Федеральное агентство по образованиюРФ
Государственноеобразовательное учреждение
высшегопрофессионального образованияТульский государственный университет
Кафедра математическогомоделирования
Контрольно-курсоваяработа
по курсу
«История и методологиямеханики»
на тему
«Жизнь и деятельность семьиБернулли»
Тула 2009
Оглавление
Введение
Якоб Бернулли
Иоганн Бернулли
Даниил Бернулли
Якоб II Бернулли
Математические объекты,названные в честь членов семьи
Дифференциальноеуравнение Бернулли
Закон Бернулли
Лемниската Бернулли
Неравенство Бернулли
Распределение Бернулли
Числа и многочленыБернулли
Список литературы
Введение
СемействоБернулли было одним из протестантских семей, которые из Антверпена в 1583 году,чтобы избежать избиения католиками. Семейство нашло убежище сначала во Франкфурте,а вскоре перебралось в Швейцарию, где осело в Базеле. Основатель династииженился на представительнице одного из самых старинных семейств Базеля и сталкрупным купцом. Николай Старший также был крупным купцом. Три поколенияБернулли дали 8 крупных математиков и физиков, из которых наиболее известныЯкоб, Иоганн, Даниил и Якоб II. Среди академиков Петербургской Академии наук – пятеропредставителей семьи Бернулли. Ниже приведено генеалогическое древо семействаБернулли.
/>
ЯкобБернулли
Якоб родилсяв семье преуспевающего фармацевта Николая Бернулли. Вначале учился богословию,но увлёкся математикой, которую изучил самостоятельно. В 1677 году совершилпоездку во Францию для изучения идей Декарта, затем в Нидерланды и Англию, гдепознакомился с Гуком и Бойлем.
Вернувшись вБазель, некоторое время работал частным учителем. В 1684 году женился на ЮдитШтупанус, у них родились сын и дочь.
С 1687 года –профессор физики (позже – математики) в Базельском университете. В 1684штудирует первый мемуар Лейбница по анализу и становится восторженным адептомнового исчисления. Пишет письмо Лейбницу с просьбой разъяснить несколько тёмныхмест. Ответ он получил только спустя три года (Лейбниц тогда был в командировкев Париже); за это время Якоб Бернулли самостоятельно освоил дифференциальное иинтегральное исчисление, а заодно приобщил к нему брата Иоганна. По возвращенииЛейбниц вступает в активную и взаимно-полезную переписку с обоими. Сложившийсятриумвират – Лейбниц и братья Бернулли – 20 лет возглавлял европейскихматематиков и чрезвычайно обогатил новый анализ. В 1699 оба брата Бернуллиизбраны иностранными членами Парижской Академии наук.
Первоетриумфальное выступление молодого математика относится к 1690 году. Якоб решаетзадачу Лейбница о форме кривой, по которой тяжелая точка опускается за равныепромежутки времени на равные вертикальные отрезки. Лейбниц и Гюйгенс ужеустановили, что это полукубическая парабола, но лишь Якоб Бернулли опубликовалдоказательство средствами нового анализа, выведя и проинтегрировавдифференциальное уравнение. При этом впервые появился в печати термин«интеграл».
Якоб Бернулливнёс огромный вклад в развитие аналитической геометрии и зарождениевариационного исчисления. Его именем названа лемниската Бернулли. Он исследовалтакже циклоиду, цепную линию, и особенно логарифмическую спираль. Последнюю изперечисленных кривых Якоб завещал нарисовать на своей могиле; к сожалению, поневежеству там изобразили спираль Архимеда. Согласно завещанию, вокруг спираливыгравирована надпись на латыни, «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я вновьвоскресаю»), которая отражает свойство логарифмической спирали восстанавливатьсвою форму после различных преобразований.
ЯкобуБернулли принадлежат значительные достижения в теории рядов, дифференциальномисчислении, теории вероятностей и теории чисел, где его именем названы «числаБернулли».
Он изучилтеорию вероятностей по книге Гюйгенса «О расчётах в азартной игре», в которойещё не было определения и понятия вероятности (её заменяет количествоблагоприятных случаев). Якоб Бернулли ввёл значительную часть современныхпонятий теории вероятностей и сформулировал первый вариант закона большихчисел. Якоб Бернулли подготовил монографию в этой области, однако издать её неуспел. Она была напечатана посмертно, в 1713 году, его братом Николаем, подназванием «Искусство предположений». Это содержательный трактат по теориивероятностей, статистике и их практическому применению, итог комбинаторики итеории вероятностей XVII века. Имя Якоба носит важное в комбинаторикераспределение Бернулли.
Якоб Бернуллииздал также работы по различным вопросам арифметики, алгебры, геометрии ифизики.
ИоганнБернулли
Иоганн сталмагистром (искусств) в 18 лет, перешёл на изучение медицины, но одновременно увлёксяматематикой (хотя медицину не бросил). Вместе с братом Якобом изучает первыестатьи Лейбница о методах дифференциального и интегрального исчисления,начинает собственные глубокие исследования.
В 1691 будучиво Франции, пропагандирует новое исчисление, создав первую парижскую школуанализа. По возвращении в Швейцарию переписывается со своим учеником маркизомде Лопиталем, которому оставил содержательный конспект нового учения из двух частей:исчисление бесконечно малых и интегральное исчисление.
В качествеконцептуальной основы действий с бесконечно малыми Иоганн сформулировал вначале лекций три постулата (первая попытка обоснования анализа):
1. Величина,уменьшенная или увеличенная на бесконечно малую величину, не уменьшается и неувеличивается.
2. Всякаякривая линия состоит из бесконечно многих прямых, которые сами бесконечно малы.
3. Фигура,заключенная между двумя ординатами, разностью абсцисс и бесконечно малым кускомлюбой кривой, рассматривается как параллелограмм.
ПозжеЛопиталь при издании своего учебника отбросил 3-й постулат как излишний,вытекающий из первых.
В этом же1691 г. появился первый печатный труд Иоганна в Acta Eruditorum: он нашёлуравнение «цепной линии» (из-за отсутствия в то время показательной функциипостроение выполнялось через логарифмическую функцию). Одновременно подробноеисследование кривой дали Лейбниц и Гюйгенс.
В 1692 имполучено классическое выражение для радиуса кривизны кривой.
С 1693подключился к переписке брата с Лейбницем.
В 1694женился и в том же году защитил докторскую диссертацию по медицине. В ответ написьмо Лопиталя сообщает ему метод раскрытия неопределённостей, известныйсейчас как «правило Лопиталя».
Печатает вActa Eruditorum статью «Общий способ построения всех дифференциальных уравненийпервого порядка». Здесь появились выражения «порядок уравнения» и «разделениепеременных» – последним термином Иоганн пользовался еще в своих парижскихлекциях. Выражая сомнение в сводимости любого уравнения к виду с разделяющимисяпеременными, Иоганн предлагает для уравнений первого порядка общий приемпостроения всех интегральных кривых при помощи изоклин в определяемомуравнением поле направлений. В 1695 по рекомендации Гюйгенса становится профессоромматематики в Гронингене.
В 1696Лопиталь выпускает в Париже под своим именем первый в истории учебник поматематическому анализу: «Анализ бесконечно малых для исследования кривыхлиний» (на французском языке), в основу которого была положена первая частьконспекта Бернулли. Значение этой книги для распространения нового учениятрудно переоценить – не только потому, что она была первой, но и благодаряясному изложению, прекрасному слогу, обилию примеров. Как и конспект Бернулли,учебник Лопиталя содержал множество приложений; собственно, они занималильвиную долю книги – 95%. Практически весь изложенный Лопиталем материал былпочерпнут из работ Лейбница и Иоганна Бернулли (авторство которых в общей формебыло признано в предисловии). Кое-что, впрочем, Лопиталь добавил и из своихсобственных находок в области решения дифференциальных уравнений. Объяснениеэтой необычной ситуации – в материальных затруднениях Иоганна после женитьбы.
Двумя годамиранее, в письме от 17 марта 1694 г. Лопиталь предложил Иоганну ежегоднуюпенсию в 300 ливров, с обещанием затем ее повысить, при условии, что Иоганнвозьмет на себя разработку интересующих его вопросов и будет сообщать ему, итолько ему, свои новые открытия, а также никому не пошлет копии своихсочинений, оставленных в свое время у Лопиталя. Этот необычный контрактпунктуально соблюдался 2 года, до издания книги Лопиталя. Позднее ИоганнБернулли – сначала в письмах к друзьям, а после смерти Лопиталя (1704) и впечати – стал защищать свои авторские права.
КнигаБернулли-Лопиталя имела оглушительный успех у самой широкой публики, выдержалачетыре издания (последнее – в 1781 году), обросла комментариями, была даже(1730) переведена на английский, с заменой терминологии на ньютоновскую(дифференциалов на флюксии и т.п.). В Англии первый общий учебник по анализувышел только в 1706 г. (Диттон).
В 1696 Иоганнпубликует задачу о брахистохроне: найти форму кривой, по которой материальнаяточка быстрее всего скатится из одной заданной точки в другую. Ещё Галилейразмышлял на эту тему, но ошибочно полагал, что брахистохрона – дугаокружности. Это была первая в истории вариационная задача, и математики с нейблестяще справились. Иоганн сформулировал задачу в письме Лейбницу, которыйтотчас её решил и посоветовал выставить на конкурс. Тогда Иоганн опубликовал еёв Acta Eruditorum. На конкурс пришли три решения, все верные: от Лопиталя,Якова Бернулли и (анонимно опубликовано в Лондоне без доказательства) отНьютона. Кривая оказалась циклоидой. Своё собственное решение Иоганн тожеопубликовал.
В 1699 вместес Якобом избран иностранным членом Парижской Академии наук. В 1702 совместно сЛейбницем открыл приём разложения рациональных дробей на сумму простейших. В 1705вернулся в Базельский университет, профессором греческого языка.
В 1708 послесмерти брата Якоба (1705) приглашается на его кафедру в Базеле и занимает её досамой смерти (1748).
Другиминаучными заслугами Иоганна Бернулли являются постановка классической задачи огеодезических линиях и нахождение характерных геометрических свойств этихлиний, а позднее вывод их дифференциальное уравнение. Необходимо такжеотметить, что он воспитал множество учеников, среди которых – Эйлер и ДаниилБернулли.
К егопортрету Вольтер написал четверостишие:
Его ум виделистину,
Его сердцепознало справедливость.
Он – гордостьШвейцарии
И всегочеловечества.
В честь Якобаи Иоганна Бернулли назван кратер на Луне.
ДаниилБернулли
Даниилродился в Гронингене (Голландия), где его отец тогда преподавал математику вуниверситете. С юных лет увлёкся математикой, вначале учился у отца и братаНиколая, параллельно изучая медицину. После возвращения в Швейцарию подружилсяс Эйлером. В 1721 сдал экзамены на медика в Базеле, защитил диссертацию. Затемуехал в Италию, где набирался опыта в медицине. В 1724 выпустил «Математическиеэтюды», принесшие ему известность. В 1725 вместе с братом Николаем уезжает поприглашению в Петербург, где по императорскому указу учреждена Петербургскаяакадемия наук. Занимается там медициной, но потом переходит на кафедру математики(1728), ставшую вакантной после смерти его брата Николая. Момент для приездабыл чрезвычайно неудачным – как раз скончался Пётр I, началась неразбериха.Приглашённые в Академию иностранцы частично рассеялись, но Даниил остался и дажеуговорил приехать друга Эйлера (1727). Но тут умерла императрица Екатерина I, ивластям окончательно стало не до Академии. Вскоре Даниил возвращается в Базель.Он остался почётным членом Петербургской академии, в её журнале опубликованы 47из 75 трудов Даниила Бернулли.
В 1728напечатал «Замечания о рекуррентных последовательностях». В 1733 устроилсяпрофессором анатомии и ботаники в Базеле (других вакансий не было). Ведёт оживлённую,взаимно-полезную переписку с Эйлером. В 1738 как результат многолетних трудоввыходит фундаментальный труд «Гидродинамика». Среди прочего там основополагающий«закон Бернулли». Дифференциальных уравнений движения жидкости в книге ещё нет(их установил Эйлер в 1750-е годы).
В течение 1747–1753выходит в свет важная серия работ о колебаниях струны. Бернулли, исходя изфизических соображений, догадался разложить решение в тригонометрический ряд.Он провозгласил, что этот ряд не менее общий, чем степенной. Эйлер и Даламбервыступили с возражениями. Вопрос был решён только в XIX веке, и Бернулли оказалсяправ.
В 1748 избраниностранным членом Парижской Академии наук. В 1750 перешёл на кафедру физики Базельского университета, где и трудился до кончины в 1782году. Умер за рабочим столом весной 1782 года.
Женат не был.Отношения с отцом колебались от натянутых до враждебных, споры между ними оприоритете не утихали.
Более всегоДаниил Бернулли прославился трудами в области математической физики и теориидифференциальных уравнений – его считают, наряду с Даламбером и Эйлером,основателем математической физики.
Физик-универсал,он основательно обогатил кинетическую теорию газов, гидродинамику иаэродинамику, теорию упругости и т.д. Он первый выступил с утверждением, чтопричиной давления газа является тепловое движение молекул. В своей классической«Гидродинамике» он вывел уравнение стационарного течения несжимаемой жидкости(уравнение Бернулли), лежащее в основе динамики жидкостей и газов. С точкизрения молекулярной теории он объяснил закон Бойля-Мариотта.
Бернулли принадлежитодна из первых формулировок закона сохранения энергии (живой силы, как тогдаговорили), а также (одновременно с Эйлером) первая формулировка законасохранения момента количества движения (1746). Он много лет изучал иматематически моделировал упругие колебания, ввёл понятие гармоническогоколебания, дал принцип суперпозиции колебаний.
В математикеопубликовал ряд исследований по теории вероятностей, теории рядов идифференциальным уравнениям. Он первый применил математический анализ к задачамтеории вероятностей (1768), до этого использовались только комбинаторныйподход. Бернулли продвинул также математическую статистику, рассмотрев сприменением вероятностных методов ряд практически важных задач.
Даниилявлялся Академиком и почетным иностранным членом Петербургской академии наук(1733),членом Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748),Лондонского королевского общества (1750). Лауреат многочисленных премий ипризов в конкурсах.
Якоб IIБернулли
Якоб получилюридическое образование, но затем переключился на физику и математику. Посленеудачной попытки занять кафедру физики в Базеле, освободившуюся после смертиДаниила Бернулли (1782), Якоб уехал в Италию и поступил на дипломатическуюслужбу. В 1786 году он переселился в Россию. Женился на внучке Эйлера. Служил вАкадемии наук и Кадетском корпусе. Погиб в возрасте 30 лет в результатенесчастного случая при купании в Неве.
Якоб Бернуллиуспел опубликовать незаурядные работы по различным вопросам механики, теорииупругости, гидростатики и баллистики: вращательному движению тела, укрепленногона растяжимой нити, течению воды в трубах, гидравлическим машинам. Вывелдифференциальное уравнение колебания пластин.
Математическиеобъекты, названные в честь членов семьи
Дифференциальноеуравнение вида:
/>с, n≠1, 0.
называетсядифференциальным уравнением Бернулли (в честь Якоба).Метод решения:
1.Делим левую и правую части на yn
/>
2.Выполняем замену
/> />
3.Решаем дифференциальное уравнение
/>
Ономожет быть решено с использованием интегрирующего множителя
/>
Пример:
/>
Делимна y2
/>
Заменапеременных
/>
Умножаемна M(x),
/>
Результат
/>
ЗаконБернулли
ЗаконБернулли (в честь Даниила Бернулли) является следствием закона сохранения энергиидля стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемойжидкости:
/>
Здесь
ρ – плотностьжидкости,
v – скорость потока,
h – высота, накоторой находится рассматриваемый элемент жидкости,
p – давление.
Константав правой части обычно называется напором, или полным давлением, а также интеграломБернулли. Размерность всех слагаемых – единица энергии, приходящейся наединицу объёма жидкости. Для горизонтальной трубы h= 0 и уравнение Бернулли принимает вид:
/>
Этаформа уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравненияЭйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности ρ:
/>
Согласнозакону Бернулли полное давление в установившемся потоке жидкости остаетсяпостоянным вдоль этого потока.
Полноедавлениесостоит из весового (ρgh), статического(p) и динамического (/>) давлений.
Иззакона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастанияскорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Этоявляется основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и дляламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скоростипотока лежит в основе работы различного рода расходомеров, водо- и пароструйныхнасосов.
ЗаконБернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равнанулю, то есть таких жидкостей, которые не прилипают к поверхности трубы. Насамом деле экспериментально установлено, что скорость жидкости на поверхноститвердого тела всегда в точности равна нулю.
ЗаконБернулли можно применить к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малоеотверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда.
Согласнозакону Бернулли приравняем полные давления на верхней поверхности жидкости и навыходе из отверстия:
/>
где
p0 – атмосферноедавление,
h – высота столба жидкости в сосуде,
v – скорость истечения жидкости.
Отсюда:/>. Это – формула Торричелли. Она показывает,что при истечении идеальной несжимаемой жидкости из отверстия в широком сосудежидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высотыh.Для сжимаемого идеального газа/>(постояннавдоль линии тока или линии вихря)
где
/> – адиабатическая постоянная газа
p – давление газа в точке
ρ – плотность газа в точке
v – скорость течения газа
g – ускорение свободного падения
h – высота относительно начала координат
Придвижении в неоднородном поле gz заменяется напотенциал гравитационного поля.Термодинамика закона Бернулли
Выведемзакона Бернулли из уравнения Эйлера и термодинамических соотношений.
1.Запишем Уравнение Эйлера:
/>
φ – потенциал. Для силытяжести φ=gz
2.Запишем выражение для энтальпии и предположим, что энтропия системы постоянна(или, можно сказать, что течение адиабатично):
dW = VdP + TdS
ПустьS = const и w– энтальпия единицы массы, тогда:
/> или />
3.Воспользуемся следующими соотношениями из векторной алгебры:
/>
/>– проекция градиента на некоторое направлениеравно производной по этому направлению.
4.Уравнение Эйлера с использованием соотношений выведенных выше:
/>
Спроецируемэто уравнение на единичный вектор касательный к линии тока, учитывая следующее:
/>– условие стационарности
/>– так как />
Получаем:
/>
Тоесть на линиях тока в стационарной адиабатической жидкости выполняетсяследующее соотношение:
/>
ЛемнискатаБернулли
Лемниската поформе напоминает восьмёрку. Её название восходит к античному Риму, где«лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к головепобедителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарскогоматематика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.Уравнения
Рассмотримпростейший случай: если расстояние между фокусами 2c,расположены они на оси OX, и начало координатделит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:
· впрямоугольных координатах:
/>
· вполярных координатах
·
/>
Параметрическоеуравнение в прямоугольной системе:
/>,
Чтобызадать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнениезаново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный)фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленныеуравнения этим преобразованием.Свойства.
1. Лемниската – криваячетвёртого порядка.
2. Она имеет две осисимметрии: прямая, на которой лежит F1F2,и серединный перпендикуляр этого отрезка, в простейшем (данном) случае – ось OY.
3. Точка, где лемнискатапересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой.
4. Кривая имеет 2 максимумаи 2 минимума. Их координаты:
5.
/>
6. Расстояние от максимумадо минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра (оси OY в данном случае) равно расстоянию от максимума(или от минимума) до двойной точки.
7. Касательные в двойнойточке составляют с отрезком F1F2углы/>.
8. Лемнискату описываетокружность радиуса/>, поэтому иногда в уравненияхпроизводят эту замену.
9. Инверсия относительноокружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли вравнобочную гиперболу.
10. Дляпредставления в полярных координатах, верно следующее
a. Площадьполярного сектора />, при />: />
b. В частности, площадь каждой петли />.
c. Радиус кривизнылемнискаты есть/>
Построениелемнискаты
· спомощью трёх отрезков
Это один из наиболеепростых и быстрых способов, однако требует наличия дополнительныхприспособлений.
Наплоскости выбираются две точки – A и B – будущие фокусы лемнискаты. Собираетсяспециальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученнаялиния могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба – C и D). При этомнеобходимо соблюсти пропорции отрезков: AC=BD=/>, CD=AB. Края линии крепятся кфокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов серединацентрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.
· припомощи секущих (способ Маклорена)
Строитсяокружность радиуса />с центром в одном из фокусов. Из серединыO фокусного отрезка строится произвольнаясекущая OPS (Pи S – точки пересечения с окружностью), и наней в обе стороны откладываются отрезки OM1и OM2, равные хорде PS. Точки M1,M2 лежат на разных петлях лемнискаты.
НеравенствоБернулли
НеравенствоБернулли (названо в честь Иоганна) утверждает: если/>, то
/>
Доказательствопроводится методом математической индукции по n. При n = 0неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n, докажем еговерность для n+1:
/>, ч.т.д. Примечания:
· Неравенствосправедливо также для вещественных /> (при/>)
· Неравенствотакже справедливо для /> (при/>), ноуказанное выше доказательство по индукции в случае />неработает.
РаспределениеБернулли
РаспределениеБернулли (названо в честь Якоба) моделирует случайный эксперимент произвольнойприроды, когда заранее известна вероятность успеха или неудачи.
Случайнаявеличина X имеет распределение Бернулли, еслиона принимает всего два значения: 1 и 0 с вероятностями p и />соответственно. Таким образом:
P(X= 1) = p
P(X= 0) = q
Принятоговорить, что событие {X= 1}соответствует «успеху», а {X = }«неудаче». Эти названия условные, и в зависимости от конкретной задачи могутбыть заменены на противоположные.
E[X]= p,
D[X]= pq.
Вообще,легко видеть, что
E[/>] = p/>.
Числа имногочлены Бернулли
ЧислаБернулли – последовательность рациональных чисел B0,B1, B2,… найденная Якобом Бернулли всвязи с вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел:
/>
Для чисел Бернулли существует следующая реккурентная формула: />
Первыечетырнадцать чисел Бернулли равны:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
/> 1
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> Свойства
· Всечисла Бернулли с нечетными номерами, кроме B1,равны нулю, знаки B2n чередуются.
· ЧислаБернулли являются значениями при x = 0многочленов Бернулли />,/>и равны: Bn = Bn(0).
Коэффициентамиразложения некоторых элементарных функций в степенные ряды часто служат числаБернулли. Например:
· Экспоненциальнаяпроизводящая функция для чисел Бернулли:
·
/>,
· />
· />
· Эйлеруказал на связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ζ(s) при четных s =2m:
/>
Из чегоследует
Bn = − nζ(1 − n) для всех n.
· />
Списоклитературы
1. Белл Э.Т. Творцы математики. М.:Просвещение, 1979.
2. Боголюбов А.Н. Математики.Механики. Биографический справочник. Киев: Наукова думка, 1983.
3. История математики. Под редакцией Юшкевича А.П.в трёх томах.Том 3Математика XVIII столетия. М.: Наука, 1972.