Занятие № 4.
Вариант I.Решите уравнение k(x — 4) + 2 ( х + 1) = 1 относительно х.
а) при k=-2 корней нет; при k/>=-2 />;
б) при k/>-2 корней нет; при k=-2 />;
в) при k=-2 корней нет; при k/>=-2 и k/>=0,25 />.Решите уравнение 2а( а — 2)х = а2 – 5а+6 относительно х
а) при а=2 х/>R ;при а=0 корней нет; при а/>0 и а/>2 />;
б) при а=2 х/>R ;при а=0 корней нет; при а/>0 и а/>2 />;
в) при а=2 х/>R ;при а=0 корней нет; при а/>0 и а/>2 />.При каких значениях b уравнение 1+2х – bx = 4+х имеет отрицательное решение.
а) b1 ; в) b=1 При каких значениях а парабола у = ах2 – 2х +25 касается оси х?
а) а=25 ; б)а=0 и а= 0,04 ; в) а=0,04.При каких значениях k уравнение (k — 2)x2 = (4 – 2k)x+3 = 0 имеет единственное решение?
а) k=-5, k= -2 ; б) k=5 ; в) k=5, k= 2 .Решите относительно х уравнение />
а)при b/>+1, b/>/> />; при b=/> реш.нет; при b=±1 нет смысла;
б)при b/>/> />; при b=/> реш.нет; при b=±1 нет смысла;
в)при b=/> />; при b=±1нет смысла.При каких значениях параметра а уравнение имеет решение />
а) а≥3 ; б) а=4 ; в) а≥ 0При каких значениях а уравнение /> имеет 2 корня?
а)–0,25≤а≤ 0 ; б) –0,25При каких значениях параметра с уравнение />имеет 2 корня?
а) с/>( — ∞; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞); б) при с = ±1,5√3; в) с/>( — ∞; -1,5√3)
Вариант II.Решите уравнение 2х( а+1)= 3а(х+1)+7 относительно х.
а) при а=-2 корней нет; при а/>-2 />;
б) при а/>-2 корней нет; при а=-2 />;
в) при а/>-2 и а/>-/> корней нет; при а=-2 />.Решите уравнение (а2 — 81)х = а2 + 7а — 18 относительно х
а) при а=-9 х />R ;при а=9 корней нет; при а/>-9 и а/>9 />;
б) при а=9 х/>R ;при а=-9 корней нет; при а/>-9 и а/>9 />;
в) при а= -9 х />R ;при а=9 корней нет; при а/>-9 />;При каких значениях b уравнение 2+4х-bx=3+х имеет отрицательное решение?
а) b3 При каких значениях k уравнение kx2 – (k — 7)x + 9 =0 имеет два равных положительных корня?
а) k=49, k= 1 ; б) k=1 ; в) k=49. При каких значениях а уравнение ax2 — 6x+а = 0 имеет два различных корня?
а) а/>( — 3; 0)U(0;3 ); б) при а/>( — 3; 3) ; в) с/>( — ∞; — 3)U ( 3; +∞)Решите относительно х уравнение />
а)при а/>1, а/>2,25, а/>-0,4, />; а=2,25, а=-0,4, реш.нет;при а=1 нет смысла;
б) при а/>2,25, а/>-0,4, />; а=2,25, а=-0,4, реш.нет;при а=1 нет смысла;
в) при а/>1, а/>-0,4, />; а=-0,4, реш.нет; при а=1нет смысла.При каких значениях параметра а уравнение имеет решение />?
а) а≥2/3 ; б) а≥ 2/3 √6 ; в) а≤ 2/3 √6 При каких значениях а уравнение /> имеет 2 корня?
а) а≥0 ; б) ни при каких ; в) а≥ 1 При каких значениях параметра с уравнение />имеет 2 корня?
а) с/>( — ∞; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞); б) при с = ±1,5√3; в) с/>( — ∞; -1,5√3)
Занятие №5-6
Занятие №7
Занятие №8.
Вариант I.Решите уравнение 3 cos x = 4b + 1 для всех значений параметра.
а) при b/> ( -1;0,5 ) х = ± arcos />; при b/>(-∞;-1]U[0,5;+∞) реш.нет;
б) приb/> [ -1;0,5 ] х = ± arcos />; при b/>(-∞;-1)U(0,5;+∞) реш.нет;
в)b/>(-∞;-1]U[0,5;+∞) х = ± arcos />; b/> ( -1;0,5 ) при реш.нет;Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение sin2x – 3sin x + a =0.
а) a /> [ -4; 2 ] ; б) а/> ( -4; 2) ; в) а/> [ — 4; 2 ).При каких значениях а уравнение cos4x + sin4x = a имеет корни?
а) a /> [ 0,5; 1 ] ; б) а/> [ -1; 0,5 ] ; в)а/> [ — 0,5; 1 ).Решите уравнение />
а) при а ≤ 0 х />R ; при а > 0, а/>1 х= 2; при а = 1 не имеет смысла.
б) при а > 0 х/>R ;при а = 1 х = 2; при а ≤ 0 не имеет смысла.
в) при а = 1 х/>R ;при а > 0, а/>1 х= 2; при а ≤ 0 не имеет смысла.При каких значениях параметра уравнение 4х – а2х+1 – 3а2 + 4а = 0 имеет единственное решение?
а) 2; б) 1 ; в) -1.Решите уравнение log a x 2 + 2 log a ( x + 2) = 1.
а) при а ≤1 х = 0,5( 2+ />); при а=100 х = 1.
б) при а > 100 реш. нет; при 1aх = 0,5(2+ />); при а =100 х= 1;
при а ≤1 не имеет смысла.
в) при а > 100 реш.нет ; при 1aх = 0,5( 2+/>) ;
при а ≤1 не имеет смысла.
7. Найдите все значения параметра, для которых данное уравнение имеет только один корень 1+ log 2 (ax) = 2 log 2(1 — x)
а) а > 0, а =2 ; б) а > 0, а = — 2 ; в) а а = — 2 .Решите уравнение /> а > 0, а/>1
а) а; /> ; б) а2; — /> ; в ) а2; />
Вариант II.Решите уравнение cos (3x +1 ) = b для всех значений параметра.
а) при |b| ≤ 1 х = />; при |b|> 1 реш.нет;
б) при |b| ≤ 1 и b=0 х= />; при |b| > 1 реш.нет;
в)при|b| > 1 х = />; при |b|Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение cos2 x + asin x =2 a -7.
а) a /> ( 2; 6 ) ; б) а/> ( 2; 4 ] ; в) а/> [ 2 ; 6 ].При каких значениях а уравнение cos6x + sin6x = a имеет корни?
а) a /> [ 0,25; 0,5 ] ; б) а/> [ 0,25; 1 ] ; в)а/> [ — 0,25; 1 ].Решите уравнение />
а) при а ≤ 0 х />R ; при а > 0, х = 1; при а = 1 не имеет смысла.
б) при а = 1 х/>R ;при а > 0, а/>1 х= 1; при а ≤ 0 не имеет смысла.
в) при а > 0х/>R ;при а = 1 , х = 1; при а ≤ 0 не имеет смысла.При каких значениях параметра уравнение а( 2х + 2-х ) = 5 имеет единственное решение?
а) -2,5;2,5 ; б) 2; 2,5 ; в) –2,5.Решите уравнение 3 lg (x – а) — 10 lg ( x — а)+1 = 0.
а) х = а +1000, х = а + 3√10 ;
б) х = а — 3√10 , х = а –1000 ;
в) х = а — 3√10, х = а + 1000 .
7. Найдите все значения параметра, для которых данное уравнение имеет только один корень />
а) 4 ; б) -4 ; в) — 2 . Решите уравнение /> а > 0, а/>1
а) -1 ; а; б) 1 ; — а; в ) 1 ; а
Заключение.
При решении приведенных выше задач с параметрами происходит повторение и, как следствие,более глубокое прочное усвоение программных вопросов. Ученики расширяют свой математический кругозор, тренируют мышцы интеллекта, при этом происходит развитие математического, логического мышления, умения анализировать, сравнивать и обобщать. Решение задач с параметрами на факультативных занятиях это помощь при подготовке к экзаменам.Происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность,усидчивость, сила воли и точность.
Литература.С.И. Новоселов. Специальный курс элементарной алгебры. Москва-1962. Е.Ю. Никонов. Параметр. Самара – 1998. Еженедельная учебно-методическая газета «Математика» №36/2001; №4/2002; №22/2002; №23/2002; №33/2002.