Академіяпедагогічних наук України
Центральнийінститут післядипломної педагогічної освіти
РЕФЕРАТ
з дисципліни «Статистика»
на тему:
«Застосуваннянеперервних випадкових величин в економіці»
Виконав студент
Кравченко ОлександрОлександрович
Чернігів 2008 р.
Зміст
Випадкові змінні
Оцінка ризику вціноутворенні
Оцінка ризику вціноутворенні на продукцію великовантажного автомобілебудування
Література
Випадкові змінні
Поняттявипадкової величини є одним з основних понять теорії ймовірностей.
Розподілймовірностей можна задати різними способами. Але істотним при цьому є лише те,що потрібно виконувати три вимоги — аксіоми Колмогорова:
1) кожнійелементарній події (кожній точці фазового простору) ставиться у відповідністьневід’ємне число;
2) сумачисел, поставлених у відповідність усім елементарним подіям (усім точкамфазового простору), дорівнює одиниці;
3) кожнійскладній події (кожній частині фазового простору) ставиться у відповідністьсума чисел, поставлених у відповідність усім сприятливим даній складній подіїелементарним подіям (усім точкам цієї частини фазового простору).
Кожнафункція, що володіє першою властивістю, називається мірою; та, що володієдругою властивістю — нормованою функцією; третьою — адитивною функцією.Функція, що задана на множині елементарних подій і володіє усіма трьомавластивостями, називається розподілом ймовірностей.
Означення1. Випадковою величиною називається сукупність випадкових подій із заданимрозподілом їх ймовірностей.
Якщоподіями є певні числа, то йде мова про випадкову змінну. Отже, випадкова зміннаприймає значення з області її значень із певними фіксованими ймовірностями, яків сукупності утворюють розподіл ймовірностей. У цьому випадку окремі події ізповної сукупності подій, породжених реалізацією певної сукупності умов,позначаємо числами.
Наприклад,число викликів, що надходять на телефонну станцію протягом певного проміжкучасу, приймає ті чи інші цілі невід’ємні значення, залежно від випадковихобставин, і тому є випадковою змінною. Випадковою змінною є і швидкість рухуякоїсь конкретної молекули газу, тому що вона залежить від зіткнень з іншимимолекулами, і які, практично, неможливо передбачити через їх велику кількість.Такими ж змінними є: зріст, об’єм грудної клітки, розмір ступні, вага людинитощо, як біологічного виду; кількість бактерій конкретної популяції в одиниціоб’єму в певному місці; сила струму, напруга в електромережі, рівень радіації,температура, тиск повітря, хмарність тощо.
Випадковівеличини надалі будемо позначати прописними грецькими літерами або великимилатинськими літерами з індексами, або без них; конкретні значення —відповідними малими латинськими літерами і, як правило, з індексами.
Сукупністьусіх значень (область значень) випадкової змінної, упорядкованих за зростаннямїх величини, називають спектром цієї змінної. Якщо спектр випадкової змінноїскладається лише з ізольованих точок, то його називають дискретним; якщо ж вінє множиною потужності континуум і не містить ізольованих точок, то такий спектрназивають неперервним.
Очевидно,що до досліду не можемо об’єктивно сказати, яке конкретно значення приймевипадкова змінна у вказаний нами момент часу. Можемо лише говорити протенденцію появи тих чи інших її значень. Для опису таких специфічних зміннихвеличин використовуються відповідні всеохоплюючі, інтегральні характеристики,однією із яких є так звана функція розподілу випадкової змінної, яку частоназивають кумулятою.
Якщовипадкову змінну /> вважати точкою на числовійосі, то розміщення цієї точки на прямій залежить від випадку.
Означення2. Ймовірність того, що випадкова змінна/>набуває значення не більше ніж х,називається функцією розподілу, кумулятою цієї випадкової змінної у точці х іпозначається Р(х).
Отже,
/>
Вартозвернути увагу на те, що кумулята є функцією, заданою на промені, тобто є функцієюмножини (-∞; х) Вона повністю описує відповідний ймовірніснийпростір. Тому її часто ще називають законом розподілу ймовірностей випадковоїзмінної 4, або просто законом її розподілу. Функція розподілу випадковоїзмінної змінюється у точках її спектру.
Приклад1. Побудувати функцію розподілу числа вийнятих білих кульок з урни, в якій є 2білі і 3 чорні однакові у всіх інших відношеннях кульки, якщо з урни навманняберемо 2 кульки.
Якщо/>— кількістьвийнятих у цьому експерименті білих кульок, то/>є випадковою змінною, яка набуваєзначення/>/> відповідно зймовірностями/>/> Отже, розподіл ймовірностейвипадкової змінної/>можемо задати такою таблицею:% 1 2 р 3/10 6/10 1/10
Зформули (1) випливає, що в усіх точках відрізка/>функція розподілу/>цієї випадкової змінної,як ймовірність неможливої події, набуває значення рівне нулю. Нехай тепер /> Подію/>позначимо черезА; подію/>а подію/>Очевидно, події А, В, С попарнонесумісні. Тому в цьому випадку:
/>
Оцінка ризику в ціноутворенні
Цячастина реферату присвячена важливому питанню системи маркетингу вантажнихавтомобілів — проблемі обліку ризику в ціноутворенні на продукціювеликовантажного автомобілебудування. Зачіпаються сутність, основні чинникивиникнення ризику в процесі встановлення ціни виробника на ринку вантажноїтехніки, розкривається підхід до його оцінки і аналізу за допомогоюінструментів математичної статистики і теорії вірогідності: зокрема, розробленаметодика практичного застосування математичного очікування ісередньоквадратичного відхилення варіацій показників ціни як безперервноїнормально розподіленої випадкової величини як основні параметри кількісноїоцінки цінового ризику. В ув’язненні роботи наведений приклад практичної оцінкирівня ризику і його впливу на фінансові показники ринкової діяльності реальноговиробника вантажної автомобільної техніки на Україні — холдингової компанії«АвтоКрАЗ».
Оцінка ризику в ціноутворенні на продукціювеликовантажного автомобілебудування
Вумовах насиченості в товарних лініях (асортиментних групах) конкуруючихвиробників машин, схожих по своїх споживацьких якостях, особливу значущість впитанні конкурентоспроможності вантажних автомобілів на ринку придбаває чинникїх ціни як елемента політики стимулювання збуту продукції підприємства. Причомудля виробника необхідно врахувати, що в цілях максимізації кількості продажівйому доведеться будувати достатньо гнучку цінову політику, орієнтовану назадоволення індивідуальних потреб замовника (потенційного покупця) автомобіля.У зв’язку з цим важливо наперед врахувати, спрогнозувати можливі варіантивідхилень фактичних значень цін реалізації машин від їх первинних, плановихпоказників, заявлених в прайс-позиціях підприємства, і їх вплив на основніфінансові показники суб’єкта ринкових відносин. Безумовно, розмір такихвідхилень повинен обусловлюватись економічною доцільністю і відповідатикінцевій меті будь-якої маркетингової стратегії максимально повне задоволенняпотреб і потреб замовника і забезпечення отримання за рахунок цього прибули якпідсумкового індикатора доцільності існування підприємства в ринкових умовах.Звідси виробнику автотехніки украй важливо не тільки грамотно сформувати своюцінову стратегію з обґрунтованими з погляду маркетингової ефективності рівнямицінових параметрів пропонованої продукції, але і визначити ступінь ціновогоризику, пов’язаний з можливим виникненням збитків в результаті можливоговідхилення значень фактичної ціни продажів від її планового показника дляданого сегменту ринку. Найдієвішим інструментом обліку, аналізу і прогнозуванняваріацій (коливань, відхилень) цін і їх впливу на результати ПХД підприємства єпідхід, що розглядає дані відхилення як ризик і оцінюючий його в термінах ікатегоріях менеджменту ризику. Розглянемо цей підхід стосовно ціноутворення напродукцію автомобілебудування.
Економічнообгрунтований процес встановлення ціни на вантажну техніку, що випускається,виходячи з собівартості її виробництва і стану ринкової кон’юнктури єнайважливішою умовою побудови ефективної діяльності підприємства-виробника наринку. Разом з тим ціноутворення складає один з найзначущіших компонентівпідприємницького ризику. Так, відхилення фактичного рівня ціни на реалізовуванупродукцію від планового всього на 1 % веде до втрат не менше 1 % доходу відпродажів, а при еластичності ринкового попиту такі втрати можуть скласти 2-3 %;при рентабельності продукції 10-12 % відхилення в ціні, рівне 1 %, може дативтрату 5-10 % прибули.
Коливаннярівнів цін на продукцію великовантажного автомобілебудування можутьобусловлюватись рядом чинників, які в цілому можна згрупувати:
1) макроекономічні чинники:
o стадія в розвитку економічного циклу країни;
o рівень інфляції;
o дія на ринкову кон’юнктуру в державі суспільно-політичних ісоціальних явищ і процесів;
2) внутрігалузеві чинники:
o стан і тенденції розвитку кон’юнктури ринку вантажних автомобілів;
o існування вторинного ринку нової вантажної автомобільної техніки,що виникає за рахунок бартерної системи платежів, а також ринку уживаної іконверсійної техніки, примушуючих завод-виготівник знижувати ціни на своюпродукцію;
o дія на рівень ціни підприємства вже в процесі роботи з ринкомцінової політики конкурентів;
o стимулювання за рахунок зниження цін ділерів і кінцевихспоживачів: знижки від розміру партії автомобілів, що закупляються;необхідність зниження ціни в процесі складання договору купівлі-продажу міжпродавцем і покупцем, коли відхилення фактичного рівня ціни від плановогорозглядається як обов’язкова умова висновку операції (”Ми закупимо автомобілівиробництва вашого підприємства, а не аналогічну техніку конкуруючоговиготівника, але з умовою надання знижки у розмірі N%”, — типова ”просьба”потенційного замовника в даній ситуації).
3) мікроекономічні чинники:
o необхідність підвищення цін через прорахунки в прогнозній оцінцівідповідності цінового рівня продукції фактичним об’ємам витрат виробництва,коли відбувається зростання питомих постійних витрат унаслідок недостатньогооб’єму реалізації продукції і неможливості покриття суми постійних витратпідприємства при колишньому рівні ціни (в подібній ситуації підвищення цінивиправдано при нееластичному попиті: наприклад, при реалізації унікальних посвоїх споживацьких якостях колісних тягачів МЗКТ — єдиного спеціалізованогопідприємства-виробника подібної техніки, активно просуваючого на ринки СНД ідалекого зарубіжжя свою продукцію під мазкою «VOLAT»).
Впідприємницькій діяльності важливо кількісно визначити ризик, щоб порівняти альтернативніваріанти ціноутворення і вибрати самий оптимальний з них. А оскільки ризик — цевірогідність виникнення збитків в результаті нездійснення події, передбаченоїпрогнозом, і, отже, поняття вірогідності, то він може бути змірянийінструментами теорії вірогідності і математичної статистики.
Ринковаціна по своїй природі є випадковою величиною — змінною, яка може прийняти теабо інше значення в результаті ряду подій, що повторюються (в нашому випадку — фактична ціна реалізації автомобілів конкретному споживачу).
Теоріяматематичної статистики розрізняє два типи випадкових величин:
1. дискретна — ізольовані значення досліджуваного параметра, якіможна наперед перерахувати; дискретні величини відокремлені один від одногопроміжками, де немає інших можливих значень відповідного параметра; дискретнавеличина задається переліком всіх її можливих значень з відповідноювірогідністю, що характеризує закон розподілу дискретної величини;
2. безперервна — випадкова величина, яка може прийняти будь-якезначення з кінцевого або нескінченного інтервалу; безперервні величини невідокремлені один від одного і заповнюють деякий інтервал, причому однезначення випадкової величини не можна відділити від іншого проміжком, що немістить можливого значення цієї ж випадкової величини.
Зостаннього приведеного визначення стає очевидним, що ціна як економічнакатегорія є безперервною випадковою величиною.
Зкурсу математичної статистики відомо, що перерахувати можливі значеннябезперервної випадкової величини і їх вірогідності з побудовою ряду розподілу(як у дискретної величини) неможливо, оскільки безліч її значень нескінченно івідноситься до деякого заданого інтервалу (в ціноутворенні — це межамаксимальної знижки з базової ціни і безпосередньо рівень базової ціни або прогнознезначення можливого її збільшення). Тому при описі характеру поведінкибезперервної випадкової величини використовують не ряд розподілу, а йогофункцію. Остання і дозволяє судити про ступінь ризику.
Допоширених видів розподілу випадкової величини відносять:
· рівномірне;
· нормальне;
· показове.
Стосовноаналізу ризику в ціноутворенні для задачі опису розподілу випадкових значеньцін найкращим чином підходить саме нормальний розподіл, оскільки на варіюванняцін в ринковій економіці впливає велика кількість чинників, а нормальнийрозподіл якраз і дозволяє врахувати їх дію на значення аналізованої випадковоївеличини.
Безперервнавипадкова величина має нормальний розподіл, якщо її диференціальна функціярозподілу (густина розподілу вірогідності) має наступний вигляд:
/>
Графічнонормальна функція розподілу представлена на рис.№ 1 у вигляді так званої«кривої Гауса».
/>
Малюнок№1. Крива нормального розподілу
Правучастину кривої Гауса щодо центру її симетрії F можна розглядати як кривуризику. В цьому випадку вісь абсцис — це розмір втрат, а вісь ординат (F) — вірогідність втрат. Тоді інтервал ’ буде зоною допустимогоризику, інтервал 2d ‘ — зоною критичного ризику, а інтервал 3d ‘ — зоноюкатастрофічного ризику.
Длявирішення багатьох практичних задач визначення рівня ризику при безперервнійнормально розподіленій випадковій величині достатньо вказати окремі числовіпараметри, що дозволяють в зручній, компактній формі охарактеризуватинайважливіші риси розподілу. Стосовно проблеми оцінки ризику в ціноутворенніособливу значущість придбавають такі числові характеристики випадковоївеличини, як математичне очікування, середньоквадратичне відхилення ікоефіцієнт варіації.
1.Математическоеочікування
Особливістюрозподілу випадкової величини є наявність в ньому деякого центру, навкругиякого групується решта її значень. Для характеристики такої особливості служитьматематичне очікування — центр розподілу або середнє значення випадковоївеличини. Його економічне значення стосовно оцінки ризику в ціноутворенніполягає в тому, що це свого роду стрижня, в околиці якого будуть з найбільшоювірогідністю варіювати значення ціни як безперервної випадкової величини.
Зкурсу математичної статистики відомо, що математичне очікування нормальнорозподіленої випадкової величини можна представити у вигляді:
/> (1.1)
Практичнезастосування даної формули при оцінці ризику в ціноутворенні вимагає їїспрощення. Не утрудняючи читача відомими [1,3], але громіздкими перетвореннямиодержуємо:
/> (1.2)
де А- нижня межа цінового інтервалу;
B — верхня межа цінового інтервалу.
Такимчином, математичне очікування безперервної нормально розподіленої випадковоївеличини (значення варіацій цін) буде рівне параметру -а- у формулі (1.1) абонапівсумі числових параметрів меж інтервалу [А;B].
2.Среднееквадратичне відхилення.
Дисперсіяяк міра розсіювання випадкової величини володіє істотним недоліком — характеризує ознаку в іншій розмірності (унаслідок присутності квадрата різниціХ — МХ), тому для відповідності параметрів Х, МХ використовують -середнє квадратичне відхилення:
/>(1.3)
де: А- нижня межа цінового інтервалу;
B — верхня межа цінового інтервалу.
Правомірністьтакого способу розрахунку середньоквадратичного відхилення витікає з рис.№ 1:саме у встановленому (виходячи з міркувань професійного характеру) ціновомуінтервалі[А;B] буде зосереджена основна кількість значень ціни яквипадкової величини, а саме 68,27% її варіацій (см.рис.№ 1). А цей інтервалрівний
/>, звідки імаємо/>
3.Коефіцієнт варіації випадкової величини
Цевиражене у відсотках відношення середньоквадратичного відхилення доматематичного очікування випадкової величини:
/> (1.4)
Коефіцієнтваріації при нормальному розподілі вірогідності характеризує відсоток відхиленьвід очікуваного значення величини, тобто це і є ступінь цінового ризику.
Практичнезначення перерахованих характеристик перш за все в тому, що вони дозволяютьосмислено підійти до кількісної оцінки ризику.
Назакінчення, проілюструємо застосування вищеописаних інструментів на прикладірішення задачі визначення ступеня цінового ризику.
Передвідділом маркетингу холдингової компанії ”АвтоКрАЗ” стоїть задача визначеннявпливу можливого відхилення фактичної ціни реалізації автомобіля підвищеноїпрохідності КрАЗ-6322 від її запланованого рівня на розмір прогнозованогодоходу від діяльності компанії на даному сегменті ринку. При цьому є наступнаінформація:
o вказана в прайсі компанії ціна на автомобіль — 158500 грн.
o розмір допуску можливих відхилень від початкової ціни — 3% (прицьому мається на увазі, що розмір допуску обгрунтований з погляду економічноїефективності);
o прогнозний об’єм продажів компанії на сегменті автомобілівпідвищеної прохідності складає в натуральному виразі 1000 шт.
Рішенняпоставленої задачі доцільно розбити на декілька етапів.
Першза все, необхідно задати інтервал можливого варіювання цінових рівнів:[153745;158500].
Потімвиходячи з розгляду ціни як безперервної нормально розподіленої випадковоївеличини визначаємо її числові параметри:
o математичне очікування: MX=(153745+158500)/2=156122,5 грн.
o середньоквадратичне відхилення: d =156915-155330=2377,5 грн.
Звідсирозраховуємо коефіцієнт варіації:
VX=(2377,5/156122,5)*100%=1,52%.
Такимчином, ступінь ризику для компанії при роботі на сегменті автомобілівпідвищеної прохідності складає 1,52%. За даними табл.№ 1 отриманий кількіснийвираз ступеня ризику відноситься до категорії мінімальній.
Таблиця№1.
Емпіричнашкала рівня ризикуСтупінь риизику,% Градації ризику 0-10 мінімальний 10-30 малий 30-40 середній 40-60 високий 60-80 максимальний 80-100 критичний
Маючисвій в розпорядженні показник ступеня ризику, можна оцінити його вплив нафінансові результати діяльності ХК ”АвтоКрАЗ”: якщо компанія вийде напрогнозований показник частки ринку, то планові об’єми її доходу складуть1000*158500=158 500 000 грн.; проте, враховуючи ступінь ризику, плановий дохідповинен бути скоректований на її величину у бік зменшення. Таким чином,прогнозний об’єм доходу підприємства складе, найімовірніше, 156 000 000 грн.
Отже,показник ступеня цінового ризику грає вельми значущу роль в процесігосподарювання підприємства в умовах ринкової економіки, оскільки дозволяєкоректувати розміри основних фінансових показників з урахуванням чинникаколивається ринкової кон’юнктури, що дає можливість більш обгрунтованопрогнозувати результати виробничо-господарської діяльності підприємства наплановий період (зокрема, більш точно оцінити рівень прибутковості з витікаючоюможливістю і реальністю виконання підприємством-виробником своїх фінансовихзобов’язань перед кредиторами, акціонерами і т.д.).
Литература
1. Гмурман В.Е.Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов.Изд.7-е, стер.- М.: Высш. шк., 1999. — 479 с.
2. Гранатуров В.М.Экономический риск: сущность, методы измерения, пути снижения: Учебное пособиеМ.: Дело и Сервис, 1999. — 112 с.
3. Калинина В.Н.,Панкин В.Ф. Математическая статистика: учебник для техникумов. Изд. 2-е, стер.-М.: Высш. шк., 1998.- 336 с.
4. Смирнов Н.В.,Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики.Учебное пособие для втузов. Изд.3-е, стер.- М.: Наука, 1969. — 512 с.
5. Устенко О.А.Теория экономического риска: Монография.- К.: МАУП, 1997. — 164 с.
6. Чернов В.А.Анализ коммерческого риска. / Под ред. М.И.Баканова. — М.: Финансы истатистика, 1998. — 128 с.
7. Штефанич Д.А.Управління підприємницьким ризиком. — Тернопіль: Економічна думка, 1999.-224 с.