Інтегрування з допомогою заміни змінної Інтегрування частинами

Пошукова робота на тему: Інтегрування з допомогою заміни змінної. Інтегрування частинами. План Інтегрування частинами Інтегрування часток Заміна змінної 1. Інтегрування частинами  Нехай  і  – диференційовані функції  на   Тоді   або Звідси                                                 (8.16)      Формула (8.16) називається формулою інтегрування частинами в невизначеному інтегралі. Користуючись формулою (8.16), рекомендується обчислення інтегралів від таких функцій : де  –поліном ,  – раціональна функція . Описати всі можливі випадки застосування формули інтегрування частинами неможливо. Інтегруючи такі вирази, завжди виникає дилема : що взяти за, а що – за . Інтегруючи вирази вигляду , , після того як підінтегральна функція буде розписана за властивостями 40 і 50 , одержимо інтеграли вигляду  , де  – одна з функцій в яких слід за  брати  , бо, в протилежному випадку, інтеграл ускладнюватиметься за рахунок зростання степенів . В інтегралах , де – одна з функцій  вигідно за  брати  . В інших випадках вибір  здійснюється залежно від того, при якому з виборів легше знайти  за  , хоч це теж не є абсолютною істиною . Іноді доводиться експериментувати . Інтегруючи вирази , доцільно за  взяти . Знаходження  із співвідношень  теж здійснюється інтегрування частинами . Для прикладу знайдемо  Приймаючи, а , знайдемо  Далі матимемо , тобто дістанемо інтеграл   . Знову, взявши , знайдемо . Отже , одержимо таку систему рівнянь відносно  та : Звідси                          Приклад 1 . Позначивши , одержимо  . Звідси        .                       (8.17) Остання формула є рекурентною, тобто , знаючи , що , можна поступово знайти , де  – ціле число, більше за одиницю . Наприклад, при  Звідси  . Приклад 2.     .  Нехай Тоді   і У новому інтегралі степінь величини понизився на одиницю, а це означає , що інтеграл став простішим , ніж був . Знайдемо тепер . Маємо . Звідси Отже , на основі формули (8.16) одержимо Враховуючи значення   , знаходимо . Приклад 3.   Із останньої рівності одержимо   . Обчислимо тепер Звідси . Остаточно з урахуванням , матимемо Останній приклад показує, що часто інтегрування частинами приводить до мети скоріше в тих випадках, де, як це здавалось би, доцільніше застосувати інші методи . У цьому можна переконатися, спробувавши знайти первісну для функції , застосувавши наприклад , заміну змінної за формулою  , про що мова буде іти пізніше. 2. Інтегрування часток Через те , що  то                      .                            (8.18) Користуючись цим , стають очевидними такі формули : . Нехай маємо  , причому  , де  – довільне дійсне число. Тоді . Розглянемо інтеграл вигляду  якщо , то         ,                          (8.19) де . Приклади . 1..                            2.. 3.. Через те що , то . 3. Заміна змінної            Нехай потрібно обчислити інтеграл  причому безпосередньо первісну ми знайти не можемо, але відомо, що вона існує.             Зробимо заміну змінної в підінтегральному виразі де  неперервна функція з неперервною похідною, що має обернену функцію. Тоді  і в цьому випадку має місце формула                                                 (8.20)             Формулу (8.20) слід розуміти так, що після інтегрування в правій частині рівності замість  буде підставлено його вираз через  Щоб довести рівність (8.20), потрібно довести, що похідні за  від обох частин рівності рівні між собою: Ми тут використали правило диференціювання оберненої функції.             Отже, похідні за  від обох частин рівності (8.20) рівні, що й треба було довести.             Функцію  потрібно вибирати так, щоби можна було обчислити інтеграл, що стоїть в правій частині рівності (8.20). Фактично у п. 9.3.5 теж йшлося про заміну змінної, в чому можна безпосередньо переконатися . Не можна дати універсальних замін змінних , які зводили б заданий інтеграл до простішого. Але для ряду випадків це можна здійснити. Доцільно, наприклад, в інтегралах, що містять під знаком інтеграла вирази вигляду застосувати відповідно такі заміни змінних:  або або  . За подальшого вивчення методів інтегрування розглядатимуться інші заміни змінних . Приклади . 1.. Підстановка  зводить інтеграл  до такого : 2.. Щоб позбутися експонент, доцільно скористатися такою заміною змінної  .Тоді  і інтеграл набере вигляду