–PAGE_BREAK–От общих советов к частным. Начинать надо с общих вопросов, с общих советов, т. е. именно с тех, которые были приведены выше. Может оказаться, что общие вопросы не окажут помощи какому-то ученику. Тогда надо обратиться к дополнительным, более частным вопросам, так чтобы дойти до вопросов, соответствующих уровню развития и математической подготовке ученика. Переходить к частным, конкретным вопросам надо постепенно, чтобы на долю ученика досталась наибольшая часть работы по решению задачи. Задавая более частные, дополнительные вопросы, нужно учитывать следующее: вопросы должны быть такими, чтобы они направляли мысль ученика в нужную сторону, заставляя его активно мыслить над решением задачи. Разумеется, предлагая вопросы ученикам, надо предоставить время на обдумывание ответов на эти вопросы.
Общие умения по решению задач Умение самостоятельно решать задачи — важное умение не только для тех, кто будет в дальнейшей жизни заниматься математикой, но и для всех учащихся. Человеку в повседневной жизни приходится постоянно решать задачи и даже ставить их, правда, они несколько отличаются от школьных задач, иногда своей неопределенностью, иногда неразрешимостью. Умение организовать поиск — черта активной, самостоятельной личности. Умение самостоятельно решать задачи является показателем высокого интеллектуального развития. К сожалению, в школьной практике довольно часто можно наблюдать отсутствие этого умения. Из каких составляющих, из каких отдельных умений складывается общее умение решать задачи?
Это:
• умение проводить анализ условия задачи;
• умение применять изученную теорию (определение, теорему, правило) на практике; это умение предполагает узнавание возможности применения теории и собственно применение, поэтому теорема, определение, правило принимают в сознании вид алгоритма или предписания, по которому совершается действие;
• умение выделять основную идею в решении отдельной задачи, находить общее в решении нескольких задач и переносить эту идею, это общее на новую задачу;
• умения по самооценке своей деятельности, самоконтролю.
Как можно формировать умение анализировать условие задачи? Чтобы научиться анализировать условие задачи, анализ задачи должен стать целью обучения, что требует выполнения специальных заданий не по решению задач, а только по анализу их условия. По меньшей мере, этап анализа условия задачи должен быть специально выделен в процессе решения, и учащиеся должны иметь ориентировочную основу проведения этапа анализа. Анализу условия задачи следует обучать во всех разделах школьного курса математики: в арифметике, алгебре, геометрии. Как уже было отмечено, анализ условия задачи состоит в выделении данных и искомых, в выяснении значения каждого слова, в выяснении структуры задачи: какая и сколько ситуаций, объектов рассматриваются, какие величины входят в рассмотрение, каково соотношение между величинами в данной задаче, какая информация имеется в условии задачи в скрытом виде.
Обучение краткой записи условия задачи — это и есть обучение анализу условия. Краткая запись- это модель текста задачи, материализованная форма проведения действия анализа условия. Этому следует обучать специально. Наиболее распространенной формой записи условия является запись отдельных ситуаций, например, следующим образом:
I день — 273 стр.
П день — в 7 раз меньше
III день — на 45 стр. больше
а также в виде чертежей, диаграмм, рисунков (см. рис.).
Рис. Краткая запись условия:
Дано: АВС, АВ = ВС, AD=DВ, BE = EC.
Доказать: АЕ=CD — это тоже материализованная форма анализа условия задачи, в которой понятия заменены их определениями.
При решении каждой задачи, способ решения которой неизвестен, используются синтетический и аналитический методы — происходит встречный процесс ot данных к требованию (синтез) и от требований к данным (анализ). На каком-то шаге устанавливается связь этих двух процессов — находится недостающий элемент, отношение — задача решена.
К какому бы разделу математики задача ни относилась, при ее решении происходит получение следствий из условия, какие-то условия заменяются эквивалентными, переформулируются, приобретают более удобный для операций вид, какие-то условия связываются. Установление связей между данными происходит не хаотично, а после выяснения отношений между данными под воздействием промежуточных и окончательных целей. Нахождение новых величин, отношений носит целенаправленный характер. Алгоритмов обучения творчеству нет, однако встречному движению от данных к требованию и от требования к условию можно обучать. Можно специально обучать получению следствий, переформулированию, решению задач с конца, другим эвристикам, демонстрируя их, акцентируя на них внимание, подбирая специальные задания.
Формированию умения анализировать условие задачи способствует выполнение обратных заданий: составить задачу по краткой схеме.
Начинать поиск решения задачи можно лишь тогда, когда ее условие полностью понято. Самоконтролем на этом этапе являются пересказ условия, подсчет данных и требования, проверка схем.
При осуществлении поиска основной идеи задачи продолжается выявление скрытых отношений, структуры задачи: рассматриваются под удобным углом зрения данные и требования, происходит сопоставление решаемой задачи с ранее решенными, конструируется модель задачи в соответствии с выдвигаемой гипотезой, осуществляется мысленный эксперимент, привлекаются различные эвристики.
В чем заключается деятельность по самоконтролю при анализе условия задачи? При анализе условия, как известно, осуществляется следующая деятельность: выделение данных и требований, выяснение смысла терминов; выделение объектов, ситуаций и величин, их характеризующих; моделирование ситуаций с помощью таблиц, чертежа, краткой записи условия задачи.
При этом самоконтроль осуществляется при пересказе текста задачи своими словами для выяснения, не забыто ли какое-либо данное, каждое ли слово в тексте понято. Если условие задачи моделируется с помощью чертежа, таблицы, то необходимо проверить, каждому ли данному нашлось место в этой модели. Для того чтобы проверить, правильно ли понято условие, можно рекомендовать восстановить текст задачи по краткой записи, модели, чертежу.
Вся эта деятельность направлена на то, чтобы выяснить, что задача понята целиком и правильно, структура задачи выделена и удерживается в памяти. Это обеспечивается обучением учащихся проводить анализ условий задачи.
При выдвижении гипотезы относительно возможного решения самоконтроль заключается в том, что решающему необходимо доказать себе, что выбор пути сделан правильно: что с помощью выбранной теоремы, правила, приема, определения можно довести решение задачи до логического конца; что задача подходит под определенный тип, предписание для которого имеется; что выбранная эвристика позволяет наметить ход решения задачи. Если ситуацию нельзя подвести под известный прием, если использованная эвристика заводит в тупик, если использованная теория не позволяет довести решение задачи до конца, необходимо отказаться от намеченного плана и продолжить анализ условия и привлечение новых идей.
Можно ли обучать учащихся самоконтролю на этом этапе?
Деятельности самоконтроля на этапе поиска плана решения задачи можно обучать, раскрывая эту деятельность, показывая, как учитель выходит из затруднительных ситуаций, которые возникают при поиске решения задачи. На этапе реализации полученного решения деятельность решающего состоит в применении выделенных эвристик, приемов, правил, определений, и при этом самоконтроль проявляет себя как пошаговый, пооперационный самоконтроль. Пошаговому контролю ученик обучается в рамках формирования различных приемов учебной работы и умственных действий, при обучении использованию определений, правил, теорем.
На ранее перечисленных этапах решения задачи самоконтроль проявляет себя как естественная неотрывная составляющая поисковой деятельности, которая может и не осознаваться решающим.
Последнему этапу решения задачи — проверке и исследованию полученного решения присвоен особый статус этапа, на котором осуществляется самоконтроль.
В методике преподавания математике выделены различные формы самоконтроля, проводимые после завершения этапа реализации намеченного плана. Приведем примеры таких форм.
1.Проверка с помощью частного случая. Например, если при решении неравенства получен некоторый числовой промежуток, то можно проверить некоторые конкретные значения переменной из этого промежутка.
2. Проверка совпадения размерности ответа с требованием задачи. Например, при нахождении пути значение скорости (км/ч) умножается на значение времени (ч). Умножение наименований должно дать наименование длины (км).
3. Проверка симметричности ответа, если в условии задачи какие-то данные симметричны. Например, если уравнения, входящие в систему, симметричны относительно переменных, то и найденные значения различных переменных должны быть равны.
4. Проверка ответа по здравому смыслу. Например, скорость пешехода не может быть равной 15 км/ч, количество рабочих не может быть дробным и т. д.
5. Проверка с помощью грубой прикидки. При этом данные грубо округляются и выясняется порядок возможного результата.
6. Проверка с помощью обратной задачи или с помощью другого способа решения.
7. Проверка текстовых задач, решенных с помощью составления уравнения, по смыслу. При этом необходимо, чтобы все промежуточные величины, зависящие от х, которые появляются в ходе решения задачи, имели бы смысл при полученном значении переменной.
Приведенные формы проверки, кроме 6, не дают полной гарантии правильно найденного и выполненного решения, но, тем не менее, с ними полезно ознакомить учащихся.
В работах, посвященных самоконтролю, предлагается следующая этапность в формировании самоконтроля: контроль за деятельностью учителя, взаимоконтроль — контроль учащихся за деятельностью товарища, контроль за собственной деятельностью. При этом речь, как правило, идет о контроле над исполнительской деятельностью. Такая последовательность имеет достаточное основание. Деятельность контроля состоит в сопоставлении, в сравнении двух действий: своего и контролируемого, а не просто в выполнении действия. Еще труднее посмотреть под новым углом зрения на свое исполнение действия.
3. Классификация задач. Роль алгоритмов и эвристик в обучении решению задач
В современной методической и психологической литературе принята классификация задач. По характеру требования:
— задачи на доказательство;
— задачи на построение;
— задачи на вычисление.
По функциональному назначению:
— задачи с дидактическими функциями;
— задачи с познавательными функциями;
— задачи с развивающими функциями.
По величине проблемности:
— стандартные;
— обучающие;
— поисковые;
— проблемные.
По методам решения:
— задачи на геометрические преобразования;
— задачи на векторы и др.
По числу объектов в условии задачи и связей между ними:
— простые;
— сложные.
По компонентам учебной деятельности:
— организационно-действенные;
— стимулирующие;
— контрольно-оценочные.
Кроме того, различают задачи: стандартные и нестандартные; теоретические и практические; устные и письменные; одношаговые, двушаговые и др.; устные, полуустные, письменные и т.д.
При организации процесса обучения учащихся решению математических задач учитель сталкивается с вопросами: задачи какой сложности предложить ученикам, знакомы ли школьники с теми действиями, которые нужно применить при решении задач и т.п.
Если взять за основу следующую классификацию задач: на вычисление, на доказательство, на построение, на исследование, то такое деление не может быть инструментом в обучении школьников решению задач, потому что задачи этих видов не отличаются друг от друга уровнем сложности, характером деятельности человека по их решению. Например, в задачах на вычисление и построение приходится много доказывать, а в задачах на построение и доказательство приходится много исследовать и т.д., поэтому такая классификация задач ничего не дает. Кроме того, задачи делят на правильные, с противоречивыми данными, с лишними данными, теоретические и практические, стандартные и нестандартные и т.д.
В задаче выделяют основные компоненты:
1. Условие — начальное состояние;
2. Базис решения — теоретическое обоснование решения;
3. Решение — преобразование условия задачи для нахождения требуемого заключением искомого;
4. Заключение — конечное состояние.
Математическими считаются все задачи, в которых переход от начального состояния (1) к конечному (4) осуществляется математическими средствами, т.е. математическим характером компонентов: обоснование (2) и решение (3).
Если все компоненты задачи (условие, обоснование, решение, заключение) — математические объекты, то задача называется чисто математической, если математическими являются только компоненты решение и базис решения, то задача называется прикладной математической задачей.
На основе рассмотренной модели общего понятия задачи и ее основных компонентов строят дидактически направленную модель типологических особенностей задачи, зависящих от того, на каком этапе обучения эта задача предъявлена учащимся, какими знаниями и опытом обладают школьники в момент ее предъявления, в какой форме сформулирована задача и т.д.
Проблемный характер задачной системы определяется тем, какие из основных компонентов задачи неизвестны.
Стандартной называется задача, в которой четко определено условие, известны способ решения и его обоснование, а также даны упражнения на воспроизведение известного. Задача называется обучающей, если в ней неизвестен или плохо определен один из основных компонентов. Если неизвестны два компонента, задача назевается поисковой, а если три — проблемной.
Если рассматривать задачи как объект мыслительной деятельности учащихся, важно учитывать характер связей между элементами задачи, соотношение между воспроизводящей и творческой деятельностью учеников при решении задач, которое во многом определяется указанными связями.
Классификация задач, учитывающая характер связей между элементами задачи, соотношение между воспроизводящей и творческой деятельностью учеников:
— алгоритмические задачи;
— полуалгоритмические задачи;
— эвристические задачи.
Алгоритмические задачи — задачи, которые решаются с помощью непосредственного применения определения, теоремы, т.е. для решения которых имеется алгоритм. Например, задача на нахождение гипотенузы в прямоугольном треугольнике по известным катетам по формуле Пифагора. Применение алгоритма быстро и легко приводит к желаемому результату.
Полуалгоритмические задачи — задачи, правила решения которых носят обобщенный характер и не могут быть полностью сведены к объединению элементарных актов. Связи между элементами этих задач легко обнаруживаются учениками. Полуалгоритмические задачи в качестве подзадач содержат алгоритмические задачи. Например, известны две стороны треугольника и высота, опущенная на третью сторону. Необходимо найти периметр треугольника.
Решая полуалгоритмические задачи, ученик учится «сворачивать» знания, фиксируя их в сознании крупными блоками. При этом он начинает применять усвоенные алгоритмы в разных ситуациях.
Эвристические задачи — задачи, для решения которых необходимо выявить некоторые скрытые связи между элементами условия и требования или найти способ решения, причем этот способ не является очевидной конкретизацией некоторого обобщенного правила, известного ученику, или сделать и то и другое. Например, известны стороны треугольника. Нужно найти расстояние от середины высоты, проведенной к меньшей стороне, до большей стороны треугольника.
При решении эвристических задач ученик должен использовать эвристические приемы и методы.
Алгоритмические методы решения задач
Значительное количество задач предполагает при своем решений не творческую деятельность, а применение в основном определенного правила, формулы, определения, теоремы.
Например, для решения любого уравнения первой степени необходимо известные слагаемые перенести в правую часть, а слагаемые, содержащие неизвестные, перенести в левую часть, привести подобные члены и обе части уравнения разделить на коэффициент при неизвестном, если он отличен от нуля. Если он равен нулю, то поступают известным образом.
продолжение
–PAGE_BREAK–Приведенное правило — предписание алгоритмического типа, или алгоритм решения линейного уравнения. Правила сравнения чисел, действий над числами в различных числовых множествах, решения линейных, квадратных уравнений, неравенств — все это примеры алгоритмов. Под алгоритмом понимается точное общепонятное предписание о выполнении в определенной последовательности операций для решения любой из задач, принадлежащих некоторому классу.
Алгоритм может быть задан в виде таблицы, правила, формулы, определения, описания. Алгоритм может регламентировать действие с различной степенью подробности — свернутости, в зависимости от того, кому он предназначается. Если алгоритм предъявлен в форме последовательности команд, то это готовая программа действия. Приведем пример. Чтобы сложить десятичные дроби, нужно: 1) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой; 2) записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой; 3) выполнить сложение, не обращая внимания на запятую; 4) поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях (Випенкин Н.Я. и др. Математика 5- М., 2000).
Если алгоритм задан в виде формулы, правила, таблицы, определения, то программы нет. Ее предстоит создать решающему задачу. Рассмотрим в качестве примера определение решения системы неравенств с переменной как значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство. Определение подразумевает следующие шаги решения системы неравенств: 1) решить каждое неравенство; 2) найти пересечение полученных множеств.
Алгоритмы можно разделить на алгоритмы распознавания и преобразования. Признаки делимости, рассмотренные ранее алгоритмы подведения под определение и под понятие являются примерами алгоритмов распознавания. Алгоритмы по применению формул являются алгоритмом» преобразования. Однако при применении конкретной формулы, например, квадрата суммы двух чисел, вначале происходит узнавание формулы, доказательство того, что выбор формулы сделан правильно, а затем производится собственно преобразование: актуализация формулы и использование ее по шагам. Описанная деятельность состоит из следующих шагов: 1) найти первый член двучлена; 2) найти второй член двучлена; 3) возвысить первый член двучлена в квадрат; 4) составить произведение первого и второго членов двучлена; 5) удвоить результат предыдущего шага; 6) возвысить второй член двучлена в квадрат; 7) результаты третьего, пятого и шестого шагов сложить.
Значительное число различных правил в школьных учебниках математики в последнее время сообщается учащимся в форме алгоритма с выделенной последовательностью шагов. Использование правила в этом случае представляет собой меньшую трудность для учащихся, чем использование правила при отсутствии выделенных шагов или если какие-то операции — шаги действия в предписании пропущены, только подразумеваются и должны быть восполнены учащимися самостоятельно.
Рассмотрим правило сложения чисел с разными знаками в следующей форме: чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: 1) из большего модуля вычесть меньший; 2) поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.
Этот алгоритм требует от школьника доработки, т. к. в нем не обозначены шаги: найти модуль каждого числа; сравнить модули и выделить число с большим модулем; определить знак числа, имеющего больший модуль. Эти шаги отдельными учащимися легко выполняются, а для других их выделение представляет существенные трудности.
В отдельных случаях операции, входящие в состав действий, приведены в учебниках в описательной форме или показаны на примерах, и для осуществления действий учащимся требуется выделить операции — отдельные шаги действия самостоятельно, как, например, при составлении пропорций при использовании подобия треугольников.
Проблема составления алгоритмов по изученному материалу связана с рядом важнейших проблем обучения математике: применение теоретических знаний на практике и развитие алгоритмического мышления. Под алгоритмическим мышлением понимается особый аспект культуры мышления, характеризующийся умением составлять и использовать различные алгоритмы.
Составлению, выделению алгоритмов необходимо специально обучать.
Это может происходить с помощью проведения обобщений при решении нескольких аналогичных задач. Необходимо обучать чтению формул словами, необходимо обучать переходу от речевой, формы в аналитическую и обратно, необходимо обучать строить программы действий в тех случаях, когда материал в книге или в рассказе предъявлен в описательной форме. Это и будет означать обучение применению теоретических знаний на практике и развитие алгоритмического мышления. Необходимо также обучать разворачивать, дополнять алгоритмы, предъявленные в готовой форме.
При использовании готовых алгоритмов целесообразно пользоваться компактным методом. Метод состоит в том, что (алгоритм) правило произносится по частям, на которые оно разбито по смыслу, и каждая операция выполняется вслед за произнесением соответствующего текста (пример приведите самостоятельно). Тем самым обеспечивается сознательное усвоение соответствующего правила. Компактный метод противопоставляется раздельному, когда произнесение правила целиком и его применение следуют друг за другом.
Вторая рекомендация по использованию алгоритмов вытекает из положений теории деятельности. Она заключается в требовании проведения всех операций, содержащихся в алгоритме (правиле) во внешнем плане и в развернутой форме, т. е. в написании и проговаривании всех операций без пропусков.
Типовые (полуалгоритмические) задачи и методы их решения
Рассмотрим две задачи, которые можно решить с помощью одной и той же теоретической базы — с помощью векторов.
ЗАДАЧА 1. Доказать, что диагонали ромба перпендикулярны.
Пусть ABCD — ромб. Для доказательства введем два неколлинеарных вектора: ВА иВС и выразим векторы АС и ВD, расположенные на диагоналях, через введенные:
Чтобы доказать перпендикулярность векторов АС и BD, достаточно доказать равенство нулю их скалярного произведения.
Равенство нулю скалярного произведения двух ненулевых векторов говорит о том, что косинус угла между ними равен 0°, а значит, угол между векторами — прямой, т. е. прямые, на которых располагаются рассматриваемые векторы, перпендикулярны.
ЗАДАЧА 2. Доказать с помощью векторов свойство средней линии трапеции.
ПустьАВСО — трапеция, точки Е и F-середины отрезка АВ и CD соответственно.
Введем векторы и выразим вектор EF из двух многоугольников:
; .
Сложим почленно полученные равенства:
,
.
Последнее равенство можно интерпретировать следующим образом: т. к. векторы ВС и AD коллинеарны по определению трапеции, то и вектор EF также коллинеарен им, т. к. является линейной комбинацией этих векторов, а значит, отрезок EF параллелен основаниям трапеции. Т. к. векторы ВС и AD сонаправлены, то длина вектора равна сумме длин векторов ВС и AD и, следовательно, длина вектора EF равна полусумме длин векторов ВС я AD. А значит, длина отрезка EF соответственно равна полусумме длин отрезков ВС и AD .
Что можно заметить на примере решения приведенных двух задач? При их решении можно выделить одинаковую схему — одинаковые шаги решения, а именно:
введение удобным образом векторов;
переформулирование условия и требования задачи на язык векторов;
решение вновь сформулированной задачи с помощью векторного аппарата (определений, законов действий и т. д.);
интерпретирование результатов, полученных на языке векторов, на обычный геометрический язык.
По выделенной схеме решается как первая, так и вторая задача. По этой же схеме с помощью векторного аппарата можно решить многие геометрические задачи. Перечисленные шаги образуют прием решения задач векторным методом.
Этот прием учитель может представить ученикам в готовом виде. Но большую познавательную ценность имеет работа по самостоятельному выделению учащимися под руководством учителя шагов приведенного приема. Некоторые методисты отрицательно относятся к решению типовых задач как к натаскиванию. Однако учащиеся, знакомые с приемом, умеют решить не одну конкретную задачу, а целый класс задач, к которым они подходят с более высоких позиций обобщения учебного материала. Материал лучше структурируется, повышаются его уровень системности, возможности учащихся при решении задач. Ученик, не владеющий наиболее распространенными типами задач, не сможет решить ни одной нестандартной задачи или будет делать это со значительно большим усилием, чем тот, у кого в запасе владение многими типами задач.
Четыре выделенных шага образуют прием по решению задач данного типа. Этот прием можно отнести к полуалгоритмическим приемам, т. к. знание его не обязательно приведет решающего к получению верного результата, но может существенно облегчить поиск. Алгоритмические предписания являются той базой, владение которой облегчает решение задач.
В настоящее время учителями и методистами разработано много готовых приемов решения задач, но осталось место и для творчества.
Как организовать работу по выделению приема решения задач и его применению? Подготовка к приему может быть организована задолго до явного введения самого приема. Учащиеся решают задачи, а учитель старается акцентировать их внимание на средствах решения, на последовательности одних и тех же шагов. Этот период можно назвать пропедевтическим, подготовительным в формировании приема. Следующий этап — этап явного введения приема (предписания) с помощью учащихся на основе сравнения процессов решения выделенных задач. Далее организуется работа по закреплению шагов предписания и применению всего приема.
Самостоятельно составленное учителем предписание требует предварительной проверки на решении нескольких задач и внесения в него при необходимости корректировки.
В качестве еще одного примера приведем предписание по решению задач с помощью составления уравнений.
1. Определи, сколько и какие объекты, процессы, ситуации рассматриваются в задаче.
2. Укажи величины, которые характеризуют каждый объект, каждый процесс, ситуацию.
3. Установи зависимости, существующие между выделенными величинами.
4. Укажи, какие из выделенных величин известны.
5. Укажи неизвестные величины,
6. Определи зависимости между неизвестными величинами.
7. Выбери одно из неизвестных за x рациональным образом.
8. Вырази остальные неизвестные через х.
9. Выдели условие, оставшееся для составления уравнения.
10. Составь уравнение и реши его.
11. Сделай проверку и запиши ответ.
Рассмотрим применение предписания на конкретном примере.
ЗАДАЧА. Из пункта А выехал велосипедист. Одновременно вслед за ним из пункта В, отстоящего от А на расстоянии 20 км, выехал мотоциклист. Скорость велосипедиста 12 км/ч, мотоциклиста 16 км/ч. На каком расстоянии от пункта А мотоциклист догонит велосипедиста?
Ответ на первый вопрос предписания предполагает появление двух строк таблицы:
Участники
Велосипедист
Мотоциклист
Ответ на второй вопрос предписания обосновывает появление трех столбцов таблицы:
Участники
Скорость, км/ч
Время, ч
Расстояние, км
Велосипедист
Мотоциклист
При ответе на третий вопрос ученики могут в устной форме указать зависимости между выделенными величинами. В отдельных случаях возможна их письменная запись. При ответе на четвертый вопрос в таблицу вносятся два числовых значения скорости — 12 и 16 км/ч. Ответ на пятый вопрос предполагает расстановку знаков вопроса в таблице вместо всех остальных величин. Ответ на шестой вопрос дополняет таблицу двумя отношениями:
Участники
Скорость, км/ч
Время, ч
Расстояние, км
Велосипедист
12
?
? на 20 меньше
Мотоциклист
16
?
? =
Шестым шагом предписания заканчивается анализ условия задачи, заполнив таблицу, учащийся воспринял структуру задачи и выделил ее условия.
Ответы на вопросы 7-9 помогают ученику в построении второй таблицы, которая приводит его к составлению уравнения:
Участники.
Скорость, км/ч
Время, ч
Расстояние, км
Велосипедист
12
X
12х на 20 меньше
Мотоциклист
16
X
16х
Без пропедевтики приведенного приема, без специального обучения учащихся выделению процессов, величин, их характеризующих, установлению взаимосвязей между ними, составлению и уравниванию выражений введение приема нецелесообразно.
В заключение можно добавить, что подготовка учащихся к введению приведенного предписания, само введение и обучение пользоваться им могут осуществляться учителем на любом подходящем материале.
Попытайтесь самостоятельно построить стратегию обучения учащихся этому приему на разных этапах его формирования: на подготовительном этапе, на этапе введения в явном виде и на этапе закрепления.
Обучение соответствующим приемам — наиболее эффективный путь обучения решению задач различных типов.
Эвристические методы решения задач Задачи можно разделить на стандартные и нестандартные. Нестандартная задача – это задача, решение которой не является для решающего известной цепью известных действий. Для ее решения учащийся сам должен изобрести (составить, придумать) способ решения.
Как производится поиск решения новой, нестандартной задачи? Универсального ответа на этот вопрос нет. Однако в каждой задаче, как в клубке ниток, можно обнаружить ту ниточку, потянув за которую, можно распутать весь клубок. Такой ниточкой является основная идея решения, один из общих методов решения, которые принято называть эвристиками. Эвристиками называются и отдельные методы решения задач, и учение об общих методах поиска решения задач. Эвристический метод-прием решения задачи не является приемом в полном смысле этого слова — системой определенных операций. Это, как уже сказано, основная идея решения задачи. Знание эвристик не дает гарантии того, что будет решена любая задача. Эвристики лишь помогают квалифицированно делать попытки поиска решения. При решении некоторых задач может быть использовано несколько эвристик. Учителю необходимо знание эвристик для того, чтобы помочь учащимся обнаружить их в собственной (учащихся) деятельности, разобраться в сущности методов и научиться ими пользоваться. Приведем примеры наиболее часто используемых эвристик и соответственно задач, которые решаются с их помощью.
Наиболее часто используемой эвристикой является метод восходящего анализа — решение задачи с конца, от требования — к условию. Эта эвристика осознанно или неосознанно, в большей или в меньшей степени используется при решении любой задачи.
ЗАДАЧА. Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса угла делит пополам угол между медианой и высотой, проведенными к гипотенузе (см. рис.).
При использовании метода анализа постоянно отыскивается ответ на вопрос, что достаточно найти, доказать, чтобы ответить на вопрос. Чтобы доказать равенство углов ОВК и КВМ, достаточно доказать равенство углов АВМ и СВО. А так как углы МВА иВАМ равны, то для доказательства равенства углов СВО и МВА достаточно доказать равенство углов СВО и CAB. А доказать равенство этих углов уже не составит труда.
Достаточно универсальной является и другая эвристика — переформулирование. Суть этого эвристического приема заключается в том, что условия или требования, а возможно, то и другое одновременно, заменяются на новые, эквивалентные имеющимся, но позволяющие упростить поиск решения. В простейших случаях переформулировка — это замена термина его содержанием. Рассмотрим на примере эту эвристику.
ЗАДАЧА. Доказать, что середины оснований трапеции, точка пересечения диагоналей и продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
Оказывается, что поиск решения задачи облегчается, если задачу сформулировать иначе: доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжений боковых сторон, делит основания трапеции пополам. Задача при этом остается той же, но новая формулировка подсказывает определенный метод решения.
Иногда при поиске решения трудной задачи помогает аналогия с использованием методов решения уже решенной задачи. Например, предстоит решить следующую задачу.
ЗАДАЧА. Через некоторую точку, расположенную вне окружности, проведена к этой окружности секущая. Доказать, что произведение отрезков АВ иАС (см. рис.) есть величина постоянная для данной окружности и данной точки.
продолжение
–PAGE_BREAK–Если к этому моменту оказывается уже решенной задача: «Доказать, что произведение отрезков хорд, проходящих через данную точку внутри данной окружности, есть величина постоянная», то можно перенести метод ее решения на новую задачу. А именно, вначале целесообразно переформулировать требование: проведя через точкуА еще одну секущую, докажем, что АС·АВ = AE·AD. Чтобы доказать это равенство, преобразуем его в пропорцию , которая наталкивает на поиск подобных треугольников с названными сторонами.
При решении ряда задач может помочь метод суперпозиции— решение задач в частных случаях. Причем рассматриваемые частные случаи должны полностью исчерпывать все возможные случаи. Например, требуется доказать неравенство: .
Найти общее решение данной задачи можно, но довольно трудно, а решить ее в трех случаях, когда а 0, и а >1, не представляет труда. Например, если а0, то выражение слева можно представить как , которое принимает лишь положительные значения. Если , то его же можно представить как , и тогда очевидно, что оно принимает положительные значения в рассматриваемом промежутке. Если а>1, то выражение можно представить как . Рассмотренные три случая полностью исчерпывают все возможные значения параметра а.
Метод суперпозиции не следует смешивать еще с одной эвристикой — рассмотрением частных случаев, которые не исчерпывают всех возможных случаев. Тогда вывод, полученный по индукции, требует доказательства.
Иногда для поиска идеи решения задачи полезно рассмотреть какой-нибудь крайний, предельный случай. Эта эвристика так и называется «предельный случай». Рассмотрим задачу: доказать, что сумма расстояний от любой точки внутри правильного тетраэдра до его граней есть величина постоянная.
Чтобы доказать требование, желательно предварительно выяснить, что это за величина. Для этого и используется предельный случай. Возьмем в качестве произвольной точки одну из вершин тетраэдра. Тогда легко обнаружить искомую величину. Сумма расстояний от любой точки внутри тетраэдра до всех его граней равна высоте тетраэдра. С помощью предельного случая производится уточнение требования, его переформулировка, а для поиска пути доказательства могут быть привлечены другие эвристики.
Довольно часто при поиске решения задач может помочь еще одна эвристика — прием обобщения, когда вместо имеющейся задачи решается другая, более общая по отношению к данной.
Например, требуется определить, какое число больше: 19971998 или 19981997.
Преобразование разности этих выражений к успеху не приводит. Но если выражения прологарифмировать: 1998 lg 1997 и 1997 lg 1998, то вместо исходных можно сравнивать выражения и , тогда оказывается, что сравнивать надо два значения функции , т. е. требуется решить вопрос, какой характер монотонности имеет функция, а это стандартная задача.
Очень важной эвристикой, используемой при решении большого числа задач, является выделение подзадач, решение которых не составляет труда, внутри основной задачи. Тем самым упрощается структура основной задачи.
ЗАДАЧА. Из двух пунктов, расстояние между которыми 100 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость одного из них была 15 км/ч, а другого-10 км/ч. Вместе с первым велосипедистом выбежала собака со скоростью 20 км/ч. Встретив второго велосипедиста, собака повернула обратно и побежала навстречу первому велосипедисту. Встретив первого велосипедиста, она снова повернула. Собака бегала между велосипедистами до тех пор, пока велосипедисты встретились. Сколько километров пробежала собака?
Если решение задачи начинать с рассмотрения движения собаки и второго велосипедиста, то перед решающим встает необходимость рассматривать последовательность встречных движений, что может оказаться очень непростым делом. А если внутри основной задачи выделить в качестве элементарной подзадачи движение велосипедистов навстречу друг другу, в которой требуется определить время до их встречи, то сразу вырисовывается и вторая элементарная подзадача — движение собаки, скорость и время которой известны, а маршрут движения — безразличен.
Прием выделения подзадач внутри основной задачи применяется при решении подавляющего большинства задач. Этот прием используется, в частности, когда решается любая задача на описанные и вписанные в сферу многогранники, когда требуется, например, доказать, что центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на высоте пирамиды; что основание перпендикуляра, опущенного из любой точки высоты пирамиды на боковую грань, попадает на апофему боковой грани. Не зная, как решить задачу, решающий часто проводит рассуждения по схеме: «По данным задачи я могу найти то-то и то-то, а что это мне дает для решения основной задачи?»
При решении ряда задач может оказаться полезным метод непрерывных величин. При этом используется следующее положение: если некоторая величина меняется непрерывно в зависимости от некоторой другой величины и при этом при разных значениях второй величины значения первой окажутся больше и меньше некоторого числа С, то это означает, что существует значение второй величины, при котором значение первой равно С. Рассмотрим задачу.
ЗАДАЧА. На плоскости начерчен квадрат и не перекрывающийся с ним треугольник (см. рис.). Существует ли прямая, которая разделила бы одновременно каждую из этих фигур на две равновеликие части.
Заметим, во-первых, что любая прямая, проходящая через центр квадрата, разбивает его на две равновеликие части. При этом справедливо и обратное предложение. Следовательно, задачу можно переформулировать следующим образом: провести через точку О прямую так, чтобы она разбивала треугольник на две равновеликие части. Вначале рассмотрим некоторую прямую l, не пересекающую треугольник.
Затем начнем вращать эту прямую вокруг точки О. Тогда оказывается, что при некотором положении прямой площадь «заметенной» части треугольника меньше , а в какой-то момент, при достаточном угле поворота прямой, эта прямая заметет площадь, большую . Так как величина заметенной площади меняется непрерывно (малому изменению значения угла поворота соответствует малое изменение значения заметенной площади), то найдется такое значение угла поворота прямой, при котором величина «заметенной» части станет равной .
Метод вспомогательных неизвестных — эвристика, используемая как при решении алгебраических задач, так и при решении геометрических задач. Рассматриваемый метод имеет три модификации: когда при замене число переменных или уменьшается, или увеличивается, или остается неизменным. Цепи введения вспомогательных неизвестных при этом различные. Рассмотрим три задачи.
ЗАДАЧА 1. Доказать, что при любых действительных, отличных от нуля х и у, справедливо неравенство:
, .
, .
И вместо исходного неравенства получаем: или .
Неравенство (*) выполняется для всех U, кроме .
Однако , т.е. . Значит, исходное неравенство выполняется при всех допустимых значениях х и у.
ЗАДАЧА 2. В качестве второго примера, когда при замене число переменных сохраняется, рассмотрим решение уравнения: .
Замена сводит исходное уравнение к достаточно хорошо известной форме: .
В качестве третьего примера рассмотрим стереометрическую задачу.
ЗАДАЧА 3. Около правильной треугольной пирамиды с плоским углом при вершине описана сфера. Найти отношение объема пирамиды к объему шара, ограниченного сферой.
В этой задаче требуется найти отношение величин. Объем выражается через значения каких-то линейных элементов, которые в задаче не заданы. Однако задача имеет решение, т. к. данный угол определяет всю задачную ситуацию с точностью до подобия.
Оказывается, что если какой-нибудь линейный элемент, например, сторону основания пирамиды, взять за неизвестное х, то все остальные линейные величины можно выразить через х и. При нахождении искомого отношения задачи вновь введенная переменная х сократится.
Ограничимся рассмотренными примерами эвристик как наиболее часто встречающихся при решении математических задач. Но не только математических. Методы анализа, переформулирования, рассмотрение частных и предельных случаев используются при решении физических, технических и задач других областей знаний.
Надо ли знакомить учащихся с эвристиками специально? Решающие находят, изобретают эвристики и сами. Но для этого нужны значительные усилия и время. Учителю полезно обратить внимание учащихся на метод, с помощью которого удалось осуществить поиск решения трудной задачи. Это можно сделать после решения задачи с помощью вопросов типа: «Как удалось переформулировать требование (условие) задачи?»; «Какие подзадачи удалось выделить, облегчив решение основной?»; «Как при решении задачи была использована аналогия?» Так постепенно вместе с учителем учащиеся осознают многие из используемых ими приемов, что позволит в дальнейшем сознательно привлекать их к решению других задач. При этом поиск решения становится более эффективным. Владение эвристиками расширяет творческие возможности учащихся.
И еще одно замечание относительно эвристик. Как правило, в чистом виде единичные эвристики при решений задач не применяются. Имеет место использование некоторой совокупности эвристик. Ни одна задача не обходится без методов анализа, переформулирования, выделения известных подзадач.
В методике Р.Г. Хазанкина, известного учителя из Белорецка, обучение эвристикам можно усмотреть в его методике решения «ключевых» задач. Ключевыми он называет задачи раздела, при решении которых раскрываются основные математические идеи, используемые для решения большого класса задач. Уроки решения «ключевых» задач проводятся в форме лекции, после чего учащиеся пытаются использовать рассмотренные идеи при решении других задач раздела.
4. Организация обучения решению математических задач
Фронтальное решение задач. Под фронтальным решением задач обычно понимают решение одной и той же задачи всеми учениками класса в одно и то же время. Организация фронтального решения задач может быть различной.
1) Устное фронтальное решение задач наиболее распространено в IV-VII классах, несколько реже, хотя и находит применение, в старших классах средней школы. Это прежде всего выполняемые устно упражнения в вычислениях или тождественных преобразованиях и задачи-вопросы, истинность ответов на которые подтверждается устными доказательствами. В настоящее время учителя математики IV-VII классов почти на каждом уроке проводят «пятиминутки» устных упражнений. К сожалению, часто этим и ограничивается выполнение устных упражнений. А надо отметить, что одной из задач обучения математике является обучение быстрым устным вычислениям. Решения этой задачи надо добиваться на всех этапах обучения, поэтому там, где это возможно (а не только на «пятиминутках» устного счета), вычисления следует выполнять устно. Если ученики научатся устно выполнять вычисления и несложные преобразования, то на уроках математики, физики, химии освободится значительная часть времени, которое сейчас расходуется на нерациональное выполнение вычислений и выкладок.
При организации устных фронтальных упражнений следует учесть, что использование табличек, таблиц, кодоскопа и других средств представления учащимся устной задачи значительно экономит время устных упражнений и оживляет уроки математики.
Таблички изготавливает обычно учитель или отдельные ученики по его заданию. Например, таблички с заданиями для устных вычислений при изучении умножения дробных и целых чисел (удобные размеры табличек 300 х 150мм).
Таблицы для устных упражнений могут иметь различную форм и применяются неоднократно с различными заданиями.
Как таблички, так и таблицы могут быть изображены на пленке и спроецированы на экран или доску через кодоскоп. Изготовление табличек и таблиц — более трудоемкое дело, чем кодопозитивов, а результаты использования практически равноценны.
2) Письменное решение задач с записью на классной доске. В практике обучения немало таких ситуаций, в которых удобнее, чтобы одну и ту же задачу решали все ученики класса одновременно с решением этой же задачи на доске. При этом задачу на доске может решать либо учитель, либо ученик по указанию учителя.
Наиболее часто такую организацию решения задач на уроках математики применяют: а) при решении первых после показа учителем задач по ознакомлению с новыми понятиями и методами; б) при решении задач, самостоятельно с которыми могут справиться не все ученики класса; в) при рассмотрении различных вариантов решения одной и той же задачи — для сравнения и выбора лучшего варианта; г) при разборе ошибок, допущенных несколькими учениками класса при самостоятельном решении задачи и т.д. Во всех этих случаях бывает полезно и коллективное решение (или коллективный разбор решения задач).
Рассмотрим подробнее, как можно провести сравнение различных вариантов решения задачи. Учитель может при фронтальном устном анализе условия задачи наметить вместе с учениками несколько вариантов решения задачи. Некоторые из них как нерациональные могут быть сразу отвергнуты. Другие же не отвергнутые варианты для лучшего рассмотрения, оценки и сравнения стоит записать на доске. В этих целях можно сразу вызвать двух-трех учеников к доске для одновременного решения задачи разными способами (если позволяют размеры доски). Надо только учесть, что руководство решением задачи в этом случае требует некоторого мастерства от учителя: необходимо правильно распределить свое внимание между учащимися, решающими задачу у доски, и остальными учениками класса. Нужно также предусмотреть, чтобы внимание учащихся класса, решающих задачу, не рассеивалось действиями учеников у доски. Можно варианты решения воспроизводить на доске поочередно, но это займет больше времени. Для ускорения работы учитель может сам быстро выполнить на доске необходимые записи некоторых вариантов решения. Возможно также использовать кодоскоп, с помощью которого можно воспроизводить заготовленные заранее записи других решений задачи.
3) Письменное самостоятельное решение задач. Наиболее эффективной является такая организация решения математических задач, при которой ученики обучаются творчески думать, самостоятельно разбираться в различных вопросах теории и приложений математики. Самостоятельное решение учащимися задач на уроках математики имеет многие преимущества.
Во-первых, оно значительно повышает учебную активность учащихся, возбуждает их интерес к решению задач, стимулирует творческую инициативу. Таким образом, повышается эффективность урока. Самостоятельное решение задач развивает мыслительную деятельность учащихся, а в этом заключается одно из основных назначений задач и упражнений на уроках математики.
Во-вторых, не имея возможности копировать решение задачи с доски, ученик вынужден сам разбираться в решении задачи, а потому и лучше готовиться к урокам математики.
В-третьих, самостоятельное решение математических задач часто сокращает время, необходимое для опроса учащихся на уроках математики, так как оценивать успехи учащихся в некоторых случаях можно и по итогам самостоятельного решения задач.
В-четвертых, учитель получает возможность направлять индивидуальную работу учеников по решению задачи, предотвращать ошибки, указывать пути их исправления.
Допустимы различные формы организации самостоятельного решения задач учащимися.
Некоторые учителя так организуют самостоятельные работы по решению задач на уроках математики: учитель подбирает задачи; в процессе работы учитель помогает некоторым ученикам советом, как лучше их решить, другим он советует обратиться к учебнику, третьи справляются с работой без помощи учителя. Учитель все время наблюдает за работой учеников, отмечая, кому из учеников и в чем он помог. Затем самостоятельная работа проверяется и оценивается с учетом степени самостоятельности ученика. При такой организации самостоятельной работы осуществляется и обучение, и контроль знаний по изучаемому разделу математики. Чаще всего учитель заранее предопределяет цели самостоятельных работ по решению задач. Такие работы могут быть обучающими новым знаниям, умениям и навыкам, могут быть предназначены для закрепления изученного и тренировки в применении теоретических сведений, могут быть предложены с целью проверки подготовленности учащихся по изученным вопросам. На обучающих самостоятельных работах по решению математических задач учитель может оказывать помощь отдельным учащимся, а может предложить самостоятельное решение задачи после предварительного ее анализа и составления плана решения.
продолжение
–PAGE_BREAK–Существуют и такие формы самостоятельных обучающих работ по математике, при выполнении которых учащиеся самостоятельно изучают небольшой теоретический материал, разбирают образцы решения задач, предложенные учителем, самостоятельно решают аналогичные задачи.
Для лучшего проведения самостоятельных работ учащихся по решению математических задач полезно перед началом такой работы проводить инструктаж, в котором четко указать, что должны выполнить учащиеся в такой работе, каков порядок ее выполнения, сроки и пр. Желательно после проверки правильности самостоятельных решений проанализировать с учащимися результаты такой работы. Это возможно на следующих уроках или на консультациях.
4) Комментирование решения математических задач. Комментирование решения задач заключается в следующем: все ученики самостоятельно решают одну и ту же задачу, а один из них последовательно поясняет (комментирует) решение. Некоторые учителя превращают комментирование в запись под диктовку: один ученик воспроизводит голосом все, что он записывает в тетрадь (без каких-либо пояснений), а все остальные поспешно записывают сказанное им. Ясно, что такое применение комментирования не приносит должной пользы.
Комментирование обозначает объяснение, толкование чего-нибудь. Именно так и следует понимать комментирование при решении математических задач. Ученик-комментатор объясняет, на каком основании он выполняет то или иное преобразование, проводит то или иное рассуждение, построение. При этом каждый шаг в решении задачи должен быть оправдан ссылкой на известные математические предложения. Вот пример комментирования: «Доказать, что сумма трех последовательных натуральных чисел не может быть простым числом.
Обозначим первое из этих чисел буквой n. Тогда два следующих за ним числа запишутся n+1, n+2, так как второе на 1, а третье на 2 больше первого числа. Запишем сумму этих трех чисел и преобразуем ее. Сначала раскрываем скобки, применяя сочетательный закон сложения. Затем приводим подобные члены. Вынося общий множитель (по распределительному закону), получаем результат. Полученное выражение есть произведение двух множителей 3 и n +1, а потому оно не может быть простым числом ни при каких натуральных значениях n.»
Такое комментирование приносит явную пользу при решении задач. Учащиеся, даже недостаточно подготовленные по математике, услышав объяснение следующего этапа в задаче, постараются выполнить его самостоятельно. Правда, такое объяснение требует от учеников не только формального решения задачи, но, что очень важно, и понимания существа выполняемого преобразования, активной работы мысли. Но ведь этого и следует добиваться при решении задач.
Индивидуальное решение задач.
Необходимость индивидуального подхода при организации обучения решению задач. Фронтальное решение учебных математических задач не всегда приводит к желаемым результатам в обучении математике. При фронтальной работе все ученики класса решают одну и ту же задачу. Для одних учащихся эта задача может оказаться очень легкой, и они при решении такой задачи практически не почерпнут ничего нового. У других, наоборот, задача может вызвать серьезное затруднение. Поэтому необходим учет индивидуальных особенностей учащихся и в связи с этим индивидуальный подбор задач. Задачи следует подбирать и систематизировать так, чтобы, с одной стороны, учитывались возможности и способности ученика, с другой стороны, его способности развивались бы.
Задача учителя заключается, следовательно, в том, чтобы выяснить подготовку, возможности и способности к изучению математики каждого ученика класса и в соответствии с этим организовать решение математических задач. Важна индивидуализация учебных математических задач по силам и возможностям учащихся. Это позволяет овладеть необходимыми умениями и навыками слабым ученикам и в значительной степени совершенствоваться более сильным.
Индивидуализация самостоятельных работ учащихся по решению задач. В условиях, когда все ученики самостоятельно решают одну и ту же задачу, учитель может учитывать индивидуальные особенности учащихся лишь при оказании им помощи в решении задачи, при проверке выполненной работы. При этом не полностью учитываются возможности учащихся. Для более полного учета способностей и математической подготовки учащихся, использования их возможностей необходимо предлагать для самостоятельного решения учащихся не одинаковые, а различные задачи с учетом индивидуальных особенностей ученика. Но поскольку в классе есть примерно равные по успехам в математике ученики, то можно подбирать задачи не для каждого ученика в отдельности (это было бы затруднительно для учителя), а для отдельных групп школьников класса. В этих целях полезно использовать издающиеся теперь «Дидактические материалы по алгебре», «Дидактические материалы по геометрии» для различных классов. При такой постановке обучения слабые ученики, справившись самостоятельно или при помощи учителя с простейшими задачами, обретают веру в свои силы. Сильные же учащиеся имеют возможность совершенствовать свои способности и познания в математике. Разумеется, подбор индивидуальных заданий преследует цель для каждой выбранной учителем группы учащихся составить систему задач. Эти группы не должны иметь постоянного состава: по мере овладения необходимыми знаниями учащиеся «переводятся» из группы для менее подготовленных в другую — для более подготовленных.
Индивидуализация самостоятельных работ учащихся по устранению пробелов в знаниях математики. Исключительное значение приобретают самостоятельные работы учеников по устранению пробелов в знаниях математики. Такие пробелы могут быть выявлены с помощью проверочных и контрольных работ, а также при решении задач на уроке или дома. Ученикам, работающим над устранением пробелов в своих знаниях по математике, надо указать в тетради допущенные ошибки. При этом сильным ученикам достаточно подчеркнуть неверный результат, а ошибку такой ученик найдет сам. Одним ученикам полезно подчеркнуть допущенные ошибки, а некоторым, наиболее слабо подготовленным, исправить. В тетрадях указываются разделы учебника, которые ученик обязан восстановить в своей памяти, и выписываются.задачи (можно указать номера задач из задачников или учебников), которые надлежит ученику решить, чтобы восполнить имеющийся пробел в знаниях и умениях. Конечно, задачи подбираются с учетом причин, вызвавших ошибку. Дело в том, что одна и та же ошибка может быть допущена по различным причинам и устранять надо не ошибку, а причину, ее породившую. Такая организация решения задач по ликвидации пробелов в знаниях школьников приносит большую пользу, чем фронтальные работы над ошибками. При этом учитываются как индивидуальные особенности учащихся, так и характер изучаемого материала.
Домашнее решение задач учащимися. Содержание задач и упражнений, предлагаемых для домашней работы учащихся, должно быть подготовлено предшествующей работой на уроке. Это не означает, что для домашнего решения должны предлагаться лишь задачи, аналогичные решенным в классе. Такие домашние задания мало помогают усвоению математики. Решая домашние задачи «как в классе», ученики в лучшем случае прибегают к аналогии, а одной аналогии для обучения решению задач недостаточно. При такой работе ученики, как правило, сначала решают задачи (выполняют письменное задание), а затем читают учебник по математике. Порядок же должен быть иной: сначала повторение по учебнику теоретических сведений, затем решение задач.
Домашнее задание имеет целью не только повторение изученного на уроке, но и дальнейшее совершенствование математических знаний, умений и навыков. С учетом этого оно и должно быть составлено. Учитель дает необходимые указания по решению домашних задач, однако не устраняет всех трудностей, которые должны преодолеть учащиеся в процессе решения домашних задач. Ученики, решая задачи самостоятельно дома, обязаны проявлять свою инициативу, смекалку и настойчивость, мобилизовать для решения задач свои знания. Домашние задания по решению задач целесообразно связывать с углублением и уточнением изученного, с открытием каких-то новых его сторон.
Поскольку ученики обычно имеют индивидуальные особенности, различную подготовку по математике, следует индивидуализировать домашние задания по решению математических задач. При этом надо учитывать многие факторы: ученики при решении домашних задач должны устранить пробелы в знаниях (у кого они имеются), закрепить приобретенные на уроке знания, совершенствовать их. Через индивидуальные домашние задания (параллельно с работой на уроке) можно выявить наклонности отдельных учащихся, воспитывать у них увлечение математикой. Посильные же задания для слабых и отстающих учащихся помогут им преодолеть многие трудности в обучении решению задач. Надо заметить, что ученики с особым желанием решают задачи, предложенные им в индивидуальном порядке. Такие задания можно заготовить на специальных карточках.
5. Системы упражнений и требования к ним
В методике преподавания математики существуют две различные точки зрения на упражнения. Одна из них понятиеупражнения рассматривает как синоним понятия задача, и исходя из этого упражнения наделяются различными функциями: мотивационной, организации подготовки к изучению нового материала, усвоения, закрепления и повторения изученного.
Чтобы специально выделить этапы закрепления и применения знаний, выяснить особенности организации деятельности учащихся на этих этапах, рассмотрим упражнения в их традиционном смысле — как многократное выполнение сходных действий с целью овладения умениями и навыками. С точки зрения теории деятельности упражнение — это та задача, для решения которой имеется ориентировочная основа. Упражнение предназначено для усвоения способа действия, отдельных операций действия, доведения действий до свернутой формы — до операции. При таком понимании упражнение — частный случай задачи, используемый при закреплении и применении.
В школьном курсе математики закреплению подлежат определения понятий, теоремы, правила, предписания по выполнению определенных действий.
При закреплении определений необходимо предусмотреть упражнения на выделение существенных свойств понятий, на их запоминание, на установление взаимосвязей между существенными свойствами, на усвоение терминологии, на установление объема понятия, на узнавание понятия, на выделение «зоны поиска» понятия, на получение следствий из имеющихся свойств понятий, раскрытие взаимосвязей с другими понятиями.
При закреплении теорем упражнения способствуют анализу формулировки и ее усвоению, запоминанию, узнаванию, уяснению области применения теоремы, получению следствии из теорем, установлению взаимосвязей с различными теоремами.
При закреплении правил, предписаний отрабатываются отдельные шаги и действие целиком, выясняется область их применения, особые случаи их использования.
Умения и навыки создаются в процессе выполнения упражнений, но не всякая их система приводит к формированию соответствующих умений и навыков.
Вопрос о системах упражнений является объектом внимания методистов, психологов, учителей. Однако он еще не стал традиционным вопросом методики преподавания математики, таким, например, как методика решения задач, изучения понятий. Есть необходимость в специальном рассмотрении вопроса в силу следующего важного обстоятельства.
В ряде школьных учебных пособий системы упражнений страдают различными недостатками, очень часто учителю самому приходится отбирать упражнения из имеющейся системы. Учитель является главным лицом, предъявляющим систему упражнений. «Там, где начинается чуть-чуть, — заметил И.Е. Репин,- начинается искусство». Чтобы владеть этим «чуть-чуть», необходимо знать определенные закономерности. Укажем отдельные закономерности, которых полезно придерживаться при отборе и составлении системы упражнений и при их выполнении.
Принципы отбора и составления систем упражнений Рассмотрим вначале реализацию при отборе и составлении системы упражнений одного из основных педагогических принципов – принципа систематичности. Анализируя процесс познания, исходя из этого принципа, можно выделить следующие этапы при изучении нового материала (понятий, теорем, правил): изучение понятия, теоремы, правила как отдельно взятого факта, изолированного от ранее изученного материала, как факта самого по себе; установление связей между вновь изученным фактом и ранее изученным материалом, включение нового в различные системы изученного; систематизация накопленного материала с учетом вновь изученного факта.
Соответственно этим этапам все упражнения можно разделить на три вида: упражнения на изучение отдельных фактов изолированно от ранее изученного; упражнения, связывающий новый факт с ранее изученным, позволяющие рассматривать новый факт как элемент других систем и, наконец, упражнения на систематизацию изученного материала. Остановимся кратко на каждом виде упражнений.
Когда можно считать понятие, теорему, правило усвоенными учеником? Это возможно, если ученик понимает каждое слово в формулировке, запоминает формулировку, узнает и применяет их в стандартных и нестандартных ситуациях, когда факт встроен в имеющуюся систему знаний и умений.
Первый вид упражнений обеспечивает понимание и запоминание, а также узнавание и применение понятия, теоремы, правила в простейших случаях. Первый вид упражнений способствует рассмотрению объекта вне содержащей его системы. При этом объект подвергается всестороннему анализу. Эти упражнения не несут нагрузки в плане создания системы знаний. Упражнения этого вида, как правило, не требуют привлечения дополнительных сведений, кроме изученного факта. При отборе и составлении упражнений на этом этапе необходим детальный анализ формулировки определений, теорем, правил. Каждая составная их часть, каждое существенное свойство и отношения между ними находят свое отражение в упражнениях этого вида. Упражнения первого вида включают в себя отработку всех существенных сторон понятий, теорем, правил.
Например, при изучении понятия гомотетии упражнения первого вида могут выглядеть следующим образом:
1. Укажите, что означает тот факт, что гомотетия является преобразованием фигуры.
2. Обоснуйте, почему в равенстве .
3. Укажите порядок действий при построении точки, гомотетичной данной, с центром гомотетии и коэффициентом к.
4. Постройте точки, в которые переходит данная точка при гомотетии с центром 0 и коэффициентом: а) 2; 6) 5; в) ; г) 1.
5. Укажите положение точки А, если известен центр и коэффициент гомотетии и точка , в которую перешла точка А.
6. Найдите коэффициент гомотетии, если известно положение трех точек О, X, , где О — центр гомотетии, X — данная точка, – ей гомотетичная.
Второй вид упражнений предполагает связывание вновь изученного материала с ранее изученным. Происходит многократное взаимодействие различных систем знаний, развитие старых знаний под воздействием новых.
Одновременно этот вид упражнений является препятствием на пути забывания старого, что происходит достаточно интенсивно, это подтверждает график забывания информации
Отдельные авторы считают, что выходом из такого положения является включение упражнений на повторение, сходных по некоторым несущественным признакам с упражнениями на закрепление нового материала, но в существенной части отличных от них.
Например, при решении упражнений на умножение смешанных чисел одновременно выполняются упражнения на сложение смешанных чисел. Такие упражнения одновременно выполняют функцию контрпримеров при изучении нового, что позволяет концентрировать внимание решающих на существенном и формировать устойчивые умения.
Такой подход важен, но не менее важно целенаправленное непрерывное повторение, непосредственно связываемое с изучением нового. Оно актуально также вследствие дефицита времени на организацию специального повторения. Непрерывное повторение позволит организовать рассредоточенное повторение материала, которое, является более эффективным, чем концентрированное. При необходимости любое содержание из изученного ранее может быть повторено при решении задач на применение вновь изученного материала.
Например, в действующих пособиях по планиметрии изучается богатая по своему применению теорема о вписанном угле. Применение этой теоремы может быть значительно расширено за счет установления взаимосвязей названной теоремы с такими разделами, как, например, координаты, векторы и т. д. Приведем примеры таких задач.
продолжение
–PAGE_BREAK–