Похідна суми добутку та частки з наведеними прикладами

Реферат на тему: “Похідна суми, добутку та частки з наведеними прикладами”. Теорема: Якщо функції u(x) і (x) мають похідні у всіх точках інтервалу ]a; b[, то (u(x)(x))’ = u’(x)’(x) для любого х є ]a; b[. Кортше, (u)’ = u’ Доведення: Суму функцій u(x)+(x), де х є ]a; b[, яка представляє собою нову функцію, позначим через f(x) і найдем похідну цієї функції, Нехай х0 – деяка точка інтервала ]a; b[. Тоді Також, Так як х0 – допустима точка інтервала ]a; b[, то маєм: Випадок добутку розглядається аналогічно. Теорема доведена. Наприклад, а) б) в) Зауваження. Методом математичної індукції доводиться справедливість формули (u1(x) + u2 (x) +… кінцевого числа складених. Теорема. Якщо функції u(x) і (x) мають похідні у всіх точках інтервала ]a; b[, то для любого х є ]a; b[. Коротше, Доведення. Позначим похідні через х є ]a; b[, і найдем похідну цієї функції, виходячи із опреділення. Нехай х0 – деяка точка інтервала ]a; b[. Тоді Навіть так як то Так як х0 – вільна точка інтервала ]a; b[, то маєм Теорема доведена. Приклад, а) б) в) Наслідок. Постійний множник можна виносити за знак похідної: Доведення. Застосувавши множник можна виносити за знак теорему про похідну де а – число, отримаєм Приклади. а) б) Похідна частки двох функцій . Теорема. Якщо функції мають похідні у всіх точках інтервалу ]a; b[, причому для любого х є ]a; b[, то для любого х є ]a; b[. Доведення. Позначим тимчасово через найдем використовуючи опреділення похідної. Нехай х0 – деяка точка інтервала ]a; b[. Тоді, Навіть, так як то і послідовно Так як х0 – вільна точка інтервалу ]a; b[, то в послідній формулі х0 можна замінити на х. Теорема доведена. Приклади. а) б) Формули (3) (стор 20) [2] Д.М. Роматовський “Збірник задач з ТМ”. Літ [4] табл.6 стор 323 А.М. Кменжова і В.А. Малов “Довідник з ТМ” т.І.