§ 46. Поверхности второго порядка

§ 46. Поверхности второго порядка. Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением (1) Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины а, b, с суть полуоси эллипсоида (черт. 47). Если все они различны, эллип­соид называется трёхосным; в случае, когда какие-нибудь две из них одина­ковы, эллипсоид является поверхностью вращения. Если, например, а = b, то осью вращения будет Оz. При а = b с — сжатым. В случае, когда а = b = с, эллипсоид представляет собой сферу. Гиперболоидами называются по­верхности, которые в некоторой си­стеме декартовых прямоугольных ко­ординат определяются уравнениями: Гиперболоид, определяемый уравне-нием (2), называется однополостным (черт. 48); гиперболоид, определяемый уравнением (3), — двухполостным (черт. 49); уравнения (2) и (3) называются каноническими уравнениями соот-ветствующих гиперболоидов. Величины а, b, с называются полуосями гиперболоида. В случае однополостного гиперболоида, заданного уравне-нием (2), только первые из них (а и b) показаны на черт. 48. В случае двухполостного гипербо-лоида, заданного уравнением (3), одна из них (именно, с) показана на черт. 49. Гиперболоиды, определяемые уравне­ниями (2) и (3), при а = 6 являются поверхностями вращения. Параболоидами называются поверх-ности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями: (1) (2) где р и q — положительные числа, называемые параметрами параболоида. Параболоид, определяемый уравнением (4), называется эллиптическим (черт. 50); параболоид, определяемый уравнением (5), — гиперболическим (черт. 51). Уравнения (4) и (5) называют каноническими уравнениями соответствующих параболоидов. В случае, когда р = q, параболоид, определяемый уравнением (4), является поверхностью вращения (вокруг Ог). Рассмотрим теперь преобразование пространства, которое называется равномерным сжатием (или равномерным растяжением). Выберем какую-нибудь плоскость; обозначим её буквой α. Зададим, кроме того, некоторое положительное число q. Пусть М — произвольнаяточка пространства, не лежащая на плоскости α, М0 — основание перпенди­куляра, опущенного на плоскость α из точки М. Переместим точку М по прямой ММ0 в новое положение М’ так, чтобы имело место равенствоМ0М’ = qM0М и чтобы после перемещения точка осталась с той же стороны от плоскости α, где она была первоначально (черт. 52). Точно так же мы поступим со всеми точками пространства, не лежащими на плоскости α; точки, которые расположены на плоскости α, оставим на своих местах. Таким образом, все точки пространства, за исключением тех, что лежат на пло­скости α, переместятся; при этом расстояние каждой точки от плоскости α изменится в не­которое определённое число раз, общее для всех точек. Описываемое сейчас перемещение точек пространства называется его равномерным сжатием к плоскости α; число q носит на­звание коэффициента сжатия. q Черт. 52. Пусть дана некоторая поверхность ^ F; при равномерном сжатии пространства точ­ки, которые её составляют, переместятся и в новых положениях составят поверхность F’. Будем говорить, что поверхность F’ получена из F в резуль­тате равномерного сжатия пространства. Оказывается, что многие поверх­ности второго порядка (все, кроме гиперболического параболоида) можно получить в результате равномерного сжатия из поверхностей вращения. П р и м е р. Доказать, что произвольный трёхосный эллипсоид может быть получен из сферы x2 + y2 + z2 = a2 , в результате двух последовательных равномерных сжатий пространства к координатным плоскостям: к плоскости Оху с коэффициентом сжатия q1=и к плоскости ^ Охя с коэффициентом сжатия q2 = . Доказательство. Пусть производится равномерное сжатие пространства к плоскости ^ Оху с коэффициентом q1 = и пусть М'(х’; у’; z’) — точка, в которую переходит при этом точка М (х; у; z). Выразим координаты х’, у’, z’ точки М’ через координаты х, у, z точки М’. Так как прямая ММ’ перпендикулярна к плоскости Оху, то х’=х, у’ = у. С другой стороны, так как расстояние от точки М’ до плоскости Оху равно расстоянию от точки М до этой плоскости, помноженному на числоq1 = , то z’ = z. Таким образом, мы получаем искомые выражения: х’=x, y’=y, z’=z или x= х’, y= y’ , z=z ‘, Предположим, что М (х; у; г) — произвольная точка сферы х2 + у2 + z2 = а2. Заменим здесь х, у, z их выражениями (7); мы получим: x2+y2 + = а2, откуда Следовательно, точка М'( x’; у’; z’) лежит на эллипсоиде вращения. Анало­гично, мы должны осуществить сжатие пространства к плоскости Охг по формулам:x= х”, y= y”, x= х’, z=z”, тогда получим трёхосный эллипсоид и именно тот, уравнение которого дано в условии задачи. Отметим ещё, что однополостный гиперболоид и гиперболический пара-болоид,_суть линейчатые поверхности, т. е. они состоят из прямых; эти пря­мые называются прямолинейными образующими указанных поверхностей. Однополостный гиперболоид имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются урав­нениями: где α и β — некоторые числа, не равные одновременно нулю. Гиперболиче­ский параболоид также имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями: Конической поверхностью, или конусом, называется поверхность, кото­рая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что эта прямая проходит через постоянную точку S и пересекает некоторую опре­делённую линию L. Точка S называется вершиной конуса; линия L — напра­вляющей. Цилиндрической поверхностью, или цилиндром, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что эта прямая имеет постоянное направление и пересекает некоторую опреде­лённую линию L (направляющую).^ 1153. Установить, что плоскость х — 2 = 0 пересекает эллип­соидпо эллипсу; найти его полуоси и вершины.1154. Установить, что плоскость z + 1 = 0 пересекает одно-полостный гиперболоид по гиперболе; найти её полуоси и вершины.1155. Установить, что плоскость _у + 6 = 0 пересекает гипер­болический параболоид по параболе; найти ей параметр и вершину.1156. Найти уравнения проекций на координатные плоскости сечения эллиптического параболоидаy2+z2 = x плоскостьюх + 2у —z = 0.1157. Установить, какая линия является сечением эллипсоида плоскостью2х —Зу + 4z —11=0, и найти её центр.1158. Установить, какая линия являетса, сечением гиперболиче­ского параболоида плоскостьюЗх—Зу + 4z + 2 = 0, и найти её центр.1159. Установить, какие линии определяются следующими урав­нениями: 1) 2) 3)и найти центр каждой из них.^ 1160. Установить, при каких значениях т плоскость x+ mz—1=0 пересекает двухполостный гиперболоидx 2+ у2 — z2 = —1 а) по эллипсу, б) по гиперболе.1161. Установить, при каких значениях т плоскость х + my — 2 = 0 пересекает эллиптический параболоид а) по эллипсу, б) по параболе.1162. Доказать, что эллиптический параболоид имеет одну общую точку с плоскостью 2х — 2у — z — 10 = 0, и найти её координаты.1163. Доказать, что двухполостный гиперболоид имеет одну общую точку с плоскостью 5х + 2z + 5 = 0,и найти её координаты»1164. Доказать, что эллипсоид имеет одну общую точку с плоскостью 4х — 3у + 12z —54 = 0, и найти её координаты.1165. Определить, при каком значении т плоскостьх — 2у — 2z + m = 0 касается эллипсоида1166. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к вектору n ={2; —1; —2} и касающейся эллиптического параболоида1167. Провести касательные плоскости к эллипсоиду 4х2 + 16у2 + 8z2 = 1 параллельно плоскостиx — 2у + 2z + 17 = 0; вычислить расстояние между найденными плоскостями.1168. Коэффициент равномерного сжатия пространства к пло­скости Oyz равен . Составить уравнение поверхности, в которую при таком сжатии преобразуется сфераx2 + y2 + z2 = 25.1169. Составить уравнение поверхности, в которую преобразуется эллипсоид при трёх последовательных равномерных сжатиях пространства к координатным плоскостям, если коэффициент сжатия к плоскости Оху равен , к плоскости Охz равен и к плоскости Oyz равен .1170. Определить коэффициенты ql и q2 двух последовательных равномерных сжатий пространства к координатным плоскостям Оху, Охz, которые преобразуют сферу х2 + у2 + 22 = 25 в эллипсоид1171. Составить уравнение поверхности, образованной враще­нием эллипса вокруг оси Оу. Решение*). Пусть М(х; у; z) — произвольная точка пространства, С — основание перпендикуляра, опущенного из точки М на ось Оу (черт. 53). Вращением этого перпендикуляра вокруг оси Оу точка М может быть пере­ведена в плоскость Oyz; в этом расположении обозначим её N(0; Y; Z). Так как CM = CN и СМ = , CN =Z то Z = (1)*) Задача 1171 решена здесь как типовая. Кроме, того, очевидно, чтоY = у (2) Точка М лежит на рассматриваемой поверхности вращения в том и только в том случае, когда N лежит на данном эллипсе, т. е. когда (3) принимая по внимание равенства (1) и (2), отсюда получаем уравнение для координат точки М: (4) Из предыдущего ясно, что оно удовлетворяется в том и только в том случае, когда точка М лежит на рассматриваемой поверхности вращения. Следовательно, уравнение (4) и есть искомое уравнение этой по­верхности.1172. Составить уравнение поверхности, образованной враще­нием эллипса вокруг оси Ох.1173. Составить уравнение поверхности, образованной враще­нием гиперболы вокруг оси Oz.1174. Доказать, что трёхосный эллипсоид, определяемый урав­нением может быть получен в результате вращения эллипса вокруг оси Ох и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости Оху.1175. Доказать, что однополостный гиперболоид, определяемый уравнением1176 — 1179] § 46. поверхности второго порядка 181может быть получен в результате вращения гиперболывокруг оси Oz и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости Oxz. 1176. Доказать, что двухполостный гиперболоид, определяемый уравнением может быть получен в результате вращения гиперболы вокруг оси Oz и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости Oxz. 1177. Доказать, что эллиптический параболоид, определяемый уравнениемможет быть получен в результате вращения параболы вокруг оси Oz и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости Oxz. 1178. Составить уравнение поверхности, образованной движе­нием параболы, при условии, что эта парабола всё время остаётся в плоскости, перпендикулярной к оси Оy, причём ось параболы не меняет своего направления, а вершина скользит по другой параболе, заданной уравнениямиПодвижная парабола в одном из своих положений дана уравне­ниями1 179. Доказать, что уравнениеz = хуопределяет гиперболический параболоид.1180. Найти точки пересечения поверхности и прямой: a) и б) и в) и г) и 1181. Доказать, что плоскость 2х— 12у — z + 16 = 0 пересекает гиперболический параболоидx2 – 4y2 = 2z по прямолинейным образующим. Составить уравнения этих прямо­линейных образующих. 1182. Доказать, что плоскость 4х — 5у— 10z —20 = 0 пересекает однополостный гиперболоид по прямолинейным образующим. Составить уравнения этих прямо­линейных образующих.1183. Убедившись, что точка М(1; 3; —1) лежит на гипербо­лическом параболоиде 4х2 — z = у, составить уравнения его прямолинейных образующих, проходящих через М. 1184. Составить уравнения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида параллельных плоскости 6х + 4у + 3z — 17 = 0.1185. Убедившись, что точка А(—2; 0; 1) лежит на гиперболи­ческом параболоиде определить острый угол, образованный его прямолинейными образующими, проходящими через А.1186. Составить уравнение конуса, вершина которого находится в начале координат, а направляющая дана уравнениями: 1) , 2) , 3) 1187. Доказать, что уравнениеz2= ху определяет конус с вершиной в начале координат.1188. Составить уравнение конуса с вершиной в начале коорди­нат, направляющая которого дана уравнениями1189. Составить уравнение конуса с вершиной в точке (0; 0; с), направляющая которого дана уравнениями1190. Составить уравнение конуса, вершина которого находится в точке (3;—1;—2), а направляющая дана уравнениями1191. Ось Oz является осью круглого конуса с вершиной в на­чале координат, точка M1(3; —4; 7) лежит на его поверхности. Составить уравнение этого конуса.1192. Ось Оу является осью круглого конуса с вершиной в на­чале координат; его образующие наклонены под углом в 60° к оси Оу. Составить уравнение этого конуса.1193. Прямая является осью круглого конуса, вершина которого лежит на плоско­сти Oyz. Составить уравнение этого конуса, зная, что точка M1(1; 1; —) лежит на его поверхности. 1194. Составить уравнение круглого конуса, для которого оси координат являются образующими. 1195. Составить уравнение конуса с вершиной в точке S(5; 0; 0), образующие которого касаются сферыx2 + y2 + z2 = 9.1196. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат, образующие которого касаются сферы (х + 2)2 + (у — l)2 + (z—3)2 = 9.1197. Составить уравнение конуса с вершиной в точке S(3; 0; —1), образующие которого касаются эллипсоида1198. Составить уравнение цилиндра, образующие которого параллельны вектору l={2; —3; 4 }, а направляющая дана урав­нениями1199. Составить уравнение цилиндра, направляющая которого дана уравнениями а образующие перпендикулярны к плоскости направляющей.1200. Цилиндр, образующие которого перпендикулярны к пло­скостих + у —2z —5 = 0, описан около сферыx2 + y2 + z2 = 1. Составить уравнение этого цилиндра.1201. Цилиндр, образующие которого параллельны прямойх = 2t — 3, у = — t + 7, z = — 2t + 5, описан около сферыx2 + y2 + z2 — 2х + 4у + 2z — 3 = 0. Составить уравнение этого цилиндра.1202. Составить уравнение круглого цилиндра, проходящего через точку S(2; —1; 1), если его осью служит прямаях = 3t + 1, у = — 2t — 2, z = t + 2.1203. Составить уравнение цилиндра, описанного около двух сфер: (х —2)2 + (у — 1)2 + z2 = 25, х2 +у2 +z2 = 25.