Елабужский Филиал ГОУ ВПОКазанского Государственного Технического Университета им. А.Н. Туполева
Курсовая работа по дисциплине:
«Теория автоматического управления»
На тему:
«Устойчивость системавтоматического управления»
Выполнил: студент гр. 22308
Зиннатуллин А.Ф.
Проверил: Конюхов М.И.
Елабуга 2010
Аннотация
Вданной работе было представлено устойчивость систем автоматического управления.Устойчивость считается важнейшим и обязательным понятием, так как только в устойчивойсистеме могут быть удовлетворены другие требования к качеству.
Введение
Устойчивость АСУ характеризует способность системывозвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которыевывели ее из этого состояния. Следовательно, только устойчивая системаявляется работоспособной. Понятие «устойчивость» наглядноиллюстрирует рис. 1, на котором представлена физическая система шар – опорнаяповерхность. На рис. 1, а и б шар находится в положении равновесия. Приотклонении от этого положения в любую сторону в первом случае (рис. 1, а) шар неможет вернуться в исходное положение (неустойчивое равновесие), а во втором(рис. 1, б) – возвращается (устойчивое равновесие). Если опорная поверхностьпредставляет собой горизонтальную плоскость, то шар движется по ней до тех пор,пока действует движущая сила Fд и после ее исчезновения останавливается в любой точке наплоскости (безразличное равновесие). Такая система иногда называетсянейтральной (рис. 1, в).
/>
Рис. 1. Физическая система шар – опорная поверхность
Говорят, что система устойчива в малом, если констатируютлишь факт наличия области устойчивости, но не определяют каким-либо образом ееграницы. Если границы устойчивости определены, т.е. границы области начальныхотклонений, при которых система возвращается в состояние равновесия, известны(рис. 1, г), и выяснено, что реальные начальные отклонения принадлежат этойобласти, то система устойчива в большом. Когда система возвращается в состояниеравновесия при любых начальных отклонениях, ее называют устойчивой в целом, т.е. в малом и большом.
Переходные процессы в АСУ.
В любой АСУ в результате воздействия возмущающих сил, с однойстороны, и восстанавливающего действия управляющего устройства, с другой,возникает переходный процесс: переход АСУ из одного состояния в другое.Рассмотрим различные типы переходного процесса.
Пусть АСУ описывается дифференциальным уравнением вида
/> (1)
характеристическое уравнение, которого
/>
имеет корни
/>
Решение ДУ описывает переходной процесс y(t) характер которогоопределяется коэффициентом x.Возможное расположение корней характеристического уравнения на комплекснойплоскости р при различных значениях x показано на рис. 2. Рассмотрим переходные процессы,соответствующие различным значениям x.
/>
Рис. 2. Расположение корней характеристического уравнения
x, при этом корнихарактеристического уравнения вещественные положительные (p1,2>0) и, следовательно, />.В данном случае система не можетвосстановить равновесное состояние, значение управляемой координаты все большеотклоняется от заданного. Такой переходный процесс называется расходящимсямонотонным (апериодическим) (рис. 3, а), а система неустойчивой (идет процесснакопления энергии из внешней среды).
/>
Рис. 3. Виды переходного процесса
-1, /> а переходная функция имеет вид:
/>
где />,/>.
Характеристики системы те же, что и в предыдущем случае, нопереходный процесс колебательный (рис. 3, б).
0.При этом система возвращается в равновесное состояние, а значение управляемойкоординаты приближается к заданному. Такой переходный процесс называется сходящимсяколебательным, а система устойчивой (происходит отдача энергии во внешнююсреду) (рис. 3, в).
x>1. Переходнаяфункция h(t) имеет тот же вид, что ив случае I, но />. Характеристика системы та же, что и в III случае, но переходныйпроцесс монотонный (апериодический) (рис. 3, в). На этом же рисунке показанапереходная функция при x=1, />.
x=0. />,/>,/>.
В системе устанавливается периодическое движение, процессназывается колебательным незатухающим, система находится на границеустойчивости (рис.3, д). Она является замкнутой (консервативной), автономной отвнешней среды.
Все рассмотренные колебания (И, III и V случаи) относятся кклассу свободных, их параметры A и j зависят от начальных условий, т. е. от привнесенной энергии.Для случаев II и III функция />, где Т- период колебаний, и,следовательно, эти колебания непериодические. Периодические колебаниянаблюдаются только в случае V.
Сопоставление корней характеристического уравнения накомплексной плоскости р с соответствующими переходными процессами (рис. 3)показывает, что линейная система восстанавливает равновесное состояние толькотогда, когда корни характеристического уравнения расположены слева от мнимойоси.
В общем случае условие устойчивости АСУ имеет вид
/>
где у(0) – начальноезначение управляемой величины;
/> – установившеесяотклонение управляемой величины или статическая ошибка (в случае астатическойсистемы e = 0).
Реальные системы всегда нелинейны, однако, если для анализаповедения системы можно произвести линеаризацию уравнений, то о ее устойчивостиможно судить исходя из первого метода А.М. Ляпунова:
§ Если характеристическое уравнение линеаризованной системыимеет все корни с отрицательными вещественными частями, то реальная системабудет устойчива в малом.
§ Если характеристическое уравнение линеаризованной системыимеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то реальнаясистема всегда неустойчива.
§ Если характеристическое уравнение линеаризованной системыимеет хотя бы один нулевой корень или пару чисто мнимых корней, то поведениереальной системы не может определяться ее линеаризованным уравнением. В этомслучае отброшенные при линеаризации уравнения члены высшего порядка малостиопределяют поведение системы и могут превратить ее как в устойчивую, так и внеустойчивую.
Таким образом, анализ устойчивости линеаризованной системысводится к нахождению расположения корней на комплексной плоскости, котороеоднозначно определяется коэффициентами характеристического уравнения. Однако невсегда можно вычислить корни характеристического уравнения в аналитическомвиде. В соответствии с теоремой Абеля, корни уравнения выше четвертого порядкав общем случае не могут быть найдены аналитически в принципе. Поэтомужелательно иметь такие критерии, с помощью которых можно было судить обустойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристическогоуравнения, зависящих от параметров систем, и определять влияние изменяемыхпараметров на расположение корней характеристического уравнения на комплекснойплоскости. Эти критерии называют критериями устойчивости и подразделяются наалгебраические и частотные.
Алгебраическиекритерии устойчивости
Необходимоеусловие устойчивости.Характеристическое уравнение системы послеопределения его корней может быть представлено в виде
/>
Если система устойчива и все ее корни имеют отрицательныевещественные части, то после раскрытия скобок в последнем выражении получимхарактеристическое уравнение системы
/>,
в котором все коэффициенты аi, i=1,2,…n, будут строго большенуля.
Для устойчивости системы необходимо, но недостаточно, чтобывсе коэффициенты ее характеристического уравнения были строго больше нуля.
Понятие недостаточности означает, что если какой-либокоэффициент характеристического уравнения системы меньше нуля или равен нулю,то система неустойчива, но положительность всех коэффициентов еще не означает,что система устойчива. Нужны дополнительные исследованияКритерий устойчивости Гурвица
Пусть дано характеристическое уравнение системы вида
/> (2)
при а0> 0.
Гурвиц предложил алгебраический критерий, который основан напостроении специальных определителей характеристического уравнения (2),называемых определителями Гурвица. Они составляются по следующим правилам:
по главной диагонали выписывают все коэффициенты от а1до аn в порядке возрастанияиндекса;
дополняют столбцы определителя вверх от диагоналикоэффициентами с последовательно возрастающими, а вниз – с последовательноубывающими индексами;
на место коэффициентов, индексы которых больше n и меньше 0, ставят нули.
В соответствии с этими правилами, определитель Гурвица n-го порядка дляуравнения (2) имеет вид:
/>(3)
Определители Гурвица более низкого порядка являютсядиагональными минорами Dn. Например, при n = 3
/>;/>;/>
Поскольку в последнем столбце определителя Dn стоят нули, заисключением, то
/>
Критерий Гурвица формулируется следующим образом:
для того чтобы АСУ былаустойчива необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица
/>
были положительными, и при этом выполнялось условие
a0>0.
Пример. Исследоватьустойчивость системы стабилизации угла тангажа самолета и определить критическоезначение передаточного числа автопилота по углу тангажа. Система заданаструктурной схемой.
/>
На схеме обозначено:
ku — передаточное число (коэффициент передачи) автопилота поуглу тангажа;
/> передаточная функция рулевогопривода;
/>передаточная функция самолета поугловой скорости тангажа wz;
kwz — передаточное числоавтопилота по угловой скорости тангажа.
Для передаточной функции разомкнутой системы можно записать
/>
где />
/>
Передаточная функция замкнутой системы примет вид
/>
где /> />
Составим определитель Гурвица
/>
Оценим устойчивость системы для следующих значенийпараметров:
/>/>.
При этих значениях для коэффициентов характеристическогоуравнения получим
/>/>
/>
Следовательно, все коэффициенты характеристического уравнениязамкнутой системы положительны и
/>
Условия устойчивости выполнены и система при избранныхпараметрах устойчива.
Определим критическое значение передаточного числа по углутангажа, для чего приравняем третий диагональный определитель нулю и сделаемпреобразования.
/>
Отсюда
/>
В последнем выражении только d3 и d4 являются функциямикоэффициента ku и подставив их в него,получим квадратное уравнение относительно этого коэффициента
/>
/>
Решив это уравнение, получим критическое значениепередаточного числа по углу тангажа
/>
Система устойчива, если kuКритерий устойчивости Рауса
Этот критерий представляет собой систему неравенств,составленных по особым правилам из коэффициентов характеристического уравнениязамкнутой САУ.
Критерий Рауса требует несколько меньшего объема вычислений,чем критерий Гурвица и более удобен для программирования на ЭВМ. Для сужденияоб устойчивости системы по этому критерию необходимо составить таблицу Рауса.
Таблица Рауса
/>
В первой строке таблицы записывают коэффициенты характеристическогоуравнения, имеющие четные индексы в порядке их возрастания. Во второй строкетаблицы записывают коэффициенты с нечетными индексами в порядке их возрастания.В последующие строки вписывают коэффициенты, определяемые как
/>
Условия устойчивости Рауса: Чтобы САУ была устойчивойнеобходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца таблицы Раусаимели один и тот же знак, то есть были положительными. Если не все коэффициентыпервого столбца таблицы Рауса положительны, то есть САУ неустойчива, числоправых корней характеристического уравнения равно числу перемен знака в первомстолбце таблицы Рауса.Частотные критерии устойчивостиПринципаргумента.Частотные критерии устойчивостииспользуются в графоаналитическом виде и отличаются большой наглядностью припроведении расчетов. В основе всех частотных методов лежит принцип аргумента.
Рассмотрим характеристическое уравнение системы
/>
Если li, i=1,2,…n- корни этогоуравнения, то
/>
Каждому корню на комплексной плоскости соответствуетопределенная точка, и геометрически на этой плоскости каждый корень можноизобразить в виде вектора с модулем ½li½, проведенного из начала координат (рис.3.4). Сделаем замену s=jw и получим
/>
В соответствием с правилом вычитания векторов получим, чтоконец каждого элементарного вектора (jw — li) находиться на мнимой оси.
Аргумент вектора D(jw) равен суммеаргументов элементарных векторов
/>
Направление вращения вектора (jw — li) против часовой стрелки при изменении частоты от -¥ до +¥ принятосчитать положительным, а по часовой стрелке- отрицательным. Предположим, чтохарактеристическое уравнение имеет m корней в правой полуплоскости и n — m корней в левой полуплоскости. При изменении частоты от -¥ до +¥ каждыйвектор (jw — li), начало которого лежит в левой полуплоскости повернется наугол +p, а каждый вектор, началокоторого лежит в правой полуплоскости — на угол -p. Изменение аргумента вектора D(jw) приэтом будет
/>(3.14)
Это выражение и определяет принцип аргумента.
Изменение аргумента вектора D(jw) приизменении частоты от -¥ до +¥ равно разности между числом (n-m) корней уравнения D(s)=0, лежащих в левойполуплоскости, и числом m корней этого уравнения, лежащих в правой полуплоскости,умноженной на p .
Критерий устойчивости Михайлова
Пусть дано уравнение замкнутой системы
/>
где /> – передаточная функция замкнутойсистемы.
Тогда дифференциальное уравнение системы, преобразованное поЛапласу можно записать в виде:
/>
где />– характеристический полином n-ной степени.
В соответствии с основной теоремой алгебры этот полином можноразложить на множители в виде:
/> (4)
где p1, p2, …, pn- корни характеристическогоуравнения А(р) = 0.
Выражение (5) действительно при любых значениях p, в частности при p=jw. Тогда (5) можно переписать так:
/>(5)
Выражение (5) называется кривой Михайлова и обычнообозначается D(jw) = A(jw). Каждый сомножитель выражения (5) отображается на комплекснойплоскости вектором, конец которого лежит на мнимой оси (рис.4).
В основу критерия Михайлова положен принцип аргумента: произведениекомплексных чисел имеет аргумент, равный сумме аргументов всех егосомножителей.
В нашем случае при изменении w от -¥ до + ¥векторы сомножителей (jw — pi), i = 1,n, поворачиваются наугол p (5). Если корни лежатв левой части полуплоскости, то изменение угла будет положительным, если вправой, то отрицательным. Вектор (jw — pi) поворачивается против часовой стрелки в левой полуплоскости ипо часовой стрелке – в правой.
Запишем выражение (5) в показательной форме. Учтем, что
/>
где />; />
Тогда
/>(6)
Из (5) вытекает, что изменение аргумента вектора Михайлова D(jw) равно сумме изменений аргумента каждого сомножителя выражения(6), т.е.
/>
Если все корни характеристического уравнения расположеныслева от мнимой оси (т. е. система устойчива), то изменение аргумента каждогоиз сомножителей (jw — pi) при изменении w от –¥ до + ¥,равно +p, а изменение аргументапроизведения всех сомножителей Darg D(jw) = + pn.
Если хотя бы один корень будет расположен в правойполуплоскости (система неустойчива), то изменение аргумента вектора Михайлова Darg D(jw) = + p(n – 2).
Заметим, что при изменении w от –¥ до + ¥кривая Михайлова симметрична относительно оси абсцисс, что позволяетограничиться изучением кривой в диапазоне изменения w от 0 до + ¥. Тогда условие устойчивости системы по Михайлову можнозаписать в виде
/> (7)
Годографы кривой Михайлова при изменении w от 0 до + ¥для устойчивых систем при различных значениях n приведены на рис. 5.
В соответствии с (7) критерий Михайлова формулируетсяследующим образом: для того, чтобы замкнутая система была устойчивой,необходимо и достаточно, чтобы при изменении w от 0 до + ¥ вектор Михайлова D(jw) повернулся на угол />.
Рассматривая расположение D(jw) на комплексной плоскости (рис.4), условие устойчивости можносформулировать иначе: чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно,чтобы годограф вектора D(jw) прошел на комплексной плоскости последовательно n квадрантов в положительном направлении (против часовойстрелки), не проходя через начало координат. Если годограф проходит черезначало координат, то система находится на границе устойчивости. Расположениегодографа на комплексной плоскости для различных систем иллюстрируется рис. 6.
Пример. Используякритерий Михайлова, оценить устойчивость системы стабилизации угла тангажасамолета и определить критическое значение передаточного числа ku.
Характеристическое уравнение замкнутой системы было полученовыше и имеет вид
/>
Сделаем замену s=jw и выделим вещественную и мнимую части
/>
Построенная при заданных ранее параметрах системы криваяМихайлова имеет вид, показанный на рис.3.7.
Кривая начинается на вещественной положительной полуоси,проходит последовательно 4 квадранта и заканчивается в 4-м квадранте.Следовательно, при данных параметрах исследуемая система устойчива.
Для определения критического значения передаточного числа поуглу тангажа составим систему уравнений
/>
Из второго уравнения системы определяем частоту и подставиввыражение для нее в первое уравнение, после преобразований получим квадратноеуравнение относительно искомого значения передаточного числа
/>
Полученное уравнение абсолютно идентично полученному прирешении задачи по критерию Гурвица и результат таким же
/>
Построение кривой Михайлова для систем высокого порядка можетбыть связано с громоздкими вычислениями и графическими построениями. В этихслучаях может быть более просто оценить устойчивость по корням уравнений U(w)=0 и V(w)=0. Определим корниэтих уравнений и расположим их на числовой оси
Корни вещественные и перемежаются между собой. Системастабилизации угла тангажа устойчива.
Критерийустойчивости Найквиста
Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить обустойчивости замкнутой системы по виду АФЧХ разомкнутой системы.
Пусть передаточные функции разомкнутой и замкнутой системыимеют вид: /> />
Введем функцию
/> ( 3.17)
где D(s)- характеристический полином замкнутой системы. Перейдя кчастотным представлениям, получим
/> (3.18)
Вектор N(jw) называется векторомНайквиста. Очевидно, что числитель и знаменатель этого вектора имеют один и тотже порядок n. При использовании критерия Найквиста следует различать дваслучая.
1). Разомкнутая система устойчива и ее характеристическоеуравнение A(s)=0 имеет все корни в левой полуплоскости. Тогда приизменении частоты от 0 до ¥
/> (3.19)
Изменение аргумента вектора D(jw) вобщем случае равно
/> (3.20)
где m- число корней уравнения D(s)=0, лежащих в правойполуплоскости.
Изменение аргумента вектора Найквиста будет
/>(3.21)
Если замкнутая система устойчива, то m=0 и
/>
Так как при w®¥, W(jw)®0, то N(jw)®1. Рассмотрим рисунок3.8а, на котором показана кривая Найквиста, которую описывает вектор Найквистапри изменении частоты от 0 до ¥.Нетрудно убедиться, что вектор Найквиста опишет угол, равный нулю только вслучае, если его годограф не охватывает начало координат. Перенесем началокоординат в точку с координатами (1,j0) (рис.3.9б). Можно убедиться, что изменение аргументавектора Найквиста будет равно нулю если АФЧХ W(jw)разомкнутой системы не охватывает критическую точку с координатами (-1,j0).
Критерий Найквиста для рассматриваемого случая формулируетсяследующим образом.
Система автоматического управления, устойчивая в разомкнутомсостоянии, будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если АФЧХ W(jw) разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ¥не охзватывает критическую точку с координатами (-1, j0).
Особенности возникают, если разомкнутая системанейтрально-устойчива, т.е.
/>
где полином A1(s) имеет все корни влевой полуплоскости. При w=0АФЧХ разомкнутой системы W(jw)=¥ и проследить поведениекривой АФЧХ в окрестности этой точки невозможно. При изменении частоты от -¥ до +¥наблюдается движение корней вдоль мнимой оси снизу вверх и при w=0 происходит бесконечный разрыв.
При этом движении обойдем нулевой корень (рис.3.10) пополуокружности бесконечно малого радиуса r так, чтобы этот корень остался слева, т.е. искусственноотнесем его к левой полуплоскости.
При движении по этой полуокружности в положительномнаправлении независимая переменная изменяется по закону
/>
где фаза j(w) изменяется от -p / 2 до +p / 2.Подставив это выражение в передаточную функцию вместо множителя s в знаменателе, получим
/>
где R®¥ при r®0, а фаза j(w) изменяется от +p / 2 до -p / 2.Следовательно, в окрестности нулевого корня годограф W(jw)представляет собой часть окружности бесконечно большого радиуса, движение покоторой происходит при увеличении частоты в отрицательном направлении.
Для оценки устойчивости замкнутой системы, если разомкнутаясистема нейтрально устойчива, необходимо АФЧХ W(jw) разомкнутой системы дополнить дугой бесконечно большогорадиуса, начиная с меньших частот, в отрицательном направлении и для полученнойзамкнутой кривой воспользоваться критерием Найквиста для систем, устойчивых вразомкнутом состоянии.
2).Разомкнутая система неустойчива. В этом случае
/>
где р- число корней характеристического уравнения разомкнутойсистемы, лежащих в правой полуплоскости.
Если замкнутая система устойчива, т.е. m=0, то
/> ( 3.22)
т.е. АФЧХ разомкнутой системы охватывает критическую точку(-1,j0) в положительном направлении ровно p / 2 раз.
Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будетустойчивой в замкнутом состоянии, если АФЧХ W(jсw) разомкнутойсистемы при изменении частоты от 0 до ¥охватывает критическую точку (-1,j0) в положительномнаправлении ровно р/2 раз, где р- число правых полюсов разомкнутой системы.
Определение числа охватов критической точки- непростаязадача, особенно в случае систем высокого порядка. Поэтому в практическихприложениях нашла применение другая формулировка критерия Найквиста длярассматриваемого случая.
Переход годографа W(jw) через отрезоквещественной полуоси (-¥,-1),т.е. левее критической точки при увеличении частоты сверху вниз считаетсяположительным, а снизу вверх- отрицательным.
Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будетустойчивой в замкнутом состоянии, если разность между числом положительных иотрицательных переходов АФЧХ разомкнутой системы равна р/2.
/> (3.23)
где /> число положительных переходов, />числоотрицательных переходов.
Например, передаточная функция ракеты-носителя “Авангард” имеетдва неустойчивых полюса и ее АФЧХ показана на рис. 3.11.
Очевидно, что для данной ракеты, как объекта управления, />а /> и /> Замкнутаясистема будет устойчивой.
Пример. Используякритерий Найквиста оценить устойчивость замкнутой системы стабилизации углатангажа и определить ее запасы устойчивости.
Передаточная функция разомкнутой системы была получена ранееи имеет вид
/>
Численные значения коэффициентов заданы или вычислены ранее.Сделаем замену s=jw :
/>
/>
Послепреобразований получим
/>
/>
Изменяя частоту от 0 до ¥ построим кривую АФЧХ — рис. 3.13. Проведя дугу окружностиединичного радиуса, определим, что запас устойчивости по фазе g=1100. Для рассматриваемого примера получим, что h =3.3.Запасы устойчивости
Устойчивость замкнутой САУ зависит от расположения годографаАФЧХ разомкнутой системы относительно критической точки. Чем ближе эта криваяпроходит от критической точки, тем ближе замкнутая САУ к границе устойчивости.Для устойчивых систем удаление АФЧХ разомкнутой системы от критической точкипринято оценивать запасами устойчивости по фазе и по модулю.
Допустим, что АФЧХ некоторой разомкнутой системы имеет вид,показанный на рис. 3.12.
Угол g, образуемый прямой, проходящей через точку пересечения АФЧХс окружностью единичного радиуса, что соответствует частоте среза системы, иотрицательной вещественной полуосью называется запасом устойчивости системы пофазе.
/> (3.24)
Запасом устойчивости по модулю называется величина
/> (3.25)
где А(wp)- значение АФЧХ при частоте w=wp, при которой онапересекает вещественную ось.
Для всех систем должны выполняться требования:
/> />
Так как АФЧХ графически строится в определенном масштабе, тодля вычисления запаса устойчивости по модулю можно просто измерить длиныотрезков, соответствующих единице и ОВ, и разделить результат первого измеренияна второй. Если увеличивать коэффициент усиления системы, то точка В будетсмещаться влево и при ОВ=-1 коэффициент усиления примет критическое значение.Поэтому запас устойчивости по модулю можно определить и по формуле: /> Оценкаустойчивости по ЛЧХ
АФЧХ разомкнутой системы подразделяются на два типа:
АФЧХ первого рода, все точки, пересечения которых свещественной осью расположены справа от критической точки (кривая 1, рис.3.14);
АФЧХ второго рода, точки, пересечения которых с вещественнойосью расположены как справа, так и слева от критической точки (кривая 2, рис.3.14).
В системах первого рода увеличение коэффициента усиленияведет к сдвигу ветви кривой влево и приближению ее к критической точке. Запасыустойчивости при этом уменьшаются и при k=kкр система попадает на границу устойчивости. Уменьшениекоэффициента усиления стабилизирует систему. В системах 2-го рода переходсистемы на границу устойчивости может происходить как при увеличениикоэффициента усиления, так и при его уменьшении. Из критерия Найквиста следует,что замкнутая система, имеющая в разомкнутом состоянии АФЧХ 1-го родаустойчива, если всем точкам АФЧХ, вплоть до точки пересечения ее с окружностьюединичного радиуса (w=wс), соответствуютзначения фазы j(w), большие, чем -p, т.е. должно выполняться неравенство wс
Для того чтобы система, устойчивая в разомкнутом состоянии иимеющая АФЧХ первого рода, была устойчивой и в замкнутом состоянии, необходимои достаточно, чтобы при всех частотах, при которых ЛАХ положительна, значенияфазовой характеристики были больше, чем -p, т.е. wсwp.
По ЛЧХ легко определяются и запасы устойчивости, причем запасустойчивости по усилению в логарифмическом масштабе должен удовлетворятьусловию çНê>6дб, чтосоответствует значениям h>2.
Для того, чтобы САУ неустойчивая в разомкнутом состоянии иимеющая АФЧХ 2-го рода, была устойчивой в замкнутом состоянии, необходимо идостаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходовфазовой характеристикой через линию -pбыла равна р/2, где р- число корней характеристическогоуравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости, при всехчастотах когда L(w)>0.
Необходимо подчеркнуть, что показанные способы оценкиустойчивости по ЛЧХ и определения запасов устойчивости справедливы при такомрасположении оси ординат относительно фазовой характеристики, когда с началомкоординат совмещена точка j(w)=-1800.
По ЛЧХ можно определить и критический коэффициент усиления.Для этого необходимо сместить ЛАХ вдоль линий сопряжения параллельно самой себетак, чтобы выполнить условие wс= wp и вычислить коэффициент усиления для вновь полученной ЛАХ.
Определение критического коэффициента усиления длястатической и астатической систем иллюстрируется рис. 3.17 а и 3.17б.
Некоторые особенности возникают при определении критическогокоэффициента усиления, если в состав передаточной функции разомкнутой системывходит колебательное звено с малым показателем затухания, причем началоасимптоты, соответствующей этому звену лежит ниже оси частот. В этом случаекритический коэффициент усиления определяется в момент касания резонансногопика оси частот.
Пример. Построить ЛЧХсистемы стабилизации угла тангажа и оценить ее устойчивость. Определить запасыустойчивости и рассчитать критическое значение передаточного числа по углутангажа.
Передаточную функцию разомкнутой системы можно привести квиду
/>
Корни характеристического уравнения разомкнутой системы имеютзначения:
/>
Следовательно, /> После преобразований получим
/>
где /> /> />
Определим частоты сопряжения и разобьем сетку координат.
/>
Построим ЛАХ системы, учитывая, что коэффициент усиленияразомкнутой системы равен /> Так как относительный показательзатухания мал, то необходимо полученную ЛАХ уточнить в окрестности частотысопряжения w03.
Это можно сделать как по специальным графикам, так ирасчетным путем по известной амплитудной частотной характеристике. АЧХ даннойсистемы определяется выражением
/>
Подставив несколько значений частоты в окрестности частотысопряжения w03, получим значения АЧХ, рассчитаем значения ЛЧХ и построимуточняющую кривую. Фазовая частотная характеристика строится как сумма фазовыххарактеристик типовых звеньев, входящих в состав передаточной функции
/>
где />
Из графиков ЛЧХ следует, что wси, следовательно,замкнутая система устойчива. Запас устойчивости по фазе g=1080. Для систем, в которые входят колебательныезвенья с малым относительным коэффициентом затухания, запас устойчивости помодулю определяется в точке резонанса и в данном случае он равен » 10дб, что соответствует значению h=3.16. Полученныезначения запасов устойчивости незначительно отличаются от значений рассчитанныхв соответствии с критериями Гурвица и Михайлова.
В исследуемом случае критический коэффициент усиленияопределяется при касании L(wр) оси частот. Перенесем ЛАХ параллельно самой себе так, чтобыв точке w=wр она касалась оси частот и продлим первую асимптоту допересечения с осью частот. В этой точке k=w=7.244, чтосоответствует значению (ku)кр=16.74.
Выделение областей устойчивости
Среди физических параметров, характеризующих САУ, всегдаимеется несколько, легко поддающихся изменению и использующихся дляопределенной настройки системы. При конструировании системы весьма важно знатьдиапазоны значений изменяемых параметров, допустимые с точки зрения сохраненияустойчивости САУ. Об этих диапазонах можно судить, если в пространствеизменяемых параметров построить область устойчивости, т.е. выделить областьзначений параметров, при которых система сохраняет устойчивость.
Область устойчивости в теории автоматического управленияпринято называть D – областью, а представление области параметров в видеобластей устойчивости и неустойчивости называют D – разбиением.Построение области устойчивости по алгебраическим критериям
Допустим, что коэффициенты характеристического уравнения
/>
зависят от двух изменяемых параметров m и l. Дляпостроения области устойчивости прежде всего нужно, в соответствии снеобходимым условием устойчивости, выделить область изменяемых параметров принахождении в которой, коэффициенты характеристического уравнения положительны.Это можно сделать, решив систему уравнений
/> (3.26)
/>
Для построения границы положительности коэффициентов аi необходимо из решенийуравнений (3.26) выбрать те, которые обеспечивают положительность всехкоэффициентов. Из всех границ положительности только две одновременно могутбыть и границами устойчивости. Такими являются границы, уравнениями которыхявляются
/> (3.27)
Доказано, что если d0и dnприблизятся к нулю, то характеристическое уравнение будетиметь два действительных корня
/> (3.28)
При дальнейшем уменьшении коэффициенты d0 и dnперейдут через ноль,станут отрицательными, а корни (3.28) окажутся положительными. Так каквещественные корни определяют апериодические составляющие решениядифференциального уравнения, то границы (3.27) называют апериодическимиграницами устойчивости. На самих границах устойчивости корни (3.28) равнысоответственно ±¥ и 0. Стороны кривых, di(m,l)=0, примыкающие кобласти положительности соответствующих коэффициентов, штрихуются в сторонуположительности. Может случиться так, что какой либо из коэффициентов, d0или dn не зависит от изменяемых параметров. Это означает отсутствиесоответствующей апериодической границы устойчивости.
Колебательной границей устойчивости называется кривая вплоскости изменяемых параметров, при переходе через которую пара комплексно –сопряженных корней изменяет знак своей вещественной части на обратный.Доказано, что колебательная граница устойчивости определяется выражением
/>(3.29)
В этом выражении Dn-1 – (n-1) – й определитель Гурвица. Колебательная границаустойчивости штрихуется в сторону положительности Dn-1.
Пример. Построить областьустойчивости в плоскости параметров kuи kwz системы стабилизации угла тангажа.
Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид
/>
Исследуем неравенства d2>0, d3>0, d4>0. Из первого неравенства следует, что дляположительности коэффициента d2 необходимо, чтобывыполнялось условие
/>
Неравенство d4>0 определяет, чтодля положительности этого коэффициента необходимо, чтобы ku>0. Для выполнения неравенства d3>0 требуется, чтобы
/>
При любых значениях передаточного числа по углу больших нуля,правая часть последнего выражения по модулю будет больше единицы. Такимобразом, границами положительности коэффициентов будут
/>
От изменяемых параметров зависит коэффициент dn=d4 и не зависит коэффициент d0. Поэтому уравнение ku=0 одновременноявляется и апериодической границей устойчивости.
Составив определитель Гурвица, для его Dn-1 минора получим
/>
Подставим в это выражение значения коэффициентов d2, d3, d4, как функций параметров ku и kw, после преобразованийполучим квадратное уравнение, определяющее передаточное число по угловойскорости как функцию от передаточного числа по углу тангажа
/>
По этому выражению строится колебательная границаустойчивости. График деления области исследуемых параметров на областиустойчивости и неустойчивости показан на рис. 3.19.
Граница колебательной неустойчивости штрихуется в сторонуположительности Dn-1 — го определителя Гурвица, а прямая kwz=0 в сторону положительностиэтого коэффициента.
Для проверки полученных результатов выберем какие – либозначения параметров внутри заштрихованной области, например ku=5, kwz=0.6, вычислим значения коэффициентов характеристическогоуравнения и оценим устойчивость замкнутой системы по критерию Гурвица.
Получим, что при выбранных значениях передаточных чиселсистема устойчива. Это означает, что и вся область, внутрь которой обращеныштрихи, является областью устойчивости.
D– разбиение в плоскости одного параметра
Пусть нас интересует влияние какого – либо одного параметрана устойчивость САУ и этот параметр входит в характеристическое уравнениелинейно, так что это уравнение можно представить в виде
/> (3.30)
Сделав замену s= jw, получим
/> (3.31)
Задавая значения частоты от -¥ до +¥, можно построить кривую m(w),отображающую мнимую ось плоскости корней на плоскость m. Эта граница D – разбиения симметрична относительно вещественной оси.Поэтому вычисления можно вести в диапазоне частот от 0 до +¥, а затем дополнитьполученную кривую ее зеркальным отображением на диапазон частот от -¥ до нуля. При движениипо мнимой оси от -¥до +¥ на плоскости корнейобласть устойчивости остается слева. Поэтому при движении по кривой D – разбиения в сторонуувеличения частоты ее штрихуют слева. Область, внутрь которой обращены штрихи,является предполагаемой областью устойчивости. Для окончательного решения,необходимо взять какое – либо вещественное значение параметра m в исследуемой области и воспользоваться каким – либокритерием устойчивости. Если при избранном значении параметра системаустойчива, то рассматриваемая область является областью устойчивости.
Пример. Построить областьустойчивости системы стабилизации угла тангажа в плоскости передаточного числа ku.
Характеристическое уравнение исследуемой системы можнозаписать в виде
/>
где/>
/>
В полученных выражения сделаем замену s=jw иполучим
/>
/>
В этих выражениях />
Построенная по этим выражениям кривая D – разбиения показанана рис. 3.20.
Так как необходимым условием устойчивости рассматриваемойсистемы является ku>0, то мнимая ось такжеявляется границей устойчивости и штрихуется в сторону положительности ku. Значение этого коэффициента, равное 5, находится внутризаштрихованной области и мы знаем, что при этом значении система устойчива.Значит и весь отрезок вещественной оси, расположенный внутри заштрихованнойобласти, дает значения передаточного числа по углу, при которых системаустойчива. Можно показать, что окончание этого отрезка находиться в точке,равной критическому значению коэффициента ku=16.56.
D– разбиение в плоскости двух параметров
Пусть коэффициенты характеристического уравнения линейнозависят от двух параметров m и l так, что его можно записать в виде
/> (3.32)
После замены s=jw получим
/>
/>
Так как равенство нулю всего преобразованногохарактеристического уравнения может выполняться только, если одновременно равнынулю его вещественная и мнимая части, то получим систему уравнений относительноизменяемых параметров
/> (3.33)
Разрешив систему (3.33) относительно m и l,получим
/>
где />
/>
/>
Задавая значения частоты от -¥ до +¥,определим совокупность точек на плоскости m — l,образующих кривую D – разбиения. Функции m(w) и l(w)являются четными, и поэтому, при изменении частоты в указанных выше пределах,кривая D – разбиения пробегается дважды. При построении кривой D – разбиения вплоскости двух параметров необходимо руководствоваться следующими правилами[8,14]:
1) если в системе (3.33) первое уравнение получено извещественных частей, а второе – из мнимых частей функций P(jw), Q(jw) и S(jw) иесли параметр m по написаниюстоит первым, а l — вторым, то система координат должна быть правой, т.е. ось m является осью абсцисс с отсчетом положительных значенийвправо, а ось l — осью ординат сотсчетом положительных значений вверх;
2)двигаясь по кривой D – разбиения приизменении частоты в сторону увеличения, ее штрихуют слева, если D(w)>0, и справа, если D(w)
Может быть случай, когда при w=w*¹ 0,¥ одновременноD(w*)= =Dm(w*)=Dl(w*)=0. Тогда система (3.33) становится линейно – зависимой и ееуравнения отличаются друг от друга только на постоянный множитель. В этомслучае эта система сводится к одному уравнению, определяющему на плоскости m — lпрямую линию, которая называется особой прямой.
Если особая прямая пересекает кривую D – разбиения в точке w=w* и в этой точке определитель D(w)меняет знак, то эта прямая также является границей устойчивости и в указаннойточке изменяется направление штриховки кривой и особой прямой. Если при w=w* изменение знака главного определителя не происходит, тоштриховка на особую прямую не наносится. Если свободный членхарактеристического уравнения dn=dn(m,l), то это соответствуетсуществованию особой прямой для w=0 и ее уравнение будет
/> (3.34)
Уравнение особой прямой для w=¥ определяетсявыражением
/> (3.35)
Прямые (3.34) и (3.35) называются концевыми. Они штрихуютсяодинарной штриховкой, согласованной в точках w=0 и w=¥ с направлением штриховки основной линии. Предполагаемаяобласть устойчивости находится внутри заштрихованного участка и проверяетсяаналогично предыдущему. Переход через кривую D – разбиения, заштрихованнуюдважды, соответствует переходу через границу устойчивости двух корней, апереход через особую концевую с одинарной штриховкой – переходу одного корня.Если концевые прямые не имеют общих точек с основной кривой, то штриховка наних наносится в сторону положительности параметров.
Пример. Построить областьустойчивости системы стабилизации угла тангажа в плоскости параметров ku и kwz.
Характеристическое уравнение замкнутой системы может бытьпредставлено в виде (3.32), где
/>
После подстановки s=jw и выделения вещественных и мнимых частей, получим
/>
Составив систему уравнений (3.33) и решив ее, получим
/>
Определив корни этих уравнений, можно сделать вывод, чтообщих корней, кроме нулевого корня, не существует.
Значит особых прямых нет, существует только концевая прямая,соответствующая уравнению dn=kcku=0. Руководствуясь вышеприведенными правилами, построим кривую D – разбиения изаштрихуем ее и концевую прямую. Проверку осуществим в точке ku=5, kwz=0.6.
уже ранее установили, что в этой точке система устойчива, азначит и заштрихованная область является областью устойчивости.
Заключение
Практическая пригодность САУ, определяется ее устойчивостью иприемлемым качеством процесса управления (регулирования). На любую САУдействуют различные внешние возмущения, которые могут нарушать ее нормальнуюработу. Правильно спроектированная система должна устойчиво работать при всехвнешних возмущениях.
В простейшем случае, понятие устойчивость системы связана соспособностью ее возвращения к исходному состоянию после кратковременноговнешнего воздействия. Если система неустойчивая, она не возвращается ксостоянию равновесия, из которого по каким-то причинам вышла.
Только устойчивая система автоматического управления можетвыполнять возложенные на нее функции. Поэтому одной из основных задач САУявляется обеспечение ее устойчивости.
Устойчивость считается важнейшим и обязательным понятием, таккак только в устойчивой системе могут быть удовлетворены другие требования ккачеству.
В своей работе я исследовал устойчивость системы стабилизацииугла тангажа самолета и определял критическое значение передаточного числаавтопилота по углу тангажа, используя различные критериями устойчивости. Аименно:
ü Критерием устойчивости Рауса-Гурвица;
ü Критерием устойчивости Михайлова;
ü Критерием устойчивости Найквиста.
Литература
1) Дорф Р., Бишоп Р. Автоматика. Современные системы управления.2002г. – 832с.
2) Харазов В.Г. Интегрированные системы управлениятехнологическими процессами: Справочник. Издательство: ПРОФЕССИЯ, ИЗДАТЕЛЬСТВО,2009. – 550с.
3) Брюханов В.Н. и др. Теория автоматического управления. –М: Высшая школа, 2000.
4) Ким Д.П., Дмитриева Н.Д. Сборник задач потеории автоматического управления. Линейные системы. ФИЗМАТЛИТ, 2007. –168 с.
5) Лукас В.А. Теория автоматического управления. – М.:Недра, 1990. – 416 с.
6) В.А. Бесекерского, Е.П. Попов Теория системавтоматического управления-747с.
7) Справочник по теории автоматического управления. /Под ред.А.А. Красовского – М.: Наука, 198 – 712 с.