Городскаяконференция учащихся муниципальных образовательных учреждений, занимающихсяучебно-воспитательной деятельностью
«Шаги внауку»
Научноеобщество учащихся «Поиск»
Муниципальногообразовательного учреждения
«Средняяобщеобразовательная школа №86 г.Омска»
Научноенаправление: «Математика»
Уравнения,содержащие параметр
Соколова АлександраМихайловна
ученица 10 класса МОУ
«СОШ №86 г.Омска»
Руководитель: ДощановаТиштых Мухановна,
учитель математики
Омск 2011
Содержание
Введение
1. Знакомство с параметрами
1.1 Решение уравнений первой степенис одним неизвестным
1.2 Решение линейных уравнений смодулем
1.3 Решение квадратных уравнений
2. Примеры решений уравнений спараметром из ГИА и ЕГЭ части С
Заключение
Введение
В настоящее время различныезадачи с параметрами – это одни из самых сложных заданий на экзаменах. А ведь вэкзаменационных заданиях они есть как за 9 класс, так и за 11, но многиеученики даже не берутся решать эти задания, так как заведомо считают, что несмогут их решить, даже не попробовав. А на деле, чтобы справиться с ними, нужновсего лишь проявить логику, включить смекалку и ничего сложного не окажется.
Свою работу я захотелапосвятить заданиям с параметрами, так как именно они вызывают у большинстваучеников наибольшие затруднения. Мне самой нужно будет сдавать ЕГЭ, и поэтому,обращаясь к этой теме, я хотела бы облегчить и себе, и своим слушателям,тяжесть решения задач с параметрами.
Цель моей работы — научиться решать уравнения с параметрами и познакомить учеников с методамирешения подобных заданий.
Я поставила перед собойследующие задачи:
1. Самой научиться решатьуравнения с параметрами различных видов.
2. Познакомить учащихся сразными методами решения подобных уравнений.
3. Вызвать интересучеников к дальнейшему изучению задач с параметрами.
В моей работе я рассмотрюследующие виды заданий с параметрами:
1) решение уравненийпервой степени с одним неизвестным;
2) решение линейныхуравнений с модулем;
3) решение квадратныхуравнений.
уравнениепараметр неизвестное модуль
1. Знакомство спараметрами
Для начала, стоило быпояснить, что собой представляют уравнения с параметрами, которым посвящена мояработа. Итак, если уравнение (или неравенство), кроме неизвестных, содержитчисла, обозначенные буквами, то оно называется параметрическим, а эти буквы –параметрами.
Если параметру,содержащемуся в уравнении (неравенстве), придать некоторое значение, товозможен один из двух следующих случаев:
1) получится уравнение (неравенство),содержащее лишь данные числа и неизвестные (т.е. без параметров);
2) получится условие, лишенное смысла.
В первом случае значениепараметра считается допустимым, во втором – недопустимым. />
Решить уравнение(неравенство), содержащее параметр, — это значит, для каждого допустимогозначения параметра найти множество всех значений данного уравнения(неравенства).
К сожалению, не редко прирешении примеров с параметрами многие ограничиваются тем, что составляютформулы, выражающие значения неизвестных через параметры. Например, при решенииуравнения /> переходят к у равнению />; при m=/>записывают единственное решение />. Но ведь при m= -1 – бесчисленное множестворешений, а при m=1, решений нет.
Пример 1. Решитьуравнение />.
Сразу видно, что прирешении этого уравнения стоит рассмотреть следующие случаи:
1) a=1, тогда уравнение принимает вид /> и не имеет решений;
2) при а=-1 получаем />и, очевидно, х любое;
3) при /> />.
Ответ: при a=1 решений нет, при а=-1 х любое, при/> />.
Пример 2. Решитьуравнение />
Очевидно, что />, а />, то есть х=b/2, но />,то есть 2/>b/2, b/>4.
Ответ: при b/>4 х=b/2; при b=4 нетрешений.
Пример 3. При каких ауравнение /> имеет единственноерешение?
Сразу хочу обратитьвнимание на распространенную ошибку – считать данное уравнение квадратным. Насамом деле это уравнение степени не выше второй! При а – 2=0, а = 2, уравнениевырождается в линейное имеет единственный корень х=1/4. Если же а/>2, то мы действительноимеем дело с квадратным уравнением, которое даёт единственное решение при D=0 />,/>, а=1, а=6.
Ответ: при а=2, а=1, а=6.
1.1 Решение уравненийпервой степени с одним неизвестным
Решить такое уравнение –это значит:
1) определить множестводопустимых значений неизвестного и параметров;
2) для каждой допустимойсистемы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнений.
Простейшее уравнениепервой степени с одним неизвестным имеет вид ах-b=0.
/>/>/>/>/>При /> уравнениеимеет единственное решение />,которое будет: положительным, если /> или />; нулевым, если />; отрицательным, если /> или />.
Если а=0, то при b=0 бесчисленное множество решений, апри b/>0 решений нет.
Пример 1. Для каждогозначения а решить уравнение />; найтипри каких а корни больше нуля.
Это уравнение не являетсялинейным уравнением (т.е. представляет собой дробь), но при х/>-1 и х/>0 сводится к таковому: /> или а-1-х=0.
Мы уже выявили допустимыезначения икс (х/>-1 и х/>0), выявим теперьдопустимые значения параметра а:
а-1-х=0 /> а=х+1
Из этого видно, что при х/>0 а/>1, а при х/>-1 а/>0.
Таким образом, при а/>1 и а/>0 х=а-1 и это кореньбольше нуля при а>1.
Ответ: при а решений нет, а при a>1 корни положительны.
Пример 2. Решитьуравнение /> (1).
Допустимыми значениями k и x будут значения, при которых /> />.
Приведём уравнение кпростейшему виду:
9х-3k=kx-12
(9 – k)x =3k-12(2)
Найдём k, при которых изначальное уравнениене имеет смысла:
Подставив в (2) />, получим:
/>.
Если подставим />, то получим так же />.
Таким образом, при /> уравнение (1) не имеетчислового смысла, т.е. /> – этонедопустимые значения параметра k для(1). При /> мы можем решать толькоуравнение (2).
1. Если />, то уравнение (2) и вместес ним уравнение (1) имеют единственное решение />,которое будет:
а) положительным, если />, при 4: />;
б) нулевым, если />;
в) отрицательным, если /> и k>9 с учётом
/>, получаем />.
2. Если />, то уравнение (2) решенийне имеет.
Ответ: а) /> при /> и />, причём х>0 для />; x=0 при k=4; x;
б) при />уравнение не имеет решений.
1.2 Решение линейныхуравнений с модулем
Для начала, стоитвспомнить, что такое модуль числа. Итак, абсолютной величиной или модулем числаназывается само число х, если х положителен, число (-х), если х отрицателен,или нуль, если х=0. Значение модуля может быть только положительным.
Чтобы понять решениепараметрических уравнений, содержащих знак модуля, лучше всегопродемонстрировать решение наглядно, т.е. привести примеры:
Пример 1. Решитьуравнение |x-2|=b.
Так как, по определениюмодуля, |x-2|/>,то при b
Если b>0, то решениями уравненияявляются числа x=2+b и x=2-b.
Ответ: при b0 х=2+b и x=2-b.
Пример 2. Решитьуравнение |x-a|=|x-4|.Удобнее всего данное уравнение решить методом интервалов, для двух случаев:
1) a/>;
2) 4/>.
1. Первый интервал:
/>
/>/> /> />;
Второй интервал:
/>
/> /> /> />, т.е. если а.
Третий интервал:
/>
/> а=4, т.е. если а=4,то />.
2. Первый интервал:
/>
/> а=4, />.
/>Второй интервал:
/> /> /> /> a>4, т.е. если 4
Третий интервал:
/>/> /> /> />
Ответ: при а=4 х-любое;,при а.
Пример 3. Для каждогозначения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению |x+3|– a| x – 1| =4.
Рассмотрим 3 промежутка:1) />, 2) />, 3) /> и решим исходное уравнениена каждом промежутке.
1. />, />.
При а=1 уравнение неимеет решений, но при а/>1 уравнение имееткорень />. Теперь надо выяснить, прикаких а х попадает на промежуток x, />, />, />. Следовательно, исходноеуравнение на x при />, а на остальных а корнейне имеет.
2. />. />.
При а= – 1 решениемуравнения является любое х; но мы решаем на промежутке />. Если а/>1, то уравнение имеет одинкорень х=1.
3. />. />.
При а=1 решением являетсялюбое число, но мы решаем на />. Если а/>1, то х=1.
Ответ: при /> />; при а= – 1 /> и при а/>1 х=1; при а=1 /> и при а/>1 х=1.1.3 Решение квадратных уравнений с параметром
Для начала напомню, чтоквадратное уравнение – это уравнение вида />,где а, b и с – числа, причем, а/>0.
Условия параметрическихквадратных уравнений могут быть различны, но для решений всех их нужноприменять свойства обыкновенного квадратного уравнения />:
а) Если D>0, а>0, то уравнение имеет двадействительных различных корня, знаки которых при с>0 одинаковые ипротивоположны по знаку коэффициента b, а при с
б) Если D=0, а>0, то уравнение имеет двадействительных и равных между собой корня, знак которых противоположен знакукоэффициента b.
в) Если D0, то уравнение не имеетдействительных корней.
Аналогично можнопредставить свойства корней при а
1. Если поменятьместами коэффициенты а и с, то корни полученного квадратного уравнения будутобратны корням данного.
2. Если поменятьзнак коэффициента b, корниполученного квадратного уравнения будут противоположны корням данного.
3. Если коэффициентыа и с разных знаков, то уравнение имеет действительные корни.
Пример1. Найти всезначения параметра а, для которых квадратное уравнение />: а) имеет два различныхкорня; б) не имеет корней; в) имеет два равных корня.
Данное уравнение поусловию является квадратным, поэтому а/>-1.Рассмотрим дискриминант данного уравнения:
/>
При а>-1 уравнениеимеет два различных корня, т.к. D>0,при a
Пример2. Решить уравнение/>
При а=0 уравнениеявляется линейным 2х+1=0, которое имеет единственное решение х=-0.5. А при а/>0, уравнение являетсяквадратным и его дискриминант D=4-4a.
При а>1 D=-1.
При a0, D>0 и данное уравнение имеет два различных корня
/> ; />.
Ответ: /> и /> при a0; х=-0.5 при а=0; />=-1 при а=1.
Пример3. Корни уравнения /> таковы, что />. Найдите а.
По теореме Виета /> и />. Возведём обе частипервого равенства в квадрат: />.Учитывая, что />, а />, получаем: /> или />, /> />. Проверка показывает, чтовсе значения /> удовлетворяют условию.
Ответ: />
2. Примеры решенийуравнений с параметром из ГИА и ЕГЭ части С
Узнав всю теоретическуюоснову и методы решений различных уравнений, содержащих параметр, я решилаприменить свои знания на практике. Мы выбрали несколько вариантов заданий ГИА иЕГЭ из части С, представляющих собой именно те виды уравнений, которые былипредставлены в моей работе, а именно: уравнение первой степени с однимнеизвестным, уравнение с модулем и квадратное уравнение. Ниже будут предложенырешения этих уравнений.
1. Определить значения k, при которых корни уравнения /> положительны.
Сразу можно выделить, что/>, />, из этого следует, что при/> уравнение не имеет смысла.
/>
В уравнение х(3k-8)=6-k подставим недопустимые значения х, чтобы узнать, при каких k уравнение не имеет смысла:
/>
Итак, мы выяснили, что />.
Выразим х: />. Х будет больше нуля, если/>.
/>/>
Учитывая, что />, />, />. Ответ: />, />.
2. При каких значениях ауравнение /> имеет равные корни?
Уравнение имеет равныекорни в том случае, если дискриминант равен нулю. Найдем дискриминант данногоуравнения и приравняем его к нулю:
/>
Ответ: при а=2 и а=2/35.
3. Для каждого значенияпараметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению a|x+3|+2|x+4|=2.
1) х+3=0 2)х+4=0
х= – 3 х= – 4.
х+3 – – +
/>
х+4 – -4 + -3 +
Рассмотрим 3 промежутка.
1. />
а(-(х+3)+2(-(х+4)=2
-ах – 3а –2х – 8=2
х(- а – 2)=10+3а (при а/> — 2)
/>.
Теперь надо выяснить, прикаких а х попадает на промежуток />.
/>/> />
Следовательно, напромежутке /> уравнение имеетединственный корень /> при />.
2. />.
/>
=> При а/>2 х= -3
При а=2 />.
3. />
/>
=> При а/> -2 х= -3
При а= -2 />.
Ответ: 1. при /> />
2. при а/>2 х= -3
при а=2 />.
3. при а/> -2 х= -3
при а= -2 />.
Заключение
Итак, проделав этуработу, я действительно поняла, как решаются уравнения с параметрами, приобреланавык решения и, надеюсь, теперь не столкнусь с трудностями при решенииподобных заданий на экзамене. Я надеюсь, что моя работа поможет ученикамуспешнее и смелее решать различные задачи с параметрами.
Конечно, не все далосьсразу и легко – чтобы научиться решать уравнения с параметрами, нужно выйти зарамки представлений об уравнении, при этом не забывая о свойствах того илииного типа уравнения. Удаётся это не сразу. К тому же, в школьной программезадачам с параметрами не уделяется должного внимания, поэтому, увидев такое наэкзамене, конечно, можно растеряться. Но я надеюсь, что вызвала интересучащихся к изучению таких интересных и нестандартных заданий, как уравнения,содержащие параметр.