Середні значення 2

Середні значення
Статистика оперує такими середніми значеннями: серед­нє арифметичне, середнє квадрати­чне, середнє геометричне.
Середнє арифметичне. Нехай ми маємо п об’єктів, у якихвиміряно деяку характеристику, що має значення x1,x2, …, xn.
Середнім значенням (або середнім арифметичним) називається таке число />, яке дістають ді­ленням суми всіх да­них вибірки x1, x2, …, xnна число цих даних n,
/>
або />(/> — знак суми – “сигма” велика)
Приклади. 1) Протягом перших п’яти днів березнятемпература повітря, вимірювана о 8 год. ранку, станови­ла 3°, 5°, 4°, 1°, 2°. Знайти середню температуру за ці дні.
Маємо: />
2) 3 двох учнів треба вибрати одного в баскетбольну команду. Відомі кількості їхніх влу­чень м’яча в корзину накожні десять кидків під час тренувань.
Таблиця 1
Номер тренувань

1

2

3

4

5

Перший учень

4

3

5

3

6

Кількість влучень

Другий учень

5

4

3

6

5

Розв’язання.
Знаходимо середню кількість влу­чень.
Для першого учня:
/>
Для другого учня:
/>
Отже, в команду слід узяти другого учня.
Розглянемо деякі властивості середнього арифметичного.
1) Знайдемо відхилення l кожного значення xjвід се­реднього/>. Різниця х —/>може бути від’є­мною або додатною.
Сума всіх п відхилень дорівнює нулю. Проілюструє­мо цю властивість на при­кладі. Вихі­дні дані:. (0; 0; 1; 1; 3;3;3; 5); n= 8; />= 2.
2) Якщо до кожного ре­зультату спостережень додати деяке число с (константу), то середнє арифметичне />пере­твориться в />+ с. Візьмемо, наприклад, попередні 8 зна­чень і додамо до кож­ного з них по 5. Дістанемо числа 5; 5; 6: 6; 8; 8; 8; 10, середнє арифметичне яких (5 + 5+ 6 + 6 + 8 + 8 + 8+10): 8 = 7. Середнє на 5 одиниць більше. Таблиця 2
Значення–PAGE_BREAK—-PAGE_BREAK–
8
5
9
15
9
3
27
5
9
15
10
2
20

11
1
11

12
2
24

15
3
45

/>

3) За контрольну роботу учні одержали такі оцінки Оцінки (бали) 5 4 3 2
Кількість
учнів 6 7 4 17
Чи достатньо засвоєний матеріал?
Знайдемо середню величину оцінок.
/>
Ця оцінка є задовільною. Але частота оцінки «2» (мода) дуже висока, вона дорівнює 17. Отже, матеріал засвоєний учнями недостатньо.
Середнє квадратичне відхилення. Ми вже встановили, що сума відхилень даних від сере­днього значення дорівнює нулю. Тому, якби ми вирішили шукати середній показник відхилень, то він також дорівнював би нулю. В статистиці користуються іншим показником — середнім квадратич­ним відхиленням, який знаходять так: усі відхилення підносять до квадрата; знаходять середнє арифметичне цих квадратів; із знайденого середнього арифметичного добувають квадра­тний корінь. Середнє квадратичне відхилення позначають грецькою буквою σ (“сигма” мала):
/>
Знаходження середнього квадратичного відхилення подано в таблиці 4. Таблиця 4
Зна­чен­ня xi

Сере­днє ариф­ме­ти­чне />

Відхи­лення
xi— />

Квадрат відхи­лення
(xi-/>)2

Квадратичне від­хилення σ

5

— 7
49

8
— 4
16
10
— 2
4
12
17
5
25
20
8
64
/>=72
/>=
/>=12
/>/>
/>
/>
/>/>
У статистиці користуються також величиною σ2(квад­рат середнього квадратичного відхи­лення), яку називають дисперсією.
Середнє геометричне п додатних чисел х1,х2, х3, …, хп визначається виразом
/>, тобто середнє ге­ометричне х1х2х3… п є корінь n-го степеня з добутку всіх xi(і = 1, 2, …).
У випадку двох чисел а і b середнє геометричне нази­вають середнім пропорційним цих чисел. З рівності тс= аb випливає, що а: mc= тс: b.
На практиці окремим особам, організаціям, керівникам підприємств доводиться розв’язу­вати різноманітні задачі, пов’язані з використанням поняття моди, медіани, серед­нього. Напри­клад, яких розмірів дитячого взуття слід випускати більше, ніж інших; на якому з міських марш­ру­тів треба пустити автобусів більше, ніж на решті; якого розміру спортивних костюмів слід ви­готовити найбільше для учнів 10—11 класів тощо.
Розглянуті моду, медіану і середні значення називають мірами центральної тенденції.