Частица вращается по окружности />, и уравнениедвижения />. Найтитангенциальное, нормальное и полное ускорение в момент />.Найдем угловую скорость/>:/>;Линейная скорость находиться по формуле />/>Тангенциальное ускорение/>:/>, />/>Нормальное ускорение />:/>, />/>
Полноеускорение/>:/>, />/>Ответ: тангенциальное ускорение />/>, нормальное ускорение />/>,полное ускорение />/>.Тело движется вдоль прямой, замедляясь при />. В начальной точкескорость была />. Какой путьпройдет тело до остановки.
Мгновеннаяскорость />, следовательно/>
Мгновенноеускорение />, следовательно/>
Получаемравенство />Проинтегрируем равенство />/>Ответ: тело пройдет путь равный />На брусок массой />, лежащий на гладкой горизонтальнойповерхности, действует сила />. При прямолинейном движении уголмежду силой и горизонтом изменяется по закону />, где /> – постоянная.Найти скорость бруска как функцию от />.
Уравнениедвижения в проекции /> имеет вид
/>
Заменим в уравнении />, тогда
/>
Ответ: скорость бруска равна />
Конькобежецмассой /> кг, стоя на коньках нальду, толкает камень /> кг под углом 30°к горизонту со скоростью />/>. Найти начальную скоростьдвижения конькобежца.
Импульс изакон сохранения импульса
/>; />;
Перед броском все тела находились в покое: импульс каждого из них былравен 0, равнялась 0 и их векторная сумма
/>
В конце броска импульс груза равен />,конькобежца — />
В проекции на ось Oxимпульс груза равен />, конькобежца — />.
т.к. />, то />
/>/>.
Ответ: />/>;
Тело массой /> начинаетдвигаться вдоль оси /> со скоростью />, где /> – перемещение. Найтивыражение для работы и вычислить работу при /> кгза 3с движения.
Найдем ускорение как производную от скорости
/>; />/>;
Ускорение постоянно, значит движение равноускоренное. Зависимостьскорости от времени.
/>
Через 3с скорость будет:
/>/>
Работа равна изменению кинетической энергии. Т.к. в начале телонаходилось в состоянии покоя:
/>; />кДж
Ответ: />/>,/>/>;
Диск массой 10 кг и радиусом 20 см вращается относительно оси симметриипод действием момента сил М = 1,8t2. Найти угловую скорость колесачерез 3 с после начала движения.
Момент инерции диска вычисляется по формуле
/>; />/>
Основной закон динамики вращательного движения
/>
Проинтегрируем выражение по />:
/>
Т.к. />, то />
Через 3с угловая скорость будет
/>/>
Ответ: />/>
Найти момент инерции стержни сечением S и плотностью р = p0(1-r/l), где l — длина, r — расстояние до оси вращения, проходящей черев конецстержня. Вычислить при р = 7800 кг/м3, S = 2 см2 и I= 80см.
Выделим бесконечно тонкий участок стержня толщиной />. Его момент инерции:
/>,
где /> — масса участка.
Т.к. момент инерции аддитивен, момент инерции всего стержня равен суммемоментов инерции всех его участков.
/>
/>
/>
Ответ: />
На скамье Жуковского I = 50 кг-м2 стоит человек и держит вруках колесо, момент инерции которого 0,25 кг-м2 и скорость вращения25 рад/с. Ось колеса совпадает с осью скамьи. Найти угловую скорость вращенияскамьи и работу внешних сил, если колесо расположить горизонтально.
Когда колесо повернули горизонтально, момент импульса вокруг вертикальнойоси сохранился. То есть
/>,
где /> – момент инерции колеса, /> – угловая скорость скамьи,/> – угловая скорость колеса.
Скамья начала вращаться с угловой скоростью
/>, />
Скорость и энергия внешних сил колеса почти не изменилась. Работа внешнихсил пошла на изменение энергии вращения скамьи и равна:
/>, />
Ответ: />, />.Колебания точки происходят по закону х = Acos(w t+j ). Внекоторый момент времени смещение точки равно 5 см, ее скорость V = 20 см/с иускорение а = — 80 см/с2. Найти амплитуду А. циклическую частоту w,период колебаний Т и фазу (w t+j ) в рассматриваемый момент времени.
Запишем закон движенияи его производные:
/>(1),
/>(2),
/>(3).
Подставив /> и />в (3), найдем />:
/>,/>
Преобразуем формулу (2)следующим образом:
/>(2’).
Возведем в квадрат (1)и (2’) и сложим:
/>
/>см
Период колебаний />с.
Найдем фазу: />, />
Что соответствует точкена окружности с углом — />
Ответ: />см, />, />с, />.
Уравнение колебанийчастицы массой 1.6-10 -2 кг имеет вид х = 0,lsin(pt/8 + л/4) (м). Построить график зависимости от времени силы F, действующей начастицу. Найти значение максимальной силы.
Найдем ускорение каквторую производную />по />:
/>
Произведение ускоренияна массу даст силу:
/>,
/>
Значение максимальнойсилы при />
/>
/>
График – синусоида спериодом 16 и смещенная на 2 влево.
Диск радиусом 20 смколеблется около горизонтальной оси, походящей через середину радиусаперпендикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину и период колебаний.
Пусть диск повернулсяна малый угол />, тогдавозвращающий момент сил:
/>,где /> – плечо силы.
Момент инерции дискаотносительно центра:
/>
относительно осивращения:
/>
Тогда уравнениедвижения имеет вид:
/> или />
Это уравнение колебанийс частотой:
/>
У математическогомаятника />
Значит приведеннаядлина:
/>,/>м.
Период колебаний:
/>
Ответ: />, />.
Определить скорость,если разность фаз D j колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на Dx = 10 см, равна p /З. Частота колебаний равна 25 Гц.
Отношение разности фазк расстоянию между точками есть волновое число />
/>,/> /> – длина волны.
Выразим частоту:
/>,
где /> – скорость распространения.
/>
Ответ: />.
При изменении давлениягаза на 200 Па объем газа изменится на 3 л. Если давление изменить на 500 Па,объем изменится на 5 л. Найти начальный объем и давление гaзa. Температура газасохраняется постоянной.
Используем, что при />. Тогда
/>
/>.
Аналогично для (2)
/>
Выразим из (1) />и подставим в (2).
/>
/>, отсюда />.
При />и /> положительных мы не знаем,когда газ сжимается, а когда расширяется. Поэтому выберем все величиныотрицательными.
Тогда />л. Подставив в формулу для />, получим />Па.
В обоих случаях газсжимали.
Ответ: />, />Па.
Найти с помощьюраспределения Максвелла среднее значение квадратапроекции скорости молекулы газа при температуре Т.
Распределение Максвеллапо проекциям:
/>
Среднее значениеквадрата проекции ищем по формуле:
/>
Введем новую переменную/>
/>,/>, />
/>
/> – табличныйинтеграл.
/>
Ответ: />.
Найти работу,совершающуюся при изотермическом расширении водорода массой 5 г, притемпературе 290°К. при увеличении объема газа в три раза.
Количество водорода />моль.
/>
/>
/> – прирасширении от /> до />.
/>кДж.
Ответ: />кДж.
Во сколько разувеличится КПД цикла Карно при увеличении температуры нагревателя от t1 =300°К до T 2 = 380 К при температуре холодильника T2 =200°К?
КПД находим по формуле
/>,
где /> – температура нагревателя,а /> – температурахолодильника.
/>
/>
/>
/> -во столько раз увеличивается КПД.
Ответ: 1,42.