Побудова кривих регресій методом парабол

Міністерство освіти України Львівський державний університет ім. І. Франка Факультет прикладної математики та інформатикиКафедра теорії оптимальних процесів.Звіт про виконання індивідуального завдання № 3 “Побудова кривих регресій методом парабол” з курсу"Теорія імовірностей та математична статистика" Виконав: студенти групи ПМП-32 Ковальський Д., Шевчук А. Керівник: Сеньо П.С. Львів – 1998 Теоритичні відомості Лінійна залежність є найпростішою і в більшості випадків є початковим, першим наближенням до істини. Часто потрібно встановити більш адекватну залежність між компонентами наприклад двомірного випадкового вектора, яка як правило не лінійна. Так як у вибіркових данних присутні випадковості, то початковий вигляд нелінійної залежності можна приблизно уявити побудувавши на міліметровому папері сукупність точок Ми будемо шукати залежність у вигляді y = a0 + a1x + … + akxk , де а0, …, аk – початкові моменти. Ця передумова обумовлюється теоремою Вейерштраса про наближення будь-якої функції многочленом відповідного степеня (многочленом Берштейна). Складність полягає в тому, що як правило в статистиці многочлени степеня k > 4 не використовуються, а початкові моменти вище четвертого дають великі похибки, а експериментальних данних багато, отже не можна провести многочлен який би проходив через всі вибіркові точки. Тому параболу будемо будувати таку, щоб сума квадратів відхилень вибіркових значень була найменшою. Розглянувши пари (xi,yi) скористаємося формулами: Розв’язавши дану систему, отримаємо рівняння шуканої параболи. Найбільшу величину похибки при апроксимації початкових данних шукатимемо за наступною формулою: Приклад дії програми Початкові данні: x o 1 2 3 4 y 1 1.5 1.7 2.1 5.9 При виборі степеня k=1 результат отримано наступний: а0 = 0.36 а1 = 1.04 d = 4.776 Графік: При k=2: a0 = 1.3314; a1 = -0.9029; a2 = 0.4857; d= 1.4731 При k=3: a0 = 0.9614; a1 = 1.7488; a2 =-1.3643; a3 =-0.3083; d= 0.1041 При k=4: a0 = 1.2250; a1 = -0.1381; a2 =-0.0495; a3 =0.090; a4 =-0.0002; d= 0.7906Текст програми (Borland Pascal 7.0): uses crt, graph; var xn,yn:array[1..30] of real; n:integer; chr:char; a: array [1..5] of real; function stepin (x:real; i:integer):real; var j:integer; temp:real; begin temp:=1; for j:=1 to i do begin temp:=temp*x; inc (i); end; stepin:=temp; end; procedure xyread; var fl:text; i:integer; begin TextBackground(3); TextColor(0); clrscr; assign (fl,’3.txt’); reset (fl); writeln (‘Програма знаходження кривих регресiй методом парабол’); writeln (‘Шевчук А., Ковальський Д. ПМП-32, 1998’); { writeln (‘Esc for Exit’);} writeln; writeln; writeln (‘ x’, ‘ y’); writeln ; i:=1; while not EOF (fl) do begin read (fl,xn[i]); read (fl,yn[i]); writeln (‘x[‘,i,’]=’,xn[i]:0:2,’ ‘,’ y’,'[‘,i,’]=’,yn[i]:0:2); inc (i); n:=i-1; end; writeln; writeln (‘Тиснiть ENTER для продовження’); close (fl); repeat chr:=readkey; if ord(chr)=13 then break; until false; end; procedure obchysl; var k :integer; i,j,h:integer; sx: array [1..6] of real; sy: array [1..2] of real; sxy: array [1..3] of real; matr: array [1..5, 1..5] of real; b: array [1..5] of real; s: real; d:real; m,v:word; gd,gm,ch,cv:integer; x,y:real; chr:char; ex:boolean; {процедура ўнўцўалўзацў• системи кординат} procedure initgrah(m:word); var i:integer; begin setbkcolor(white); setcolor(magenta); ch:=getmaxx div 2 ; cv:=getmaxy div 2 ; line(1,cv,getmaxx,cv); line(getmaxx,cv,getmaxx-6,cv-3); line(getmaxx,cv,getmaxx-6,cv+3); line(ch,1,ch,getmaxy); line(ch,1,ch-3,6); line(ch,1,ch+3,6); i:=0; while ch+i*m<=getmaxx-6 do begin line(ch+i*m,cv+2,ch+i*m,cv-2); line(ch-2,cv+i*m,ch+2,cv+i*m); line(ch-i*m,cv+2,ch-i*m,cv-2); line(ch-2,cv-i*m,ch+2,cv-i*m); i:=i+1; end; end; begin writeln; writeln; writeln (‘Крива регресii описуэться рiвнянням y=g(x), де’); writeln (‘g(x)=a[0] + a[1]*x + … + a[k]*x^k’); writeln (‘Введiть cтепiнь k (k < = 4):’); readln (k); for i:=k+1 to 5 do a[i]:=0; for i:=1 to 6 do begin sx[i]:=0; for j:=1 to n do sx[i]:=sx[i] + stepin (xn[j], i); end; for i:=1 to 2 do begin sy[i]:=0; for j:=1 to n do sy[i]:=sy[i] + stepin (yn[j], i); end; for i:=1 to 3 do begin sxy[i]:=0; for j:=1 to n do sxy[i]:=sxy[i] + yn[j] * stepin (xn[j], i); end; b[1]:=sy[1]; for j:=2 to k+1 do matr[1,j]:=sx[j-1]; for i:=2 to k+1 do b[i]:=sxy[i-1]; for i:=2 to k+1 do for j:=1 to k+1 do matr[i,j]:=sx[j+i-2]; matr[1,1]:=n; { МЕТОД ГАУСА РОЗВ’ЯЗАННЯ С.Л.А.Р. } { прямий хiд методу гауса } for i:=1 to k do for j:=i+1 to k+1 do begin matr[j,i]:= -matr[j,i]/matr[i,i]; for h:=i+1 to k+1 do matr[j,h]:=matr[j,h]+matr[j,i]*matr[i,h]; b[j]:=b[j]+matr[j,i]*b[i]; end; { обернений хiд методу гауса } for i:=k+1 downto 1 do begin s:=b[i]; for j:=i+1 to k+1 do s:=s-a[j]*matr[i,j]; a[i]:=s/matr[i,i]; end; writeln (‘Моменти:’); for i:=1 to k+1 do writeln (‘a[‘,i-1,’]=’,a[i]:0:4); d:=sy[2]-a[1]*sy[1]-a[2]*sxy[1]-a[3]*sxy[2]-a[4]*sxy[3]; writeln (‘Похибка:’); writeln (‘d = ‘,d:0:4); writeln (‘Enter для перегляду графiка’); repeat chr:=readkey; if ord(chr)=13 then break; until false; m:=50;v:=160;ex:=false; repeat gd:=detect; initgraph(gd,gm,”); initgrah(m); highvideo; setcolor(green); for i:=1 to n do begin line (round(ch+abs(xn[i]*m))-3, round(cv-yn[i]*m)+3,round(ch+abs(xn[i]*m))+3, round(cv-yn[i]*m)-3); line (round(ch+abs(xn[i]*m))+3, round(cv-yn[i]*m)+3,round(ch+abs(xn[i]*m))-3, round(cv-yn[i]*m)-3); end; setcolor(magenta); {лўва частина графўка} for i:=(-v) to 0 do begin x:=i/20; y:=a[1] + a[2]*x + a[3]*x*x + a[4]*x*x*x +a[5]*x*x*x*x; if abs(ch-abs(x)*m) <32500 then if abs(cv-y*m)<32500 then lineto(round(ch-abs(x)*m),round(cv-y*m)); end; {права частина графўка} for i:=0 to v do begin x:=i/20; y:=a[1] + a[2]*x + a[3]*x*x + a[4]*x*x*x +a[5]*x*x*x*x; if abs(ch+abs(x)*m) <32500then if abs(cv-y*m)<32500 then lineto(round(ch+abs(x)*m),round(cv-y*m)); end; outtextxy(30,30,’graphic’); {маштабування графўка} repeat chr:=readkey; case ord(chr) of {збўльшення графўка} 43:begin case m of 400:outtextxy(40,40,’no more big’); 10..390:begin m:=m+10; v:=20*trunc(400/m); break; end; end; end; {зменшення графўка} 45:begin case m of 10:outtextxy(40,40,’no more small’); 10..1000:begin m:=m-10; v:=20*trunc(400/m); break; end; end; end; {повернення в меню} 27:begin ex:=true; break; end; end; until false; closegraph; if ex=true then break; until false; closegraph; end; BEGIN xyread; obchysl; END. Список літератури 1. Крамер Гарольд. Математические методы статистики. М.: Мир, 1976. 2. Бух Арлей. Введение в теорию вероятностей и математическую статистику. М., 1951.